论小学生空间想象力的培养

1.引言

空间观念是发展空间想象力的基础,我们在进行几何教学时要充分利用各种条件,引导学生通过观察、操作、比较及实际应用等各种活动,头脑中形成几何形体的表象。如何提高学生正确运用所学知识解决实际问题的能力,培养初步的空间观念,本文对此进行了探讨。

小学几何初步知识的教学，是使小学生打好数学基础的重要因素，它的意义在于培养学生的空间观念和初步的空间想象力。空间想象力是建立在空间观念发展基础上的；反过来，空间想象力又直接影响空间观念的形成、发展，以及空间概念的理解和掌握，如射线的“无限延伸”、平行线的“永不相交”等都得靠空间想象。综上所述可知，空间观念与初步的空间想象力的培养，是相互联系、相互影响的，不能将二者割裂开来。因而我们在教学中还应当正确处理好二者之间的关系，既有所侧重，而又不可偏废[1] 。

空间观念是从现实生活中积累的丰富几何知识体验出发,从经验活动的过程中逐步建立起来的,这是学生理解和发展空间观念的宝贵资源。培养空间观念要将视野拓宽到生活的空间,重视现实世界中有关空间与图形的问题。让学生感知和体验空间与图形的现实意义,初步体验二维与三维空间相互转换关系,逐步发展空间观念。例如,在平行线认识的教学中,“同一平面”和“不相交”这两个概念的理解是学生掌握平行线特征的关键,也是形成平行线空间观念的开始。

随着数学教育的发展，人们越来越认识到数学思想方法也是数学知识的一部分，数学思想方法的教学是数学教学的重要内容。数学思想方法是数学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是对数学概念、命题、规律、方法和技巧的本质认识。因此，数学思想方法是数学知识的精髓，是数学内容的灵魂，是数学活动的指导思想和普遍适用的方法[2]。引导学生领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养能力相结合的法宝。

1.1 研究背景

尽管目前有许多创造性想象方面的研究，其实只是对几种基本想象类型，以不同方法、角度进行探讨。已有的空间想象力研究中涉及到人物图形、视觉表象、操作构形、抽象贴画、图形或物体的组合、几何能力测查等研究方法。这些方法虽然对创造性空间想象或它的发展进行了很好的研究，但对于创造性空间想象力的研究来说仍有一定的不足。从现有的研究来看，目前，对于培养小学生空间想象力的研究并不多，尤其是结合心理学的研究更是凤毛麟角，而且已有的各方面的研究

都只是研究一种或几种个别的培养方法，并没有系统的结论，所以忽略了其中存在的不足和研究结果的使用范围，即研究结果的内外效度存在一定的局限性。开展空间创造性想象的发展研究，对以往的研究进行比较与整合，教师则可以因材施教，组合几种不同的有效的教学方法来培养学生的空间想象力。因此，无论从理论角度还是从实践角度，都具有十分重要的意义。

1.2问题的陈述

本研究选择义务教育阶段中小学阶段的学生为研究对象,研究的内容主要是如何培养小学生空间观念，结合空间观念的发展规律和特点，从而为几何课程的体系的构建和内容设置提供理论和实证的依据。这样选择的因素有两个：一、心理学的研究表明，儿童对空间以及二维和三维图形的认识有其自身的规律和特点，但是以往的研究主要侧重于对一些个别方面的研究，与心理学因素及课程的联系较少；二、由于在我国包括国际上一些国家的小学几何课程中，对于学生的空间观念的培养和实践研究还显得十分的薄弱，与算术的内容相比，有较大的随意性。在对我国的20世纪的小学几何课程的考察中，我们不难发现这样的问题[3]。因此，本研究力图从课程的角度分析空间观念的基本成分，研究支撑其发展的课程要素，根据学生空间观念发展的规律和特点，划分学生的发展水平和阶段，并提出确定相关几何课程内容的建议。本论文试图针对上面提出的问题进行探讨，研究的问题可以归结为以下几个方面：

