组合最优化对策问题的思考
组合优化问题的解决方法探究
组合优化问题的解决方法探究组合优化问题是指在一组有限元素中，找到一个最优的子集，使其满足特定的条件。
这类问题广泛存在于各个领域，例如生产调度、网络优化、人员分配等等。
因此，研究组合优化问题的解决方法具有重要的理论和实践价值。
一、贪心算法贪心算法是一种简单而有效的解决组合优化问题的方法。
它基于局部最优解来构造全局最优解。
在每一步操作中，贪心算法总是选择局部最优解，并在此基础上进行下一步操作。
例如，在旅行商问题中，贪心算法可以按照距离从近到远地选择下一个城市，直到遍历完所有城市为止。
这种方法的优点在于简单易懂，而且有时候可以得到全局最优解。
但是，在有些问题中，贪心算法可能会陷入局部最优解而无法得到全局最优解。
二、动态规划动态规划是一种基于递推的高效解决组合优化问题的方法。
它将原问题分解成若干个相互重叠的子问题，然后通过计算每个子问题的最优解来构造原问题的最优解。
例如，在背包问题中，动态规划算法可以通过构造状态转移方程来计算每个物品是否放入背包，从而得到最大价值的解决方案。
这种方法的优点在于能够得到全局最优解，而且在某些情况下比贪心算法更为高效。
但是，动态规划算法需要存储大量的中间结果，因此需要消耗大量的存储空间。
三、分支定界算法分支定界算法是一种高效而通用的解决组合优化问题的算法。
它将原问题不断分解成子问题，并通过剪枝操作来排除无效的分支，从而找到最优解。
例如，在旅行商问题中，分支定界算法可以通过将问题分解成多个子问题，然后仅仅保留最有可能得到最优解的子问题，逐步缩小搜索空间，最终找到全局最优解。
这种方法的优点在于不需要存储大量的中间结果，而且能够在相对短的时间内找到最优解。
但是，分支定界算法要求问题中的约束条件能够被形式化表达，否则会难以应用。
四、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于概率的解决组合优化问题的方法。
它通过随机化搜索，以一定概率接受不满足约束条件的解，从而避免陷入局部最优解。
例如，在旅行商问题中，模拟退火算法可以通过随机化选择下一个城市的方式，以一定概率接受差于当前解的解决方案。
组合优化问题的模型与算法分析
组合优化问题的模型与算法分析在当今复杂多变的世界中，组合优化问题无处不在。
从物流运输的路径规划，到生产线上的任务分配，从通信网络的资源配置，到金融投资的组合选择，组合优化问题的身影贯穿于各个领域，影响着我们的生活和工作效率。
那么，究竟什么是组合优化问题？又有哪些模型和算法可以帮助我们有效地解决它们呢？组合优化问题，简单来说，就是在一个有限的集合中，寻找出满足特定条件的最优元素组合。
这里的“最优”通常是指在某个给定的目标函数下，能够取得最大值或最小值的组合。
目标函数可以是成本最小化、利润最大化、时间最短化等等，而满足的条件则可能包括资源限制、技术要求、法规约束等。
为了更好地理解和解决组合优化问题，人们提出了各种各样的模型。
其中，最常见的有整数规划模型、图论模型和动态规划模型。
整数规划模型是将问题中的变量限制为整数的一种数学规划模型。
比如，在决定是否要在某个地点建设工厂时，我们可以用 0 表示不建设，用 1 表示建设，这样就将问题转化为了一个整数规划问题。
整数规划模型能够精确地描述许多实际问题，但由于其求解难度较大，在处理大规模问题时往往会遇到计算瓶颈。
图论模型则是利用图的结构来表示问题。
例如，在交通网络中，城市可以看作图的节点，道路可以看作图的边，通过对图的分析来寻找最优的路径。
图论模型直观形象，对于一些具有明显网络结构的问题非常有效。
动态规划模型是将一个复杂的问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过求解子问题来逐步得到原问题的解。
它适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
