含非线性元件的电路计算问题.
非线性电路及其分析方法
3.非线性器件频率变换作用的分析
这部分的内容，主要介绍当给定一个非线性器件的伏安 特性幂级数多项式和输入信号的频率成分，来判断输出量中 会产生哪些频率分量。
假设某非线性器件在工作点VQ 附近的伏安特性曲线为
i a0 a1 (v VQ ) a2 (v VQ )2 a3 (v VQ )3
线性电路：输出与输入波形相似，频率成分相同 非线性电路：输出与输入波形失真，基频相同， 频率成分不同
第４章非线性电路及其分析方法-9
下面，我们定量分析频率变换
设 i av2 vi V1m cos1t V2m cos2t
i aV12m cos2 1t aV22m cos2 2t 2aV1mV2m cos1t cos2t
其中，0 为直流项；1(V1m cos1t V2m cos2t) 为线性项，
包含频率分量1 和2 ；平方项包含的频率分量有直流 21 、 22 、1 2 和1 2 ；
第４章非线性电路及其分析方法-14
i 利用三角公式 将三次项展开整理后， 中的频率成分如下
3 (V1m cos1t V2m cos2t)3 3 (V13m cos3 1t 3V12mV2m cos2 1t cos2t 3V1mV22m cos1t cos2 2t V23m cos3 2t)
静态电感：
LQ IQ
动态电感： L(i) d di
第４章非线性电路及其分析方法-6
4.2.2 非线性电路特点
由线性元件组成的电路叫做线性电路，如无源滤波器，低频和高频小 信号放大器等；由非线性元件组成的电路叫做非线性电路，如本课程中 之后要讲的功率放大器，振荡器，及各种调制解调电路等。非线性电路 的实质是输出产生了新的频率。
非线性元件问题的分析
０ ４ ＝ １． 。２ Ａ ６ ８Ｗ ， ｚ宴 ＝ １ ０Ｖ × ０ ２ Ｐ ５ 。 ４Ａ ＝ ３ Ｗ 。 ６
图
１
图
２
例 ３ 小 明利 用标 有“ Ｖ Ｗ”的灯泡 Ｉ 和 ６ ６ ｔ
“Ｖ ３ ６ Ｗ”的灯泡 Ｌ 吃进行 实验 。
解 析 （ ） 图 １可 以看 出， 明元件 Ａ 中 １从 表
乙
３
（ ）当 Ｌ １ 正 常 发 光 时 ， 过 Ｌ 通 ２的 电 流 为
Ａ；
Ｊ 一 ０ ３ 由 电功率 Ｐ— ＵＩ ， ． Ａ。 得 元件 Ａ 的电功
率为 Ｐ ＾一 Ｕ ＾＝ ０ ４ Ｊ ． Ａ×２ ＝０ ８ ； Ｖ＝ ． Ｗ 再根 据并 ＝
（ ） 图３ ２如 甲所 示 ， Ｂ分 别 为 通 过 灯 泡 Ｌ Ａ，
于是 用直尺平 行于横 坐标 平移 ， 直至 【甲十Ｕ 一 ２ Ｖ ， 图 可 查 得 此 时 Ｉ ， ０ ２ 由 一
０２ ． ４Ａ ， 一 ７ Ｖ ， ｚ Ｕ ０ Ｕ ．＝ １ ０Ｖ 。 ５
．
／Ｉ ／
Ａ／ ／ ／ ／Ｂ ／ ／
／
它 们 的 实 际 功 率 分 别 为 Ｐ甲 实一 ７Ｏ Ｖ×
和 Ｌ 中 的电流 随两端 电压变化 关 系的 曲线 。 现
Ｖｏ． ６ Ｎｏ ３ ０ １２ ． ３
物
理
教
学
探
讨
第２ ６卷 总第 ３ ０期 ３
２０ ０ ８年 第 １ ２期 （ 半 月 ） 下
（ １ ．２ ０ Ｘ） ２ ０８
．３ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉ ｏ ｒ ａ ｆ ｙ ｉｓ ａ ｈｎｇ
电流与 它两 端 电压之 间的关 系遵循 欧姆定 律 。
非线性电路分析法
1）半流通角 电流流通时间所对应的相角叫流通角，用
叫做半流通角或截止角。有 c
2c 表示，
上式来自以下推导：
vB VBB Vbm cost
iC gc (vB VBZ )
gc (VBB Vbm cos t VBZ )
当wt＝θc时，iC＝0。代入上式即得。
21
