论-反比例函数图象的坐标特征k=xy与比例系数k的面积几何性质
第14讲 反比例函数的性质及其图象
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函 数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或 图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析 式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四 边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一 元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是 解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是 没有实数根 ．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第 一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
2024九年级数学下册第26章用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关的应用课件新版新人教版
【解】∵直线 AB 交 y 轴于点 C，∴点 C(0，2)， ∴S 四边形 COMN＝S△OMN＋S△OCN＝32＋12×2×t. ∵S 四边形 COMN>3，∴32＋12×2×t>3，∴t＞32.
【点方法】 当反比例函数图象中的几何图形的面积无法直接
求出时，可将其转化为与比例系数k相关的矩形或直 角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算．
在 Rt△ ACE 中，CE＝ AC2－AE2＝3， ∴OE＝8，∴A(8，4)，∴k＝4×8＝32， ∴反比例函数的解析式为 y＝3x2. 将 A 和 C 的坐标代入一次函数解析式中， 得85aa＋＋bb＝＝40，，解得ab＝ ＝－43，230. ∴一次函数的解析式为 y＝43x－230.
(2)请直接写出不等式 ax＋b>kx的解集. 【解】不等式 ax＋b＞kx的解集为 x>8 或－3<x<0.
(2)若y轴上有一点C(0，n)，△ABC的面积为4，求点C的 坐标. 【解】解方程组yy＝＝2x2，x，得xy11＝＝21，，xy22＝＝－－21.， ∴点 B 的坐标为(－1，－2)．
如图，过点 A，B 分别作 y 轴
的垂线，垂足分别为 E，F，
∵A(1，2)，B(－1，－2)，C(0，n)， ∴AE＝BF＝1，OC＝|n|. ∵S△ ABC＝S△ AOC＋S△ BOC＝4， ∴12OC·AE＋12OC·BF＝4， 即|n|×1＋|n|×1＝8，∴|n|＝4，∴n＝±4， ∴点 C 的坐标为(0，4)或(0，－4)．
【点方法】 一次函数与反比例函数常常放在一起考查，所以
要牢牢掌握它们各自的性质与图象特征，综合考虑， 解题时要关注两种函数图象的交点.
5 [2023·乐山]如图，一次函数 ym，4)，与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C(0，3).
反比例函数的定义图象及性质
【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 反比例函数的定义．2. 反比例函数的图象和性质．二. 知识要点： 1. 反比例函数（1）一般地，形如y ＝kx （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数．其表达式也可以写成y ＝kx －1，有时利用变形式子xy ＝k ．（2）确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y ＝kx 中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定解析式． 2. “反比例关系”与“反比例函数”的异同 如果xy ＝k （k 是常数，k ≠0），那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x 、y 既可代表单独的一个字母，也可代表多项式或单项式，成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如y －3＝k z ＋2中，y －3与z ＋2成反比例，但y 与z 不是反比例函数；又如y ＝2x 2中，y 与x 2成反比例，但y ，x 不是反比例函数，但反比例函数y ＝kx （k ≠0）中的两个变量必成反比例关系．3. 反比例函数的性质和图象（1）反比例函数的图象的形状是双曲线，它不是连续的整体图形，而是断开的两个独立的分支，它无限接近两坐标轴但永远也不能到达坐标轴．（2）反比例函数的图象的位置与增减性，当k ＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于一、三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大．（3 4. 反比例函数y ＝kx （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义过双曲线y ＝kx上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON 的面积为S＝PM ·PN ＝︱y ︱·︱x ︱＝︱xy ︱，∵y ＝kx ，∴xy ＝k ，∴S ＝︱k ︱．即①过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形的面积为︱k ︱．②过双曲线上任意一点作x 轴（y 轴）的垂线，由该点、垂足和原点所构成的三角形的面积都是12︱k ︱．三. 重点难点：本节的重点是反比例函数的图象和性质，难点是在学习过程中要全面理解其性质及图象的特征，结合图象来理解，采用数形结合的思想方法．【典型例题】例1. 判断下列函数式，y 与x 是反比例函数关系的有哪些？①y ＝2x ＋1；②y ＝πx ；③y ＝a x ；④y ＝4x 2＋x －x 2；⑤xy ＝3；⑥y ＝13x ；⑦x （y ＋1）＝3；⑧2x ·3y ＝7．分析：按照反比例函数关系式的特征判断．