江苏省南通市如皋市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
2019-2020年江苏省南通市启东高二上册期末数学试卷(有答案)
江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n ∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则（）A． B. C. D.2.若，则向量与的夹角为（）A． B. C. D.3.若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则（）A．8 B. C. D.4.下列说法中正确的是（）A．命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则”的否命题是真命题B．若命题，则；C．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；D．方程有唯一解的充要条件是5．一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6. 函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．7．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是( )A. ①②B.③④C. ②④D.①③9．若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误．．的是（）A．D1O∥平面A1BC1 B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于45°11. 在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12.是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法:①不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④2019-2020年高二上学期期末考试数学理含答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.14.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为__________15.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则________________.16．给出如下五个结论：①若为钝角三角形，则②存在区间（）使为减函数而＜0③函数的图象关于点成中心对称④既有最大、最小值，又是偶函数⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人.（Ⅰ）求样本容量的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（Ⅱ）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率.18．(本小题满分10分)已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.19. (本小题满分12分)已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.20．（本小题满分12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFGH材料切割成三棱锥H-ACF.(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？21．（本小题满分13分） 已知函数和．（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值． 22．（本小题满分13分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若是椭圆内一点，椭圆的内接梯形的对角线与交于点，设直线在轴上的截距为，记，求的表达式(3) 求的最大值.临川一中xx 学年度上学期期末考试高二数学试卷答题卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的.）题 号一二三总 分17 18 19 20 21 22得 分题号123456789101112考号___________________……………………线……………………………………二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；把正确答案填在横线上.）13._________________________；14._________________________；15._________________________；16._________________________；三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1-=． .…………10分 18：（1）设等比数列的公比为 ,由是和的等差中项 …….. 5分 （2）21(11)(32)(52)(212)n n S n -∴=++++++⋅⋅⋅+-+．21[135(21)](1222)n n -=+++⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅+.... 10分 19解：（1）若为真：解得或 若为真：则 解得或 若“且”是真命题，则解得或 …… 6分 （2）若为真，则，即 由是的必要不充分条件， 则可得或即或 解得或 ……12分20(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC .∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF .(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ， ∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin ∠CAF ＝S △ACF . 又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF＝V 三棱锥HACF . ∵三棱锥HACF 为将长方体ABCDEFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得，∴V 三棱锥HACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.22.（1）椭圆的标准方程为，……………..3分（2）由已知得不垂直于轴（否则由对称性，点在轴上）设直线的方程为，直线的方程为将代入得，设点，由韦达定理得，…………..5分同理设点，由韦达定理得由三点共线A C A C C A C A A C C A y x y x y x y x y x y x 2222)21)(1()21)(1(++-=++-⇒---=---⇒同理由三点共线B D B D D B D B y x y x y x y x 2222++-=++-⇒两式相加结合的方程，得)(24)(2)()(24)(2)()(2)(242)(2)()(2)(242)(2)(D C B A D C B A D C B A B D A C D B B A D C D B C A D B D C B A x x m m x x k x x x x n n x x k x x m kx x m kx x m y x x x k x x n kx x n kx x n y x x x k x x ++++++-=++++++-+++++++++-=+++++++++-利用得，由得，…………..7分由及直线不过点得且 又点到直线的距离是，故32621222323848221)(22--=-⨯-⨯⨯==∆m m m m S m f PAB（且）…..10分 (3)=3225]2)415(4[721)415(472165922222224=-+≤-=+-m m m m m m (也可用导数求解)当且仅当即时，上式等号成立，故的最大值为.…………..13分。
2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}，则()(U M N =I ð)A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，3}D ．{0，1}2．（5分）已知向量(1,)a m =r ，(2,1)b =-r ，且()a b b -⊥r r r ，则实数(m = ) A ．3B ．12C ．12-D ．3-3．（5分）函数2()43x f x x x=+-的定义域为( )A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{|4}x x >D ．{|1}x x <-4．（5分）函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，则()4g π的值为( ) A ．12-B ．12C ．3-D ．3 5．（5分）函数()||x f x e ln x =g（其中e 是自然对数的底数）的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．6．（5分）已知函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，则()(f a b += )A ．2-B ．1-C ．1D ．27．（5分）已知tan()6πα-=sin (sin()3απα=+ ) A ．52B ．72C． D8．（5分）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>…的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，且()f x 在(,)2ππ不存在最值，则ϕ的值为( )A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在第小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．（5分）下列4个结论中，正确的结论是( ) A ．对任意角α，使得cos()cos παα+=B ．存在角α和β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．存在无穷多个角α和β，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-D ．对任意角α和β，都有tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-g10．（5分）关于函数()y f x =，()y g x =，下述结论正确的是( ) A ．若()y f x =是奇函数，则(0)0f =B ．若()y f x =是偶函数，则|()|y f x =也为偶函数C ．若()()y f x x R =∈满足f （1）f <（2），则()f x 是区间[1，2]上的增函数D ．若()y f x =，()y g x =均为R 上的增函数，则()()y f x g x =+也是R 上的增函数 11．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列结论正确的是( )A ．12AC a b =+u u u r r rB ．12BC a b =-+u u u r r rC ．1233BM a b =-+u u u u r r rD ．14EF a b =-+u u u r r r12．（5分）设函数()|sin |f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在(0,)2π上是单调增函数C ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 D ．函数()f x 的值域是[0，2]三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan2α=，则cos2α=．14．（5分）已知函数12()sin221xf x x=-+，则()()1g x f x=+是函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式2()(410)2f x x f x-+--„的解集为．15．（5分）窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则AG DFu u u r u u u rg的值为．16．（5分）已知函数21,0()2,02xa xf x sin x xπ⎧-⎪=⎨<<⎪⎩„其中0a>，且1a≠，若函数()1y f x=-有3个不同的零点1x，2x，3x，且123x x x++>，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合1|02xA xx-⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{|3xB y y==，}x a„．（1）若1a=，求A BU；（2）若()RB A≠∅Ið，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q的右侧），点O为半圆的圆心，已知2AB=，点43(,)55P，设POQα∠=．（1）若2πα=，求AQ AOu u u r u u u rg的值；（2）若点Q的纵坐标为12，求cosα的值．19．（12分）已知函数2()log (1)1mf x x =+-，其中m 为实数． （1）若1m =，求证：函数()f x 在(1,)+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值．20．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC ∆和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，)C ，点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥．已知90ACB ∠=︒，1AB dm =，设ABC θ∠=． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大．当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值．21．（12分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，3AC =，D 是BC 的中点，点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，BE 与AD 交于点G ． （1）设AG AD λ=u u u r u u u r，求实数λ的值；（2）设H 是BE 上一点，且HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，求GH BC u u u u r u u u rg 的值．22．（12分）已知函数2()|3|1f x x ax =---，其中0a >． （1）若2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()23f x x -…对任意的实数(1,0)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．2019-2020学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}，则()(U M N =I ð)A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，3}D ．{0，1}【解答】解：全集{1U =-，0，1，2，3}，集合{1M =-，0}，{0N =，1，2}， 则{1U M =ð，2，3}， 所以(){1U M N =I ð，2}． 故选：A ．2．（5分）已知向量(1,)a m =r ，(2,1)b =-r ，且()a b b -⊥r r r ，则实数(m = ) A ．3B ．12C ．12-D ．3-【解答】解：向量(1,),(2,1)a m b ==-r r， 则(1,1)a b m -=-+rr ，又()a b b -⊥r r r ，则()0a b b -=r rr g ， 即121(1)0m -⨯-⨯+=， 解得3m =-． 故选：D ．3．（5分）函数()x f x =的定义域为( )A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{|4}x x >D ．{|1}x x <-【解答】解：由2310430x x x ⎧->⎨+->⎩，解得04x <<． ∴函数()x f x =的定义域为{|04}x x <<．故选：B ．4．（5分）函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，则()4g π的值为( ) A ．12-B ．12C ．3-D ．3 【解答】解：数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()sin(2)3y g x x π==+的图象，所以1()42g π=．故选：B ．5．（5分）函数()||x f x e ln x =g（其中e 是自然对数的底数）的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ， 当x →+∞，()f x →+∞，排除B ， 故选：A ．6．（5分）已知函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，则()(f a b += )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：根据题意，函数222,0(),0ax x x f x x bx x ⎧->=⎨-+⎩„为奇函数，其定义域为R ，设0x >，则0x -<，则2()2f x ax x =-，22()()()f x x b x x bx -=--+-=--，则有222()()(2)()(1)(2)0f x f x ax x x bx a ax b x +-=-+--=--+=，分析可得1a =，2b =-， 故2()(1)121f a b f +=-=-+=； 故选：C ．7．（5分）已知tan()6πα-=sin (sin()3απα=+ ) A ．52B ．72C． D【解答】解：Q tan()6πα-=∴tan tantan 61tan tan 6πααπα-==+，解得tan α=，∴sin sin 72sin()sin coscos sin333ααπππααα===++． 故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>„的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，且()f x 在(,)2ππ不存在最值，则ϕ的值为( )A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 【解答】解：函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>„的图象关于点(,0)6M π-及直线:3l x π=对称，sin()06πωϕ∴-+=，sin()13πωϕ+=±．16k πωϕπ∴-+=，232k ππωϕπ+=+．1k ，2k Z ∈．212()1k k ω∴=-+．()f x Q 在(,)2ππ不存在最值，22()2T πππω∴=>-，可得：02ω<<． 1ω∴=．则16k πϕπ=+，||2πϕ…．6πϕ∴=．故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在第小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 9．（5分）下列4个结论中，正确的结论是( ) A ．对任意角α，使得cos()cos παα+=B ．存在角α和β，使得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．存在无穷多个角α和β，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-D ．对任意角α和β，都有tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-g【解答】解：对于A 选项，由诱导公式可得，cos()cos παα+=-，即A 错误； 对于B 选项，当0αβ==时，有cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+，即B 正确； 对于C 选项，当2k απ=，22k πβπ=-+，k Z ∈时，符合题意，即C 正确；对于D 选项，当2παβ==时，tan α，tan β均无意义，即D 错误．故选：BC ．10．（5分）关于函数()y f x =，()y g x =，下述结论正确的是( ) A ．若()y f x =是奇函数，则(0)0f =B ．若()y f x =是偶函数，则|()|y f x =也为偶函数C ．若()()y f x x R =∈满足f （1）f <（2），则()f x 是区间[1，2]上的增函数D ．若()y f x =，()y g x =均为R 上的增函数，则()()y f x g x =+也是R 上的增函数 【解答】解：对于A 选项，只有当函数()f x 的定义域包含0 时，若()y f x =是奇函数，则(0)0f =，即A 错误；对于B 选项，当x x =-时，|()||()|y f x f x y =-==，所以|()|y f x =是偶函数，即B 正确； 对于C 选项，f （1）f <（2）不代表对于任意的1x ，2[1x ∈，2]，均有12()()f x f x <，即C 错误；对于D 选项，增函数+增函数=增函数，即D 正确． 故选：BD ．11．（5分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC与BD 交于M ，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则下列结论正确的是( )A ．12AC a b =+u u u r rrB ．12BC a b =-+u u u r r r C ．1233BM a b =-+u u u u r r rD ．14EF a b =-+u u u r r r【解答】解：由题意可得，12AC AD DC b a =+=+u u u r u u u r u u u r r r，故A 正确；1122BC BA AC a b a b a =+=-++=-u u u r u u u r u u u r r r r r r，故B 正确；2212233333BM BA AM a AC a b a b a =+=-+=-++⨯=-u u u u r u u u r u u u u r u u u r r r r r r r，故C 错误；111244EF EA AD DF a b a b a =++=-++=-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r，故D 正确．故选：ABD ．12．（5分）设函数()|sin 3|f x x x =+，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在(0,)2π上是单调增函数C ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称 D ．函数()f x 的值域是[0，2]【解答】解：()|sin 3cos ||2sin()|3f x x x x π=+=+，对于选项A ，最小正周期为1221ππ⨯=，所以A 正确；对于选项B ，()|2sin()|2663f πππ=+=，()|2sin()|3333f πππ=+显然()()63f f ππ>，即B错误；对于C 选项，令3x k ππ+=，则,3x k k Z ππ=-+∈，当1k =时，有23x π=，即C 正确； 对于D 选项，因为sin()[1,1]3x π+∈-，所以()|2sin()|[03f x x π=+∈，2]，即D 正确．故选：ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知tan 2α=，则cos2α= 35- ．【解答】解：tan 2a =Q ，221143cos21145tan a tan αα--∴===-++． 故答案为：35-．14．（5分）已知函数12()sin 221x f x x =-+，则()()1g x f x =+是 奇 函数（从“奇”，“偶”，“非奇非偶”及“既是奇函数又是偶”中选择一个填空），不等式2()(410)2f x x f x -+--„的解集为 ．【解答】解：根据题意，函数12()sin 221x f x x =-+，其定义域为R ，则2()()1sin 1221x x g x f x =+=-++，则222()()1sin()1sin 1221212xx xx x g x f x ---=-+=-+=--+++g ，有222222()()(sin 1)(sin 1)2()022********x xx x x xx x g x g x +-=-++--+=-+=++++g g ，即()g x 为奇函数，不等式2()(410)2f x x f x -+--„，变形可得2()1(410)10f x x f x -++-+„，即2()(410)0g x x g x -+-„，又由2()()1sin 1221x x g x f x =+=-++，()g x 为R 上的增函数，则22222()(410)0()(410)()(104)1043100g x x g x g x x g x g x x g x x x x x x -+-⇒---⇒--⇒--⇒+-剟剟?，解可得：52x -剟，即不等式的解集为[5-，2]； 故答案为：奇，[5-，2]．15．（5分）窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点，则AG DF u u u r u u u rg 的值为 0 ．【解答】解：Q 窗户的轮廓ABCD 是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH ，且E ，F ，G ，H 分别是AF ，BG ，CH ，DE 的中点； 设小正方形EFGH 的边长为2，则1EF GF ==；∴()()21cos021cos1800AG DF AF FG DE EF AF DE AF EF FG DE FG EF AF EF FG DE =++=+++=+=⨯⨯︒+⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g g g g g ；故答案为：0．16．（5分）已知函数21,0()2,02x a x f x sin x x π⎧-⎪=⎨<<⎪⎩…其中0a >，且1a ≠，若函数()1y f x =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1230x x x ++>，则实数a 的取值范围是 2(0,)2． 【解答】解：根据题意可判断01a <<，否则不会有3个不同零点，且函数()1y f x =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x 等价于函数()f x 与1y =的图象有3个不同的交点，不妨设123x x x <<，作图如下：由图可知，当02x <<时，2sin()12x π=有两个根2x ，3x ，解得213x =，353x =，因为1230x x x ++>，所以123()2x x x >-+=-，而111x a -=，即有1log 22a x =>-，因为01a <<，所以22a -<，即122a -<，解得a <，所以a 的取值范围是，故答案为2． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合1|02x A x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，集合{|3x B y y ==，}x a „．（1）若1a =，求A B U ；（2）若()R B A ≠∅I ð，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）依题意，1|0{|(1)(2)0}{|21}2x A x x x x x x x -⎧⎫=>=-+>=-<<⎨⎬+⎩⎭，当1a =时，{|3x B y y ==，1}{|03}x y y =<剟， 所以{|23}A B x x =-<U „． （2）由（1）知{|21}A x x =-<<，则{|2R A x x =-„ð，或1}(x =-∞…，2][1-U ，)+∞，(0B =，3]a ， 因为()R B A ≠∅I ð，所以31a …，解得0a …； 所以实数a 的取值范围是[0，)+∞．