有了模型，接下来就需要算法来求解。
常见的算法包括精确算法和启发式算法。
精确算法能够保证在有限的时间内找到问题的精确最优解。
其中，分支定界法是一种常用的精确算法。
它通过不断地将问题的解空间进行分支和界定，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。
但精确算法的计算时间往往随着问题规模的增大而呈指数增长，对于大规模问题往往难以在可接受的时间内得到结果。
组合优化问题的求解方法研究
组合优化问题的求解方法研究随着现代社会信息爆炸的日趋加剧，数据量越来越大，以至于许多决策问题在实践中变得越来越复杂。
针对这些问题，人们开始使用数学模型对问题进行建模，利用计算机等工具对模型进行求解，以获得决策的正确性和优化性。
组合优化问题就是这样的一类典型问题，主要研究对象是如何在一定约束条件下，寻找最优或次优的解。
本文将就组合优化问题的求解方法进行阐述和探究。
一、组合优化问题的定义组合优化问题是指在离散范围内，寻找特定规则下的最优或次优解的问题，即在给定的问题结构和目标函数下，寻找最优或次优的决策。
在组合问题中，需要考虑多个因素，包括但不限于边界条件、约束条件、优化目标等。
这种问题通常被抽象为一个图或矩阵模型，通过寻找最优或次优的决策，达到优化目标的效果。
二、组合问题的类型基于组合问题的模型建立方法，组合问题可以分为以下几类：1.排列问题在排列问题中，要求从一定数量的元素中选择一定的元素进行有序排列。
常见的排列问题包括全排列、置换、循环序列等。
例如，在三个元素ABC中，选择两个元素进行排列，则有AB、AC、BA、BC、CA、CB这6种可能方案。
2.组合问题在组合问题中，要求在一定数量的元素中选择一定的元素进行不同顺序的无序组合。
常见的组合问题包括组合数、多重集组合数、扩展欧拉公式等。
例如，在三个元素ABC中，选择两个元素进行组合，则有AB、AC、BC这3种可能方案。
3.图和网络问题在图和网络问题中，研究的是在网络中寻找最优的路径、最大流量或者最短距离等问题。
例如，在一个由ABCD四个节点组成的网络中，从节点A到节点D需要花费10个单位时间，从节点A到节点B需要花费5个单位时间，求从节点A到节点D的最短时间路径。
4.集合覆盖问题在集合覆盖问题中，要求在指定的集合中，选择最少的子集合，使得所有的元素都被覆盖。
例如，有5个集合A、B、C、D、E，每个集合包含一个或多个元素，如图所示：给定可用的覆盖方案，要求选择最少的覆盖方案，使得所有元素都被覆盖。
组合优化问题的分析与求解
组合优化问题的分析与求解在我们的日常生活和工作中，经常会遇到各种各样需要做出最优决策的情况。
比如，物流运输中如何规划路线以最小化成本，生产线上如何安排工序以最大化效率，资源分配中如何分配有限的资源以满足最大的需求等等。
这些问题都属于组合优化问题，它们的共同特点是在有限的可行解集合中，寻找一个最优的解。
组合优化问题是一个具有广泛应用和重要意义的研究领域。
它不仅在数学、计算机科学、运筹学等学科中有着深厚的理论基础，还在工程、管理、经济等实际领域中发挥着重要的作用。
解决组合优化问题，可以帮助我们提高生产效率、降低成本、优化资源配置，从而实现更好的经济效益和社会效益。
那么，什么是组合优化问题呢？简单来说，组合优化问题就是在给定的约束条件下，从有限个可行解中找出一个最优解的问题。
这些可行解通常是由一些离散的元素组成，比如整数、集合、排列等。
而最优解则是指在满足约束条件的前提下，使得某个目标函数达到最大值或最小值的解。
组合优化问题的一个典型例子是旅行商问题（Travelling Salesman Problem，TSP）。
假设有一个旅行商要访问 n 个城市，每个城市只能访问一次，最后要回到出发城市。
已知城市之间的距离，那么如何规划旅行路线，使得旅行的总距离最短？这个问题看似简单，但实际上是一个非常复杂的组合优化问题，因为可能的路线数量随着城市数量的增加呈指数增长。
