中考数学专题复习 分类讨论思想
分类讨论
【知识要点】
分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
【历年考卷形势分析及中考预测】
1命题动态：
分类讨论思想是中考的必考内容，历年来，备受全国各省市命题者的青睐，题型多样，主要考察学生数学思维和逻辑推理能力，经常与分类讨论相关的题目有绝对值的化简与计算，三角形边角关系，等边三角形，实际问题以及动点问题中，难度系数较大，对学生能力要求很强，纵观广州近几年考卷，几乎都在动点问题和实际问题中，平均分值16分左右。
2 突破方法：
a .牢固掌握概念，掌握概念间的区别与联系。
b .动点问题中的分类讨论是难点，需要同学们认真、细致的分析运动过程，依据动点某时刻所处的位置，化动为静，再利用平面几何知识去处理。
c .实际问题主要是考察学生对数学的驾驭能力以及一些常识性问题，比如人数不能为小数，时间不能为负数等等。
【考点精析】
考点1. 许多定义，定理，公式是分类的。
例1. 化简
a
32a ---。
例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值
【举一反三】
1．化简：1x 2x --+
考点2. 某些运算和推理过程需要分类
例3. 已知0≠abc ，且,p b
a
c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过
A . 第一第二象限
B 第二第三象限
C 第三第四象限
D 第一第四象限
【举一反三】
1． 已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。
2．求a b c a
b
c
+
+
的值。
考点3. 题设条件不确定要分类
例4.（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点． 已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三．．． 角形．．
，则点C 的个数是 A ．6 B ．7
C ．8
D ．9
例5.（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,328,x y x y =⎧⎨+=⎩
则此等
腰三角形的周长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．5或4
例6（06黄冈）. 已知圆中两条平行弦长分别为10和24，圆的半径为13，求这两条平行弦间的距离。
例7、（2007广州，12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠。
甲班有56名学生，乙班有54名学生。
（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？
（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？
B A
第8题图
【举一反三】
1、（2004年上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
2．（2010·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．65°或50°
D ．50°或80°
3.( 2010•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ）
A ．9cm
B ．12cm
C ．15cm
D ．12cm 或15cm
考点4.题中含有参数
例8. 解关于x 的方程0a ax 2x )1a (2
=+--。
例9 已知直线b kx y +=不经过第三象限，则下列结论正确的是---------------（ ）
A ．0b ,0k >>
B 。
0b ,0k ><
C 。
0b ,0k <<
D 。
0b ,0k ≥<
【举一反三】 1：关于x 的方程22
(21)10k x k x
+-+=有实数根，则k 的取值范围是（）
A ．4k ≤
B .104k k ≤
≠或 C .k <14 D . k ≥1
4
2：关于x 的方程（a -1）x 2+x + a 2
-1=0的一个根是0，则a 的值为（）
A ．1
B . -1
C . 1或-1
D . 1
2
3.（2010安徽芜湖）关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5 4．已知关于x 的方程
,1
x m
1x 11x 1x 2-=--+-求m 为何值时，
方程有两个不相等的实数根。
考点5.图形运动变化过程中可能产生诸多情况，需要分类。
例10.（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作
直线y＝－1
2
x＋b交折线OAB于点E ．
（1）记△ODE
的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
C
D B
A
E
O
例11.（2009广东广州，25，14分）如图13，二次函数的图
象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
)0(2
<++=p q px x y 4
5
【举一反三】
1.（2010年云南楚雄州）已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A5C作⊙A的切线交x于点B（－4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由。
2．（2009年深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？。
中考数学压轴题的常见类型与解题思路
2021年3期210中考数学压轴题的常见类型与解题思路熊良斌（湖北省武汉市旭光学校，湖北 武汉 430074）一、分类讨论思想数学知识之间存在着紧密联系，知识与知识间形成一个知识网络体系或知识框架，在复习教学中教师应把相应的知识章节看作一个整体，帮学生理顺知识体系，让学生能够理解相互之间依存关系所在。