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P ，Q 是以AB 为直径的上半圆弧上两点（点P 在Q 的右侧），点O 为半圆的圆心，已知2AB =，点43(,)55P ，设POQ α∠=．（1）若2πα=，求AQ AO u u u r u u u r g 的值；（2）若点Q 的纵坐标为12，求cos α的值．【解答】解：（1）设POB β∠=，则3sin 5β=，4cos 5β=． 所以3cos()cos()sin 25Q x παβββ=+=+=-=-，2((1),)(0(1),0)15Q Q Q AQ AO x y x =----=+=u u u r u u u r g g ．（2）由题意可得：13sin()sin 25αββ+=<=，且(0,)αβπ+∈，(0,)2πβ∈， 所以(,)2παβπ+∈，所以56παβ+=，56παβ=-． 所以5553413343cos cos()cos cos sin sin 666525πππαβββ-=-=+=+g g ． 19．（12分）已知函数2()log (1)1mf x x =+-，其中m 为实数．（1）若1m =，求证：函数()f x 在(1,)+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值．【解答】（1）证明：由题意，当1m =时，221()log (1)log ()11xf x x x =+=--． 对于1x ∀，2(1,)x ∈+∞，且12x x <， 121212112222212121221()()log log log ()log 111x x x x x x xf x f x x x x x x x x ---=-==----g 12x x <Q ，12x x ∴->-，121122x x x x x x ∴->-．又1x Q ，2(1,)x ∈+∞，且12x x <， 12221(1)0x x x x x ∴-=->，即1211221x x x x x x ->-，∴1212122log ()0x x x x x x ->-，12()()0f x f x ∴->，即12()()f x f x >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数．（2）解：依题意，221()log (1)log ()11m x m f x x x +-=+=--， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=． 211()()log ()log()11x m x m f x f x x x -+-+-∴-+=+---211log ()()11x m x m x x -+-+-=---g2(1)1log ()()11x m x m x x --+-=+- 2222(1)log ()01x m x --==-， 222(1)1x m x ∴--=-， 2(1)1m ∴-=， 解得0m =或2m =．20．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ABC ∆和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，)C ，点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥．已知90ACB ∠=︒，1AB dm =，设ABC θ∠=． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大．当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大．当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值．【解答】解：设ABC PCB θ∠=∠=，则在直角ABC ∆中，sin AC θ=，cos BC θ=； 在直角PBC ∆中，2cos cos cos cos PC BC θθθθ===g g ，sin sin cos sin cos PB BC θθθθθ===g g ； （1）222sin cos sin 1sin sin sin 1AC CP θθθθθθ+=+=+-=-++，(0,)3πθ∈，所以当1sin 2θ=，即6πθ=，AC CP +的最大值为54； （2）在直角ABC ∆中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆==g g ，可得sin cos sin cos 1CH θθθθ==g g ；在直角PBC ∆中，sin()cos (sin cos cos sin )333PC BC πππθθθθ=-=-g g ，所以312sin cos 2cos (cos sin )2CH CP θθθθθ+=+-，(0,)3πθ∈， 所以21333sin 23cos sin cos sin 2cos2sin(2)23CH CP πθθθθθθθ+=+-=++=++， 所以当6πθ=，CH CP +达到最大．21．（12分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，3AC =，D 是BC 的中点，点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，BE 与AD 交于点G ． （1）设AG AD λ=u u u r u u u r，求实数λ的值；（2）设H 是BE 上一点，且HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，求GH BC u u u u r u u u rg 的值．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xAy ，则(0,0)A ，(0,2)B ，(3,0)C ．（1）由2AE EC =u u u r u u u r，得(2,0)E ，所以(2,2)BE =-u u u r ．由D 是BC 的中点，得3(,1)2D ，所以3(,1)2AD =u u u r ．设(,)G x y ，则(,)AG x y =u u u r ，(,2)BG x y =-u u u r．因为A 、G 、D 三点共线，所以//AG AD u u u r u u u r ，即32x y =，①因为B 、G 、E 三点共线，所以//BG BE u u u r u u u r，即2(2)2y x -=-，②联立①②得解得故点G 的坐标为64(,)55，所以64(,)55AG =u u u r ．所以45AG AD =u u u r u u u r ，所以实数λ的值为45． （2）设(,2)H t t -+，则(,2)HA t t =--+u u u r ，(,)HB t t =-u u u r ，(32)HC t t =--u u u rg． 因为HA HB HC HA =u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，所以22()(2)(3)(2)t t t t t t -+-=--+-，解得45t =，所以H 的坐标为46(,)55，所以22(,)55GH =-u u u u r ．又(3,2)BC =-u u u r，所以223(2)255BC GH =-⨯+⨯-=-u u u r u u u u r g ．22．（12分）已知函数2()|3|1f x x ax =---，其中0a >． （1）若2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()23f x x -„对任意的实数(1,0)x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =时，222324,2()|23|1322,2x x x f x x x x x x ⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+⎪⎩…，当32x <时，22()24(1)5f x x x x =+-=+-， 所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在3(1,)2-上单调递增．当32x …时，22()22(1)1f x x x x =-+=-+，所以()f x 在3[,)2+∞上单调递增．因为函数()f x 的图象在R 上不间断，所以()f x 的单调减区间是(,1)-∞-，单调增区间是(1,)-+∞． （2）依题意，2|3|123x ax x ----„对任意(1,0)x ∈-恒成立． 因为(1,0)x ∈-，0a >，所以30ax -<， 故不等式可化为23123x ax x +---„，即12a x x-++…，所以问题转化为不等式12a xx-++…对任意(1,0)x∈-恒成立．又12y xx=-++在(1,0)-上单调递减，所以121122y xx=-++<-+=，所以2a…．（3）22234,()|3|132,x ax xaf x x axx ax xa⎧+-<⎪⎪=---=⎨⎪-+⎪⎩…，其中0a>．显然，当3xa<时，2()3f x x ax=+-至多有2个不同的零点，且当3xa…时，2()2f x x ax=-+至多有2个不同的零点，又()f x有4个不同的零点，所以()f x在3(,)a-∞和3[,)a+∞上都各有2个不同的零点，所以()023()0affa⎧-<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩且32()023()0aaaffa⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，即222()40423()10322042a aaaaaa aa⎧+--<⎪⎪⎪->⎪⎪⎨⎪>⎪⎪⎪-+<⎪⎩gg，又0a>，解得3a<<，所以实数a的取值范围是3a<<．。
江苏省如皋市2019_2020学年高二数学上学期教学质量调研试题(一)(含解析)
精品文档，欢迎下载！江苏省如皋市2019-2020学年高二数学上学期教学质量调研试题（一）（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1.抛物线22x y =-的准线方程为（ ） A. 18x =B. 18y =C. 12x =D. 12y =【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及2p ，再直接求出其准线方程． 【详解】解：因为抛物线的标准方程为：22x y =-，焦点在y 轴上；所以：22p =，即1p =， 所以：122p =， 所以准线方程12y =． 故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．2.若双曲线E ：22149x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线上的一点，且12,PF =则2PF =（ ） A. 8 B. 6C. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==，代入已知条件解方程即可得到所求值．【详解】解：双曲线E ：22149x y -=可得2a =，由双曲线的定义可得1224PF PF a -==， 由12=PF ，可得2|2|||4PF -=， 解得26PF =（−2舍去）． 故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础题．3.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)4x y b b-=>经过点，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A. y =B. 2y x =±C. 12y x =±D. y x =±【答案】D 【解析】 【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．【详解】解：∵双曲线22214x y b -=经过点，∴224614b-=，解得b =又2a =，∴该双曲线的渐近线方程是y x =． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．4.已知椭圆22:1(0)y C x n n +=>的离心率为2，则n 的值为（ ）A.14或4 B.14C.12或2 D.12【答案】A 【解析】 【分析】通过椭圆的离心率列出方程，求解即可．【详解】解：椭圆22:1(0)y C x n n +=>可得：椭圆的焦点坐标在x =， 解得14n =；椭圆的焦点坐标在y =， 解得4n =． 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，要注意焦点位置的讨论，是基本知识的考查．5.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ）A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等【答案】D 【解析】【详解】09k <<Q ，则90k ->，250k ->，双曲线221259x y k-=-实半轴长为5，焦距为=双曲线221259x y k -=-，虚半轴长为3，焦距为=，因此，两双曲线的焦距相等， 故选：D.6.已知椭圆2212:1x C y m +=(1m >)与双曲线2222:1x C y n-=(0n >)的焦点重合，若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，曲线1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的值为（ ）A. 1B.35C.53【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得22111,3m n n m -=+=，解方程可得,m n ，再由离心率公式，化简计算可得所求值．【详解】解：椭圆2212:1x C y m +=(1m >)与双曲线2222:1x C y n-=(0n >)的焦点重合，可得2211m n -=+，即222n m =-，①若双曲线的顶点是椭圆长轴的两个三等分点，可得13n m =，② 由①②可得31,22m n ==，则1253e m n e ⋅====．