再比如背包问题（Knapsack Problem）。
有一个背包，其容量有限，同时有一系列物品，每个物品有一定的价值和重量。
如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的容量限制？这也是一个常见的组合优化问题。
为了求解组合优化问题，人们提出了许多方法。
其中，精确算法是一种能够保证找到最优解的方法，但它们通常只适用于规模较小的问题。
例如，分支定界法就是一种常见的精确算法。
它通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行评估和剪枝，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。
组合优化问题算法的研究与应用
组合优化问题算法的研究与应用在计算机科学和工程学领域中，组合优化问题是被广泛研究的一个重要问题。
这些问题通常涉及到对一组有限的对象进行排列、选择、匹配等操作，目标是在满足一些限制条件的情况下，找到一组最优解。
许多实际应用中的问题可以抽象成组合优化问题，因此研究和解决这类问题具有重要的理论意义和实践意义。
本文将介绍几种常见的组合优化问题算法及其应用，并分析其优缺点以及适用场景。
1. 贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的算法，它通常用于解决一些优化问题。
贪心算法在每一步都选择当前状态下最优的解，通过不断地做出最优选择，逐步得到最终的最优解。
由于其简单、高效的特点，贪心算法在许多实际应用中得到了广泛的应用。
例如，有一组砝码和一支天平，我们需要使用这些砝码在天平上称出给定的重量。
可以使用贪心算法，从砝码中选择最大的砝码，重复放入天平直到达到给定的重量，然后再换成次大的砝码，如此往复，直到所有砝码都考虑到为止。
但是贪心算法也有一些局限性。
它只能求解近似最优解，而无法保证得到全局最优解。
在一些场景下，使用贪心算法可能会引发不可逆的决策错误。
因此，在某些情况下，需要结合其他算法来进行优化。
2. 动态规划算法动态规划算法是一种典型的组合优化问题求解算法，它的关键思想是将原始问题拆分成一系列子问题，通过对子问题的求解来得到原始问题的最优解。
动态规划算法常用于解决最短路问题、背包问题等。
例如，有一组物品，每个物品有自己的价值和重量，在背包容量有限的情况下，如何选择物品使得总价值最大。
可以使用动态规划算法，将问题分解成子问题，考虑每个物品的选择或不选择，得到价值最大的方案。
对于一些组合优化问题，动态规划算法通常需要耗费大量的时间和空间。
因此，在实际应用中需要评估算法的时间复杂度和空间复杂度，并结合具体问题进行优化。
3. 遗传算法遗传算法是一种基于模拟生物进化的优化方法，它通过人工模拟自然选择的过程来搜索最优解。
遗传算法常用于解决复杂的组合优化问题，如旅行商问题、多目标优化问题等。
组合优化问题的算法研究和应用
组合优化问题的算法研究和应用在当今数字化和信息化的时代，组合优化问题在各个领域中频繁出现，其重要性日益凸显。
组合优化问题旨在从众多可能的组合中寻找最优解，以达到某种特定的目标。
这类问题广泛存在于物流配送、生产调度、资源分配、网络规划等众多实际场景中。
组合优化问题的特点在于其解空间通常是离散的、有限的，但规模却可能极其庞大。
例如，在旅行商问题（TSP）中，要找到访问一系列城市的最短路径，随着城市数量的增加，可能的路径数量呈指数级增长。
这种巨大的解空间使得穷举所有可能的解变得几乎不可能，因此需要高效的算法来寻找近似最优解或最优解。
在众多解决组合优化问题的算法中，贪心算法是一种常见且直观的方法。
贪心算法在每一步都做出当前看起来最优的选择，期望通过一系列局部最优选择最终达到整体最优。
然而，贪心算法往往不能保证得到全局最优解，但其在某些情况下能够提供较好的近似解，并且计算效率较高。
动态规划算法则是另一种重要的策略。