2）集电极电流脉冲
iC gc (VBB Vbm cos t VBZ )
式 sin cos 1 sin( ) 1 sin( )
2Hale Waihona Puke 2cos sin 1 sin( ) 1 sin( )
2
2
9
3，幂级数分析法的具体应用举例 设非线性元件的静态特性用三次多项式表示
i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 )2 b3 (v V0 )3
工作范围尿限于特性曲线得起始弯曲部分因此可以用幂级数的前三项来近似3结合输入电压的时间函数求电流写出静态特性的幂级数表示式后将输入电压的时间函数代入然后用三角恒等式展开并加以整理即可得到电流的傅立叶级数展开式从而求出电流的各频谱成分
非线性电路分析法
变系数线性微分方程、非线性微分方程的求解问题:
1 困难
3）电流中的直流成分、偶次谐波以及组合频率系数之和为偶数的各种组合频率成 分，振幅只与幂级数的偶次项（包括常数项）有关；奇次谐波等的组合频率成分， 振幅则只与幂级数的奇次项有关。
14
4）m次谐波以及系数之和等于m的各个组合频率成分，振幅只与幂级数中等于及 高于m次的各项系数有关。
5）所有组合频率都是成对出现的。 掌握这些规律很重要。 可以利用这些规律，根据不同的要求，选用具有适当特性的非线性元 件，或者选择合适的工作范围，以得到所需的频率成分，而尽量减弱 甚至消除不需要的频率成分。
1.4 非线性电路的分析方法
1.4 非线性电路的分析方法如前所述，在小信号放大器的分析和设计中, 通常是采用等效电路法，以便采用经典电路理论来进行分析、计算。
线性电路中，通常信号幅度小，整个信号的动态范围在元器件特性的线性范围内，所以器件的参数均视为常量，可以借助于公式计算电路的性能指标。
“模拟电子技术基础”课程中“低频小信号放大器”以及本课程中 “高频小信号谐振放大器”的分析中都涉及线性电路的分析。
在通信电子线路中，除了小信号放大电路外，有源器件还常工作在大信号或非线性状态。
与线性电路相比，非线性电路的分析和计算要复杂得多。
在非线性电路中，信号的幅度较大时，信号的动态范围涉及元器件特性的整个范围，半导体器件工作在非线性状态。
它们的参数不再是常数而是变量了。
因此，难以用等效电路和简单的公式计算电路了。
此外，在线性、非线性频谱搬移电路中，都涉及非线性电路的分析方法。
非线性电路的分析是本课程中的重要内容。
分析非线性电路时，常用幂级数分析法、指数函数分析法、折线分析法、开关函数分析法和时变参数分析法等。
1.4.1 幂级数分析法常用的非线性元器件的特性曲线大都可以用幂级数来表示。
在小信号运用的条件下，可以将一些非线性元器件的特性曲线用幂级数近似表示，使问题简化。
用这种方法分析非线性电路，虽然存在一定的准确性问题，但可以较好地说明非线性器件的频率变换作用。
因此在小信号检波、小信号调幅等电路分析时常常采用。
下面以图1.4.1所示电路为例，介绍幂级数分析法。
图中二极管是非线性器件，所加信号电压u 的幅度较小，称为小信号；L R 为负载， 0U 是静态工作点电压。
设流过二极管的电流i 函数关系为：)(u f i =若该函数)(u f 的各阶导数存在，则这个函数可以在静态工作点0U 处展开成幂级数(或称为泰勒级数)。