①中，y 与x ＋1成反比例，不是y 与x 成反比例．③中没有说明a 的条件．⑦化简后为y ＝3x－1不符合反比例函数的形式，所以①③⑦不是反比例函数．对于②中，π为常数．④中化简得y ＝4x ．⑤可变形为y ＝3x．⑥可变形为y ＝13x ．⑧可变形为y ＝76x ．都符合反比例函数的一般形式，所以②④⑤⑥⑧是反比例函数． 解：②④⑤⑥⑧是反比例函数． 评析：（1）判断两种量是否成反比例关系时，通常写出这两种量的关系式．然后化简，再对照反比例函数式的特征进行解答．（2）反比例函数式y ＝kx （k 为常数，k ≠0）还可以写成y ＝kx －1或xy ＝k （k 为常数，k ≠0）．例2. 已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝3时，y 的值是－5．（1）求y 与x 的关系式．（2）求当x ＝－5时，y 的值．分析：y 是x 的反比例函数，即x 与y 满足y ＝kx 这个关系式，且当x ＝3时，y 的值是－5，将这两个数值代入即可求出k 的值．解：（1）设y ＝k x （k ≠0），把x ＝3，y ＝－5代入得，－5＝k3．解之得，k ＝－15，所以，解析式为y ＝－15x．（2）把x ＝－5代入，得y ＝－15－5＝3．所以，当x ＝－5时，y 的值是3．评析：待定系数法求反比例函数解析式的步骤是：（1）设出函数解析式的一般形式为y ＝kx（k ≠0）．（2）把对应的x 与y 的值代入，得到一个关于k 的方程．（3）解方程，求出待定系数k 的值．（4）代入解析式即可得到要求的解析式．例3. （1）已知反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则该函数关系式是__________．（2）已知反比例函数y ＝1－3mx 的图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是__________．分析：（1）因为反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0a 2－5＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a 2＝4 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＝±2 ．所以a ＝－2，当a ＝－2时，函数关系式为y ＝－4x．（2）反比例函数的图象有两种情况：当1－3m ＞0时，如图（1）所示，此时y 1＜y 2；当1－3m ＜0时，如图（2）所示，此时y 1＞y 2；故可得1－3m ＞0，即m ＜13．(1)(2)解：（1）y ＝－4x （2）m ＜13评析：（1）对于y ＝kx （k 为常数，k ≠0）来说，当k ＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于一、三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大．所以在此题中，应该有a －2＜0．（2）反比例函数y ＝kx ，当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，但并不是说反比例函数的整个图象是从左往右上升的，因此一定注意，“在每个象限内”这个条件．例4. （1）（2008年上海）若反比例函数y ＝k x （k <0）的函数图像过点P （2，m ）、Q （1，n ），则m 与n 的大小关系是：m __________n （选择填“>”、“＝”、“<”）．（2）函数y ＝－ax ＋a 与y ＝－ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）分析：（1）由k ＜0知函数图象在二、四象限，且y 随x 的增大而增大，又图象过点P （2，m ）、Q （1，n ），2＞1，则m ＞n ．（2）由函数图象判断－a 的正负，看是否一致，可以发现函数y ＝－ax ＋a 中，当x ＝1时，y ＝0，即直线过定点（1，0），所以可排除B 和D ．在A 中，根据直线的图象可知－a ＜0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是一致的．在C中，根据直线的图象可知－a ＞0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是不一致的，应排除．解：（1）＞（2）A例5. 点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线y ＝1x 于点A ，连接OA ．（1）如图（1）所示，当点P 在x 轴的正方向上运动时，R t △AOP 的面积大小是否变化？若不变，请求出R t △AOP 的面积；若改变，试说明理由．（2）如图（2）所示，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线DB 交双曲线y ＝1x 于点B ，连接BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1__________S 2．（选填“＞”“＜”或“＝”）解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），则x ＞0，y ＞0．S △AOP ＝12·OP ·AP ＝12·x ·y ＝12×1＝12．所以当点P 在x 轴的正方向移动时，R t △AOP 的面积不发生变化．（2）由（1）的结果可知S △AOP ＝S △BOD ，而梯形BCPD 的面积小于S △BOD ，所以有S △AOP ＞S 梯形BCPD ，即S 1＞S 2．评析：从双曲线y ＝kx （k ≠0）上任一点向x 轴作垂线．则该点垂足及坐标原点构成的三角形面积都相等，其值为12︱k ︱．【方法总结】1. 反比例函数的图象是双曲线，双曲线所在的象限由比例系数k 来决定，当k ＞0时，双曲线在第一、三象限；当k ＜0时，双曲线在第二、四象限．2. 若两个变量的积是一个不为零的常数，则这两个变量成反比例．3. 求函数关系式时，一般用待定系数法．4. 在记忆反比例函数图象的性质时，要与正比例函数的性质相对照，不要混淆．5. 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象上任取一点向x 轴作垂线，则由垂足、原点及该点构成的三角形的面积不变，其值为12︱k ︱．