它通过将复杂的问题分解为重叠的子问题，并保存子问题的解以避免重复计算。
动态规划在解决具有最优子结构性质的问题时表现出色，例如背包问题。
但动态规划算法的空间复杂度可能较高，对于大规模问题可能存在限制。
模拟退火算法是一种基于概率的优化算法，灵感来源于物理中的退火过程。
它在搜索过程中允许接受一定程度的劣解，以避免陷入局部最优。
通过控制温度的下降速度，模拟退火算法能够在解空间中进行较为广泛的搜索，从而有机会找到全局最优解。
遗传算法则模仿了生物进化的过程。
通过编码解空间、选择、交叉和变异等操作，遗传算法能够逐步进化出更优的解。
它具有较强的全局搜索能力和鲁棒性，但算法的参数设置对结果有较大影响。
蚁群算法受到蚂蚁觅食行为的启发。
蚂蚁在寻找食物的过程中会释放信息素，其他蚂蚁会根据信息素的浓度选择路径。
蚁群算法通过模拟这种信息素的更新和传播来寻找最优解。
它在解决一些特定类型的组合优化问题，如 TSP 问题时，表现出较好的效果。
组合优化问题的研究及其应用
组合优化问题的研究及其应用在当今这个充满复杂性和变化的世界中，组合优化问题日益成为各个领域中需要解决的关键难题。
组合优化问题，简单来说，就是在给定的有限集合中找出一个最优的组合，使得某个目标函数达到最优值。
它就像是在一堆复杂的可能性中寻找那根最闪亮的金线，虽然充满挑战，但一旦解决，就能带来巨大的效益和价值。
让我们先来看一个常见的组合优化问题的例子——旅行商问题。
假设有一个旅行商，他需要访问若干个城市，并且每个城市只能访问一次，最后回到出发地。
那么，如何规划他的行程路线，使得总路程最短？这看似简单的问题，实际上却隐藏着巨大的复杂性。
因为随着城市数量的增加，可能的路线组合数量会呈指数级增长，要找出最优解并非易事。
再比如背包问题。
有一个背包，它的容量有限，而有一系列不同价值和重量的物品。
如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时又不超过背包的容量限制？这也是一个典型的组合优化问题。
组合优化问题在现实生活中的应用可谓无处不在。
在物流和供应链管理中，如何规划货物的运输路线、安排仓库的存储布局，以最小化成本、提高效率，就是一个重要的组合优化问题。
合理的解决方案可以大幅降低运输成本，提高货物配送的及时性和准确性。
在生产制造领域，生产计划的安排、机器的调度、零部件的采购等环节都涉及到组合优化。
通过优化这些环节，可以减少生产周期、降低库存成本，提高生产效率和产品质量。
金融领域也不例外。
投资组合的选择、风险的管理都需要解决组合优化问题。
如何在众多的投资项目中选择出最优的组合，以实现收益最大化和风险最小化，是投资者们一直关注的焦点。
在通信网络中，路由的选择、频谱的分配等问题也属于组合优化的范畴。
优化这些方面可以提高网络的性能和可靠性，满足用户对通信服务的高质量需求。
那么，如何解决这些组合优化问题呢？目前，有许多方法被广泛应用。
精确算法是其中的一类，比如分支定界法、动态规划法等。
这些方法在问题规模较小时能够准确地找到最优解，但当问题规模较大时，计算时间会急剧增加，甚至变得不可行。
组合优化问题的求解算法和理论研究
组合优化问题的求解算法和理论研究在当今数字化和信息化的时代，组合优化问题在各个领域中都扮演着至关重要的角色。
从物流运输的路径规划到生产流程的优化安排，从通信网络的资源分配到金融投资的策略制定，组合优化问题的有效解决直接影响着资源的利用效率和经济效益。
然而，这些问题往往具有复杂性和多样性，给求解带来了巨大的挑战。
组合优化问题的核心在于从众多可能的组合中寻找出最优的解决方案。
以旅行商问题（Travelling Salesman Problem，TSP）为例，假设有一个旅行商需要访问多个城市，每个城市只能访问一次，并且要回到出发城市，目标是找到一条总路程最短的路径。
这个问题看似简单，但随着城市数量的增加，可能的路径数量呈指数级增长，使得穷举所有可能的路径变得几乎不可能。
为了解决这类问题，众多求解算法应运而生。