+-+-+-+=300///200//00/0)(!3)()(!2)())(()(U u U fU u U fU u U f U f i+-+-+-+=303202010)()()(U u b U u b U u b b （1-4-1）式中 0)(00U u iU f b ===为工作点处的电流u LR 图 1.4.1 二极管及其伏安特性(a)o(b)Id d )(0/1U u ui U f b === 为过静态工作点切线的斜率，即跨导；0220//2d d !21)(U u ui U f b ===kk0k k d d !1)(U u ui K U f b ===如果取00=U ，即静态工作点选在原点，则式（1-4-1）可写为 ++++=332210u b u b u b b i （1-4-2）从数学分析来看，上述幂级数展开式是一收敛函数，幂次越高的项其系数越小。
用图象法巧解非线性元件问题(1)
用图象法巧解非线性元件问题闭合电路中常常需要求解非线性元件的电流、电压及消耗的功率问题。
因为非线性元件(如二极管、热敏电阻、实际灯泡)的伏安特性曲线不是直线，所以在不同电压(电流)下阻值不同。
如何找到非线性元件工作时的电压值电流值便是解题的关键。
下面，作者对这个类问题展开探讨。
(1)交点法求非线性元件工作电压和电流：将电源与非线性元件组成闭合电路，能够证明，非线性元件I－U图象与电源I－U图象交点就是非线性元件的工作点。
此点的电压即是该元件的工作电压，又是闭合电路的端电压；此点的电流既是元件的工作电流又是干路电流。
例1：如图所示，直线A为电源的U－I图线，曲线B为灯泡电阻的U－I图线，用该电源和小灯泡组成的闭合电路时，电源的输出功率和电源的总功率分别是( )A．4 W、8 WB．2 W、4 WC．2 W、3 WD．4 W、6 W解析：由电源的U－I图可知E＝3伏，由两图象交点知，该电源和小灯泡组成闭合电路时I＝2 A，U＝2 V，电源的输出功率P出＝UI＝4 W，总功率P总＝IE＝6 W，故D项准确。
(2)斜率法求非线性元件电阻的变化趋势：非线性元件I－U图象上某点切线的斜率虽然不是电阻的倒数，但斜率的变化趋势能准确反映非线性元件电阻的变化情况。
斜率增大时，电阻减小；斜率减小时，电阻增大。
=4Ω，例2：某一导体的伏安特性曲线如图所示，由图可知，B点所对应的电阻值：R=UI不是切线的斜率值。
但能够判断电阻随电压的增加而增大。
(3)面积法求非线性元件消耗的功率：取非线性元件伏安特性曲线上任意一点(I1、U1)分别向I轴、U轴做垂线，则所得矩形面积大小为元件此刻消耗的功率。
(4)作图法求非线性元件工作电压电流问题：对非线性元件，因为电流及其两端的电压，既要满足非线性元件的I －U 图象，又要受到闭合电路欧姆定律的约束，所以能够先找出约束的函数表达式，然后，在同一个坐标系中作出对应的图象，两个I －U 图象的交点，即为通过非线性元件的工作电流值(或电压值)。
非线性电路特性及分析方法
ic
gC
ICEO
uห้องสมุดไป่ตู้E
O
uCE
范围很大， 例：（以晶体管三极管 转移特性为例）当晶体 管的转移特性曲线运用 范围很大， ：（以晶体管三极管 转移特性为例） 来近似， 如图示的 AOC ，可用 AB 和 BC 两直线段所构成的折线 来近似， ( i = 0 v B < V BZ ) 折线的数学表达式为： c 折线的数学表达式为： ic = g c ( v B − V BZ ) B > V BZ ) (v 式中， 截止电压； 跨导， 的斜率。 式中， V BZ－特性曲线折线化后的 截止电压； g c－跨导，即直线 BC 的斜率。 设基极输入端加入反向 直流偏置电压 − V BB 及余弦信号 Vbm cos ω t，则 基极输入电压为： 基极输入电压为： v B = −V BB + Vbm cos ω t 此时， 时三极管导通， 此时，只有 v B > V BZ 时三极管导通，其余时 间 截止， 变成余弦脉冲波形。 截止，即 ic变成余弦脉冲波形。电 流流通时间 对应的相角以 2θ c 表示， θ c简称导通角。 表示， 简称导通角。
3、折线法：大信号作用下 、折线法：