【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 下列函数表达式中，是反比例函数的是（ ）A ．y ＝x －1B ．y ＝1x －1C ．y ＝x2D ．xy ＝－22. 一个长方形的面积为10，则这个长方形的长与宽之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．反比例函数关系C ．一次函数关系D ．不能确定3. 下列函数中，图象经过点（1，－1）的反比例函数解析式是（ ）A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x4. 已知（3，－1）是曲线y ＝kx（k ≠0）上一点，则下列各点中不在该图像上的点是（ ）A ．（13，－9）B ．（3，1）C ．（－1，3）D ．（6，－12）5. 如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数y ＝1x 的图象上，那么（ ）A ．y 2＜y 1＜0B ．y 1＜y 2＜0C ．y 2＞y 1＞0D ．y 1＞y 2＞0*6. 若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间的函数关系的图象大致是（ ）BC D7. 已知反比例函数y ＝2x，下列结论中，不正确的是（ ）A. 图象必经过点（1，2）B. y 随x 的增大而减小C. 图象在第一、三象限内D. 若x ＞1，则y ＜28. 反比例函数y ＝kx （k ＞0）的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为（ ）A. S 1＞S 2B. S 1＝S 2C. S 1＜S 2D. 无法确定二. 填空题1. 反比例函数y ＝kx 的图像经过点（2，－1），则k 的值为__________．2. 反比例函数y ＝15x 中，k ＝__________．3. 如果y ＝1x2n －5是反比例函数，则n ＝__________．4. 反比例函数y ＝kx的图象经过点（2，3），则这个反比例函数的解析式为_______________．5. 已知反比例函数y ＝kx 的图象分布在第二、四象限，则一次函数y ＝kx ＋b 中，y 随x 的增大而________（填“增大”、“减小”、“不变”）．*6. 如图，双曲线y ＝kx 与直线y ＝mx 相交于A 、B 两点，B 点坐标为（－2，－3），则A点坐标为__________．**7. 双曲线y ＝8x与直线y ＝2x 的交点坐标为__________．三. 解答题1. 指出下列式子哪些是反比例函数解析式？并指出x 的取值．（1）y ＝x 5 （2）y ＝－23x （3）y ＝13x 2 （4）y ＝3x2. 已知反比例函数y ＝ kx 的图象与一次函数y ＝3x ＋m 的图象相交于点（1，5）．求这两个函数的解析式；3.x 和y 的一些值：（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）根据求出的函数关系式完成上表．*4. 已知点P （2，2）在反比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象上，（1）当x ＝－3时，求y 的值；（2）当1＜x ＜3时，求y 的取值范围．**5. 如图所示，R t △ABO 的顶点A 是双曲线y ＝kx与直线y ＝－x ＋（k ＋1）在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且S △ABO ＝32．求这两个函数的表达式；【试题答案】一. 选择题1. D2. B3. B4. B5. D6. B7. B8. B二. 填空题1. －22. 153. 34. y ＝6x 5. 减小 6. （2，3） 7. （2，4）和（－2，－4）三. 解答题1. （2）和（4）是反比例函数，其取值范围都是x ≠0．2. y ＝5x，y ＝3x ＋23. （1）y ＝20x（2）如下表所示：4. （1）－43（2）43＜y ＜45. y ＝－3x ，y ＝－x －2。
中考数学考点专题复习课件反比例函数的图象和性质
解：(1)过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，∵点 D 的坐标为(4，3)，∴OF
＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点 A 坐标为(4，8)，∴k＝xy＝4×8
＝32，∴k＝32 (2)将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 y＝3x2(x＞0)的
图象 D′点处，过点 D′做 x 轴的垂线，垂足为 F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3，∴ 点 D′的纵坐标为 3，∵点 D′在 y＝3x2的图象上，∴3＝3x2，解得：x＝332，即 OF′＝332，∴FF′＝332－4＝230，∴菱形 ABCD 平移的距离为230
3．(2015·苏州)若点 A(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，则代数式 ab
－4 的值为( B)
A．0 B．－2 C．2 D．－6
4．(2015·牡丹江)在同一直角坐标系中，函数 y＝－xa与 y＝ax＋1(a≠0)
的图象可能是( B )
,A)
,B)
,C)
,D)
5．(2015·青岛)如图，正比例函数 y1＝k1x 的图象与反 比例函数 y2＝kx2的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为 2，当
①ACMN ＝||kk12||； ②阴影部分面积是12(k1＋k2)； ③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|； ④若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称．
其中正确的是①__④__．(把所有正确的结论的序号都填上)
(3)(2015·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(8，1)，B(0，－3)， 反比例函数 y＝kx(x＞0)的图象经过点 A，动直线 x＝t(0＜t＜8)与反比例函数 的图象交于点 M，与直线 AB 交于点 N.