其中，精确算法是一类能够保证找到最优解的方法。
分支定界法就是一种常见的精确算法。
它通过将问题不断分解为子问题，并为每个子问题设定上下界，逐步缩小搜索范围，最终找到最优解。
然而，精确算法在处理大规模问题时，往往由于计算时间过长而变得不实用。
与精确算法相对的是启发式算法。
启发式算法不能保证找到最优解，但能够在可接受的时间内找到一个较好的近似解。
模拟退火算法就是一种典型的启发式算法。
它的灵感来源于固体退火过程，通过在搜索过程中以一定的概率接受较差的解，避免陷入局部最优，从而有可能找到全局最优解。
蚁群算法也是一种启发式算法，它模拟了蚂蚁在寻找食物过程中的行为，通过信息素的释放和更新来引导搜索方向。
除了上述算法，还有一些基于人工智能技术的算法也被应用于组合优化问题。
例如，遗传算法模仿了生物进化的过程，通过选择、交叉和变异等操作来不断优化解的质量。
粒子群优化算法则模拟了鸟群的觅食行为，通过粒子之间的信息共享和协作来寻找最优解。
在理论研究方面，对组合优化问题的复杂性分析是一个重要的课题。
通过分析问题的复杂度，可以了解问题的本质难度，为选择合适的求解算法提供指导。
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工作交流推波助澜的作用。
因此政府应引导企业利用当前的高储蓄率进行技术创新,引导储蓄转化为优质投资,同时也能够提升企业的核心竞争力。
同时,由于经济体制本身的问题,一些资源性行业和大型国企在经济增长的过程中积累了大量财富,而这些财富又大部分来自部门垄断产生的超额利润,但这些财富并没有通过再次分配最终流向普通居民手中,导致企业储蓄率居高不下、居民消费水平依然过低的局面。
而要改变这一现象就要从收入分配结构上解决问题,国有企业每年应向财政上交一部分利润,财政将这部分利润主要用于落后地区和农村的公共基础设施建设、社会保障支出和救济穷人。
另外应对现行的财税制度进行改革,通过国有企业分红和对资源性行业收租的形式促进资源有效利用,疏导企业储蓄,改变初次分配资本所得偏多劳动所得偏少,再分配政府、企业所得偏多,居民所得偏少的局面,缓解行业间收入分配的不均,努力提高低收入群体的收入水平,扩大中等收入群体的比重,调节高收入群体的收入水平,以此增加城乡居民的消费倾向,为扩大内需创造条件。
第五,对于楼市和股市过热的局面,我认为要通过政策的调整给短期投机炒作的行为以根本性的打击,如对楼市可提高房产交易税,房产闲置税,必要时可以规定房产的交易期限;对股市要提高证券印花税。
从而遏制短期交易频繁的情况,以引导人们长期投资。
同时,要采取果断措施打压楼市和股市存在的高收益情况,平衡各行业的收益率,以使资金比较均匀地流向各个行业,以让人按照专业,特长在市场中自由分工,同时也使得各行业协调发展。
第六,疏导金融机构资金流向中小企业和农村,转变经营模式。
商业银行一直以来追逐大客户的经营思路,导致一些银行房地产和按揭贷款的比例占总资产的比例较高,不断趋同的客户结构和集中的行业风险,蕴涵着较大的银行信贷风险,但与此同时中小企业和农村的贷款需求却未得以满足。
而中小企业占企业总数的95%左右,创造了全国企业利税总数的60%,解决了75%的就业机会,而可得贷款却不足三分之一。
占全国人口总数65%、占国土面积80%以上的广大农村,实际上只有农村信用社一家金融机构在经营,而仅就广大农村消费需求的调查,至少还要增加3万亿元的购买力。
改变信贷投向结构,将过剩的流动性用于大力开发中小企业和农村信贷市场,不仅能够满足中小企业和农民需求,而且可以将资金利用充分,信贷风险也得到了均衡的配置。
因此,面对结构失衡的货币现象,单纯地从总量上加以控制实现收缩经济并不能从根本上解决流动性不断生成和经济的结构性问题。
综合、协调地运用外贸、财税、农业、区域、房地产以及收入分配、资源价格和基本公共服务等各种宏观调控政策,发挥各部门/合力0作用,从根源上调整结构和转变经济的增长方式,全面的过热也就不可能出现。