大信号作用下，所有实际的非线性元件几乎都会进入饱和或截止状态， 大信号作用下，所有实际的非线性元件几乎都会进入饱和或截止状态， 此时元件的非特性的突出表现是截止、导通、 此时元件的非特性的突出表现是截止、导通、饱和几种不同状态之间的 轮换，特性曲线上一些局部弯曲的非线性影响可忽略， 轮换，特性曲线上一些局部弯曲的非线性影响可忽略，元件的伏安特性 可用分段折线逼近（折线特性本质是一种开关特性） 可用分段折线逼近（折线特性本质是一种开关特性）
第5章 非线性电路特性及分析方法
非线性电路功率放大器练习题
非线性电路功率放大器练习题一、选择题1为获得良好的调幅特性，集电极调幅电路应工作于________________ 状态。
A •临界B •欠压C.过压 D •弱过压2、丙类谐振功放其谐振回路调谐于____________ 分量A .基波B .二次谐波C.其它高次谐波 D .直流分量3、利用非线性器件相乘作用来实现频率变换其有用项为 _____________ 。
A、一次方项B、二次方项C、高次方项D、全部项4、_________________________________________________________ 影响丙类谐振功率放大器性能的主要参数不包括___________________________________________A、V CCB、V BBC、V bmD、R i5、要求本振信号功率大，相互影响小，放大倍数大，宜采用 ______________ 混频电路。
A、基极输入，发射极注入B、基极输入，基极注入C、发射极输入，基极注入D、发射极输入，发射极注入6、在保持调制规律不变的情况下，将输入的已调波的载波频率f s变换成固定的中频f i的过程称为_______ 。
A.调制B.解调C.倍频D.变频7、有一超外差接收机，中频在f| = f L - f s =465KHz，当接收f s =580KHz的信号时，产生中频干扰的电台的频率是 ________ ，而产生镜频干扰的电台的频率是__________ 。
A. 1510KHzB.1045KHzC. 465KHzD. 930 kHz8、下面的几种频率变换电路中，________ 不是频谱的线性搬移。
A .调幅B包络检波 C •调频 D .混频9、某电路的输入频谱为 f 1 ;输出频谱为」二；'，则电路功能为____________ 。
A.检波B.变频C.调幅D.调频10、能够实现双向混频的电路是________ 。
10-4 非线性电阻电路的数值解法
二、牛顿-拉夫逊算法 1.非线性代数方程 实例 在图示电路中，R为 电压控制型非线性电阻，其伏-安 特性的数学函数表达式为I=fR(U) (如 I=U+AU -B ，A和B为常数) 。 3 求非线性电阻R 的静态工作点。 根据KVL有 U+RinI=U+RinfR(U) =UOC 令 f(x)=U+RinfR(U)-UOC= 0
……
f ( x (n)) x(n+1) = x (n) f ( x(n))
当 x (n-1)-x n ≤e (误差要求)时停止迭代，求得解。 理论依据 f(x)
以初始猜测值 x (1) f (x (1)) 找到非线性方程 f(x )=0 的猜测解 f(x (1 )) ； 以 f(x (1)) 处的线性 方程F(x)=0(切线)，使 用迭代公式逐步逼近 真解。
(6)牛顿-拉夫逊法对复杂非线性电阻电路不易找到全 部解。
提示：自学教材P322例题一
10-5 非线性电阻电路的小信号分析法
一、小信号和动态电阻 1.小信号 在直流和交变电源共同激励下的非线性电路中，若交变 激励源的幅值(或有效值)远远小于直流值， 则此交变激励源称为小信号。