反比例函数知识点
反比例函数知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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九年级数学第三节 反比例函数的图象与性质优秀课件
> y2.
拓展训练
2. 假设反比例函数y＝1 3 m
〔 〕1
x1
3
3
A. m≥
B. m≤
的图象位于二、四象限，那么m的取值范围是D
1
1
3 C. m＜
3 D. m＞
第三节 反比例函数的图象与性质 数的相关概念
3. 对于反比例函数y＝ k 2 1 ，以下说法不正确的选项是A〔 〕
x
A. 函数值y随x的增大而增大 B. 图象在第二、四象限 C. 当k＝2时，它的图象经过点〔5，－1〕 D. 它的图象关于原点对称
第9题图
第三节 反比例函数的图象与性质 数的相关概念
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第三节 反比例函数的图象与性质
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数的相关概念
10. 〔20xxxxB卷25题4分〕设双曲线y＝ 〔k k＞0〕与直线y＝x交于A，B两点〔点
x
A在第三象限〕，将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点
A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的
达式得－2＝1 a，
2
2
∴a＝－4，
∴A(－4，－2)，(1分)
把A(－4，－2)代入反比例函数y＝k 中，得k＝－4×(－2)＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝ 8
x ，(3分)
y 1x
x
联立方程组 2 ，
y 8
解得
xy11＝＝－－24(舍去x )，
x2＝4， y2＝2
∴B(4，2)；(5分)
第三节 反比例函数的图象与性质 数的相关概念
从而得出k的值，代入解析式即可
第三节 反比例函数的图象与性质 数的相关概念
成都10年真题+2019诊断检测
26.1.2 反比例函数的图象和性质 课件 2024-2025学年人教版(2012)九年级下册数学
综合应用创新
解题秘方：紧扣反比例函数的系数k的几何意义，利用轴 对称、勾股定理、正方形的性质解决最小值问题，正确构 造“两点一线”型最小值的基本图形是解题的关键. 解：由题知k>0，∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标都为6，∠B＝90°. ∴ M(6，6k)，N(6k，6). ∴ BN＝6－6k，BM＝6－6k.
感悟新知
反比例函数 k的符号
k＞0
y＝kx(k ≠ 0)
k＜0
知2－讲
图象
图象位置 增减性
第一、第三象限
在每一个象限内，y 随x的增大而减小
第二、第四象限
在每一个象限内，y 随x的增大而增大
感悟新知
知2－练
例2
已知反比例函数y＝
m2 x
(m
≠
0)的图象过点(－3，－12)，
且反比例函数y＝mx 的图象位于第二、第四象限.
知1－练
1-1. (1)在同一平面直角坐标系中画出反比例函数y＝6x与y＝ －6x的图象．
感悟新知
解：①列表：
知1－练
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 …
y＝6x … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 … y＝－6x … 1 1.2 1.5 2 3 6 …
感悟新知
知1－练
x …1 2 3 4
感悟新知
知2－练
2-2.
在反比例函数y＝
4－k x
的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，
y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是( C )
A. k＜0
B. k＞0
C. k＜4
D. k＞4
感悟新知
知3－讲
反比例函数图像与性质
例1函数y= (x>0)的图象大致是( )
解析:函数y= 的图象是双曲线,当k<0时双曲线两分支分别在第二、四象限内,而已知中(x>0)表明横坐标为正,故双曲线位于第四象限.
答案:D.
例2函数y=kx+1与函数y= 在同一坐标系中的大致图象是( )
解:可用排除法,假设y= 中k>0,双曲线过第一、三象限,则直线y=kx+1也应过第一、第三象限且与y轴交于正半轴,故排除B、D.同理可排除C,故答案为A.
A.y1<0<y3B.y3<0<y1;C.y2<y1<y3D.y3<y1<y2
5.已知一次函数y=x+m与反比例函数y= (m≠-1)的图象在第一象限内的交点为P(x0,3).
(1)求x0的值;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式.
6.如图所示,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y= (m≠0)的图象在第一象限交于C点, CD垂直于x轴,垂足为D.若OA=OB=OD=1,
7.已知反比例函数 图象与直线 和 的图象过同一点.
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当 ＞0时，这个反比例函数值 随 的增大如何变化？
8.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数 的图象与反比例函数 的图象的两个交点.
(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.
（1）自变量的取值范围是除0以外的一切实数
（2）当k>0时，它的两个分支分别在第一象限和第三象限内无限伸展;在每一象限内，y随x值的增大而减小。当k<0时，它的两个分支分别在第二象限和第四象限内无限伸展;在每一象限内，y随x值的增大而增大。