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率的计算，以及方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到抛物线焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )A. B. ±1C. 34±D. ±【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求出M 的横坐标，代入抛物线方程解出M 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，Q 点M 到焦点F 的距离等于M 到准线2px =-的距离， 所以22M px p +=， 32M x p ∴=代入抛物线方程解得M y =，2MMFM y k p x ∴==-A. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..8.已知直线1y kx =+与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x yb b+=>总有公共点，则b 的取值范围是（ ） A. (1,2) B. ()1,+∞C. [)1,+∞D. [)1,2【答案】D 【解析】 【分析】由题意直线1y kx =+恒过定点(0,1)M ，要使直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x yb b+=>总有公共点，则只需要点(0,1)M 在椭圆上或椭圆内，代入可求． 【详解】解：由题意直线1y kx =+恒过定点(0,1)M要使直线1()y kx k R =+∈与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)4x y b b+=>总有公共点， 则只需要点(0,1)M 在椭圆上或椭圆内， 则211b≤且24b < ∴12b ≤<． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与椭圆位置关系的判断，常见的判断方法是联立直线方程与曲线方程，但此类方法一般计算量比较大，而本题的这种解决灵活的应用了直线恒过定点的性质，但解题时容易漏掉焦点在x 轴上的条件的考虑，误认为只有211b≤． 9.已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A. B.C. 6D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线(2)y k x =-，与22:2C x y -=联立，根据韦达定理，可求出k 的值，再根据弦长公式||AB =AB 的长．【详解】解：双曲线22:122x y C -=，则24c =，所以右焦点(2,0)F ，根据题意易得过F 的直线斜率存在，设为(2)y k x =-，(,),(,)A A B B A x y B x y联立22(2)2y k x x y =-⎧⎨-=⎩， 化简得()222214420kxk x k -+--=，所以2222442,11A B A B k k x x x x k k ---+==--， 因为,A B 中点横坐标为4，所以22481A B k x x k -+==-， 解得22k =，所以2242101A B k x x k--==-， 则()()2228410244A B A B A B x x x x x x -=+-=-⨯=，则||AB ===故选：D ．【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题．10.在平面直角坐标系xOy 中，已知F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，12,l l 分别与抛物线交于点,A B 和,C D ，记AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则OM ON ⋅u u u u r u u u r的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】设出12,l l 的方程，分别与抛物线24x y =联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出M ，N 的坐标，进而可以求出OM ON ⋅u u u u r u u u r，利用基本不等式求其最小值． 【详解】解：由F 是抛物线24x y =的焦点，得(0,1)F ， 设1:1l y kx =+， 1122(,),(,)A x y B x y联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 12441kx x k -∴+=-=, ()221211112y y kx kx k x x ∴+=+++=++242k =+()22,21M k k ∴+设21:1y x l k=-+， 3344(,),(,)C x y D x y 联立2114y x kx y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得2440x x k -=+， 344x k x ∴+=-,334434112x x x x y y k k k +∴+=-+-+=-+242k =+222,1N k k ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭()()22222222,21,14211OM ON k k k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r222121k k =++≥+5=． 故选：C ．【点睛】本题考查直线和抛物型的位置关系，利用韦达定理解决中点坐标问题，中档题，注意计算的准确性．11.设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A.C.D. 7【答案】C 【解析】 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离. 【详解】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-，MQ ==[]0 ,?1,1y ∈-∴当0y =- 23时，MQ =最大PQ 的最大值为故选C.【点睛】本题考查了椭圆与圆的综合，圆外任意一点到圆的最大距离是这个点到圆心的距离与圆的半径之和，根据圆外点在椭圆上，即可列出椭圆上一点到圆心的距离的解析式，结合函数最值，即可求得椭圆上一点到圆上一点的最大值.12.过点()1,0M 的直线l 与椭圆2212x y +=交于A B 、两点，若2AM MB =则直线l 的斜率为（ ）A.2B.7C. 2±D. 7±【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 的方程为：()()11221,,,,my x A x y B x y =-，与椭圆方程联立．由2AM MB =，可得122y y =-，将其与韦达定理联立，即可解出直线l 的斜率． 【详解】解：设直线l 的方程为：()()11221,,,,my x A x y B x y =-．联立22122my x x y =-⎧⎨+=⎩，化为：()222210m y my ++-=，>0∆， 12122221,22m y y y y m m ∴+=-=-++． 2AM MB =Q ，即2AM MB =u u u u r u u u r()12020y y ∴-=-，即122y y =-．联立1221221222122m y y m y y m y y -⎧+=⎪+⎪⎪=-⎨+⎪=-⎪⎪⎩，解得227m =．m ∴= ∴直线l的向斜率1k m == 故选：C ．【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，其中将长度关系转化为向量关系，进而得到坐标关系是关键，属于难题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆上的一点，123F PF π∠=，则12F PF ∆的面积为_________.【解析】 【分析】依题意，在12F PF ∆中，123F PF π∠=，12||||24PF PF a +==，122F F =，利用余弦定理可求得12||||F P P F ⋅的值，从而可求得12F PF ∆面积．【详解】解：∵椭圆22:143x y C +=，2,1a b c ∴===．又∵P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，12,F F 为左右焦点，∴12||||24PF PF a +==，122F F =，()221212121222cos3F F PF PF PF PF PF PF π∴=+-⋅-⋅12163PF PF =-⋅4=，124P P F F ∴⋅=，121211sin 4232PF F S PF PF π∆∴=⋅=⨯=．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．14.在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线222210,0)x y a b a b-=>>（的右焦点作垂直于x 轴的直线l ，l 与双曲线的渐近线交于A B 、两点，且三角形ABO 为等腰直角三角形，若双曲线的，则双曲线的标准方程为_________.【答案】22144x y -=【解析】 【分析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，可得a b =，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得a ，进而可得到所求双曲线的方程．【详解】解：设双曲线22221x y a b-=的右焦点为(c,0)，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，由三角形ABO 为等腰直角三角形，可得90AOB ︒∠=，则221b a-=-，即a b =，则双曲线的渐近线方程为y x =±， 设双曲线的方程为222x y a -=，=2a =， 所以双曲线的方程为22144x y -=．故答案为：22144x y-=．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和点到直线的距离公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.如图，已知OAP∆和ABQ∆均为等边三角形，它们的边长分别,m n，抛物线()220y px p=>恰好经过点,P Q，则mn=_________.【答案】12【解析】【分析】根据已知写出,P Q坐标，代入抛物线方程，即可求出结果．【详解】解：由已知(,0),(,0)A m B m n+，得33(,),(,)2222m m n n P Q m-+，因为抛物线()220y px p=>恰好经过点,P Q，223222322m m p n n p m⎧⎛⎫⎪-=⋅ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪⎛⎫=⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎩，两式相除可得222m m n m n=+，设(0)m t t n=>，则221t t t=+，解得：12t=，即m n=12．故答案：12． 【点睛】本题考查抛物线的方程，考查学生方程的思想以及计算能力，其中的整体运算和换元法可以将复杂计算简单化，难度不大．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x C y +=，直线l 与椭圆交于,A B 两点，当O到直线AB 的距离为1时，则OAB ∆面积的最大值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先由点到直线的距离公式求出变量的关系，然后将直线方程和椭圆方程联立，化为关于x 的一元二次方程，由弦长公式求得AB 长度，利用二次函数求AB 长度最值，最后写出OAB ∆的面积．【详解】解：当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =±， 不妨取1x =来计算，将1x =代入椭圆方程得：2y =±，AB \=；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为：y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y 当O 到直线AB1=，整理得221m k =+，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，21212228441414kmm x x x x k k-∴+=-=++， ()()()22222212122281616||1411414km m AB kx x x x k k k ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫=++-+- ⎪++=⎢⎥⎣⎦⎢⎝⎭⎥⎣⎦()()()()()()22222222222264161614641616111414k m m k k mk k k k --++-+=+++=⋅⋅()()()()()222222222641616*********k k k k k k k +-+=+=+++⋅设2,)4(11t k t =>+，则214k t -=， ()222224813(1)963||311344(1)4t t t AB t t t t tt ⋅+-===-+--⎛⎫⋅ ⎪⋅+⎝+=--+⎭， 当31t=，即3t =时，2AB 取最大值4， 综上，AB 的最大值为2，OAB ∴∆面积的最大值为11212⨯⨯=． 故答案为：1．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共82分）17.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线D的渐近线方程为y =，且经过点(2,3)，直线:2l y x =-交双曲线于,A B 两点，连结,OA OB . （1）求双曲线方程； （2）求OA OB ⋅u u u r u u u r的值.