华南理工大学高等数学统考试卷下2014
华南理工大学高等数学统考试卷下
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《高等数学（下）》试卷A15分，每小题3分）若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是 （） ）(),z f x y =在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在；曲面(),z f x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（ ））0； (B) 1； (C)12； (D)不存在 已知曲面()22:10z x yz ∑=--≥，则222dS ∑=（））2π； (B) π； (C) 1； (D)12π 已知直线34:273x y zL ++==--和平面:4223x y z ∏--=，则（ ） ）L 在∏内； (B) L 与∏平行，但L 不在∏内；L 与∏垂直； (D) L 与∏不垂直，L 与∏不平行（斜交）、 用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y = （ ） (A) 2ax ；（B ）2ax bx c ++；（C ）2()x ax bx c ++；（D ）22()x ax bx c ++（本大题共15分，每小题3本分）. arctanxz y=，则dz = . 曲线L 为从原点到点(1,1)的直线段，则曲线积分L⎰的值等于３. 交换积分次序后，ln 1(,)e x dx f x y dy =⎰⎰４. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)-沿方向{}2,1l =的方向导数为 5. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的法线方程是三、（本题7分）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域四、（本题7分）计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面221x y +=及平面0,1z z ==所围成的闭区域五、（本题7分）计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()221z x y z =+≤的上侧六、（本题7分）计算()()3133xy xy Lye x y dx xe x y dy +-+++-+⎰，其中L 为从点(),0a -沿椭圆y =-(),0a 的一段曲线七、（本题6分）设函数()22220,0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，证明：1、(),f x y 在点()0,0处偏导数存在，2、(),f x y 在点()0,0处不可微八、（本题7分）设,,y z xf xy f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭具有连续二阶偏导数，求2,z z y y x ∂∂∂∂∂九、（本题7分）设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标十一、（非化工类做，本题7分）求幂级数()321111321nn x x x n +-++-++的收敛域及其和函数解：收敛域[1,1]-上()()321111321nn S x x x x n +=-++-++()()()21,00,arctan 1S x S S x x x '===+ 十二、（非化工类做，本题7分）设函数()f x 以2π为周期，它在[,]ππ-上的表达式为()1,00,0,,1,0x f x x x πππ<<⎧⎪=±⎨⎪--<<⎩求()f x 的Fourier 级数及其和函数在x π=-处的值解：()021120,sin n n n a b nxdx n πππ⎡⎤--⎣⎦===⎰ ()f x 的Fourier 级数为411sin sin 3sin 535x x x π⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦和函数在x π=-处的值为0十一、（化工类做，本题7分）已知直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和212:123y z L x +--== 证明：12//L L ，并求由1L 和2L 所确定的平面方程十二、（化工类做，本题7分）设曲线积分()2Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ连续可导，且()00ϕ=，计算()()()1,120,0xy dx y x dy ϕ+⎰一1B 2D3B 4B5B二122ydx xdyx y-+21e - 310(,)ye e dyf x y dx ⎰4 5-512,021x y z --== 三解：2221458y y I dy xydx +-==⎰⎰四、解：11201,.22DI z dz or d zdz πππσ===⎰⎰⎰⎰五、解：32xyD I dv dxdy πΩ=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰六、解：4(31)22aaDI dxdy x dx ab a π-=++=+⎰⎰⎰七、解：()()()0,00,00,0lim0x x f x f f x →-==,()()()00,0,00,0lim 0y y f y f f y→-==,0,00,0limx y f x y f x f y∆→∆→∆∆-∆-∆22200lim()x y x yx y ∆→∆→∆∆=∆+∆极限不存在故不可微八解：22212111222,2z z y x f f xf x yf f y y x x ∂∂'''''''=+=+-∂∂∂ 九、解：()()1x xx e p x e -=，求10xx e y y e-'+=得x x e y ce -+=从而通解为xx e x y ce e -+=+十解：设切点()000,,x y z ，切平面方程为0002221xx yy zz a b c++=，四面体体积为2220006a b c V x y z =令2222221x y z F xyz a b c λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭2200x y z x F yz a F F F λλ⎧=+=⎪⎨⎪===⎩()000,,x y z =⎝⎭ 十一、证：{}{}121,2,3,1,2,3s s =--=-，故12//L L由这两条直线所确定的平面方程为210x y +-=十二解：()()22,,xy y x x x ϕϕ'==()()()1,120,012xy dx y x dy ϕ+=⎰1.产品成本是指为制造一定数量、一定种类的产品而发生的以货币表现的（）。
华南理工大学高等数学统考试卷下自测wjf2
《微积分（下）》自测试卷2（时间120分钟，总分100）学院（系） 专业班姓 名： 成绩报告表序号：一、填空题1．[3分] 已知级数1(2)n n u ∞=-∑收敛，则()sin limn n nu u π→∞= 2．[3分]幂级数)11n n n x ∞=+的收敛域为 3．[3分]若(),ln f x y =()1,1df =4．[3分] 二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点为5．