以几何知识为例，初中数学教学中，几何知识涵盖了诸多图形知识，且在中考压轴题中较为常见，在探究数学几何问题中，依托分类讨论思想，不仅可以改善薄弱分析环节，也是帮助学生多视角、多维度感知几何图形知识的真知灼见，帮助学生提高压轴题解题效率。
例如：已知一个直角三角形的边长为4和6，求另一边。
从表面看，这道例题较为简单，但诸多学生考虑的不够全面，在这道题中没有交代这两边是斜边长还是直角边长。
如基于这两种情况进行探究解题：一是斜边长为6，直角边长为4：二是直角边长为4、6。
基于数学本质而论，分类讨论思想是一种较为高效的数学思想。
二、符号化和化归思想符号化是初中数学代数中的重要思想方法，初中数学教师在代数教学中应重视培养符号化思想，在教学过程中，应首先让学生认识到引进字母的意义。
以“有理数”教学为例，教师可以通过两个不同意义的数来说明“+”与“-”所表示的两个相反量的意义。
化归思想更多的是一种解决问题的策略，在数学问题的解决上有非常重要的意义和作用。
化归思想即把一个复杂的数学问题通过有效地化解和归纳转化为几个简单问题，从而更轻松简单地解答出答案。
初中数学教师在应用题教学中，可以让学生首先掌握纵向化归和横向化归两种思路，让学生明白纵向化归即将问题整体看作一些互相关联的分问题组，找到问题关键思路，逐个击破，而横向化归思路偏向是将问题划分成相互独立的小问题，独立解决，让问题简单化提高解题效率。
三、辩证思想众所周知，辩证思想广泛运用于不同的学科领域当中，是学术知识探讨和学术问题解决的一个基本思想方法。
中国古代“祸福相倚”的故事传说，就充分体现了对立统一转化的辩证思想。
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
中考数学专题复习分类讨论经典例题
以OE为半径画弧EF．P是EF上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点2018(上)NS数理推演拓展11专题复习（二）分类思想姓名___________班级___________一．基础练习1．半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（）A．10B．430C．10或430D．10或216512．若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）2A、0B、0或2C、2或﹣2D、0，2或﹣23．如图，在平面直角坐标系x Oy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．如图，矩形A BCD中，AB=4，BC=43，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2B．3C．4D．55．如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，⌒P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若BGBM=3，则BK=_______．6．如图，在△Rt ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB＝43．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=_______；（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=____________时，⊙C与直线AB相切．7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B （-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形O′A′B′C′，此时直线OA′、直线′B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP=12BQ，则点P的坐标为_______．8．已知实数a，b满足a-b=1，a2-ab+2>0，当1≤x≤2时，函数y=a(a≠0)的最大值与最小值之差是1，求a的值。
分类讨论型问题-中考数学总复习讲义练习
第36讲 分类讨论型问题(建议该讲放第21讲后教学)类型一 由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论例1(2016·南通模拟)矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为()A．3cm2B．4cm2C．12cm2D．4cm2或12cm2【解后感悟】解此题的关键是求出AB＝AE，注意AE＝1或3不确定，要进行分类讨论．1．(1)若关于x的函数y＝kx2＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为____________________．(2)已知平面上有⊙O及一点P，点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm.(3)若|a|＝3，|b|＝2，且a＞b，则a＋b＝()A．5或－1 B．－5或1 C．5或1 D．－5或－1类型二在一个动态变化过程中，出现不同情况引起的讨论例2为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【解后感悟】本题是房款＝房屋单价×购房面积在实际生活中的运用，由于单价随人均面积而变化，所以用分段函数的解析式来描述．同时建立不等式组求解，解答本题时求出函数解析式是关键．2．(1)在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点，若直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象有2个公共点，则b 的取值范围是( )A ．b>2B ．－2<b<2C ．b>2或b<－2D ．b<－2 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t(秒)，下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是( )3．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．