1、从课程的角度出发，分析空间观念的涵义、基本成分，并划分小学生空间观念发展的水平。

2、根据小学生在空间观念方面的发展规律和特点，总结出小学生空间观念发展的阶段性和所能达到的水平，从而给出几种培养学生空间想象力的有效途径。

3、以试验和分析的结果为依据，提出对小学阶段几何课程中相关内容设计的意见和建议。

2.空间能力、空间想象力与空间观念

2.1关于空间能力的含义、结构和意义及其培养的研究

关于空间能力的研究在心理学上由来已久。空间能力首先是智力的一个重要的相对独立的成分，它不同于一般的形象思维和抽象思维能力。空间能力是一种认知图形，并运用图形在头脑中进行图形操作的能力，它的主要内容就是在解决任务的过程中运用图形表象。空间认知能力是指人们对客体或空间图形（任意维度）在头脑中进行识别、编码、储存、表征、分解与组合和抽象与概括的能力。它主要包括

空间观察能力、空间记忆能力、空间想象能力和空间思维能力等因素。

对空间能力的界定和结构分析，心理学界一直没有定论。French(1951)在回顾了有关文献后，总结至少有三个独立的空间因素：第一是空间，精确地觉察空间模式并作相互比较的能力；第二是定向，保持不同空间模式以不同方向呈现而弄糊涂的能力；第三是想象，理解表象的三维运动或操作想象中的物体的能力。每种测量方法仅仅测量了空间能力的某一部分，而且不同的分类方法，显示出不同的结果，这些都说明空间能力是一种结构非常复杂的能力[4]。

国内外对空间能力发展的研究主要集中在空间能力发展的性别差异、空间能力发展与年龄的关系，以及空间能力发展与其他能力发展的关系等。国外有关空间能力水平的年龄差异的研究应当属于皮亚杰的智慧发展的阶段论。虽然皮亚杰的结论不仅是针对空间能力的，但它却能反映儿童在空间能力方面的发展水平。国内关于空间能力发展的研究比较多，但是大都是考察某一方面的发展，以空间想象能力的考察居多。

2.2 空间想象力与空间观念的内涵

空间想象能力这种基础的能力似乎包含一个对图形进行保持、再认和回忆的过程，在这个过程中该图形的内在部分之间存在着运动。或者是对一个客体在三维空间中进行操作，或者是折叠一个平面图形或展开一个立体图形。空间想象能力不仅受到国外心理学家对空间能力分析中的肯定，也受到国内心理学家和数学教育专家重视。

关于空间想象力的含义，中学生的空间想象包括对平面几何图形和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。空间想象能力主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割、割补和叠合等）上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式等）给与具体几何意义的想象解释或表象能力上。

曹才翰提出，空间想象能力就是以现实世界为背景，对几何表象进行加工改造创造新的形象的能力[5]。小学生空间想象能力的发展过程是从对基本几何形的初步想象到对平面几何图形的深入想象，再到对立体基本几何形的深入想象。在空间能力想象方面，从初二开始，学生的空间想象能力迅速发展，到高二时空间想象能力进入成熟期……

观念是思维活动的结果,是客观事物在人脑中留下的概括的形象。学生通过在实际生活中对物体形状、结构的观察,在教学中对抽象几何图形、模型的感知,在头脑中形成几何表象,获得个人与物体、物体与物体之间的距离、大小、方位的空间知觉。

在感知材料的基础上进行抽象、概括的思维活动,逐步形成了几何观念。我国研究者认为,空间观念包括三个方面:(1)实物几何化；(2)由基本图形寻找出基本元素及其关系；(3)由比较复杂的图形分解出简单的、基本的图形,能根据条件做出立体模型或画出图形[6]。