[3分]二重积分(),D f x y dxdy ⎰⎰在极坐标下的二次积分为()2sin 00cos ,sin d f r r dr πθθθθ⎰⎰，则积分区域D 在直角坐标系中可表示为6、[3分]若()f x 满足方程()()02x f t dt f x =-⎰，则()f x = 二、计算1、[4分]设2y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求,z z x y ∂∂∂∂2、[6分]设()2x yxy z x y f t dt +=+⎰，其中()f t 可导，求2,z dz x y∂∂∂ 3、[7分]求函数()()22,2x f x y e x y y =++的极值 4、[7分] 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，D 为22(2)1x y -+≤ 5、[6分] 求幂级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛半径及收敛域6、[7分]设()()1111n n n x x u x x n n +=--≤≤+，求()1n n u x ∞=∑的和函数7、[6分] 将函数()f x =展开为x 的幂级数，并求出其收敛域8、[6分]求微分方程30y y x y '-=-的通解 9、[7分]利用代换cos u y x =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，并求出原方程的通解10、[8分]设()f t 函数在[0,)+∞上连续，且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，求()f x 三、证明题 1、[5分] 设函数y x z x y =，求证：()ln z z x y x y z z x y∂∂+=++∂∂ 2、[6分] 求证：原点到曲面()221x y z --=上的点的最短距离为23、[7分] 设()01,2,n a n >= 单调，且级数11n n a ∞=∑收敛，证明：级数112n n n a a a ∞=+++∑ 收敛参考答案及提示 一、()()223110;[,);;1,0;2;2223x dx dy x y y e ++≤ 二、2221,y x x f f x y xy y ⎛⎫⎛⎫'-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212,x x f f x y y y ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()()()()()()22,2xy f x y yf xy dx x f x y xf xy dy x f x y f xy xyf xy ''⎡⎤++-+++-++--⎡⎤⎣⎦⎣⎦；极小值为()()13111,1;;,,;11;228222e f S x x x -⎛⎫⎡⎤-=-=-≤≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 12cos 24,2sin cos 5cos xxx e u u e y c c x x x ''+==++ ()()()()()2222442402,88,412tt t t r f t e f rdr f t te tf t f t t e πππππππ⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰三、1、2略，3、提示：122222,n n n n n a a a na a ≤=+++ ，1221212(1)2,(1)n n nn n a a a n a a +++≤=++++ 由12n n a ∞=∑收敛知112n n n a a a ∞=+++∑ 收敛。
华南理工大学高等数学统考试卷下2005
2005-2006高等数学下册考试试卷姓名： 班级： 成绩单号： 一、单项选择题 1、[3分]设y z xyf x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f u 可导，则z x x ∂+∂z y y ∂∂为(A)2xy ； (B)()2x y z +； (C)()2x y +； (D) 2z2、[3分] 从点()2,1,1P --到一个平面引垂线，垂足为点()0,2,5M ，则此平面方程是（ ）(A)236360x y z +-+=； (B) 236360x y z --+=； (C) 236360x y z ---=； (D) 236360x y z -++= 3、[3分] 微分方程()11x y ''-=的通解是(A) ()211ln 1y x x c =--+ (B) 12ln 1y x c x c =-++ (C) 212ln 1y x x c x c =-++ (D) ()121ln 1y x x c x c =--++4、[3分]设平面曲线L为下半圆周y =，则曲线积分()22Lx y ds +=⎰(A)π； (B) 2π； (C)3π； (D)4π5、[3分]累次积分2111xydx e dy y+⎰⎰4221xyxdxe dy y=⎰⎰(A)e ； (B) 2e ； (C) 3e ； (D) 4e 二、填空题 1、[3分]已知单位向量,,a b c适合等式0a b c ++=，则a b c ⋅+⋅ a b c +⋅= .2、[3分]设2yu x =，则d u = .3、[3分]曲面333xyz z a -=在点()0,,a a -处的切平面方程是 .4、[3分]微分方程232x y y y xe -'''--=的待定特解形式是 .5、[3分]设∑为球面222x y z a ++=的外侧，则曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyxy z∑++=++⎰⎰.三、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求无穷级数113n nn xn -∞=⋅∑的收敛域及在收敛域上的和函数b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）一条直线在平面:20x y π+=上，且与另两条直线11:141x y z L -==-及2412:21x y z L ---==都相交，求该直线方程四、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求函数()()()2ln 4f x x x =-+在01x =处的展开式b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）求函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数五、应用题[8分]做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？ 六、计算题[8分]设积分域为22:4,0,0D x y x y +≤≥≥，试计算二重积分()22sin Dx y d σ+⎰⎰七、计算题[8分]计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，式中:2z z Ω≥≤≤八、a.[8分]（非化工类做本题，化工类不做本题）将函数0,20()1,02x f x x -≤<⎧=⎨≤≤⎩展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）设()f x 在(),-∞+∞上有连续的一阶导数，求曲线积分()()22211Ly f xy xdx y f xy dy yy +⎡⎤+-⎣⎦⎰，L 为从点23,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到点()1,2B 的直线段 九、计算题[8分]计算曲面积分()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为上半球面()22220x y z R z ++=≥十、计算题[8分] 求微分方程cos tan 20,12xdy x ey y dxπ⎡⎤⎛⎫⋅-+==- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的解十一、 证明题[4分] 试证()()()()()224,,0,0,0,,0,0xy x y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续，但存在一阶偏导数 十二、 计算题[4分]设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解为()21x x y e x e =++，试确定常数,,αβγ，并求该微分方程的通解。
高等数学-微积分下-习题册答案-华南理工大学 (6)