类型三 由三角形的形状、关系不确定性引起的讨论例3 (2017·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx(k ＞0)分别交反比例函数y ＝1x 和y ＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1x 的图象于点C ，连结AC.若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．【解后感悟】解题的关键是用k 表示点A 、B 、C 的坐标，再进行分类讨论．4．(1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，3)，M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8(2) (2016·北流模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝6，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使△ABC 和△QPA 全等，则AP ＝ .(3) (2016·临淄模拟)如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 边上的动点，N 在CD 上，且CN ＝14CD ，若AB ＝1，设BM ＝x ，当x ＝ 时，以A 、B 、M 为顶点的三角形和以N 、C 、M 为顶点的三角形相似．类型四由特殊四边形的形状不确定性引起的讨论例4(2017·鄂州模拟)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝8cm，AD＝16cm，BC＝22cm，∠ABC＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C 同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？(3)四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度(匀速运动)，使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．【解后感悟】解本题的关键是用方程(组)的思想解决问题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意分类讨论及数形结合．5．(1)(2016·盐城模拟)在平面直角坐标系中有三点A(1，1)，B(1，3)，C(3，2)，在直角坐标系中再找一个点D，使这四个点构成平行四边形，则D点坐标为.(2)(2016·江阴模拟)如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t(s)，当t＝s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．(3) (2016·金华模拟)如图，B(6，4)在函数y ＝12x ＋1的图象上，A(5，2)，点C 在x 轴上，点D 在函数y ＝12x ＋1上，以A 、B 、C 、D 四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D 点的坐标 .(4)(2016·萧山模拟)已知在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 、D 的坐标依次为(－1，0)，(m ，n)，(－1，10)，(－7，p)，且p ≤n.若以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是菱形，则n 的值是 .类型五 由直线与圆的位置关系不确定性引起的讨论例5 如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝10cm ，射线PN 与⊙O 相切于点Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm /s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm /s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t(s )．(1)求PQ 的长；(2)当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？【解后感悟】本题是直线与圆的位置关系应用，题目设置具有创新性．解决本题的关键是抓住直线与圆的两种情况位置关系，及其对应数量关系进行分析．6．(2016·泗洪模拟)如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 .【压轴把关题】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(－3，0)，(0，6)，动点P从点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝1，过点F作MN⊥PE，截取FM＝2，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部(不包括边界)时，直接写出S的取值范围．【方法与对策】本题是四边形的综合题，对于第(3)题解题的关键是正确分几种不同情况求解．①当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N 在CE 边上时，由△EFN ∽△EOC 求解；②当1≤t ＜94时和当92＜t ≤5时，分别求出S 的取值范围．这种双动点型、分类讨论问题是中考命题常用的策略．【分类讨论应不重复、不遗漏】在△ABC 中，P 是AB 上的动点(P 异于A ，B)，过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A ＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有________条．