作为空间观念最基本的表现,这是一个包括观察、想象、比较、综合、抽象分析,不断由低到高向前发展的、对客观事物的认识过程,是建立在对周围的环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握过程。空间观念是指物体的形状、大小、距离、方位等特性在人脑中的反映。在小学数学教学中,培养学生的空间观念实际上就是培养学生初步的空间想象能力。空间想象能力差,很难理解、掌握有关的几何概念、公式,对学生将来学习力学、天文学、物理学、化学等学科有很大影响。

我们知道，空间观念是指在空间知觉的基础上形成的关于物体的形状、大小及其相互位置关系(方向、距离)的表象。由于小学生是以具象思维为主，抽象思维能力还很差，因此，培养其空间观念要有一个“由具象到抽象，由易到难，由简到繁”的循序渐进的过程，要把学生观察、操作、理解和思考等活动统一起来，注重学生眼、耳、手、脑的协同活动。具体地，我们可以从以下几个方面入手:

1、注意空间观念培养的连贯性。

从一年级开始，各个年级都要根据学生认知水平和思维特征合理安排教学.如果安排太晚或内容过分集中，就会引起学生学习的困难，不利于空间观念的发展。

2、重视教材内容的具体性、实践性，把几何基础知识的学习与学生练习、图画、手工、游戏等活动结合起来。在教学过程中，促进学生眼、耳、手、脑的协同活动，使其空间观念、动手能力、审美能力及学习兴趣等都得到发展。例如，在学完各种线和角的初步知识之后，来学“平行线”，我们可以先通过实例列举—铁轨、桌面的两条边、黑板的两条边……来引出平行线的概念:“无论怎样延长都不相交的直线”，“交代两条平行线之间，距离处处相等”的性质。

空间观念至少反映了如下的5个方面要求：（1）由形状简单的实物抽取出空间图形；（2）由空间图形反映出实物；（3）由复杂图形中分解出简单的、基本的图形；（4）由基本的图形中寻找出基本元素及其关系；（5）由文字或符号画出图形。

2.3小学生空间观念的发展水平

首先本研究采用定性研究的方法，从课程的角度出发来分析空间观念的基本成分, 我们将小学生的空间观念划分为三个水平：

水平1：（完全）直观想象阶段。

水平2：直观想象与简单分析抽象阶段。

水平3：直观想象与复杂分析阶段。

2.4几何教育的价值和培养学生空间观念的意义及作用

作为数学学科的一个重要的分支，几何的教育价值可以从两个大的方面去考虑，一方面它具有与数学的其他领域同样的教育功能；另一方面，几何的内容的特殊性以及思维方式的特点又决定它具有一些自己独特的教育价值。

1.有助于对学生的知识经验的教学

空间观念是从现实生活中积累的丰富的几何知识体验出发,是从经验活动的过程中逐步建立起来的,这是学生理解和发展空间观念的宝贵资源[7]。培养空间观念要将视野拓宽到生活的空间中去,重视现实世界中有关空间与图形的问题,让学生感知和体验空间与图形的现实意义。如教学本课时,举出学生熟悉的物体让学生动手摸一摸,找出物体的面在哪里,让学生亲身体会物体的面。

2.有助于学生实物模型的教学

空间形式和空间观念,可以通过实物模型使其本身变得直观形象化。指导学生对实物模型进行剖析、制作、实地测量等实践活动,有助于学生逐步形成空间观念,使空间形式在学生头脑中具体化、形象化。这样日积月累,逐步做到离开实物、模型、图形,也能进行空间形式的思考。形象越深刻,想象也越丰富，所以利用实物模型等直观教具进行教学,是培养学生空间观念不可缺少的途径。

3.加强识图与画图的训练,发展学生的空间思维能力

空间观念是形象思维与逻辑思维交替作用的思维过程,表达这种思维的最好语言,是几何语言(即几何图形),它能最简捷最直观地表达出空间形式。所以,加强识图与画图的训练,是培养空间观念的最好途径,数学教学中,必须重视画图识图教学。