《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩ 及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）A ．平行于平面π；B ．在平面π上；C ．垂直于平面π；D ．与平面π斜交.2．二元函数22,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）A ．连续、偏导数存在；B ．连续、偏导数不存在；C ．不连续、偏导数存在；D ．不连续、偏导数不存在.3．设()f x 为连续函数，1()d ()d ttyF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '＝（ B ）A ．2(2)f ；B ．(2)f ；C ．(2)f -D ．0.4．设∑是平面132=++z yx 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分(326)d x y z S ∑++⎰⎰＝（ D ）A ．7；B ．221； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）A ．e x a b +；B ．e x ax b +；C ．e x a bx +；D ．e x ax bx +.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=； 2．设arctan1x yz xy-=+，则d |z ＝24dx dy-； 3．设L 为122=+y x 正向一周，则2e d x Ly =⎰ 0 ；4．设圆柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为π6，则正数=0Z 32； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .三、（本题7分）设由方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ，v 是x ，y 的函数，求x u ∂∂及x v ∂∂与yv∂∂. 解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u uu udx vdu vdvdy vdu vdv⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u uu u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪⎨-⎪=-+=⎪+⎩从而222222,,u x v y v x x x y x x y y x y∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB 方向的方向导数.解：{}2122,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ⎧⎫-=⎨⎬---⎩⎭，{}3,3,6A gradu =- 从而{}212,,3,3,62147333u AB ∂⎧⎫=-⋅-=++=⎨⎬∂⎩⎭五、（本题8分）计算累次积分24112211d e d d e d x xyy x x y x y y y+⎰⎰⎰）.解：依据上下限知，即分区域为1212,:12,1:24,2xD D D D x y D x y =⋃≤≤≤≤≤≤≤≤ 作图可知，该区域也可以表示为2:12,2D y y x y ≤≤≤≤从而()2242222112112111d e d d e d d e d e e d xxxy y y y yx y x y x y y x y y y y +==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2222211e e2e e e e yy e =-=---=六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.解：先二后一比较方便，111220122zD z I zdz dxdy z dz πππ⋅==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰七．（本题8分）计算32()d x y z S ++∑⎰⎰，其中∑是抛物面222y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分.解：由对称性322d 0,d d x S y S x S ==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而223222()d ()d ()d 2x y x y z S z S x y S +++=+=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰222220(2D x y d rr πθπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰(40411315t ππ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰八、（本题8分）计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y+-⎰，L 是点ππ(,)22A 到点(π,2π)B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面)0(>y 上2223222322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y ⎛⎫∂∂=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Qx y y y y y y y y x∂∂∂=+=-+=∂∂∂且连续， 从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π(π,)2C22222222424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y y πππππππππ=+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 九、（本题8分）计算222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y +++++∑⎰⎰，其中∑为半球面221y x z --=上侧.解：补1:0z ∑=取下侧，则构成封闭曲面的外侧11222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y ∑+∑∑+++++=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()122223211133132D D x y dv x dxdy dv x dxdy dxdy πΩ∑Ω+=++-=+=⋅⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2113400011922244d r dr r πππθππ=+=+⋅=⎰⎰ 十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(x f y =，t s x =适合042222=∂∂+∂∂syt y ，求)(x f y =．解：21,y s y f f t t s t∂-∂''=⋅=⋅∂∂222223222211,y s s s y f f f f f t t t t t s s t t ∂∂--∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''==+⋅== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由已知222223222440,0,y y s s f f f t s t t t∂∂-⎛⎫'''''+=⇒+⋅+= ⎪∂∂⎝⎭即()()()()()()()2221420,40,4x f x xf x x f x x f x c '⎡⎤'''''++=+=+=⎣⎦()()1122,arctan 422c c xf x f x c x '==++ 十一、（本题4分）求方程的x y y 2cos 4=+''通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2r r i +==±非齐次项()cos2,f x x =，与标准式()()()cos sin x m l f x e P x x P x x αββ=+⎡⎤⎣⎦ 比较得{}max ,0,2n m l i λ===,对比特征根，推得1k =，从而特解形式可设为()()*12cos sin cos 2sin 2,k xn n y x Q x x Q x x e ax x bx x αββ=+=+⎡⎤⎣⎦**(2)cos2(2)sin 2,(44)sin 2(44)cos2y a bx x b ax x y a bx x b ax x '''=++-=--+-代入方程得14sin 24cos 2cos 2,0,4a xb x x a b -+=⇒==121cos 2sin 2sin 24y c x c x x x =+++十二、（本题4分）在球面2222a z y x =++的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.解：设点M 的坐标为(),,x y z ，则问题即8V xyz =在22220x y z a ++-=求最小值。
华南理工大学高等数学统考试卷下04期中卷答案.