参考答案第36讲 分类讨论型问题【例题精析】例1 ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AB ＝AE ，①当AE ＝1cm 时，AB ＝1cm ＝CD ，AD ＝1cm ＋3cm ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是1cm ×4cm ＝4cm 2；②当AE ＝3cm 时，AB ＝3cm ＝CD ，AD ＝4cm ＝BC ，此时矩形的面积是：3cm ×4cm ＝12cm 2；故选D .例2 (1)由题意，得三口之家应缴购房款为：0.3×90＋0.5×30＝42(万元)； (2)由题意，得①当0≤x ≤30时，y ＝0.3×3x ＝0.9x ；②当30＜x ≤m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3×(x －30)＝1.5x －18；③当x ＞m 时，y ＝0.9×30＋0.5×3(m －30)＋0.7×3×(x －m)＝2.1x －18－0.6m.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.9x （0≤x ≤30）1.5x －18（30<x ≤m ）2.1x －18－0.6m （x>m ）(45≤m ≤60)． (3)由题意，得①当50≤m ≤60时，y ＝1.5×50－18＝57(舍)．②当45≤m ＜50时，y ＝2.1×50－0.6m －18＝87－0.6m.∵57＜y ≤60，∴57＜87－0.6m ≤60，∴45≤m ＜50.综合①②得45≤m ＜50.例3 ∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x ，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为⎝⎛⎭⎫3k ，3k ，点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x ，解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，k ，∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k，纵坐标为13k＝k3，∴点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，k 3，∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋（3k －k ）2＝3k －k 3，解得：k ＝377；②AC ＝BC ，则⎝⎛⎭⎫3k －1k 2＋⎝⎛⎭⎫k 3－k 2＝3k －k 3，解得：k ＝155；故答案为k ＝377或155.例4 (1)∵∠ABC ＝90°，AP ∥BQ ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 成为矩形，由运动知，AP ＝t ，CQ ＝3t ，∴BQ ＝22－3t ，∴t ＝22－3t ，解得t ＝112.∴当t ＝112时，四边形ABQP成为矩形； (2)当P 、Q 两点与A 、B 两点构成的四边形是平行四边形时，就是(1)中的情形，此时t ＝112.当P 、Q 两点与C 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，∵PD ∥QC ，∴当PD＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形．此时，16－t ＝3t ，t ＝4；当P 、Q 两点与B 、D 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，16－t ＝22－3t ，t ＝3；当P 、Q 两点与A 、C 两点构成的四边形是平行四边形时，同理，t ＝3t ，t ＝0，不符合题意；故当t ＝112或t ＝4或t ＝3时，以点P 、Q 与点A 、B 、C 、D 中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形PBQD 不能成为菱形．理由如下：∵PD ∥BQ ，∴当PD ＝BQ ＝BP 时，四边形PBQD 能成为菱形．由PD ＝BQ ，得16－t ＝22－3t ，解得t ＝3，当t ＝3时，PD ＝BQ ＝13，AP ＝AD －PD ＝16－13＝3.在Rt △ABP 中，AB ＝8，根据勾股定理得，BP ＝AB 2＋AP 2＝64＋9＝73≠13，∴四边形PBQD 不能成为菱形；如果Q 点的速度改变为v cm /s 时，能够使四边形PBQD 在时刻t s 为菱形，由题意得，⎩⎨⎧16－t ＝22－vt ，16－t ＝64＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝6，v ＝2.故点Q 的速度为2cm /s 时，能够使四边形PBQD 在某一时刻为菱形．例5 (1)连结OQ ，∵PN 与⊙O 相切于点Q ，∴OQ ⊥PN ，即∠OQP ＝90°.∵OP ＝10，OQ ＝6，∴PQ ＝102－62＝8(cm )． (2)过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C.∵点A 的运动速度为5cm /s ，点B 的运动速度为4cm /s ，运动时间为t s ，∴PA ＝5t ，PB ＝4t.∵PO ＝10，PQ ＝8，∴PA PO ＝PB PQ ＝t2.∵∠P ＝∠P ，∴△PAB ∽△POQ ，∴∠PBA ＝∠PQO ＝90°.∵∠BQO ＝∠CBQ ＝∠OCB ＝90°，∴四边形OCBQ 为矩形，∴BQ ＝OC.∵⊙O 的半径为6，∴BQ ＝OC ＝6时，直线AB 与⊙O 相切．①当AB 运动到如图1所示的位置时，BQ ＝PQ －PB ＝8－4t ，由BQ ＝6，得8－4t ＝6，t ＝0.5.②当AB 运动到如图2所示的位置时，BQ ＝PB －PQ ＝4t －8，由BQ ＝6，得4t －8＝6，t ＝3.5.综上，当t ＝0.5s 或3.5s 时，直线AB 与⊙O 相切．【变式拓展】1．(1)0或－1 (2)4或2 (3)C 2.(1)C (2)D3．根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8.