4.有助于学生初步的空间想象能力的培养

几何观念大量积累后,可以进一步抽象出“点”、“线”、“面”的形象,使学生逐步脱离图形、模型而依靠抽象的点、线、面对头脑中的几何表象进行改造,形成新的几何形象,这就是初步的空间想象能力。空间观念是空间想象能力的基础,空间想象力是空间观念发展的结果。

3.培养学生形成良好的空间观念的有效途径

3.1引导学生有目的地观察，感知空间形式,从而建立空间观念

爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师”。在上这部分内容的课前，教师可以先收集一些世界著名的、有代表性的建筑物的图片,如金字塔、清真寺、钟楼、北欧的房屋、中国的古塔等等,并在课堂上用多媒体进行展示,与学生一起探讨其中各部分的形状及其美感；同时,让学生感知这些建筑物都是由许多几何图形组成的,从而认识

到学习这些知识的重要性和必要性。这样,能激发学生的学习兴趣,充分调动学生的学习极性,为学好这些知识打下良好的基础。

观察是一种有目的、有计划、有准备、积极思维、主动参与的知觉过程,是小学生获得初步空间观念的主要途径之一。在观察中,学生逐步获得有关几何图形的表象,从而建立正确的几何概念,形成良好的空间观念。如在学习“角的认识”时,教师可以引导学生观察钟面上时针、分针和用教具演示,形象地说明什么是角,然后概括。又如在学习“长方形面积”时,要尽量联系现实生活中的原型,多举学生熟悉的日常生活中的实物,着重引导学生观察这些实物的“表面”,如黑板、桌面等。为了加深对“表面”之一概念的认识,教师可以用刀剖开萝卜纵面或横断面进行演示,让学生亲眼看一看,亲手摸一摸,通过多种感官的协同活动；在此基础上再引入“面积”这一概念内涵的意义。这样,学生对“面积”这个概念就能比较正确地认识。

3.2加强操作感知,充分发挥其在感知活动中的重要作用，获得空间观念

思维始于操作,操作促进思维。培养学生的空间观念,只凭观察是不够的,更重要的是鼓励学生“做几何”。数学这种活动与游戏、骑自行车是一样的,不经过亲身体验,仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示,是学不会的。培养学生空间观念,教师必须引导学生进行操作实验活动,设计让学生自己去摸一摸、量一量、折一折、剪一剪、摆一摆、拼一拼、画一画、移一移、比一比和做一做等实验活动,促使学生的视觉、触觉、听觉等多种感觉器官协同活动,从而可以使学生多角度、全方位感知几何形体的特征、大小及其相互位置关系。如教授“直角”、“平角”、“周角”时,可用图1所示方法进行。

对折两次打开再打开

（圆纸片）（直角）（平角）（周角）

图1

小学生学习数学知识需要较充分的感性知识作为依托,充分感知到抽象知识的具体存在,才能从中发现、领会新知识。在教学中,教师要深入理解教材中提供的这些材料的作用,让学生通过实际操作获得大量的感性材料,为学生架设一座由具体到抽象的桥梁。学生通过操作过程,进一步理解知识的形成过程,从而主动地发现规律、掌握方法、形成能力[8]。

例如,在“认识长方体和正方体”教学课程中,根据学生的认识规律, 结合教学要求,在感知后,教师和学生都准备了长方体教具和学具。每个学生都参加操作,通过观察、触摸、测量,直接感知它的形状、大小、方位。如数一数、摸一摸长方体的面、

棱、顶点,量一量长方体的长、宽、高,观察相对面、相对棱的关系等。这样每个概念的学习都是由直观感知开始,建立起清晰的表象。老师及时地指导学生对感知到的现象进行迅速、准确、全面的抽象归纳,通过小组讨论,集中表述,在感性知识的基础上来揭示长方体的特征。又如“认识除法的意义”课程中只有当学生用小棒、圆片自己去摆一摆、分一分,才能逐渐悟出什么是平均分,什么不是平均分,哪一个是要分的总数,哪一个是分成的份数或每份数。

