高数下册多元函数极值及其求法

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D
o x
得 x1 0, x2 4 y 6 x | x 4 2,
f (4,2) 64,
比较后可知 f ( 2) 64 为最小值.
x y 例 7 求z 2 的最大值和最小值. 2 x y 1
( x 2 y 2 1) 2 x( x y ) 解 由 zx 0, 2 2 2 ( x y 1) ( x 2 y 2 1) 2 y( x y ) zy 0, 2 2 2 ( x y 1)
4 f ( x , x ) f ( 0 , 0 ) 2 x 0 沿直线 y x ，有
沿直线 x 0，有
f (0, y ) f (0,0) y ( y 1) 0 符号有改变，所以点( 0,0) 不是函数的极值点.
2 2
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 .
证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
1 ( x, y, z, t ) 2 ( x, y, z , t )
其中 1 , 2 均为常数，可由 偏导数为零及条件解出 x, y, z, t ，即得极值点的坐标 .
例8
将正数 12 分成三个正数 x , y, z 之和 使得 3 2 u x y z 为最大.
解 令 L( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
一、问题的提出
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 5 x 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 6 x 7 y瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？
必有
f x ( x 0 , y0 ) 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0 .
推广 如果三元函数u f ( x , y , z ) 在点P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) 0 .
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x 2 z z x 2 4z x 0 2 y 2 z zy 2 4 zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 |P B z C zyy , xy |P 0, 2 z 1 2 0 ( z 2),函数在P 有极值. 故 B AC 2 (2 z )
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) ln x ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果．
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点。并考虑不可导点。
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
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第四步 对不能确定是否为极值点的点，利用定义来判 别.
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
例6 求二元函数 z f ( x , y ) x y(4 x y ) 在直线 x y 6， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.
则对于( x0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ),
故当 y y0 ， x x0 时， 有 f ( x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
说明一元函数 f ( x , y0 ) 在 x x 0 处有极大值,
将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2,
1 A z , xx |P 2 z
z2 6 ,
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 当 z1 2 时， A 0 , 4
1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
每天的收益为 f ( x , y )
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
二、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z xy e
x2 y2
的图形
播放
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( x0 , y0 ) 的点( x , y ) ： 若满足不等式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数 在 ( x 0 , y0 ) 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) ，则称函数在( x0 , y0 ) 有极 小值；
AC B 0,
2
这时不能确定是否有极值。于是考察(0,0)点 附近的情况.
判断驻点( x0 , y0 )是不是极值点，可以过点( x0 , y0 ) 做直线（或曲线），如果在其中的一条或几条直线 （或曲线）上靠近点 ( x0 , y0 )充分小的邻域内函数值 的差 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，判断它是否改变符号， 来判断点( x0 , y0 )是不是极值点。若符号不改变，恒 大于 0，则该点为极小值点，恒小于 0，则该点为 极大值点；若符号变化，则该点不是极值点.
f y ( x 0 , y0 ) 0 ， 又 f x ( x 0 , y0 ) 0 , 令 f xx ( x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） AC B 0 时具有极值，
2
解
如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
o x
D
解方程组
2 f x ( x , y ) 2 xy(4 x y ) x y 0 2 2 f ( x , y ) x ( 4 x y ) x y0 y
得区域D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) 4 ,
D 边界上的最值， 再求 f ( x , y ) 在
在边界 x 0 和 y 0 上 f ( x , y ) 0 ,
在边界 x y 6 上，即 y 6 x
于是 f ( x , y ) x (6 x )( 2) ,
2
y
x y6
4 x ( x 6) 2 x 0 , 由 fx
例 5 求函数 z
x y x 2 xy y
4 4 2
2
的极值。
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
f x 4 x 3 2 x 2 y 3 fy 4 y 2x 2 y 0, f y 0 ， 令 fx 求得驻点为(-1,-1),(1,1),(0,0).
f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0. 解出 x , y , ，其中 x , y 就是可能的极值点的坐标.
拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况： 要找函数 u f ( x , y , z , t ) 在条件 ( x , y , z , t ) 0， ( x , y , z , t ) 0 下的极值， 先构造函数 L( x , y , z , t ) f ( x , y , z , t )
问题的实质：求 U ( x , y ) ln x ln y 在条 件 8 x 10 y 200下的极值点．
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z f ( x , y )在条件 ( x , y ) 0 下的 可能极值点， 先构造函数 L( x , y ) f ( x , y ) ( x , y ) ， 其中 为某一常数，可由
二阶偏导数分别为：
f xx 12 x 2, f xy 2, f yy 12 y 2
2 2
在点( 1,1)处， AC B 96 0, A 10 0
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所以函数在( 1,1)处有极小值，其值为－ 2. 在点(1,1)处， AC B 2 96 0, A 10 0 所以函数在(1,1)处有极小值，其值为－ 2. 在点(0,0)处，