πy
解答：改变积分顺序，
6
ππ
π
π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6
6
dy
cos
xdx
=
6
dx
x
cos
xdy
=
6
cos
xdx
=
1
0 yx
0 0x
0
2
二． 选择题（每小题 3 分，共 15 分）
πx 6
1．函数 f (x, y) = 3 x 2 y 在点（0，0）处（ B ）
（A ）不连续；
（B）连续，但偏导数 f（x′ 0，0）和 f（y′ 0，0）不存在；
高等数学
2004~2005 学年第二学期期中考试试卷
专业班级
姓名
学号
一． 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
→→
→
→
→→
→→
1．已知向量 a 与 b 垂直，| a |= 3，| b |= 4 ，则|（3 a− b）×（a− 2 b）|=
解答：
⎜⎛
3
→
a−
→
b
⎟⎞
×
⎜⎛
→
a−
2
→
b
⎟⎞
=
�� �� − 6a × b − b × a
+
2cos β
，其中 cosα，cos β
为l
的方向余弦；
（D） f（x，y）在点（0，0）处沿 x 轴负方向的方向导数为 −1。
∫∫ 3．设 f (x, y) 连续，且 f (x, y) = xy + f (x, y)dxdy ，其中 D 是由 y = 0, y = x2 , x = 1
D
所围成的区域，则 f (x, y) =（ C ）
广东高考理科数学试题含答案(Word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+Q 答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:11,,60,.2210(1)1(1)0B B =∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞U U 答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=L L .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=Q L L 答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆:答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),2f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈Q 解由得10sin 331030()3sin()3sin()3sin 3.444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f和2f的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f======解频率分布直方图如下所示(](](]0044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.BCξξ-=-=:根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝030，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠I I Q 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DCDE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=⋅======⋅∴====Q Q 为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,,22,0),,,431,0),ADFCP 1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλ==-⊥===-=u u u r u u u r u u u r u u u r Q u r u u u r u u r 解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅u u r u u u r u u r u u u ru r u u ru u r u r u u u r 利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q 依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=Q 解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(11(1).(2)0,1()2(2k k x x k x k D u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞----+-++∞==-⋅⋅Q Q U U 该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<-+<--+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。
华南理工大学高等数学统考试卷下2014试卷A及参考解答 打印版
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试2014-2015学年第二学期《微积分（下）》试卷（A 卷）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。
4分，共20分）1. 设y xy z )1(+=, 则=∂∂xz12)1(-+y xy y .2. 函数22ln y x z +=在点)1,1(处的全微分=z d y x d 21d 21+. 3. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的切平面方程为062=-++z y x . 4. 设曲线1:22=+y x L , 则曲线积分=+⎰Ls y x d )(2π2.5. 函数)cos(e yz u x =在原点)0,0,0(处的梯度为)0,0,1(.二、（本题8分）设方程组⎩⎨⎧=-=uv y u v x 222确定了隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u , 求x u ∂∂与x v∂∂.解. ⎩⎨⎧+=⋅-⋅=x x x x vu uv u u v v 0222或者⎩⎨⎧=+=⋅-⋅01x x x x vu uv u u v v , 22v u u u x +-=, 22v u vv x +=.三、（本题8分）设),(y x y x f z -+=, ),(v u f 有二阶连续偏导数, 求x z∂∂与y x z ∂∂∂2.21f f z x '+'=221122211211f f f f f f z xy ''-''=''-''+''-''= 四、（本题8分）计算二重积分⎰⎰=Dx y I σd 22, 其中D 是由直线2=y , x y =及双曲线1=xy 围成的闭区域.49d d 12221==⎰⎰yyx x y y I五、（本题8分）计算曲线积分⎰+++=Ly x x x x y I d )(sin d )1cos (, 其中L 为由点)0,(a A 至点)0,(a B -的上半圆弧22x a y -=(0>a ).a a yx x x x y y x I BAD221d )(sin d )1cos (d d 2-=+++-=⎰⎰⎰π其中D 是半圆域222a y x ≤+, 0≥y .