分类讨论：①n ＝8时，易得A(－6，0)，如图1，∵抛物线经过点A 、C ，且与x 轴交点A 、B 在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a ＜0，∵AB ＝16，且A(－6，0)，∴B(10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2，要使y 1随着x 的增大而减小，∵a ＜0，∴x ≥2；②n ＝－8时，易得A(6，0)，如图2，∵抛物线过A 、C 两点，且与x 轴交点A ，B 在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a ＞0，∵AB ＝16，且A(6，0)，∴B(－10，0)，而A 、B 关于对称轴对称，∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2，要使y 1随着x 的增大而减小，且a ＞0，∴x ≤－2.4．(1)C (2)6或12 (3)12或455.(1)(3，0)或(－1，2)或(3，4) (2)2或6 (3)(2，2)或(－6，－2)或(10，6) (4)2，5，186.(6，2)或(－6，2)【热点题型】【分析与解】(1)∵OB ＝6，C 是OB 的中点，∴BC ＝12OB ＝3.∴2t ＝3，即t ＝32s .∴OE ＝32＋3＝92，E(92，0)． (2)如图1，连结CD 交OP 于点G ，在▱PCOD 中，CG ＝DG ，OG ＝PG ，∵AO ＝PE ，∴AG ＝EG .∴四边形ADEC 是平行四边形． (3)①(Ⅰ)当点C 在线段BO 上时，第一种情况：如图2，当点M 在CE 边上时，∵MF ∥OC ，∴△EMF ∽△ECO.∴MF CO ＝EF EO ，即26－2t ＝23＋t，解得t ＝1.第二种情况：如图3，当点N 在DE 边时，∵NF ∥PD ，∴△EFN ∽△EPD.∴FN PD ＝EF EP 即16－2t ＝23，解得t ＝94.(Ⅱ)当点C 在BO 的延长线上时，第一种情况：如图4，当点M 在DE 边上时，∵MF ∥PD ，∴EMF ∽△EDP.∴MF DP ＝EF EP 即22t －6＝23，解得t ＝92.第二种情况：如图5，当点N 在CE 边上时，∵NF ∥OC ，∴△EFN ∽△EOC.∴FN OC ＝EF EO 即12t －6＝23＋t ，解得t ＝5.综上所述，所有满足条件的t 的值为1，94，92，5.②278＜S ≤92或272＜S ≤20.【错误警示】当PD∥BC时，△APD∽△ABC，当PE∥AC时，△BPE∽△BAC，连结PC，∵∠A＝36°，AB＝AC，点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝PC，∠ABC＝∠ACB ＝72°，∴∠ACP＝∠PAC＝36°，∴∠PCB＝36°，∴∠B＝∠B，∠PCB＝∠A，∴△CPB ∽△ACB，故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故答案为：3.。
分类讨论型问题
中考数学专题复习——分类讨论问题在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。
正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
代数计算中的分类讨论（数学公式、性质引起的分类讨） 定义型23ax 4a x-3x 9x 3+==-+无解，则性质型：2.一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）A ．14B ．－6C ．－4或21D ．－6或14含参型：3．若关于x 的函数y=k 2x ＋2x －1与x 轴仅有一个公共点，则实数k 的值为 ．4．已知关于 x 的方程01)32(22=++--k x k x ．⑴ 当k 为何值时，此方程有实数根；⑵ 若此方程的两实数根x 1，x 2满足12||||3x x +=，求k 的值．三角形、圆等几何图形中的分类讨论母题：在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,P k,(有k个就标到P K为止,不必写出画法)跟踪练习：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 .例；如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（﹣4，0），点F与原点重合（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．练习：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y 轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．达标练习：1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8．动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．2．如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
2013中考数学专题复习：分类讨论 课件
AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位 长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当 点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求 B Q P 的正切值； （3）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等 腰三角形？ (4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存 在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。
OBQ
Ｐ
Ａ Ｏ
图１ Ｅ
