奥数-绝对值-第4讲师

第四讲 绝对值

一、基础知识

●

绝对值的定义与性质（注意它的非负性）

定义：绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 绝对值的定义用公式表示为：(0)0(0)(0)

a a a a a a >??==??-

性质： ① 非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③|b a |=|

|||b a （b ≠0）； ④2

22||||a a a ==；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.

● 绝对值的几何意义

一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 ①) a 表示a 点到0点的距离

②) a b -表示a 点到b 点的距离

③) a b +表示a 点到-b 点的距离

● 分类讨论思想（零点分段法）

利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。 例 设a 是有理数，求a a +的值

二、例题

第一部分 定义和性质

例1. 若a,b 为有理数，那么，下列判断中：

（1）若|a|=b ，则一定有a=b ； (2)若|a|>|b|，则一定有a>b ； (3)若|a|>b,则一定有|a|>|b|； (4)若|a|=b ，则一定有22)(b a -=。正确的是________。（填序号）

解：（4）

例2. 已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=_______．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

(2)已知a 、b 、c 、d 是有理数，|a-b|≤9，|c-d|≤16，且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|-|d-c|=_______． (第14届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 (1)由已知条件求出a 、b 、c 的值，注意条件a>b>c 的约束；2或0；(2)若注意到9+16=25这一条件，结合绝对值的性质。问题可获解．-7

例3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么|

|||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．

A ．0

B ．1或一1

C ．2或一2

D ．0或一2

(2003年山东省竞赛题)

思路点拨 根据a 、b 的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． A 例4. 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式

)

2002)(2002(1)2)(2(1)1)((11+++++++++b a b a b b a ab 的值. 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a 、b 的值．

20032004

例5. 已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，那么m n +的值为多少？

解：2或3或5或6

例6. 已知|11-x |+|22-x |+|33-x |+…+|20022002-x |+|20032003-x |=0,求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值。

解：6

第二部分 几何意义

例7. 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值

解：当2x ≤-时，取最大值为5；当2x =时，取最小值为-3

例8. 设a b c <<，求y x a x b x c =-+-+-的最小值

例9. 设a b c <<，求y x a x b x c =-+-+-的最小值

解：c-a

例10. 已知1996y x a x x a =-+++--，如果1996a <<，96a x ≤≤，那么y 的最大值是

多少？

解：当x=96时，y 取最大值211

例11. 已知a 为有理数，那么代数式|a-1|+|a-2|+|a-3|+|a-4|的取值有没有最小值?如果有，试求

出这个最小值；如果没有，请说明理由．

思路点拨 a 在有理数范围变化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉,为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值． 解：当a=2时，最小值为4。

第三部分 化简（零点分段法、讨论思想）

例12. 化简

(1)|2x-1|；

(2)|x-1|-|x-3|；

(3)||x-1|-2|+|x+1|．

思路点拨 (1)就2x 一1≥0，2x 一1

解：（1）原式=121(x>=)211-2x(x<)2x ?-??????；（2）原式=42(1)2(13)24(3)x x x x x -=?；（3）原式=22(1)22(11)4(13)22(3)

x x x x x x x --<-??+-<==? 例13. 化简121x x --++

解：原式22,(1)22,(11)4,(13)22,(3)

x x x x x x x --<-??+-≤

解：4

第四部分 解方程

例15. 解方程 1、4329x x +=+

2、324x x -+=

解：1，x=3或x=-2；2，x=1或x=-1.5

例16. 解下列方程

1、4835x x +-=

2、33258x x x +--=+

解：1，无解；2，133

x =- 三、练习题

1. 若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求

2x y x y +-的值 解：-1000

2. a 与b 互为相反数，且|a-b|=54,那么。________1

2=+++-ab a b ab a 解：425

3. 已知|a|=5,|b|=3,且|a －b|=b-a,那么a+b=________.