【答案】（1）2213y x -=（2）1OA OB ⋅=u u u r u u u r【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐进线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程； （2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可． 【详解】解：（1）由双曲线D的渐近线方程为y =，设双曲线的方程为：223y x k -=，将点(2,3)代入双曲线方程得1k =，所以双曲线的方程为：2213y x -=（2）联立22213y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=设()()1122,,,A x y B x y ， 则121272,2x x x x +=-=-， ()()()121212127922244422y y x x x x x x =--=-++=-++=∴121279122OA OB x x y y ⋅=+=-+=u u u r u u u r ．【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以(0,0)m y x m n n =±>>为渐进线的双曲线系方程可设为2222y x m nλ-=，λ为参数且不为0．18.已知抛物线2:4C y x =，直线:l y x m =+与抛物线交于,A B 两点，(1,6)P -是抛物线准线上的点，连结,PA PB . （1）若1m =-，求AB 长；（2）若PAB ∆是以,PA PB 为腰的等腰三角形，求m 的值. 【答案】（1）8AB =（2）1m =- 【解析】 【分析】（1）将直线方程和抛物线方程联立，求出12x x +，利用弦长公式12AB x x p =++即可求出结果；（2）将直线方程和抛物线方程联立，求出AB 的中点为M 的坐标，利用PM AB ⊥，斜率乘积为-1，列方程求解即可．【详解】解（1）设()()1122,,,A x y B x y 联立214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+= 则126x x +=， 则1262822p pAB AF BF x x =+=+++=+=. （2）设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为M 联立24y x m y x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+= 则124y y +=，则1222M y y y +== 则(2,2)M m -.又PAB ∆是以,PA PB 为腰的等腰三角形 ∴PM AB ⊥ ∴1PM AB k k ⋅=- ∴4113m⨯=--+∴1m =-.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，灵活运用韦达定理，将形成等腰三角转化为斜率乘积为-1，是中档题．19.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和.【答案】（1）2e =（2）2 【解析】【分析】（1）由2122PF F F =，建立关于,a c 的关系式，变形即可求出离心率；（2）先根据点P 的坐标求出椭圆方程，设出直线l 与椭圆联立，利用韦达定理和斜率公式，计算PM PN k k +，整理可得结果．【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴222c a =∴212e = 又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22ac=又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．20.如图，马路l 南边有一小池塘，池塘岸MN 长40米，池塘的最远端O 到l 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路,,AB BC CD ，且,,AB BC CD 均与小池塘岸线相切，记BAD θ∠=.（1）求小路的总长，用θ表示；（2）若在小路与小池塘之间（图中阴影区域）铺上草坪，求所需铺草坪面积最小时，tan θ的值.【答案】（1）tan 800(0tan 40)2sin AB BC CD θθθ++=+<<（2）当tan 202θ=时，所需铺草坪面积最小 【解析】 【分析】（1）建立合适的平面直角坐标系，求出小池塘的边界抛物线方程，然后设出直线AB 的方程，和抛物线联立，可求出切点坐标， 同时可求出,B C 的坐标，表示出AB BC CD ++，变形即可得结果；（2）要所需铺草坪面积最小，需要梯形面积最小，利用（1）的结果表示出梯形面积，利用基本不等式求出最值．【详解】解：（1）以O 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 作垂直于x 轴的直线为y 轴，建立直角坐标系，所以(20,400),(20,400)M N -，因为小池塘的边界为抛物线型，设边界所在的抛物线方程为22(0)x py p =>， 因为(20,400)M -是曲线上一点，所以12p =，即抛物线方程为2y x =. 设AB 所在的直线方程：(tan )y kx t k θ=+=，联立2y kx t y x=+⎧⎨=⎩，即20x kx t --=， 因为AB 与抛物线相切， 所以240k t ∆=+=①. 记直线AB 与抛物线切于点Q ， 所以Q 点的横坐标为(0,20)2k∈，即(0,40)k ∈. 易得点,0t B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点400,400t A k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，由对称性可知,0t C k ⎛⎫⎪⎝⎭，点400,400t D k -⎛⎫-⎪⎝⎭. 所以小路总长为2240022400t AB BC CD k k ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭由①及tan θk =可知tan 800(0tan 40t 2an in )2s AB BC CD θθθθ++=+=+<<； （2）记草坪面积为S ，梯形面积为1S ，小池塘面积为2S ，所以12S S S =-，因为小池塘面积2S 为定值，要使得草坪面积最小，则梯形面积最小111400()400240022t t S BC AD k k -⎛⎫=+⋅=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭，由①知1800200S k k ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭(0,40)k =”取得“＝”所以当tan θ=【点睛】本题考查抛物线的应用，建立适当坐标系，将长度，面积问题的计算都转化为坐标运算，是中档题．21.已知椭圆222:1(3x y C a a +=>的焦距为2，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点（异于,A B ），连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍. （1）求椭圆C 的方程； （2）证明：直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题目条件列出关于,,a b c 的方程，解出即可；（2）设出直线,AM AN ，和椭圆联立，利用韦达定理，求出,M N 的坐标，利用点斜式写出直线MN 的方程，观察直线，得出直线恒过定点．【详解】解：（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线:(2)AM y k x =+，22(2)34120y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，即()2222341616120k x k x k +++-=， 所以221122161216,3434A A k k x x x x k k--⋅=+=++， 所以2126834k x k-=+，代入直线:(2)AM y k x =+，得21234k y k =+， 所以点2226812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设直线:3(2)BN y k x =-，223(2)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，即()2222112484840k x k x k +-+-= 所以22222248448112112B B k k x x x x k k-⋅=+=++， 所以222242112k x k -=+，代入直线:3(2)BN y k x =-，得212112k y k -=+ 所以点22224212,112112k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 当MN 斜率不存在时，22226824234112k k k k--=++， 解得214k =，此时121x x ==，直线MN 过点(1,0)； 当MN 斜率存在时， 所以22222221212434112682421434112MN k k k k k k k k k k k +++==----++， 直线22222468124:(1)14343414k k k k MN y x x k k k k⎛⎫-=-+=- ⎪-++-⎝⎭， 所以直线恒过定点(1,0)．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和点斜式方程，求出直线过定点，对学生计算能力要求较高，难度比较大．22.已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b +=>>经过点，(0,1)F 是C 的一个焦点，过F 点的动直线l 交椭圆于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在定点M （异于点F ），对任意的动直线l （斜率存在）都有0MA MB k k +=，若存在求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）存在这样的定点M ，坐标为()0,2，详见解析 【解析】【分析】（1）根据题目条件列出关于,,a b c 的方程，解出即可；（2）设出点,,M A B ，联立直线l 和椭圆C ，将0MA MB k k +=用韦达定理和斜率公式变形整理，利用恒成立的意义，即可求出点M 的坐标． 【详解】解（1）由题意得2222211121c a b a b c =⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩， 所以1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即椭圆C 的方程为：2212y x +=. （2）假设存在这样的点M ，设点()00,M x y ，点()()1122,,,A x y B x y ，设直线:1l y kx =+，联立221220y kx y x =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()222210k x kx ++-=， 所以12122221,22k x x x x k k --+=⋅=++.因为010201020MA MB y y y y k k x x x x --+=+=--， ()()()()010022010y y x x y y x x ∴--+--=，()000120121212()20y x y x x x y y y x y x ∴-+-+++=，()()()()00120111221022011y x y x x x k x x kx x kx x ⎡⎤∴-+-++++++⎦=⎣， ()()00000121222120y x x y x k x x kx x ∴--+-++=，()000002221222022k y x k k y x x k k +-∴-+-=++ 整理得：()2000000224440x y k y k x y x +-+-=.因为任意的直线l （斜率存在）都成立，所以00000020240440x y y x y x =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得0002x y =⎧⎨=⎩， 所以存在这样的定点M ，坐标为()0,2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对条件等式变形，对学生计算能力要求较高，难度比较大．。
2019-2020年江苏省南通市启东高二上册期末数学试卷(有答案)
江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
2019-2020学年江苏省如皋市高二上学期教学质量调研(一)数学试题(解析版)
则 ，
∴
将 代入得
.
∴直线 与直线 的斜率之和为2.
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理和斜率公式对式子进行变形计算，对学生计算能力要求较高，难度比较大．
20．如图，马路 南边有一小池塘，池塘岸 长40米，池塘的最远端 到 的距离为400米，且池塘的边界为抛物线型，现要在池塘的周边建一个等腰梯形的环池塘小路 ，且 均与小池塘岸线相切，记 .
7．已知抛物线 上一点 到抛物线焦点 的距离等于 ，则直线 的斜率为()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据抛物线的定义可求出 的横坐标，代入抛物线方程解出 的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
点 到焦点 的距离等于 到准线 的距离，
所以 ，
代入抛物线方程解得 ，
当 到直线 的距离 ，
整理得 ，
联立 ，消去 得 ，
，
设 ，则 ，
，
当 ，即 时， 取最大值4，
综上， 的最大值为2，
面积的最大值为 ．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，利用韦达定理求出弦长的最值，对学生计算能力要求较高，是中档题．
三、解答题
17．在平面直角坐标系 中，若双曲线 的渐近线方程为 ，且经过点 ，直线 交双曲线于 两点，连结 .