Ｄ
AP 2 t 21， BQ 16 t 2 ( 2 t 21 ) 16 t , t 58 5
Ｂ Ｑ 图２
Ｃ
过点 Q 作 QE AD ，垂足为 E ， PD 2 t , ED QC t , PE t , 在 Rt PEQ 中，tan QPE tan BQP 30 29 QE PE 12 t 30 29 , BQP QPE ,
2
2
③ 若 PB PQ ，由 PB
整理得： 3 t
2
PQ 得： t
2
2
12 16 3
2
(16 2 t ) 12 ,
2 2
64 t 256 0 , 解得， t 1 当t 7 2
, t 2 16 ( 不符合题意，舍去） 16 3 秒时，以 B 、 P 、 Q 三点为顶点的
1 3
3
3
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（1 3
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
中考数学专题复习：分类讨论题
中考数学专题复习：分类讨论题中考数学专题复：分类讨论题直线型分类讨论直线型分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题。
这些问题中，等腰三角形顶角度数和三角形高的长度是重要的考点。
例如，对于一个等腰三角形，如果其中一个角度数为50°，则需要分类讨论这个角是顶角还是底角。
如果这个角是顶角，则可以通过求解另外两个角的度数得到顶角的度数；如果这个角是底角，则可以通过计算底角的度数来得到顶角的度数。
因此，顶角可能是50°或80°。
同样地，在解决三角形高的问题时，也需要分类讨论。
例如，如果一个三角形的底边和斜边长度已知，需要求解这个三角形的高的长度，则需要分类讨论这个高是否在三角形内部。
如果高在三角形内部，则可以利用勾股定理和相似三角形的性质求解高的长度；如果高在三角形外部，则可以利用平移和相似三角形的性质求解高的长度。
圆形分类讨论圆形分类讨论主要是解决圆的有关问题。
由于圆是轴对称图形和中心对称图形，因此在解决圆的问题时，需要注意分类讨论，以避免漏解。
例如，对于一个直角三角形，如果以直角为圆心画圆，则这个圆与斜边只有一个公共点。
这个问题可以分类讨论，分别考虑圆与斜边相切和圆与斜边相交的情况，从而得到圆的半径的取值范围。
函数方程分类讨论函数方程分类讨论主要是解决复杂的函数方程和方程组的问题。
在解决这些问题时，需要注意分类讨论，以避免遗漏解或得到错误的解。
例如，对于一个函数方程，如果该方程在某个区间内有多个解，则需要分类讨论这些解的性质，例如它们是否为连续函数、是否为单调函数等等。
从而可以得到方程的解的取值范围。
总之，分类讨论是解决数学问题的重要方法之一，尤其适用于复杂的问题。
在进行分类讨论时，需要认真分析问题，将问题分成若干个互不重叠的情况，并对每种情况进行单独的讨论和求解。
本题涉及到函数的分类讨论和解析式的求解，同时也需要注意特殊点的情况。
2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情 况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这 种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想 方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12， 设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时， 两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h； 与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】： 当 m 4 时， t h， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意； 当 m 时， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时
2025年河北省中考数学提分专项训练++专项+分类讨论思想在圆中的课件
类型5 动态问题引发的分类讨论
6.[2024石家庄校级月考] 如图，已知直线l的 表达式是y = 4 x − 8，并且与x轴、y轴分别交
3
于A，B两点.一个半径为3的⊙ C，圆心C从点
(0,3)开始以每秒2个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当
⊙ C与直线l相切时，⊙ C运动的时间为( A )
A.3 s或8 s
∴ 四边形QHCD是矩形.∴ HQ = CD = 12，
HQ//CD.
又∵
点O′是EF′的中点，∴
O′Q=Βιβλιοθήκη 1 2DE.∵ DE = DC − CE = 12 − 2 = 10，∴ O′Q = 5.
易知半圆O′的半径为6，
∴ MH = HQ − QO′ − O′M = 12 − 5 − 6 = 1，
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4.已知⊙ O的直径为6 cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距 离为3 cm，求直线l与⊙ O的位置关系. 【解】∵⊙ O的半径= 6 = 3(cm)，且直线l上存在一点到圆心
2
O的距离为3 cm， ∴ 直线l与⊙ O至少有一个交点. 当⊙ O与直线l有且只有一个交点时，直线l与⊙ O相切； 当直线l与⊙ O有两个交点时，直线l与⊙ O相交. ∴ 直线l与⊙ O的位置关系是相切或相交.
∵ ∠AOP = 45∘ ,∴ 点P的横、纵坐 标相等.可设P(a, a). ∵ ∠AOB = 90∘ ,∴ AB是直径. ∴ Rt △ AOB外接圆的圆心为AB的中 点. 设AB的中点为C，则C( 3, 1).
过点P作PE ⊥ OA于点E，过点C作 CF//OA，交PE于点F，连接PC. 易得∠CFP = 90∘ ,PF = a − 1， CF = a − 3，PC = 2. ∴ 在Rt △ PCF中， (a − 3)2 + (a − 1)2 = 22，解得 a1 = 3 + 1，a2 = 0（舍去）.