我认为这才是保持国民经济持续平稳协调健康发展的根本之道。
(作者单位:云南民族大学经济学院)组合最优化对策问题的思考t叶志萍摘要:组合最优化对策理论的最初应用,主要是抽象的理论性应用。
它为经济学提供了一个分析工具,能够将经济生活中利益不同、动机不同但又相互影响的经济主体的效用考虑进去。
经济学中用到对策论最多的地方是证明纳什均衡解的存在,而对于如何找到一个具体对策的均衡解,经济学中常常并不关心,因为经济学所考虑的复杂而庞大的系统是很难用实实在在的数据去具体描述的。
随着计算机科学的发展,组合最优化对策理论陆续出现许多实际应用,这些实际应用的需求导致算法成为了组合最优化对策理论研究的热点。
本文就组合最优化对策的内涵着手,分析了组合最优化对策的算法,探讨了组合最优化对策及其核心,得出了决策系统中的非合作对策模型及纳什均衡解。
关键词:组合最优化对策;纳什均衡解;算法;模型组合最优化理论在国外已经发展了半个多世纪,而在我国是伴随着证券市场的发展而发展起来的,不过才二十年的时间。
组合最优化对策是运用概率论、统计学、随机分析及最优化理论等数学工具,通过建立数学模型讨论市场规律对策的理论。
一、组合最优化对策的理论内涵对策论,也称博弈论,是使用严谨的数学模型研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论,它是运筹学的一个重要分支。
对策论根据其所采用的假设不同而分为合作对策理论和非合作对策理论。
前者主要强调的是团体理性;而后者主要研究人们在利益相互影响的局势中如何选择策略使得自己的收益最大,即策略选择问题,强调的是个人理性。
非合作对策理论中,最重要、最核心的概念是纳什均衡。
纳什均衡揭示了对策均衡与经济均衡的内在联系,它的策略组合由所有局中人的最佳策略组合构成,没有人会主动改变自己的策略以便使自己获得更大利益。
组合最优化对策是建立在组合最优化问题上的对策模型,分为组合最优化非合作对策和组合最优化合作对策。
当局中人选取策略时不允许局中人之间互通信息,也不允许结伙,则成该对策为非合作对策。
在非合作对策#=(N,{S i}i I N,{p i}i I N)中,N 为局中人集合,每个局中人i I N都有自己的策略集合S,i以及支付函数p i。
非合作对策中最重要的概念是纳什均衡,它的策略组合由所有局中人的最佳策略组成,没有人会主动改变自己的策略以使自己获得更大的利益。
如果对每个i I N,p i可以通过求解某个最优化问题得到,则称该对策为组合最优化非合作对策。
如果允许局中人之间合作并联盟,这就导致了合作对策的研究。
在合作对策#= (N,v)中,N为局中人的集合,v:2N y R为特征函数(v(U) =0),v(S)表示S作为合作整体可能达到的最大利益(S是N的子集)。
如果v(S)可以通过求解S所确定的某个最优化问题得到,则称该对策为组合最优化合作对策。
对分配的公平性和合理性的不同要求,导出了不同的分配概念)))对策的解的概念。
二、组合最优化对策的算法在解决最优化问题时,算法的有效性往往是我们首要关心的问题。
所谓有效算法,或称多项式算法,是指其基本运算步数由输入规模的多项式所界定的算法。
例如,解线性规划问题的椭球算法,解指派问题的匈牙利方法等都是有效算法。
然而,还有许多优化问题,如货郎担问题,顶点覆盖问题和可适定性问题等,它们的算法设计如此之难,以至于人们无法知道是否存在有效算法。
考虑最优化问题的判定形式-判定问题,即答案为/是0或/否0的问题1我们用P表示用多项式时间算法所能解决的判定问149F I NANCE&ECO NOMY金融经济题,即P是相对容易的判定问题类。
NP则是一类更广泛的判定问题类。
称判定问题A是NP类的,如果x是问题A的答案为/是0的实例,则存在对x的一个简短(即其长度以x的长度的多项式为界)证明,使得能在多项式时间内检验这个证明的真实性。
显然, NP包含P,而且还包含人们所关心的许多困难问题,如上面提到的货郎担问题,适定性问题和顶点覆盖问题等。
