平面杆单元有限元分析

显然是正交阵，即：
~ 1 ~ T T T
单元节点位移向量的变换式如下：
或
d Td
~ T 0 T ~ 0 T
其中：
同样可以得到单元节点力的变换式为：
f Tf
（2）刚度矩阵的坐标变换 局部坐标系下杆单元的刚度方程为：
把该方程扩充到2-D局部 坐标系x-y下的4阶形式：
fi k11 k12 ui f j k21 k22 u j
单元刚度矩阵的第i（i=1,2)列元素表示当维持单元 的第i个自由度位移为１，其它自由度位移为０时，施加 在单元上的节点力分量。
（也可以用此方法直接导出杆单元的刚度矩阵元素） ３）单元刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正。
引入边界位移约束和载荷：
方程化为：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u P 2 L 0 F 0 1 1 3
上述方程组中删除第１，３个方程，得到： 2 2 0 0 F1 EA u P 2 3 1 2 L 0 F 0 1 1 3 解得：
例2：求杆两端的支反力
已知：
解：
先检查杆右端与墙壁是否接触。计算右端的自由 伸长：
所以，右端间隙将闭合，即节点3与刚性墙壁接触。
参照前面的讨论，可直接写出2单元系统平衡方程：
载荷与边界条件：
系统平衡方程为：
分离出第2个方程：
即：
得到：
节点位移列式：
根据求出的节点位移，用系统有限元方程中的 第1、3个方程可以求解支反力。
u1 0 PL u 2 1 u 3EA 0 3
即位移解为：
单元1应：
1 u 2 u1 E PL P 1 E 1 E E 0 L L L 3EA 3A
单元2应力：
u3 u2 E 2 PL P 2 E 2 E E 0 L L L 3EA 3A
——杆单元应变
——杆单元应力
应变—位移关系：

du dx
应力—应变关系：
E
下面通过二种方法研究杆单元的单元特性。 2.1.1 直接法导出单元特性(方法一) 杆单元伸长量： 应 变： 应 力： 杆内力：
u j ui
L E E L EA EA F A k L L
杆单元
目 标：通过杆单元特性方程的建立，初步掌握有限元法单元分析
的过程和原理，了解杆系结构分析的原理。
2.1、一维等截面杆单元及其刚度矩阵
考虑一个2节点一维等截面杆单元： L— 杆长
A— 截面积
E— 弹性模量 单元上的力学量和基本关系如下：
u u ( x)
——杆单元位移
( x) ( x)
vi） u （， i
u i , vi
（1）向量的坐标变换
节点的位移分量和节点力分量在2-D局部坐标系x-y下描述。节点上 的位移和节点力向量在2-D局部坐标系与2-D总体坐标系下的变换如下：
称为方向余弦
~ di Tdi
向量的坐标变换矩阵为：
m ~ l T m l
写成矩阵符号形式：
k d f
d Td
利用前面的向量坐标变换式，得：
f Tf
k Td Tf
考虑到变换矩阵的正交性，得：
k Td Tf
T k Td f
T
kd f
则，总体坐标系中的单元刚度矩阵为：
k T k T
T
用单元刚度矩阵装配结构（系统）刚度矩阵的 方法与1-D情况相同。
2.1.4 举例 例1 求图示２段杆中的应力。
解：结构分为２个杆单元，单元之间在节点２铰接。
２个杆单元的刚度矩阵分别为：
参考前面弹簧系统的方法，装配２杆系统的有限元 方程（平衡方程）如下：
2 2 0 u1 F1 EA u F 2 3 1 2 2 L u F 0 1 1 3 3
1 EA 0 L 1 0
0 1 0 ui f xi v f 0 0 0 i yi 0 1 0 u j f xj 0 0 0 v j f yj
（3）单元应力
即：
例题分析
单元计算汇总
则杆的轴向刚度：
EA k L
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元 相同，因此杆单元的刚度矩阵为：
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f u u k k 1 1 L j j j
2.1.3 关于杆单元的讨论 1）在单元局部坐标系下，每个节点一个未知位移分量和 一个自由度，单元共有2个自由度。 2）单元刚度矩阵元素的物理意义 刚度方程中令： ui 1 u j 0
单元刚度方程
则： f i k11 f j k21
由第1个方程可以得出：
由第3个方程可以得出：
2.2、2-D和3-D空间中的杆单元 （平面和空间桁架单元）
2.2.1 2-D空间中杆单元 1-D空间杆单元 坐标 变 换 2- D空间杆单元
基 本 思 想
原来1-D空间中的杆坐标系作为局部坐标系
局
部
总
体
x(, y )
每节点一个自由度
X，Y
每节点2个自由度