在非正弦激励下的非线性电路中，若交流分量的幅值(或 有效值)远远小于直流分量，则此交流分量称为小信号。
-
10-5 其它非线性元件 一、非线性电容 定义：电容上的电荷q与其 两端的电压u成非线性函数关系， 即q=f(u)为非线性函数。 二、非线性电感 定义：电感上的磁链y与产 生该磁链的电流i成非线性函数 关系，即y=f(i)为非线性函数。 三、非线性受控电源 定义：在4种受控电源的控 制关系中，控制系数为常数，但 受控量与控制变量不是线性正比 关系，则为非线性受控电源。
非线性电路
非线性电路学习报告电路是由电气、电子器件按某种特定的目的而相互连接所形成的系统的总称。
当电路中至少存在一个非线性电路元件时（例如非线性电阻、非线性电感元件等），其运动规律要由非线性微分方程或非线性算子来描述，我们称之为非线性电路或非线性系统。
一、非线性电路的特点：1、非线性电路不满足叠加定理是否满足叠加定理是线性系统与非线性系统之间的最主要区别。
2、非线性电路的解不一定唯一存在对于仅由非线性电阻元件组成的电阻性电路，或考察非线性动态电路的稳态性质时，其电路的特性有一组非线性代数方程来描述。
这组方程可能有唯一解，也可能有多个解，甚至可能根本无解。
因此，在求解之前，应该对系统的解得性质进行判断。
3、非线性系统平衡状态的稳定性问题线性系统一般存在一个平衡状态，并且很容易判断系统的平衡状态是否稳定。
而非线性系统往往存在多个平衡状态，其中有些平衡状态是稳定的，有些平衡状态则是不稳定的。
4、非线性电路中的一些特殊现象在非线性电路中常常会发生一些奇特的现象，这些奇特的现象在过去和现在一直都是非线性电路理论的重要研究课题，促进了非线性理论的研究和发展。
例如，非线性电路在周期激励作用下的次谐波振荡和超次谐波振荡；系统解的形式因为参数的微小变化而发生本质性改变的分叉现象；对于某些非线性电路和系统，还会出现一种貌似随机的混沌现象。
分叉和混沌现象的研究大大丰富了非线性系统科学的理论，促进了系统科学的发展。
二、非线性电阻电路非线性电阻电路研究的内容大体可分为理论定性分析和定量分析两大部分。
理论定性分析主要研究非线性电阻电路解得存在性和唯一性问题。
对于由无源电阻网络组成的网络，其无增益性质也是研究的重要内容之一。
定量分析大体包含四个方面：一是图解分析法和小信号分析法，二是数值分析方法，三是分段线性化方法，四是友网络法。
1、图解分析方法图解分析法用来解决简单非线性电阻电路的工作点分析、DP图和TC图分析等问题。
(1)曲线相交法：将其中一些非线性元件用串并联方法等效为一个非线性电阻元件，将其余不含非线性电阻的部分等效一个戴维南电路，画出这两部分电路的伏女關线，它们的交点为电路的丄作点，或称为静态丄作点Q(U Q,I Q)O图1曲线相交法(2)DP图法：若某非线性一端口网络的端口伏安矢系也称为驱动点特性曲线DP确定，则已知端口的激励波形，通过图解法可求得响应的波形。
非线性电路讲解
谢谢
伏安特性可以看成G1、 G2 、G3三个电导并联后 的等效电导的伏安特性 。
G2 =Gb- Ga G3=Gc- Gb
1.3 工作在非线性范围的运算放大器
1.理想运算放大器的饱和特性
uu+ iud i+ _ + ∞ + Usat uo o ud uo
有关系式： i 0 i 0
-Usat
解
u 100i i 3 100 0.01 0.013 1 10 6 V 忽略高次项， u 100 0.01 1
性化引起的误差很小。
当输入信号很小时，把非线性问题线 表明
3.非线性电阻的串联和并联
①非线性电阻的串联
i1
i2
i i1 i2 u u1 u2
把伏安特性分解为三个特性： 当u < U1有： G1u =Gau
G1=Ga
Ga
U1 U2
当U1 <u < U2，有：
i
G1u+G2u =Gbu G1+G2 =Gb
