线性相关的证明的方法
向量组的线性相关性
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
3§3 线性相关性
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定理2 定理2
设α1 ,α 2 ,⋯,α r 与 β1 , β 2 ,⋯, β s是两个向量组，如果 1）向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 可以经 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表 出， 2）r > s， 则向量组α1 ,α 2 ,⋯,α r 必线性相关 . 证明： 1 推论1
向量组
α i = (ai1 , ai 2 ,⋯, ain ), (i = 1,2,⋯, s )
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 + a21x2 +⋯+ as1xs = 0 a x + a x +⋯+ a x = 0, 12 1 22 2 s2 s ⋯ ⋯ ⋯ a1n x1 + a2n x2 +⋯+ asn xs = 0
§3 线性相关性
定义
所谓向量 α 与 β 成比例就是说有一数k使 成比例 α = kβ. 定义9 线性组合） 定义9（线性组合） 向量 α 称为向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 的一个线性组合 线性组合， 线性组合 如果有数域P中的数 k1 , k2 ,⋯, ks , 使 α = k1β1 + k2 β 2 + ⋯ + k s β s . 也称向量 α 可经向量组 β1 , β 2 ,⋯, β s 线性表出 .
结束
命题1 命题
任一个n为向量α = (a1 , a2 ,⋯, an ) 都是向量组
ε1 = (1,0,⋯,0),
ε 2 = (0,1,⋯,0),
⋯⋯⋯ ε n = (0,0,⋯,1)
的一个线性组合 . 事实上， α = a1ε1 + a2ε 2 + ⋯ + anε n . 向量 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 称为n维单位向量 . 维单位向量
线性相关性的判定
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例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E ( e1 , e2 , , en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数x , y , 使
y y 得x y 0, 不妨设x 0, 则 , 令k x x 即可. 必要性
不妨设 k , 则有1 ( k ) 0,由定义 知 , 线性相关.
由于此方程组的系数行列式 1 0 1 1 1 0 20 0 1 1
故方程组只有零解 x1 x 2 x 3 0，所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关.
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定理 5 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 , , m 线性相关, 则 向量组 B : 1 , , m , m 1 也线性相关.反言之, 若向
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
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证明 （1） A (a1 , , am ), B (a1 , , am , am 1 )，有 记
R( B ) R( A) 1.若向量组A线性相关, 则根据定理 2，有R( A) m ，从而R( B ) R( A) 1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关.
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量b能由向量 组A线性表示，且表示式唯一.
两个矩阵相乘证明线性相关
两个矩阵相乘证明线性相关矩阵相乘的线性性质的证明：一、矩阵相乘的定义1.1 什么是矩阵乘法矩阵乘法也称为矩阵相乘或矩阵运算，是指将两个同时具有矩阵乘法操作符律的矩阵进行乘法运算，得出一个新的矩阵。
两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数(n)要等于第二个矩阵的行数(m)，如果不满足这个条件，二者就不能相乘，只有满足这个条件，矩阵才能相乘。