解：-2或-8

4. 已知a 是任意有理数，则|-a|-a 的值是( )．

A.必大于零

B.必小于零 C ．必不大于零 D ．必不小于零

解：D

5. 若x<-2,则|1-|1+x||=______；若|a|=-a,则|a-1|-|a-2|=________。

解：-2-x ；-1

6. 已知5434x x -≤-，求13x x --+的最大值与最小值

解：当3x ≤时，取最大值为4；当79x =时，取最小值为329- 7. 已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______ 解：19

-

8. 已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，-1，那么|a+1|表示( )．

A. A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离

C. A 、B 两点到原点的距离之和 D ．A 、C 两点到原点的距离之和

(第15届江苏省竞赛题)

解：D

9. 设a b c d <<<,求y x a x b x c x d =-+-+-+-的最小值

解：（d-a ）+ （c-b ）

10. 解方程 23143x x x +--=-

解：零点分段法，x=7/3

11. 化简523x x ++- 解：原式32,(5)38,(5)2332()2

x x x x x x ??--<-??=-+-≤

（1）|3x-2|+|2x+3|； （2）||x-1|-3|+|3x+1|.

解：（1）原式=51( 1.5)25( 1.5)3251()3x x x x x x ??--<-??-+-<==??；（2）原式=43(2)121(2)3143(1)325(14)43(4)x x x x x x x x x x --<-???-+-<=<-???+-<==???

补充题

13. 设a+b+c=0，abc>0,则||||||c b a b a c a c b +++++的值是( ) A ．-3 B ．1 C.3或-1 D ．一个与p 有关的代数式

(第11届“希望杯”邀请赛试题)

解：B

14. 若a 、b 、c 为整数，且|a-b|19+|c-a|99=1,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值．

解：2

15. 已知1x ≤，试求22x x --+的最大值和最小值

解：当2x ≤-时，有最大值4；当2x ≥时，有最小值-4

16. （同步，P120）（第10届，希望杯）已知0a 4≤≤，那么|a 2||3a |-+-的最大值等于（ ）

A 1

B 5

C 8

D 3

17. 若有理数x 、y 满足20022)1(-x +|x-12y+1|=0,则=+22y x ________.

解：3736

18. 若|a+b+1|与(a-b+1)2互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．

A.a>b

B.a=b C ．a

解：C

第五部分 杂题

19. 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．

分析与解 要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有

｜4-5x ｜=4-5x 且｜1-3x ｜=3x-1． 故x 应满足的条件是

此时

原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4

=7．

20. 求满足|a-b|+ab=1的非负整数对(a ，b)的值．

(全国初中联赛题)

解：（a,b ）=(1,0),(0,1),(1,1)提示：||1||001

a b a b or ab ab -=-=????==?? 21. 设a 、b 、c 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a ≤b≤c，则|a-b|+|b-c|+|c-a|可能取得的最大值是________．

(第15届江苏省竞赛题)

解：16

22. 使代数式x

x x 4|||3|-的值为正整数的x 值是( )． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的

解：D

23. 已知abcde 是一个五位数，其中a 、b 、c 、d 、e 是阿拉伯数字，且

a

解：分情况讨论如下：（1）当a b c d e <<<<=时，原式=e-a ，最大值为8

（2）当,a b c d d e <<<>时，原式=2d-a-e ，最大值为17 。

总之，17

课外小故事

将军打靶

----何必靶靶十环

一次，一名将军观摩麾下军队的射击训I 练。当他看到士兵们射击训练的状况后，摇了摇头。这时大家纷纷要求将军做一下示范，将军欣然应允。

第一枪清脆有力，然而报靶士兵却高声喊道：“八环!”整个靶场的空气在瞬间似乎都紧缩了一下，只有将军本人不露声色。毕竟将军年事已高，偶尔一靶失常也是可以理解的，于是人们依旧屏息等着下一枪。谁想，后几枪并没有改善，最好的也就八环，甚至还有几枪几乎都快脱靶了!于是现场的官兵们在惊骇的同时开始骚动不安，各种风凉话也开始涌动起来，甚至可以隐隐听到讥笑声。将军依旧一言不发。 但就在这时，一名眼尖的士兵突然失声叫道：“看呐!将军的靶眼连起来，不正是一个标准的正五角星吗?”众皆愕然。良久，整个靶场终于爆发出了经久不息的掌声。

绝对值是初一代数中一个重点内容，它是一种新的运算符。很多同学对于求解绝对值问题感到很繁琐，这主要是因为求解绝对值问题涉及到了一个重要的数学思想——分类讨论。分类讨论在数学分析中是经常遇到的，今天我们通过对绝对值的化简、求方程根、解不等式、分析极值等来练习分类讨论，一定要熟练掌握！为今后利用分类讨论思想解题打下基础。