当U2 <u ，有： o Ga U1
Gb
U2
Gc u
G1u+G2u +G3u=Gcu G1+G2 +G3=Gc
解得： G =G 1 a
结论 隧道二极管的
u
u
非线性电阻在某一工作状态 下(如P点)的电压对电流的导数。
注意
①静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当P点 位置不同时，R 与 Rd 均变化。 ②对压控型和流控型非线性电阻，伏安特性曲 线的下倾段 Rd 为负，因此，动态电阻具有 “负电阻”性质。
例 一非线性电阻的伏安特性 u 100i i
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含非线性元件的电路计算问题
天津市宝坻区教研室（301800）戴军
若加在电路元件两端的电压跟通过元件电流的比值——电阻不是常数，而是随着所加电压的变化而变化，则此元件就称为非线性元件。
比如白炽灯泡实际上就属于此类元件，它的电阻并非是一个常数，只是在平时所遇到的习题中把它进行了理想化处理，认为灯丝的电阻不变。
为了考查学生在新的情境下处理物理问题的能力，在近年的各地中考试题中，陆续出现了一些包含非线性元件的电路计算问题。
初次接触，许多同学感到茫然无措。
其实解答这类含非线性元件的电路问题并不难，关键是要充分利用已知的非线性元件的U —I图象，并根据电路的特点确定非线性元件两端的电压与电流应满足的关系，进而求得相应的U、I值及所需结果。
例1 （2004年，南京市中考题）在某一温度下，两个电路元件A和B中的电流与两端电压的关系如图1所示。
（1）由图可知，元件________中的电流与它两端电压之间的关系遵循欧姆定律。
（2）将A和B并联后接在电压为2V的电源两端，求元件A的电功率及通过A和B的总电流。
解析：（1）从图1可以看出，表示元件A中的电流随电
压的变化而变化的图线是一条直线，说明通过A 的电流是与
其两端的电压成正比变化的；而表示元件B中的电流随电压
的变化而变化的图线是一条曲线，说明通过B 的电流并不与
其两端的电压成正比变化。
因此，A、B中，仅是元件A中的
电流与它两端电压之间的关系遵循欧姆定律。
图1 （2）将A和B并联后接在电压为2V的电源两端，根据并联电路特点可知，A和B两端电压均为2V。
又从图1所示的U —I图象可以看出，当元件A、B两端的电压均是2V时，通过A的电流是0.4A，通过B的电流是0.3A。
于是由P=UI，可计算出元件A的电功率为=0.4×2=0.8（W）；再根据并联电路的电流特点，可知通过A
P
和B的总电流为I=I A+I B=0.4 + 0.3=0.7（A）。
例2图2所示是甲、乙两只普通白炽灯泡的I—U图象。
（1）求出两只灯泡正常发光时的电阻分别是多少；
（2）两只灯泡串联在220V的照明电路中，求每只
灯消耗的实际功率为多大？
（1）普通白炽灯泡正常发光时，两端的电压应是220V。
解析：
由图2所示的I—U图象可以看出，当甲、乙两端电压均是220V 图2
时，甲灯对应的电流是I甲=0.45A,，乙灯对应的电流是I乙=0.28A。
于是根据R=U/I，求得两只灯泡正常发光时的电阻分别是R甲=220/0.45=488.9（Ω）、R乙=220/0.28=785.7（Ω）（2）甲、乙两只灯泡串联在220V的照明电路中，根据串联电路特点，它们两端的电压之和是220V，并且通过甲、乙两灯的电流是相等的。
于是用直尺平行于横坐标平移，直至U甲+U乙=220V，由图便可查得此时I=0.24 A ,U甲=70V，U乙=150V。
进而可求得此时它们的实际功率分别为P甲实=70×0.24=16.8（W ），P乙实=150×0.24 =36（W）。