六、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑=S z I d , 其中∑为圆锥面22y x z +=位于圆柱体x y x 222≤+内部分.2932d d 2d d 22cos 02222=⋅=⋅+=⎰⎰⎰⎰-θππθr r r yx y x I D其中D 是圆域x y x 222≤+.七、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑++=y x z x z y z y x I d d d d d d 333, 其中曲面∑是由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭曲面的外侧.)12(524d d sin d 3d )(32224020222-=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπϕϕθππr r r vz y x I其中Ω为已知两曲面围成的闭区域. 八、（本题7分）求微分方程y y x y ln tan ='通解.x xxy y y d sin cos d ln 1= C x y ln sin ln ln ln += x C y sin e =九、（本题7分）求微分方程x y y cos =+''的通解. 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+= 原方程的一个特解为x x y sin 21*=原方程的通解为x x x C x C y sin 21sin cos 21++=十、（非化工类做）（本题6分）判断级数∑∞=1!2sin n nn 的收敛性.!2!2sin n n nn ≤且10!2)!1(2lim1<=++→∞n n n n n ⇒级数∑∞=1!2n nn 收敛, 所以级数∑∞=1!2sin n n n 收敛.十一、（非化工类做）（本题6分）把函数x x x f arctan )(=展开为x 的幂级数, 并指出成立的区间.∑∑⎰⎰∞=+∞=+-=-=+=022020212)1(d )(d 11)(n n n n x n x x n x x x xx x x f其中11≤≤-x .十二、（非化工类做）（本题6分）设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛, n n n b c a ≤≤(*N ∈n ), 证明级数∑∞=1n n c 也收敛.⇒⎪⎭⎪⎬⎫-≤-≤∑∑∞=∞=收敛11,0n n n n n n n n b a a b a c ∑∞=-1)(n n na c收敛⇒∑∞=1n n c 收敛.十、（化工类做）（本题6分）求函数333y x axy z --=(0>a )的极值.由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322y ax z x ay z y x 得驻点),(),0,0(a a 在点)0,0(处0922<-=-a B AC , 从而在)0,0(处不取极值；在点),(a a 处02722>=-a B AC , 06<-=a A , 从而在点),(a a 处取极大值3a .十一、（化工类做）（本题6分）求微分方程0)d (cos d )3(sin 32=+++y x y x y x x 的通解.0d cos )d d (d sin 33=+++y y y x x y x x所求通解为.sin cos 3C y y x x =++-十二、（化工类做）（本题6分）证明曲面0),(=--cz ay bz ax F 上任一点处的切平面都平行于同一向量, 其中c b a ,,为非零常数.所给曲面在任一点处的法向量为),,(2121F c F b F a F a n '-'-''=它始终平行于向量),,(a c b .。
华南理工大学高等数学统考试卷下03期中dx (2)
2003-2004高等数学下册期中考试试卷（电材、新材）姓名： 班级： 成绩单号：一、单项选择题1、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的D(A)充分条件而非必要条件； (B) 必要条件而非充分条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分条件又非必要条件；2、[3分] 设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是 (A)y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y∂∂-=∂∂ (D) y z y x z x ∂∂-=∂∂ 3、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为 (A) 2a π (B)22a π (C) 0 (D) 22a π-4、[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx (A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2； (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4； (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210(D) 05、[3分]设1,1,:3-===x y x y D 围成的有限区域，而1D 为D 的第一象限部分，则()⎰⎰=+-D x dxdy y e xy )(sin 2(A) ⎰⎰-12sin 2D x ydxdy e (B) ⎰⎰12D xydxdy(C) ()⎰⎰-+12sin 4D x dxdy y e xy (D) 06、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 二、填空题1、[3分]设)cos()2cos()1(),()cos(y x y x e y x f xy +--+=π，则=')4,(ππy f 。
(完整版)华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三
《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a =5-． 2．设1()e d x yxf x y =⎰，则1()f x dx =⎰12e -． 3．设S 是立方体1,,0≤≤z y x 的边界外侧，则曲面积分567d d d d d d sx y z y z x z x y ++=⎰⎰Ò 3 ． 4．设幂级数nnn a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为()2,4-．5．微分方程2434exy y y x -'''+-=用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为()24e x y x ax bx c -=++．二、选择题1．函数22222222sin 2(),0,(,)0,2,x y x y f x y x yx y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩在点(0,0)处（ D ）．（A ）无定义； （B ）无极限；（C ）有极限但不连续； （D ）连续． 2．设sec(1)z xy =-，则zx∂=∂（ B ）． （A ）sec(1)tan(1)xy xy --； （B ）sec(1)tan(1)y xy xy --； （C ）2tan (1)y xy -； （D ）2tan (1)y xy --．3．两个圆柱体222x y R +≤，222x z R +≤公共部分的体积V 为（ B ）．（A）02d Rx y ⎰； （B）08d Rx y ⎰；（C）d RRx y -⎰； （D）4d R Rx y -⎰．4．若0n a ≥，1nn kk S a==∑，则数列{}n S 有界是级数收敛的（ A ）．