感知活动中操作一般是动作水平上的操作,小学生尤其是低年级学生的思维是以具体的形象思维为主,但是也有抽象思维的成分。属于动作水平上的操作可以让学生在图上画画、圈圈,动手量量、摆摆、分分、拼拼等。

小学生学习一个新的概念,一般是从感知具体事物,获得感性认识开始的。如果根据教学内容,有目的向学生提供适当的实物、学具,引导学生观察、操作、动脑思考,就会收到较好的效果。如新教材第一册准备课中,让学生了解同样多、多少,初步领会一一对应关系,建立“同样多”、多、少的概念。教师要充分利用直观材料,引导学生形成概念表象。如准备三种颜色的跳棋子,制作一些大小圆片、长短小棒,顶点切开,让学生观察到切开后的横截面是一个等腰三角形,它的底边正是圆锥底面圆的直径,从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高。可让学生去量一量圆锥的高,还可以在黑板上画一个草图标出圆锥的高。这样,抽象的概念形象具体了,便于学生理解,空间想象力就会初步形成。

3.3鼓励学生大胆想象,巩固空间观念

想象是思维的翅膀,往往和观察、实验、思考等活动结合起来。例如,一个物体从不同角度观察,就有不同的形状。学生从不同角度观察一个长方体,先把自己看到的画下来,然后同学之间进行交流,猜一猜某幅画是谁画的,他坐在哪个位置。通过学生的观察、想象、绘制、比较在不同位置上的物体或实物模型,从而发展学生的空间观念。

3.4语言调节,增强空间观念

利用语言的调节作用,调动学生注意的方向,指引学生的思路,帮助学生分析、综合、抽象、概括,并用数学术语表述,使空间观念呈现得更清晰。如学生认识同一平面上的两条直线的位置关系时,把两条直线相交说成两条直线“交叉”,把两条直线不相交的位置关系说成“不相交关系”。对此,教师要及时纠正学生的语言,使学生用准确精练的语言把观察的结果描述清楚,紧扣几何概念的本质特征。

在实际教学中,由于客观条件所限,在数学教材中的有些概念不可能让学生亲眼看到或动手感触到,这时要充分发挥学生的语言水平,借助于已有的几何概念,把看

不到的空间形式“说”出来。如教学“1公亩”这个概念时,在学生已知“米”和“正方形”等概念的情况下,可以运用“1公亩占地是一个10米的正方形”这一描述,就可以将学生不熟悉的空间形式转化为正方形的空间大小,由此学生对1公亩的具体空间观念的认识就比较清晰明白。

3.5通过变式、联想和再现,深化空间观念清晰的表象

变式越充分,本质特征显示得越明显,因此应在引导学生借助变式图形亲自揭示各种概念上下工夫。如在揭示梯形概念时,即可提供如图2所示的变式图形。

图2

教师要求学生说一说什么样的图形是梯形,学生会说出各种各样的梯形的概念。教师要引导学生进行讨论,最后讨论得出一种既简捷又准确的说法。这样教学,不仅有利于学生较深刻地认识梯形的本质属性,形成准确概念,也深化了空间观念。

等学生对各种几何图形有了清晰的表象和深刻的认识后,教师可以引导学生进行合理的联想和再现,从而达到深化空间观念的目的。如从一个四边不等的一般四边形变为正方形,教师可按图3设计由形体到形体的联想再现练习[9]。

（矩形）（正方形）一组对边平行两组对边分别平行四个角是直角四边相等

图3

培养小学生的初步空间观念,不仅有利于完成小学数学教学任务,提高小学数学教学质量,而且有利于提高学生应用几何初步知识解决实际问题的能力,为初中阶段几何知识的学习打下基础。