【答案】
【解析】设双曲线的右焦点，渐近线方程，由三角形 为等腰直角三角形，可得 ，可得 ，则可得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得 ，进而可得到所求双曲线的方程．
【详解】
解：设双曲线 的右焦点为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
由三角形 为等腰直角三角形，
江苏省如皋中学2019-2020学年高二上学期阶段测试数学试卷(无答案)
数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．） 1. 抛物线212x y =的焦点坐标为( ). A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，182.直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 3.若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43 D ．534.已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1710B ．8C ．2D ．1755.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为( )A ．04B ．07C ．02D ．016.双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．427.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)(单位： 元)，其中支出在[30,50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n 的值为( ) A ．100 B ．120 C ．130 D ．3908.设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若 y i ＝2x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．2,16a +B ．2,16a a ++C ．2,4D ．2,4a +9.根据如下样本数据：x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <010.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213，312等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是( )A ．16B ．425C ．13D ．72411.P 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)右支上的一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．()1,3B ．(]1,3C ．()3,+∞D ．[)3,+∞12.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:(1)2C x y -+=，圆2222:()()C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,PA PB ，切点为,,A B PAB V 的面积为1，则正数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．2,323⎡+⎣C ．1,323⎡+⎣D ．1,33⎡⎣二、 填空题（本大题共4题，每题5分，共20分．） 13.若1231313x x C C +-=，则=x ． 14..若*(41)()n x n N -∈的展开式中各项系数的和为729，则展开式中3x 项的系数是 .15.为了美化城市，现在要把一条路上的7盏路灯全部改装成彩色路灯.如果彩色路灯有红、黄与白三种颜色,要求在安装时相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，则不同的安装方法为 ．16.已知点P 是双曲线22=143x y -上除顶点外的任意一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，c 为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与F 1F 2切于点M ， 则F 1M ·F 2M ＝________.三、解答题（本大题共6题，共70分．请写出必要的解题步骤．）17.高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为 ； （2）在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图；（3）根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在［135，155］中的概率及学生人数．18.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆C 的方程．分组 频数 频率 [)95,85 ① ②[)105,95 0．050 [)115,105 0．200 [)125,115 12 0．300 [)135,125 0．275 [)145,135 4 ③ [145， 155]0．050 合计 ④组距频率 0.035— 0.005— 0.010—0.015— 0.020— 0.025—0.030—| | | | | | | | 85 95 105 115 125 135 145 155 成绩19.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：（1）127a a a +++L ； （2）017||||||a a a +++L ； （3）2372642a a a +++L ；（4）2202461357()(a a a a a a a a +++-+++）.20.一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97．若袋中共有10个球,（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．21.已知直线12:,:l y x l y x ==，动点,P Q 分别在12,l l 上移动，且PQ N = 是线段PQ 的中点，记点N 的轨迹为曲线C . （1） 求曲线C 的方程；（2）过点(0,1)M 分别作直线,MA MB 交曲线C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为12,k k ，且122k k +=，求证：直线AB 过定点.22.如图，已知A 1、A 2、B 1、B 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点，△A 1B 1B 2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M. (1) 求椭圆C 及圆M 的方程；(2) 若点D 是圆M 劣弧A 1B 2︵上一动点(点D 异于端点A 1、B 2)，直线B 1D 分别交线段A 1B 2、椭圆C 于点E 、G ，直线B 2G 与A 1B 1交于点F.(ⅰ) 求GB 1EB 1的最大值；(ⅱ) 试问：E 、F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．。
精品解析：江苏省2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
P 使 PA1 2c, PA2 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，
也且仅有一个点 P 使 PA2 2c, PA1 2c 2a ，此时 PF1F2 为等腰三角形，同理可得第二三四象限每
个象限也有且仅有两个点，一共八个，
所以 C 是真命题；
0
A1PA2 2
F1PF2 2
2
，根据焦点三角形面积的二级结论 SPF1F2
A. PA1 PA2 2a
B.
直线
PA1,
PA2
的斜率之积等于定值
b2 a2
C. 使得 PF1F2 为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个
b2 D. PF1F2 的面积为 tan A1PA2
2
【答案】BC 【解析】 【分析】 结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.
【详解】在 A1PA2 中，两边之差小于第三边，即 PA1 PA2 A1A2 2a ，所以 A 不是真命题；
1(a＞b＞0) 的离心率为
3 ，过右焦点 F 且斜率为 k(k＞0) 的直线与 C 相交于 2
A、B 两点．若 AF 3FB ，则 k
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】B
【解析】
因为 e c a
3 ，所以 c 2
3 2
a ，从而 b2
a2
c2
a2 4
，则椭圆方程为
x2 a2
+
4y2 a2
9.若 a 0,b 0, a b 2 ，则下列不等式,其中正确的有（ ）
A. ab 1
B. a b 2
C. a2 b2 2
【答案】ACD 【解析】 【分析】
D. 1 1 2 ab
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江苏省南通市如皋市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.下列选择支中，可以作为曲线221y ax x =--与x 轴有两个交点的充分不必要条件是( ) A. ()1,-+∞ B. ()()1,00,-+∞C. ()1,0-D. ()2,-+∞2.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为35，在刮台风的条件下，下大雨的概率为910，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A. 23B.2750C.910D.3103.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量X ，男生的人数为变量Y ，则()()22P X P Y =+=等于( )A. 221020330C C C B. 221020330C C C + C. 211210201020330C C C C C + D.()()211210201020330C C C C C +⋅+4.（多选题）如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点，分别以HF ，EG 为x ，y 轴建立直角坐标系，设E R 与GR '､ER 与GT '分别交于1L ，2L ，ES 与GS '､ES 与GT '交于1M ，2M ，ET 与GT '交于点N ，则下列关于点1L ，2L ，1M ，2M ，N 与两个椭圆:1Γ:221169x y +=，2Γ:2231329x y +=的位置关系叙述正确的是( )A. 三点1L ，1M ，N 在1Γ，点2M 在2Γ上B. 1L ，1M 不在1Γ上，2L ，N 在1Γ上C. 点2M 在2Γ上，点1L ，2L ，1M 均不在2Γ上D. 1L ，1M 在1Γ上，2L ，2M 均不在2Γ上 5.某设备的使用年限x (单位:年)与所支出的维修费用y (单位:万元)如下表所示.已知y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为ˆ1yax =+，则实数a 的值为( ) X 2 3 4 5 6 Y 24667 A. 6 B. 4C. 2D. 16.已知过抛物线2y ax =(0a >)的焦点且垂直于x 轴的弦长度为2，则实数a 的值为( ) A. 4 B. 2C. 1D. 37.（多选题）若随机变量()~0,1N ξ，()()x P x φξ=≤，其中0x >，下列等式成立有( ) A.()()1x x φφ-=-B.()()22x x φφ=C. ()()21P x x ξφ<=- D. ()()2P x x ξφ>=-8.（多选题）在正三棱锥A - BCD 中，侧棱长为3，底面边长为2，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则下列命题正确的是( ) A. EF 与AD 所成角的正切值为32B. EF 与AD 所成角的正切值为23C. AB 与面ACD 所成角的余弦值为12D. AB 与面ACD 所成角的余弦值为799.已知a ，b 是平面α外的两条不同直线，它们在平面α内的射影分别是直线a '，b '(a '与b '不重合)，则下列命题正确的个数是( ) (1)若//a b ，则//a b ''； (2)若a b ⊥，则a b '⊥'； (3)若a b '⊥'，则//a b ； (4)若a b '⊥'，则a ⊥b . A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个10.在直角坐标系x o y 中，双曲线C :221169x y -=的右支上有一点P ，该点的横坐标为5，F 1、F 2是C 的左､右焦点，则12PF F △的周长为( ) A.452B. 18C.814D.35211.由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成五位没有重复数字的奇数个数为( ) A. 288 B. 360C. 480D. 60012.（多选题）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是( ) A. 这5个家庭均有小汽车的概率为2431024B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为2764C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为81128一、填空题 本大题共4道小题。