（A ）充分必要条件； （B ）充分条件，但非必要条件； （C ）必要条件，但非充分条件； （D ）既非充分条件，又非必要条件．5．函数sin y C x =-（C 为任意常数）是微分方程22d sin d yx x=的（ C ）．（A ）通解； （B ）特解； （C ）是解，但既非通解也非特解； （D ）不是解． 三、求曲面e e4x y zz+=上点0(ln 2,ln 2,1)M 处的切平面和法线方程．解：{}{}022M 11e ,e ,e e 2,2,4ln 2//1,1,2ln 2xy x y z z z zx y n z z z z ⎧⎫=--=--⎨⎬⎩⎭r 切平面为()ln 2ln 22ln 212ln 20x y z x y z -+---=+-= 法线为1ln 2ln 22ln 2z x y --=-=-四、求通过直线 0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线1:L x y z ==．解：设过直线L 的平面束为()20,x y z x y λ-+-++= 即()(){}1120,1,1,1x y z n λλλλ+--+-==+-r第一个平面平行于直线1:L x y z ==，即有{}{}111,1,11,1,1210,2n s λλλλ⋅=+-⋅=+==-r r从而第一个平面为{}1111120,324,1,3,223x y z x y z n ⎛⎫⎛⎫--++-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r 第二个平面要与第一个平面垂直，也即{}{}11,3,21,1,11332260,3n n λλλλλλ⋅=-⋅+-=+-++=-+==r r从而第二个平面为4220x y z ++-=五、求微分方程430y y y '''-+=的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处与直线2240x y -+=相切．解：直线2240x y -+=为2,1y x k =+=，从而有定解条件()()01,02y y '==， 特征方程为()()212430,310,3,1r r r r r r -+=--===方程通解为312xx y c ec e =+，由定解的初值条件122c c +=3123x x y c e c e '=+，由定解的初值条件1231c c +=从而1215,22c c =-=，特解为31522x x y e e =-+ 六、设函数()f u 有二阶连续导数，而函数(e sin )xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂ 试求出函数()f u ．解：因为()()()()222sin ,sin sin xx x z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )xx x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂ ()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,uur r r f u c e c e --===-=+ 七、计算曲面积分222(cos cos cos )dS xy yx z αβγ∑++⎰⎰Ò， 其中∑是球体2222x y z z ++≤与锥体z ≥Ω的表面，cos α，cos β，cos γ是其外法线方向的方向余弦．解：两表面的交线为222222122122,0,1,1x y z z x y z z z z z z ⎧++=⎧+=⎪⇒===⇒⎨⎨==⎩⎪⎩原式()222xy z dv Ω=++⎰⎰⎰，投影域为22:1D x y +≤，用柱坐标:02,01,1r r z θπΩ≤≤≤≤≤≤原式)()2111122222rrd rdr rz dz r r z zπθπ=+=+⎰⎰⎰()(12220211r r r r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰()()()113134220013122t t dt r r r dr ππ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()11532452200221113125345t t r r r ππ⎡⎤⎛⎫=--⋅-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21181127022154551010πππππ⎡⎤⎛⎫=--+--=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭另解：用球坐标:02,0,02cos 4πθπϕρϕΩ≤≤≤≤≤≤原式()2cos 24222000sin 2cos sin d d d πϕπθϕρϕρϕρϕρ=+⎰⎰⎰()2cos 443302sin 2cos sin d d πϕπϕρϕρϕϕρ=+⎰⎰()545735022cos cos 2cos cos 5d ππϕϕϕϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎰1684579494216555658t t t t dt ππ⎛⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎭⎝6831161010t t π⎛=- ⎝2710π=八、试将函数2()e d xt f x t -=⎰展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）． 解：()220n=01()e d d n!n xxt n f x t t t ∞-⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭∑⎰⎰()()()21n=01,,!21nn x x n n ∞+-=∈-∞+∞+∑九、判断级数)0,0(1>>∑∞=βαβαn nn 的敛散性．解：()11lim lim 1n n n n n nu n u n ααβρββ++→∞→∞==⋅=+ 当01,1βρ<<<，级数收敛；当1,1βρ>>，级数发散； 当1,1βα=>时级数收敛；当1,01βα=<≤时级数发散十、计算曲线积分222(1e )d (e 1)d y y Lx x x y ++-⎰，其中L 为22(2)4x y -+=在第一象限内逆时针方向的半圆弧．解：再取1:0,:04L y x =→，围成半圆的正向边界 则 原式11222(1e )d (e 1)d y y L L L x x x y +=-++-⎰⎰()44200101122D dxdy x dx x x ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰十一、求曲面S ：222124x z y ++=到平面π：2250x y z +++=的最短距离．解：问题即求d =在约束222124x z y ++=下的最小值 可先求()()22,,9225f x y z d x y z ==+++在约束222124x z y ++=下的最小值点 取()()2222,,225124x z L x y z x y z y λ⎛⎫=++++++- ⎪⎝⎭()()42250,422520,x y L x y z x L x y z y λλ=++++==++++=()22222250,1224z z x z L x y z y λ=++++=++=0λ≠时212,41,,12x y z y y x z ====±==±，211521151111,,13,1,,123233d d +++---+⎛⎫⎛⎫==---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这也说明了0λ=是不可能的，因为平面与曲面最小距离为13。
(整理)华工-2011高数下期末试卷.