3.6在实际运用中，发展空间观念

在小学数学教学中,要经常引导学生运用图形的特征去想象,解决各种实际问题,发展他们的空间想象力。如将一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体平均分成两个小长方体后,表面积最多增加( )平方厘米，最少增加( )平方厘米。对于这样的问题需要学生首先在头脑中要想象这样一个长方体：长方体的六个面分别是由5×4、5×3、4×3组成,沿上下两个面平均分,将会增加两个上下面(5×4面)。沿左

右两个面平均分将会增加两个左右面(4×3面)。学生如果有了一定的空间想象力,在头脑中就容易形成长方体的表象,头脑中有了这样的依托,再去想它的变化。按照长、宽、高位置关系去理解平均分的方法,即沿大面平均分可多出两个大面积，沿小面平均分可多出两个小面积，同时也可以理解了若不平均分同样可多出两个面积来。

3.7避免日常用语含义对掌握几何概念的负效应

我们知道来自现实生活的日常用语与儿童关系十分密切，由此而引入一些几何概念，其效果是明显的。但是日常用语所指的实际意义与几何概念之间往往有着严格区别，它影响着正确空间观念的形成。例如，日常用语中“垂直”意义的影响，与几何中“垂直”概念的形成就是如此。为了解决这个问题，就“应当摆脱具体实物，想象其占有的空间形式，把其图形理解为抽象概括的‘符号’”。

3.8采用非标准图形(变式图形)来促使学生形成正确的空间观念

采用变式图形，有利于学生知识的扩展和应用，也有利于学生认清图形的本质恃征，正确感知和概括图形中主次成分的影响，领会概念间的关系。如学习角的大小，就不应只出现单一的角的图形，而要呈现形形色色的变式图形，使学生认识到角的大小的决定因素不是边的长短和方向，而是角的两边叉开的程度。教师要适时不失时机为学生提供发挥想象力的空间。在立体几何教学中，多面体与平面相截所得到的截面是一个很有特色的知识点，可以设计这样的开放题[10]。

例已知一个平面与一个正方体相截，所得截面是什么图形?

分析当学生面对正方体模型时，大部分学生首先想到的是截去正方体的一个角，即当平面与正方体的一个顶点的三个侧面相交时可以得到的截面是三角形，如图4，

图4 图5

接着，通过观察模型，学生又可以不太困难地想象出，截面是四边形，如图5。这时，老师可以不失时机地追问:“四边形截面的形状有几种可能?”学生经过想象，陆续得出了截面可是平行四边形、正方形、矩形、菱形以及梯形。如图6，

正方形矩形菱形

梯形平行四边形

图6

此时，课堂气氛很高涨，接下来学生又在老师的启发下，借助模型想象出截面是五边形、六边形。如图7、图8,

图7 图8

因此，在解答开放题的过程中，学生可以根据自己已有的经验和知识对问题做出不同的理解，并可以选择自己喜欢的思维方式，采取不同的解题策略，这样可以充分发挥学生的想象力，开拓学生的创造性思维。

4.对小学几何课程中相关内容设置的思考与建议

4.1对小学几何课程设置的思考

在本研究中，我们曾经结合几何教育价值的认识阐述了在小学阶段培养学生空间观念的意义。因此，在几何课程中明确并加强空间观念这一培养目标已经成为各国数学教育工作者的共识。我们从图形的变换、物体位置的确定以及视图等方面对学生的空间观念发展水平和规律等进行分析，使我们在几何课程的水平和内容的确定等方面有了较多的认识，研究的结果为我们思考课程的建设与开发提供了依据。适时地刺激和教学干涉会给学生提供必要的机会，一旦错过，想象的机会就可能被抽象和推理所占有，想象也就被挤到一边，呈休眠状，而与之有关的一些能力等也

就没有了发展的机会和可能[11]。

4.2对小学几何课程相关内容设置的具体建议

针对以上研究结果的分析，结合小学生不同阶段的心理特点与学习水平，给出小学几何课程中部分内容的设计方案:

第一阶段,旋转部分,了解图形旋转的含义；直观认识并能够识别旋转自对称图形；直观判断简单平面图形旋转后的图形。轴对称部分，了解轴对称图形的含义；直观认识与识别简单的轴对称图形；想象或画出经一次折叠操作后得到的结果。方向与位置部分，认识东、南、西、北、东北、西北、东南、西南八个方向；以坐标中心为观察点判断以上八个方向的物体的位置。将方向与度量联系起来，确定物体的位置。初步认识用数对可以描述物体的位置。视图部分，在生活场景下，判断从不同方向看到的画面，识别不同物体之间的相对位置关系；判断或画出从不同方向观察一个实物或简单的几何体所看到的物体的形状。

第二阶段，直观认识并能够识别较为复杂的旋转自对称图形；直观判断平面图形旋转后的相应图形；在方格纸上画出一个图形绕一点旋转后的相应图形。直观认识与识别较为复杂的轴对称图形（包括对其多条对称轴的认识）；判断经两次或两次以上的较为复杂的折叠操作后的结果；画出经两次或两次以上的较为复杂的折叠操作后的结果；初步认识如何用数对描述物体的位置。以坐标中心以外的点为观察点，或在简单方向指示下任意选定观察点，判断物体的八个方向。判断或画出从正面、上面和侧面观察到的物体或简单几何体的二维图形；能根据视图推断几何体的形状。

结论

根据小学生在空间观念方面的发展规律和特点，总结出小学生空间观念发展的阶段性和所能达到的水平。二年级至六年级在较少涉及概念而只与空间想象有关的问题解决中，年级间的差异不显著，即使是水平较高的问题，也没有年级间的差异。但对于想象对象复杂且需要一定的推理或抽象的问题，就出现了年级间的差异，而表现出高年级的优势。

本研究所做的工作仅仅是开始，决不是研究的结束，这不仅仅是指所研究的是发展着的教育和课程的问题，更主要的是指研究本身的背后还有大量的基础性的问题需要进一步思考。这些结论对于我们认识和了解小学生在空间观念方面的发展规律和特点，培养小学生初步的空间想象力及空间观念提供了重要的事实依据希望依据这些结论对小学几何课程提出的建议对几何课程设置有重要的参考价值，并对今后思考和改革几何课程提供理论与实证研究的基础。

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[11]周菊香.空间观念及其培养[J].双语学习,2007,(6):21-24.

致谢

这篇论文是在指导老师张刚教授的悉心指导和帮助下完成的，导师不仅给了我论文写作方向上的引领和许多具体的指导，也使我对数学以及数学教育认识和理解更加深入。其间我不仅得到了张老师对我的论文写作的宏观的以及具体的指导，而且也正是这样的机会使我亲身感受到了导师的睿智和幽默、严谨与果断、大度与随和，都给我留下了极其深刻的印象，受益匪浅。他宽厚的待人，严谨的治学，渊博的学识，令我终生难忘，让我终生受益。同时也得到了系里各领导的关心和指导，他们同样宽厚待人，治学严谨，学识渊博，，一样让我终生受益。在四年的大学生涯中，郭东晓、田贵辰、张海强、赵永强、魏喜凤、陈金梅、刘晓娣等老师在我的学业上给予了诸多教诲和帮助，本人的点滴成长与进步，都凝聚着各位老师的大量心血,在此表示由衷地感谢!

在论文撰写的整个过程中，我的同学、舍友以及家人都给了我大力的支持和帮助，在我的人生成长和漫长的求学路上，父母对我的关爱和支持是无法用语言表达的，尤其是母亲的对我教导和期待一直是我前进中的动力，我深深的感谢她。在此一并表示感谢，谢谢所有没有一一提到的关心我的师长、同事和朋友们！

刘京京 2009年05月27日