人们普遍认为P是NP的真子集,但至今无人能够证明。
P X NP被认为是当今数学和计算机科学中最重要的猜想之一。
NP-完备问题的定义我们可以如下进行:判定问题A多项式变换到另一个判定问题B,如果给定A的任意实例x,在多项式时间内能构造出B的一个实例y,使得x是A的/是0实例当且仅当y是B的是实例。
一个判定问题A I NP称为NP-完备的,如果所有其他的NP问题都能多项式地变换到A。
也就是说,如果问题A 是NP-完备的,那么它具有很强的性质:若A有有效算法,则每个NP问题也有有效算法。
NP-完备问题的存在性由Cook[6]首先得到,他证明了第一个NP-完备问题-适定性问题。
NP-完备问题概念的实际意义就在于人们普遍相信,正确求解NP-完备问题的任何算法,在最好的情况下也需要指数量级的基本运算步数,从而除规模很小的实例外,是不实用的。
/难计算0是这些问题的固有性质。
还有一些问题,虽然不属于NP,但我们可以证明它们至少与任意的NP-完备问题同样困难,因此很可能是难解决的,我们把它们称为NP-困难的。
将问题按其算法复杂性进行分类:P,NP-完备或者NP-困难等,是最优化问题研究的一个重要方面。
在面对一个新的组合最优化问题时,人们总设法给出一些求解这个问题的充分必要条件。
如果所给的充分必要条件可在多项式时间内得到验证,那么常常由此构造出解决该问题的有效算法。
但是对于许多问题,人们无法找到这种可在多项式时间内验证的充要条件,这时NP-完备性或者NP-困难性的证明便可使人们相信该问题不可能有有效算法求解。
在这种情况下,人们会转而寻求其他解决问题的方法,比如对一些特殊情形给出有效算法,或设计近似算法等。
总之,算法复杂性分析可以帮助人们选择适当的解决问题的途径。
三、组合最优化对策及其核心现代投资组合理论开始于H arry M arkow itz在1952年在5财务学杂志6发表的一篇题为/投资组合选择0的论文,开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法。
他同时考虑投资的收益和风险,阐述了如何利用投资组合,创造更多的可供选择的投资品种,以达到分散风险获取最大可能的投资收益的目的。
该文引发了大量的对现代证券组合的分析工作,开始了现代金融数学的先河,在理论界被称为二十世纪发生在华尔街的第一次金融革命。
该理论第一次采用定量分析的方法,以二次规划为基础建立投资组合选择的数学模型,不仅提供了分散风险的方法,可获得的最大收益,而且能得到具有最小风险的证券投资组合的构成。
但是在当时条件下,该模型的计算很复杂,尤其在给定时间条件以及证券品种数较多时。
合作对策#=(N,v)是由局中人集合N={1,2,,,n}和特征函数v:2N y R,满足v()=0。
对于任意的子联盟S A N, v(S)表示S作为合作整体可以得到的最大收益或最小费用。
当特征函数v表示收益(费用)时,我们称相应的对策为收益(费用)对策。
按照不同的合理性要求来分配总收益或总费用v(N),导出了不同的合作对策的解,核心是合作对策中最重要的解的概念之一。
在对策#中,局中人的个人所得用向量x:N y R表示。
记x(S)=Ei I Sx,i S A N。
若x满足:(1)x(N)=v(N)(2)i I N:xi\v({i})则称x为对策#的一个分配(i m pu t ati on)。
核心的概念是在子集团合理性的基础上引入的。
记X(#)是对策#的分配的全体。
则对策#的核心可以表示为:C(#)={x I Rn:x(N)=v(N)且x(S)\v(S),P S A N},其中x(S)=Ei I Sx i。
即对核心中的一个分配来说,如果局中人的任何真子集合从整体联盟N中分离出来形成自己的联盟进行合作,都不会得到更多的收益。
若对策#=(N,v)的核心非空,称该对策为均衡的;若均衡对策#=(N,v)的每个子对策#s= (S,vS)(P S A N)也是均衡的,则称该对策是完全均衡的。