华工2010-2011高数下期末试卷一、填空题1、函数z=4x2+9y2在点（2，1）的梯度为gradz= ；2、函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值点是；3、假设L为圆x2+y2=a2的右半部分，则∫； 4、设A=e x siny i+(2xy2+z)j+xzy2k，L ds=则divA｜(1,0,1)= ；5、设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+e x都是方程（x2-2x）y‘‘(x2-2)y’+(2x-2)y=6x-6的解，则方程的通解为。
二、计算三重积分（），其中Ω是由x2+y2+z2=1所围成的闭球体。
三、证明：f(x，y)=︱︱在点（0，0）处连续，f x(0,0)与f y(0,0)存在，但在（0,0）处不可微。
四、设函数u（x，y）有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式x=rcosθ，y=rsinθ，将x- y变换为r，θ下的表达式。
，其中L为：五、计算²²（1）圆周（x-1）²+(y-1)²=1(按反时针方向)；（2）闭曲线︱x︱+︱y︱=1（按反时针方向）。
六、计算，∑是平面x+y+z=4被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分。
七、计算曲面面积分I=，其中∑为上半球面z=²²的上侧。
八、求微分方程+ = 的通解。
九、求微分方程2y‘’+y‘-y=2e x的通解。
十、（非化工类做）求幂级数()121141-∞=-∑⋅-nnnnxn的收敛域。
十一、（非化工类做）将函数f(x)=展开成麦克劳林级数，并确²定其成立区间。
十二、（非化工类做）设函数f(x)是以2为周期的周期函数，它在-上的表达式为f(x)=，将其展成傅里叶级数，并确定其成立范围。
十（化工类做）求微分方程（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy=0的通解。
十一（化工类做）计算，其中L为直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界。
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高等数学下册试卷2014．7．4姓名： 学院与专业： 学号：一、填空题[共24分]1、[4分]设432z x y x =+，则()1,2dz =3412dx dy +2、[4分]曲线cos :sin x a ty a t z ct=⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为0x a y z a c -==. 3、[4分] 已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,x fy = 04、[4分] 函数22z x y =+在点()01,2P 处沿从点()01,2P 到点(12,2P 方向的方向导数是1+5、[4分]设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分()()2224Lxy y dx x x dy -+-=⎰18π- 6、设L 为直线y x =上由点()0,0A 到点()1,1B 之间的一段，则曲线积分2Lxy ds =⎰.二、[7分] 计算二重积分222,x y Dxy e d D σ⎰⎰.是由1,0y x x ==所围成的闭区域解：作图知:01,0D y x ≤≤≤≤()22221112202112x yx yx yy De xy e d xy e dx y e dx y e dy σ⎡===-=-⎣⎰⎰⎰⎰⎰三、 [7分] 计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω.由222222x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定解：由交线22221222220,1,2x y z z z z z z x y⎧++=⎪⇒+-===-⎨=+⎪⎩（舍去） 于是投影区域为22:1D x y +≤，Ω柱坐标下为202,01,r r z θπ≤≤≤≤≤≤()221214624200011172124612r zdv d rdr zdz d r r r dr πππθθπΩ⎛⎫==--=--= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰四、 [7分] 计算()()22222xz dydz x y z dzdxxy yz dxdy∑+-++⎰⎰，其中∑为半球z =解：令2221:0,z x y a ∑=+≤取下侧。
则1∑+∑为半球体Ω的外侧，由高斯公式原式()()()122222222xy z dv xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy Ω∑=++-+-++⎰⎰⎰⎰⎰[]2252222000000sin 22cos 2sin 5aaa D d d d xydxdy d rco r rdrππππρθϕρϕρπϕθθθ+⎡⎤=+=-+⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4252522sin 545ar a a πππθ=+=（用对称性可以简化计算） 五、 [7分] 计算()1x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面()()221012z x y z =+≤≤解：,,x y z x z y dS ===，投影区域为22:2D x y +≤由对称性，原式(()2202211133dS d r πππ∑===+=⎰⎰⎰ 六、[7分]求22u x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值 解：令()222221L x y z x y z λ=-++++-则2221111202332201322,,,233220122133x y z x x x L x L y y y or y L z x y z z z z λλλλλλλ--⎧⎧⎧====+=⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-+=-⎪⎪⎪⎪⇒=⇒=±==⎨⎨⎨⎨=+=⎪⎪⎪⎪--⎪⎪⎪⎪++=⎩===⎪⎪⎪⎩⎩⎩122144122144,,3,,,3333333333333u u ⎛⎫⎛⎫--=---=--=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为3-七、[7分]设,x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y ∂∂∂∂∂.