1.2 矩阵乘法的性质①矩阵乘法不满足交换律，即A×B≠B×A.②矩阵乘法满足结合律，即(A×B)×C = A×(B×C).③矩阵乘法结果为一个新的矩阵，两个矩阵相乘得到的矩阵中元素是由两个乘积相加求和得到的。
二、矩阵相乘的线性性质证明2.1 等号不变性假设A,X为m×n矩阵，矩阵B是n×p矩阵，则有AX=B，可以推出A(X+Z)=B+G，其中X+Z,B+G也为m×p矩阵。
2.2 缩放性假设A，X为m×n矩阵，B为n×p矩阵，设Y是实数，则有AX=B，因此可以推出AY=BY，其中，AY和BY也为m×p矩阵。
此时，Y可以任意取值，且有时Y可以是负数，可见，这里已经显示了矩阵相乘存在线性关系。
2.3 可交换性设A，B，X，Y分别为m×n,n×p,m×n,n×p矩阵，则有AX=BY，因此可以推出XA=YB，也就是说，A，B可以在乘法运算中进行变换，也表明了其线性的特性。
综上所述，矩阵乘法的定义，满足等号不变性和缩放性，一定程度上证明了矩阵相乘满足线性关系，具有一定的可推广性、可变换性，是线性代数中非常常用的操作。
4.3 向量组的线性相关性
证 （方法1） 设 B 1, 2,L n , 且
有数x1,x2,…,xn，使得 x11 x22 L xnn 0,
即
x1
1, 2,L
,
n
x2
M
0,
xn
右边等式两边同时左乘矩阵A，得
ABx 0, 即 Ex 0, 所以 x 0, 即 x1 x2 L xn 0, 故由定义可知，
0
0
1
证 令 A (1,2,L ,n ),
则A恰为单位矩阵E，故R(A)=n。 根据判定定理，单位向量组线性无关。
例8
已知向量组 , ,
1
2
3
线性无关， 1
1
2
, ,
2
2
3
3
3
1
证明向量组 , ,
1
2
3
也线性无关.(典型考题,典型方法）
证明：（方法 1: 根据定义) 设有数k1,k2,k3,使得
则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关。
当且仅当k1 k2 L ks =0时，
表达式 k11 k22 L kss 0成立。
定理2
线性相关和无关的判定定理
1,2 ,L ,s 线性无关
x11 x22 L xss 0 仅有零解
对矩阵 A=(1,2,L ,s ), R( A) 向量的个数s.
例2 零向量是任何一个同维向量组的线性组合
Q 0 01 02 L 0m
线性表示的表示系数可以是零
例3 向量组中的任何一个向量都是该向量组的线性组合。
i 01 02 L 1i L 0m
例4 对如下向量
(0,1,2)T ,1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T ,3 (3, 4,0)T ,
线性代数 线性相关性与秩
将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
两个矩阵相乘证明线性相关
两个矩阵相乘证明线性相关把两个矩阵相乘证明线性相关是一件困难而又有趣的任务。
矩阵乘法可以用来表示向量或者函数之间的线性关系。
在这篇文章中，我们将讨论如何利用矩阵乘法来证明线性相关性。
首先，让我们来看看什么是矩阵乘法和矩阵相乘，它们之间有什么不同。
矩阵乘法是一种数学函数，它是两个矩阵相乘的结果，是将两个矩阵的元素相乘，再进行相加的操作。
而矩阵相乘就是将两个矩阵的元素相乘，最终结果是一个新的矩阵。
比如特定的两个矩阵A和B，此时矩阵A的每一行的元素与矩阵B的每一列的元素相乘，结果就是一个新的矩阵C，它的形状和A和B一样，元素是A和B中每一行和每一列元素相乘之后的和。
C矩阵中的每一个元素可以表示为A矩阵中每一行和B矩阵中每一列的线性关系。
以特定的两个矩阵A和B为例，A和B的大小都是n×n，则矩阵C的大小也是n×n，A的每一行元素与B的每一列元素相乘，它们的和就是C矩阵中的元素。
这样，每个元素Cij都可以表示为A中第i 行元素和B中第j列元素之间的线性关系。
换句话说，A矩阵中每一行元素与B矩阵中每一列元素之间都存在线性关系，只要符合矩阵乘法的规则，就可以得到这一关系。
如果我们想使用矩阵相乘证明线性相关，就要用下面的方法，通过计算A和B矩阵中的元素组合，来证明它们之间的线性相关。
首先，我们可以先将A和B中的每一行每一列的元素乘以一个常数，然后计算新的矩阵A’和B’中的每一行每一列的积。
由此，A’和B’的形状和A和B的形状一样，因此它们也满足矩阵乘法的规则。
接下来，我们只需用A’和B’来代替A和B，用矩阵乘法计算出新的矩阵C’，它的形状和A’和B’一样。
此时，C’矩阵中的元素就是A’矩阵中每一行元素和B’矩阵中每一列元素之间的线性关系，这就证明了A和B之间存在线性相关。
本文通过介绍矩阵乘法和矩阵相乘，以及如何利用矩阵乘法证明线性相关，来讨论如何利用两个矩阵相乘来证明线性相关。
而该过程又是一种线性运算，因此，可以利用上述方法实现线性相关性的证明。
线性相关与无关的判断方法