13.已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF 的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________． 14. 已知()()10292190121911x x xx a a x a x a x -+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则18a =______；6a =______.15.一个球的直径为2，则它的内接正四棱柱侧面积的最大值为______. 16.采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是______. 03 47 43 86 36 16 47 80 45 69 11 14 16 95 36 61 46 98 63 71 62 33 26 36 77 97 74 24 67 62 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 52 24 52 79 89 73二、解答题 本大题共6道小题。
17.农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外订购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；如果维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费；--位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务. 为此，他拟范收集､整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表:(1)如果农机手在购买收割机时购买了6次维修，在使用期内实际维修的次数为5次，这位农机手的花费总费用是多少?如果实际维修的次数是8次，农机手的花费总费用又是多少?(2)农机手购买了一台收制机，试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中，根据使用期内维修时花费的总费用期望值，帮助农机手进行决策. 18.已知椭圆E :22221x y a b+=(0a b >>)过点()2,1A ，且它的右焦点为).(1)求椭圆E 的方程；(2)过A 且倾斜角互补的两直线分别交椭圆E 于点B ､C (不同于点A )，且12AC AB =，求直线AB 的方程. 19.在直三棱柱ABC A B C '''-中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，12CC =，M ，N 分别是1AB ､1BC 上的点，且::1:2BM MA BN NC ==.(1)求证://MN 平面11ACC A ；(2)求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值. 20.为了了解居民消费情况，某地区调查了10000户小家庭的日常生活平均月消费金额，根据所得数据绘制了样本频率分布直方图，如图所示，每户小家庭的平均月消费金额均不超过9千元，其中第六组､第七组､第八组尚未绘制完成，但是已知这三组的频率依次成等差数列，且第六组户数比第七组多500户，(1)求第六组､第七组､第八组的户数，并补画图中所缺三组的直方图；(2)若定义月消费在3千元以下的小家庭为4类家庭，定义月消费在3千元至6千无的小家庭为B 类家庭，定义月消费6千元以上的小家庭为C 类家庭，现从这10000户家庭中按分层抽样的方法抽取80户家庭召开座谈会，间A ，B ，C 各层抽取的户数分别是多少? 21.如图，△ABC 是边长为3的正三角形，D ，E 分别在边AB ，AC 上，且1BD AE ==，沿DE 将ADE ∆翻折至A DE '∆位置，使二面角A DE C '--为60°.(1)求证:A C '⊥平面A DE '∆； (2)求四棱锥A BDEC '-的体积. 22.抛物线M :28y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线l (与x 轴不垂直)交抛物线M 于点A ，B ，A 关于x 轴的对称点为A 1.(1)求证:直线A 1B 过定点，并求出这个定点；(2)若A 1B 的垂直平分线交抛物线于C ，D ，四边形1A CBD 外接圆圆心N 的横坐标为19，求直线AB 和圆N 的方程.试卷答案1.C 【分析】先根据曲线221y ax x =--与x 轴有两个交点得到1a >-且0a ≠，再根据充分不必要条件的定义得解. 【详解】当a=0时，12x =-，曲线221y ax x =--与x 轴有一个交点；当a≠0时，因为曲线221y ax x =--与x 轴有两个交点， 所以=4+40,1a a ∆>∴>-.所以1a >-且0a ≠. 由于选择支是充分不必要条件，所以选择支对应的集合是()()1,00,-⋃+∞的真子集， 只有选项C 满足题意. 故选：C【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，考查二次函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2.B 【分析】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB ，由题得9(|)10P B A =，化简即得解. 【详解】设某地区每年七月份刮台风为事件A,设某地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB ，由题得39(),(|)510P A P B A ==, 所以9()()(|)=310()5P AB P AB P B A P A ==, 所以9327()10550P AB =⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3.C 【分析】求出(X 2),P(Y 2)P ==,即得解.【详解】由题得211210201020333030(2),(2)C C C C P X P Y C C ====, 所以(X 2)P(Y 2)P =+==211210201020330C C C C C +. 故选：C.【点睛】本题主要考查超几何分布概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4.AC【分析】求出1L 的坐标，证明1L 在1Γ上；求出2M 的坐标，证明点2M 在2Γ上.即得解. 【详解】由题得E （0，-3），R （1,0），所以直线ER 的方程为1,333yx y x +=∴=--. 由题得G （0,3），9(4,)4R '，所以9334416GR k '-==-， 所以直线GR '的方程为3316y x =-+， 联立13396135,(,)16515133y x L y x ⎧=-+⎪∴⎨⎪=-⎩,1L 的坐标满足椭圆1Γ:221169x y +=，所以1L 在1Γ上.由题得ES 的方程为1,32623x y x y +=∴-+=--. 由题得3(0,3),(4,)4G T ',所以3394,416GT k '-==- 所以直线GT '的方程为9316y x =-+， 联立直线ES 和GT '方程得23215(,)1111M ,23215(,)1111M 满足2Γ:2231329x y +=，所以点2M 在2Γ上.所以选项BD 错误.由于本题属于多项选择题，所以至少两个答案正确. 故选：AC【点睛】本题主要考查直线的交点的求法，考查点和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.D 【分析】先求出样本中心点，代入回归直线方程即得解. 【详解】由题得23456246674,555x y ++++++++====，所以样本中心点为（4,5）， 所以5=4a+1,所以a=1. 故选：D.【点睛】本题主要考查回归直线方程的样本中心点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.B 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出弦长即得解. 【详解】由题得抛物线的焦点坐标为(,0)4a ，当x=4a 时，所以2244a a y a =⨯=，所以|y|=2a所以弦长为2=22aa ⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.AC 【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，得到正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义()(x P x φξ=，0)x >，由此可解决问题． 【详解】随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，∴正态曲线关于0ξ=对称，()(x P x φξ=，0)x >，根据曲线的对称性可得：A.()()1()x x x φφξφ-=≥=-，所以该命题正确；B .(2)(2),2()2()x x x x φφξφφξ=≤=≤，所以()()22x x φφ=错误；C.(||)=()12()12[1()]2()1P x P x x x x x ξξφφφ<-≤≤=--=--=-，所以该命题正确；D.(||)(P x P x ξξ>=>或)=1()()1()1()22()x x x x x x ξφφφφφ<--+-=-+-=-，所以该命题错误． 故选：AC ．【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.BC【分析】如图所示，先找出EF 与AD 所成角再求解，再找出AB 与面ACD 所成角求解. 【详解】（1）设AC 中点为G ，BC 的中点为H ，连接EG 、FG 、AH 、DH ， 因为AE BE =，AG GC =，CF DF =， 所以//EG BC ，//FG AD ，所以EFG ∠就是直线EF 与AD 所成的角或补角， 在三角形EFG 中，1EG =，32FG =， 由于三棱锥A BCD -是正三棱锥，BC DH ⊥，BC AH ⊥，又因为,AH HD ⊂平面ADH ，AH DH H ⋂=，所以BC ⊥平面ADH ，AD ⊂平面ADH ，所以BC AD ⊥，所以EG FG ⊥，所以12tan 332EG EFG FG ∠===，所以A 错误B 正确.（2）过点B 作BO 垂直AF ，垂足为O .因为CD BF ⊥，CD AF ⊥，,,BF AF F BF AF =⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ，BO ⊂平面ABF ，所以CD BO ⊥，因为BO AF ⊥，,,AFCD F AF CD =⊂平面ACD ，所以BO ⊥平面ACD ，所以BAO ∠就是AB 与平面ACD 所成角. 由题得3,2,3BF AF AB ===，所以7cos 2122322122BAO ∠===⋅⋅所以C 正确D 错误. 故答案为：BC.【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9.B 【分析】（1）直接判断得解；（2）举出一个反例//a b ''即可判断错误；（3）举出一个反例，,a b 相交即可判断错误；（4）举出反例，a,b 不垂直即可判断错误. 【详解】(1)若//a b ，则//a b ''，是正确的；(2)若a b ⊥，则a b '⊥'是错误，因为a b 、''有可能平行或者相交；(3)若a b '⊥'，则a //b 是错误的，因为a,b 有可能相交、异面；(4)若a b '⊥'，则a ⊥b 是错误的，因为a,b 可能不垂直.故选：B【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10.A 【分析】 先求出29||4PF =，再利用双曲线的几何性质求出12PF F 的周长.【详解】由题得5c ==，因为P 点的横坐标为5,所以212PF F F ⊥,所以29||4PF =， 所以1941||+24=44PF =⨯， 所以12PF F ∆的周长为94145++10=442. 故选：A .【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11.A 【分析】根据题意，首先分析末位数字，易得末位数字可以为1、3、5，可得其取法数目，其首位数字不能为0，可得其取法数目，再选3个数字，排在中间，有34A 种排法，由分步计数原理，计算可得答案 【详解】根据题意，末位数字可以为1、3、5，有13A 种取法，首位数字不能为0，有14A 种取法，再选3个数字，排在中间，有34A 种排法，则五位奇数共有113344288A A A =， 故选：A ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，解题时注意题干条件对数的限制，其次还要注意首位数字不能为0，属于基础题． 12.ACD 【分析】利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解. 【详解】由题得小汽车的普及率为34， A. 这5个家庭均有小汽车的概率为53()4=2431024，所以该命题是真命题； B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为332531135()()44512C =,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为4455313()()()444C +=81128,所以该命题是真命题. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13.由题意设(),0F c ，相应的渐近线方程为b y x a =，根据题意得PF a k b =-，设,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入PF a k b =-得2a x c =，则2,a ab Pc c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则线段PF 的中点为21,22a ab c c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入双曲线方程得2211144a c a c a c ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即221111144e e e ⎛⎫⎛⎫+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22e =，∴e =.14. －9； 84 【分析】求出186,x x 的系数即得解.