解：21212122222231111,z z x xf f f f f f f x y x y y y y y y ⎛⎫∂∂∂=⋅+⋅=+=--- ⎪∂∂∂∂⎝⎭八、[7分] 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解. 解：原式可以化为一阶线性微分方程1x y y xe x-'-= 由公式()111ln ln dx dx x x x x x x x xy e xe e dx c e xe e dx c x e dx c x c e -------⎡⎤⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 九、 [7分]设()f x 具有二阶连续导数，()()00,01f f '==，且()()()20x yx y fx y dx f x x y d y '⎡⎤+-++=⎡⎤⎣⎦⎣⎦是全微分方程，求()f x 其此全微分方程的通解。
解：由全微分方程的条件知()()()()2221,222,,10,x xy f x f x xy f x f x x r r i ''''+-=++=+==± 有特解有形式()*2f x ax bx c =++，代入原方程得()*22f x x =- 从而通解()()21212cos sin 2,sin cos 2f x c x c x x f x c x c x x '=++-=-++ 由初值条件121220,1,2,1,c c c c -==== 因此()22cos sin 2f x x x x =++- 原方程即为()()222cos sin 22sin cos 20xy x y x x x y dx x x x x y dy ⎡⎤⎡⎤+-++-+-+++=⎣⎦⎣⎦即()()222sin cos 22sin cos 202x y d yd x x x x x x dy ⎛⎫+-+++-++= ⎪⎝⎭()()22222sin cos 20,2sin cos 222x y x y d x x x y x x x y c ⎛⎫+-++=+-++= ⎪⎝⎭十、 [7分]（非化工类做）求幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域及其和函数解：由112lim lim 11n n n nan a n +→∞→∞+==+，从而()1,1,1R =-为收敛区间又1x =时级数发散（调和级数去掉第一项），1x =-时级数由莱布尼茨判别法知道其收敛，从而收敛域为[1,1)-设()01n n x S x n ∞==+∑，则()()101,1n n x S xS x n +∞===+∑()011n n xS x x x ∞='==⎡⎤⎣⎦-∑，()()()010ln 11xxS x xS x dx x x =-==---⎰ 因此()()1,0ln 1,10,01x S x x x x x =⎧⎪=-⎨--≤<<<⎪⎩十一、 [6分]（非化工类做）将函数()1ln1xf x x+=-展开成x 的幂级数 解：()f x 的定义域为()1,1-，()()()ln 1ln 1f x x x =+--()()()20011112,0ln1011n n n n n f x x x f x x ∞∞==⎡⎤'=+=-+===⎣⎦+-∑∑从而()()2102,1,121n n f x x x n ∞+==∈-+∑十二、 [6分]（非化工类做）证明： 在区间[],ππ-上等式()122201cos 124n n x nx n π-∞=-=-∑成立证明：对[],ππ-上的偶函数()22124x f x π=-作周期为2π的周期延拓，再作出其傅立叶级数由收敛定理即可推出。
由公式22230002201241212x x a dx x ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰()122222000122sin 1cos 0,cos 0124124n n x x nx nx n a nxdx d xd n n n n ππππππππ--⎛⎫⎛⎫>=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰0n b =，从而由收敛定理知道()122201cos 124n n x nx n π-∞=--=∑在[],ππ-上一定成立十、[7分]（化工类做）在曲面22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面42210x y z ---=平行。
解：曲面的法向量{}4,,1n x y =-应与平面平面42210x y z ---=的法向量平行，从而有411,1,4222x y y x -==⇒=-=--，由于切点在曲面上()221121122z ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 因此切平面为()()1421210,2102x y z x y z ⎛⎫--+--=---= ⎪⎝⎭十一、 [6分]（化工类做）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中()x ϕ可导，求dz解：对方程两边取微分得()22xdx ydy dz dx dy dz ϕ'+-=⋅++即()()()()12222dz dz dz xdx ydy dx dy x dx y dy ϕϕϕϕϕ'''''+=+⋅=+-⋅+=-+-()()221x dx y dy dz ϕϕϕ''-+-='+ 十二、 [6分]（化工类做）证明函数()()2222220,0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在原点()0,0处可微，但(),x f x y 在点()0,0处不连续解：由定义()()()00,00,00,0lim00x x x f x f f x →→-'===-同理()0,00y f '= 由于0000x x y y →→→→==从而函数(),f x y 在原点()0,0处可微。
当220x y +≠()()()3222221,2sin 22x f x y x x y x y x -⎡⎤'=+-+⋅⎢⎥⎣⎦(),2x f x y x '=+由于()()0,02,0x x x f x x f x →''=+不存在，因此(),x f x y 在点()0,0处由于()0lim ,x x y f x y →→'不存在而不连续。