线性相关与无关的判断方法
在判断两个向量之间是否线性相关或线性无关时，可以采用以下方法：
1. 零向量判断法：如果向量中存在一条零向量（所有分量都为0），则这些向量线性相关。
2. 线性组合法：对于向量集合 {v1, v2, ..., vn}，如果存在一组称为非零标量 {a1, a2, ..., an}，使得 a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0（其中0表示全零向量），则这些向量线性相关；否则，它们线性无关。
3. 行列式法：将向量排列成一个矩阵，取这个矩阵的行列式。
如果行列式的值不等于0，则向量集合线性无关；如果行列式的值等于0，则向量集合线性相关。
4. 线性方程组法：将向量集合看作一个齐次线性方程组的系数矩阵，求解方程组。
如果方程组有非零解，则向量集合线性相关；如果方程组只有零解，则向量集合线性无关。
这些方法可以用于判断向量集合的线性相关性，并且不需要特定的标题来描述。
3-2-2向量组的线性相关性的判定
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
证明向量组线性相关性的方法
收稿日期:2002-03-22作者简介:栾召平,济宁广播电视大学教学处教师。
证明向量组线性相关性的几种方法栾召平(济宁广播电视大学,山东 济宁 272000) 摘 要:向量组线性相关性概念较抽象,等价命题多而易混,使“证明问题”成为教与学的难点。
抓住关键,突出重点,归纳出证明向量组线性相关性问题的几种方法,可以解决其难点。
关键词:向量组;线性相关;线性无关中图分类号:O151·2 文献标识码:A 文章编号:1008-3340(2002)02-00 一、定义法定义法就是紧扣下面定义进行分析、论证定义:设向量组α1,α2,……αs ,(S ≥1),若数域R 中存在不全为零的数k 1,k 2……,k s ,使k 1α1+k 2α2+……+k s αs =0,则称向量组α1,α2,……,αs 线性相关:否则,就称向量组α1,α2,……,αs 线性无关。
在等价定义中,要理解定义的内涵和外延。
现举例说明如下:例1:证明:α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关的充分必要条件是α1,α2,α3线性无关。
证:充分性,若k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α1+α3)=0即:(k 1+k 3)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3=0而由α1,α2,α3线性无关的条件,必有k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0易知上齐次线性方程只有唯一零解:k 1=k 2=k 3=0,所以α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关。
必要性(反证法)假设α1,α2,α3线性相关,存在不全为零的数x 1,x 2,x 3使x 1α1+x 2α2+x 3α3=0,令k 1+k 3=x 1k 1+k 2=x 2k 2+k 3=x 3易知上非齐次线性方程组有解k 1,k 2,k 3且不全为零。
于是k 1(α1+α2)+k 2(α2+α3)+k 3(α1+α3)=0即(k 1+k 3)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3=0这与α1+α2,α2+α3,α1+α3线性无关的条件矛盾。
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线性相关的证明的方法
说明两个变量之间存在线性相关的证明方法由分布状况、回归分析方法组成，这里我们以无母数的单变量回归分析为例，来简要介绍这种证明方法的具体过程。
首先，应该明确变量的分布状况，即有多少变量是正态分布的，多少变量是偏态分布的。
如果两个变量之间存在线性相关，那么变量应当小于量程值或大于量程值，而不应特别低或特别高才体现出两个变量之间的线性相关以及其协方差的变化趋势。
其次，我们需要利用回归分析方法，即构建回归线，利用数据来确定线性方程。
这里需要用到最小二乘法计算回归系数，即找到不同变量间的最佳拟合系数，可以用统计软件来进行计算。
计算出的结果如果R方值不是0，且大于预先设定的阈值，这就说明两个变量之间存在彼此较为相关，
最后，根据计算出的结果，可以进一步用统计显著性检验来验证两个变量之间存在正确的线性相关。
常用的统计显著性检验方法有t检验与F检验，在t检验中利用t统计量来检验两变量之间的线性关系，而F检验则利用F统计量来检验两变量之间的总体线性关系。
如果推断出的统计量的P值小于预先设定的阈值，该统计显著性就通过了，也就说明两个变量之间存在线性关系。