【详解】设()101x -的通项为1010110(1)rrr r T C x --+=-，令r=0,则010101110;T C xx ==令r=1,则1101991010(1)=10T C x x -=--，所以18a =()11+1109⨯⨯-=-；令r=4,则466510210;T C x x ==令r=5,则510555610(1)=252T C x x -=--， 令r=6,则644710210;T C x x ==令r=7,则710733810(1)=120T C x x -=--， 令r=8,则82291045;T C x x ==令r=9，则91091010(1)=10T C x x -=--，令r=10,则10011101;T C x ==所以621012521210112014511011184a =⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=. 故答案为： 9-； 84.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15.【分析】设底面正方形的边长为2x ，棱柱高为2y ，则棱柱侧面积16S xy =2．化简得2221x y +=，进而结合基本不等式可得S 的最值．【详解】设底面正方形的边长为2x ，棱柱高为2y ，则棱柱侧面积16S xy =． 正四棱柱为半径为R 的球的内接正四棱柱，∴2．即2221x y +=，由基本不等式得：22222x y xy +， 即2222xy ， 1642S xy ∴=，即内接正四棱柱的侧面积的最大值是故答案为：【点睛】本题考查的知识点是球的内接多面体和基本不等式，由基本不等式得到222xy 是解答的关键．16.20 【分析】利用随机数表写出依次选取的号码即得解.【详解】指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的号码依次是：16,11,14,26,24,20,27.所以第6个号码是20. 故答案为：20.【点睛】本题主要考查随机数表，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 17.(1)800元，1700元；(2)选订购7次维修较划算 【分析】（1）根据已知条件直接求出购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用，购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用；（2）先求出购买维修次数为6次和7次的总费用期望值，再帮助农机手进行决策.【详解】(1)购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为:610050550800⨯-+⨯=(元)；购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为:610050624001700⨯+⨯+⨯=(元).(2)购买6次维修时:实际维修次数为6次时的维修总费用为:6100650900⨯+⨯=(元)； 实际维修次数为7次时的维修总费用为:9004001300+=(元)； 实际维修次数为9次时的维修总费用为:17004002100+=(元). 综合(1)的计算，订购维修次数6次时的维修总费用概率分布表:()18000.39000.313000.217000.121000.11150E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)；若订购维修次数为7次时，维修总费用的概率分布表为:()28500.39500.310500.214500.118500.11080E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元).因为()()12E E ξξ>，所以选订购7次维修较划算.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18.(1)22182x y +=；(2)3240x y --=或640x y -+=【分析】(1)由条件知22226,411a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解方程即得解；（2）设直线AB :()12y k x -=-，利用弦长公式求出|AB|,|AC|，根据|AB|=2|AC|得解.【详解】(1)由条件知22226,411a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩. 解得:2282a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为:22182x y +=.(2)设直线AB :()12y k x -=-，将直线AB 的方程代入椭圆方程:22480x y +-=得:()2242180x k x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，即()()()2224280x x k x k ⎡⎤-++-+=⎣⎦，解得:2x =或2288241B k k x k --=+. 故2212241k AB k +=-=-=+. 同理:AC ==.因为2AB AC =，所以221241k k -=⨯+.化简得:21221k k +=-，解得:32k 或16， 所以直线AB 的方程为:()3122y x -=-或()1126y x -=- 即3240x y --=或640x y -+=.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 19.(1)见解析；(2)21【分析】（1）以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明//MN 平面11ACC A ；（2）利用向量法求平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.【详解】(1) 以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，()11,0,2A ，()10,1,2B ， 设()111,,M x y z ，因为123AM AB =，所以()()11121,,1,1,23x y z -=-， 故111124,,,333x y z ===得:124,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭. 同理求得220,,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12,0,33MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为()0,1,0CB =是平面11ACC A 的一个法向量， 且120010033CB MN ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯+⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以CB MN ⊥，又MN ⊄平面11ACC A ，所以//MN 平面11ACC A .(2)1112,,333B M ⎛⎫=--⎪⎝⎭，12,0,33MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 设平面1MNB 的--个法向量为(),,n x y z =，则1112033312033B M n x y z MN n x z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩即20,20,x y z x z --=⎧⎨+=⎩ 令1z =，则2x =-，4y =-，所以()2,4,1n =--. 又平面111A B C 的一个法向量为()10,0,2OC =， 设θ表示平面1MNB 与平面111A B C 所成锐二面角，则112cos 21n OC n OC θ-===⋅⋅. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 20.(1)第六､七､八组的户数分别是:1500户､1000户､500户，直方图见解析；(2)从A ，B ，C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户､48户､14户. 【分析】（1）设第六､七､八组的户数分别是x ，y ，z ，再通过已知求出它们即得解，再求出第六､七､八组的小矩形高度，补充完整频率分布直方图；（2）求出A 类家庭的频率之和、B 类家庭的频率之和、C 类家庭的频率之和，即得解.【详解】(1)设第六､七､八组的户数分别是x ，y ，z ，它们的频率之和为:()10.02520.050.150.200.250.30-⨯++++=， 所以这三组的户数之和为:100000.33000⨯=.由于这三组的频率依次成等差数列，所以x ，y ，z 也成等差数列，2y x z =+， 又3000x y z ++=，500x y -=，解得:1500x =，100y =，500z =. 所以第六､七､八组的小矩形高度分别为:15000.1510000=，10000.1010000=，5000.0510000=.补直方图(需注明第七组的小矩形高度为0.10，第六､八两组分别用虚线对应0.15和0.05.)(2)A 类家庭的频率之和为:0.0250.050.150.225++=； B 类家庭的频率之和为:0.200.250.150.60++=； C 类家庭的频率之和为:0.100.050.0250.175++=.故A ，B ，C 类家庭分别抽取的户数分别为:800.22518⨯=，800.648⨯=，800.17514⨯=. 答:(1)第六､七､八组的户数分别是:1500户､1000户､500户； (2)从A ，B ，C 三类家庭分别抽取的户数分别是18户､48户､14户.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21.(1)见解析；(2)78【分析】（1）先证明DE A C ⊥'和A C A E '⊥'，则A C '⊥平面A DE ∆'即得证； （2）先求出A H '和S 四边形BDEC ，即得四棱锥A BDEC '-的体积. 【详解】(1)在ADE ∆中，2AD =，1AE =，60DAE ∠=，所以222222cos 21221cos603DE AD AE AD AE DAE =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以2224DE AE AD +==，90AED ∠=，即DE AE ⊥，DE EC ⊥；翻折后，DE A E ⊥'，DE EC ⊥，又EA EC E '⋂=，EA '，EC ⊂平面A EC '，所以DE ⊥平面A EC '，且60A EC ∠='，又A C '⊂平面A EC '，所以DE A C ⊥'①；在A EC '∆中，1A E '=，2EC =，60A EC ∠='，与证明90AED ∠=同理可得:90EA C ∠='，所以A C A E '⊥'②；由于①②及A E DE E '⋂=，A E '，DE ⊂平面A ED '，所以A C '⊥平面A DE .(2)由(1)可知:DE ⊥平面A EC '，又DE ⊂平面BDEC ，所以平面BDEC ⊥平面A EC '.在平面A EC '内过A '作A H EC '⊥于H ，由于平面A EC '⋂平面BDEC EC =，A H '⊂平面A EC '，所以A H '⊥平面BDEC ， 又3sin60A H A E='='217321sin6024ABC ADE BDEC SS S ∆=-=-⨯⨯⨯=四边形 所以B 117338A BDEC DEC V S A H '-='=⋅=四边形. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.(1)见解析，定点()2,0-；(2)直线AB :20x -=，圆N :()()22192185x y -+±=【分析】(1)设直线AB :2my x =-(0m ≠)，求出1A B :()121121yy y y x x x x ++=--，令0y =即得定点坐标； （2）求出21y y -=±再分类讨论，先求出CD 方程为：)246y x m =--，再根据线段CD 是圆N 的直径，求出直线AB 和圆N 的方程.【详解】(1)设直线AB :2my x =-(0m ≠)，代入抛物线方程得:28160y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()111,A x y -，所以128y y m +=，1216y y =-，从而1A B :()121121y y y y x x x x ++=--，令0y =得: ()()()21122112121212122221622228my y my y m x y x y my y x y y y y y y m+++⨯-+===+=+=-+++， 所以直线1A B 过定点()2,0-.(2)由(1)知:()()()121212112=22A B y y y y k my my m y y ++=+-+-+， 且21y y -==±，当21y y -=时，1A B k =直线1AB :)2y x =+，设线段1A B 的中点为()00,E x y ，则()01212y y y =-+=所以200242x y m =-=+，所以(24E m +，从而CD:)242y x m -=--即)246y x m =--， 上述方程代入28y x =得:()()2222224646014x m x m m ⎡⎤-++++=⎢⎥+⎣⎦(*)，因为CD 是1A B 的垂直平分线，所以线段CD 是圆N 的直径，所以()2242462191C D x x m m ⎡⎤+=++=⨯⎢⎥+⎣⎦，解得:m =所以直线AB :20x ±-=.此时CD :236y x =-+，19x =时,2y =-，方程(*)化简为:2383240x x -+=，求得CD =圆N :()()22192185x y -++=；当21y y -=-AB :20x -=，圆N :()()22192185x y -+-=. 综上，直线AB :20x ±-=，圆N :()()22192185x y -+±=.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题，考查直线方程和圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。