迭代法
迭代法
迭代方法也称为滚动方法。
Bai是一个过程，其中变量Du的旧值用于重现新值。
迭代算法是解决计算机问题的基本方法。
它利用了运算速度快的特点，并且适合重复操作，因此计算机可以重复执行一组指令（或某些步骤）。
每次执行指令组（或这些步骤）时，都会从变量的原始值中得出一个新值。
迭代方法分为精确迭代和近似迭代。
典型的迭代方法（例如二分法和牛顿迭代）属于近似迭代。
扩展数据：
对于区间[a，b]和f（a）·f（b）<0上的连续函数y=f（x），通过连续除以函数f（x）零点所在的区间，间隔的两个端点逐渐接近零点，然后获得零点的近似值称为二分法。
令[a，b]为R的封闭区间。
连续二等分方法将创建以下区间序列（[an，BN]），如下所示：A0=a，B0=B，并且对于任何自然数n，[an+1，BN+1]等于[an，cn]或等于[cn，BN]，其中CN表示[an，BN]的中点。
方法介绍
迭代法是一类利用递推公式或循环算法通过构造序列来求问题近似解的方法。
例如，对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序
列为迭代序列。
迭代法 应用
迭代法应用
迭代法是一种数学方法，常被应用于求解方程或优化问题。
该方法通过反复迭代计算来逐步逼近解，直到满足一定的精度要求或达到预设的迭代次数为止。
该方法在实际应用中非常广泛，例如在金融风险管理、图像处理、信号处理、机器学习等领域都有很多应用。
在求解方程方面，迭代法常被用于无法通过代数方法求解的方程。
例如，对于非线性方程f(x)=0，可以通过迭代法求解。
迭代法的基
本思路是从一个初值x0开始，通过迭代公式x_{n+1}=g(x_n)计算出下一个近似解x_{n+1} ，然后将其作为新的初始值继续迭代，直到
满足精度要求为止。
在优化问题方面，迭代法常被用于求解目标函数的最小值或最大值。
例如，在无约束优化问题中，可以通过迭代法不断更新变量的取值来逐步逼近最优解。
在有约束优化问题中，可以通过Lagrange乘
子法或KKT条件将问题转化为无约束优化问题，然后再采用迭代法求解。
总之，迭代法是一种非常实用的数学方法，可以应用于多个领域中的数值计算问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择适当的迭代公式，并对迭代过程进行合理的控制和精度控制，以获得稳定可靠的计算结果。
- 1 -。
2.2 迭代法
= ϕ ' (ξ )( x * − x * *) ≤ L x * − x * *
又， L < 1
⇒ x* = x * *
计算方法
② ∀x0 ∈ [a, b] 则 xk +1 − x *= ϕ ( xk ) − ϕ ( x*) = ϕ ' (ξ )( xk − x*)
≤ L xk − x * ≤ L2 xk −1 − x * x k +1 − x *
计算方法
二、收敛性分析
定理2.1 （全局收敛定理） 全局收敛定理） 定理
在区间[a,b]上可导 上可导 设ϕ ( x )在[a, b] 在区间
a （1）当a ≤ x ≤ b时， ≤ ϕ ( x ) ≤ b;
( 2) ∀x ∈ [a, b], | ϕ ' ( x ) |≤ L < 1 ( L为常数） 为常数）
ϕ ′( x ) ≤ L < 1
计算方法
则对于任意的初始值 x0 ∈ S ，由迭代公式 收敛于方程的根。 产生的数列 { xn } 收敛于方程的根。 （这时称迭代法在 α 的S邻域具有局部收敛性。） 邻域具有局部收敛性。）
x n +1 = ϕ ( x n )
Remark1：全局与局部收敛定理中的条件都是充分 Remark1： 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 条件，条件满足则迭代法收敛，不满足则不能判定， 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。 此时可以用试算来判定迭代法的是收敛性。
p! p!
由迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ) 及 x * = ϕ ( x * ) 有 ϕ ( p ) (ξ ) * * p
′( x* ) = ϕ ′′( x* ) = L = ϕ ( p−1) ( x* ) = 0, ϕ ( p ) ( x* ) ≠ 0 ϕ 邻域是p阶收敛的。 则迭代过程在 x * 邻域是p阶收敛的。
迭代法求方程根
迭代法是求解方程根的一种重要方法，它是以某种特定的搜索路径，通过不断迭代更新搜索解的值，最终求得方程的根的一种方法。
迭代法的核心思想是迭代的方法，通俗理解就是不断重复，不断迭代，不断改变，最终找到满足条件的解。
迭代法求解方程根的步骤大致如下：
首先，选定迭代法求解方程的初始值和迭代步长，然后设定迭代次数，并进行初始化。
其次，开始对迭代解进行更新。
在这一步中，根据方程的性质，以及初始值和迭代步长，通过计算求出新的迭代解，然后将新的迭代解更新到原来的迭代解中。
接着，计算迭代解的误差，并根据误差的大小，来判断迭代解是否收敛。
如果迭代解收敛，则将其作为方程的根；如果迭代解不收敛，则重复前面的步骤，继续迭代，直到解收敛为止。
最后，根据迭代解的误差，判断迭代解是否准确，即判断迭代解是否符合方程的性质。
如果误差满足要求，则将迭代解作为方程的根；如果误差过大，则需要重新调整迭代步长，并重复迭代，直到误差满足要求为止。
总之，迭代法求解方程根是一种重要的方法，它可以解决复杂的方程，在求解方程根方面有很大的帮助。
它的基本思想是：以某一特定搜索路径，通过迭代不断改变搜索解，最终得到解。
迭代法(iterative method
迭代法(iterative method
迭代法是一种数学方法，通过不断地迭代逼近来求解数学问题。
这种方法通常用于求解方程、优化问题、积分问题等。
迭代法的基本思想是：给定一个初始值或初始解，然后根据一定的规则进行迭代，每次迭代都得到一个新的解，直到满足某个终止条件为止。
这个终止条件可以是精度要求、迭代次数限制等。
常见的迭代法包括：
1.牛顿迭代法：用于求解非线性方程的根，通过不断地逼近方程的根来求解。
2.梯度下降法：用于求解最优化问题，通过不断地沿着负梯度的方向搜索来找到最优
解。
3.牛顿-拉夫森方法：结合了牛顿法和二分法的优点，用于求解非线性方程的根。
4.雅可比迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
5.高斯-赛德尔迭代法：用于求解线性方程组，通过不断地逼近方程组的解来求解。
使用迭代法时需要注意初始值的选择、迭代规则的合理性、终止条件的设定等问题，以确保迭代过程的收敛性和有效性。
同时，迭代法也有一定的局限性，对于一些非线性问题或复杂问题，可能需要进行多次迭代或者采用其他方法进行求解。
迭代法
迭代法
迭代法也叫辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。
对非线性方程，利用递推关系式，从开始依次计算，来逼近方程的根的方法，若仅与有关，即，则称此迭代法为单步迭代法，一般称为多步迭代法；对于线性方程组，由关系从开始依次计算来过近方程的解的方法。
若对某一正整数，当时，与k 无关，称该迭代法为定常迭代法，否则称之为非定常迭代法。
称所构造的序列为迭代序列。
求通项公式的方法（用迭代法）已知数列{An},a1=2,an=2a(n-1)-1(n>或=2）求通项公式
an=2a(n-1)-1 an-1=2(a(n-1)-1 ) n>或=2
所以an-1 为等比数列
an-1=(a1-1)*2^(n-1)
an-1=2^(n-1)
an=2^(n-1)+1
牛顿迭代法求开方
数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收
敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
用迭代法求平方根
对于A>1,求其平方根可构造用如下公式迭代：
f(x)=(1/a)(x+a/x),a=A/(A-1),迭代初值x0=[√A]+1,[x]为x的取整.如想求70的平方根,可令初值x0=9.
对于A1,用如上方法求出平方根后,在成10^(-n),即得结果.。
常用算法——迭代法
常用算法——迭代法常用算法，迭代法迭代法（iteration method）是一种通过重复执行相同的步骤来逐步逼近问题解的方法。
它在计算机科学和数学中被广泛应用，可以解决各种问题，比如求近似解、优化问题、图像处理等。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程，逐渐逼近问题的解。
每一次迭代都会将上一次迭代的结果作为输入，并进行相同的操作，直到满足其中一种停止条件。
在每次迭代中，我们可以根据当前的状态更新变量的值，进而改善我们对问题解的估计。
迭代法最常用的应用之一是求解方程的近似解。
对于一些复杂方程，很难通过解析方法求得解析解，这时我们可以利用迭代法来逼近方程的解。
具体地，我们可以选择一个初始的近似解，然后将其代入方程，得到一个新的近似解。
重复这个过程，直到得到一个满足我们要求的解。
这个方法被称为迭代法求解方程。
另一个常用的迭代法示例是求解优化问题。
在优化问题中，我们需要找到能使一些目标函数取得最大或最小值的变量。
迭代法可以通过不断优化变量值的方法来求解这种问题。
我们可以从一个初始解开始，然后根据目标函数的导数或近似导数的信息来更新变量的值，使得目标函数的值逐步接近最优解。
这种方法被称为迭代优化算法。
迭代法还可以应用于图像处理等领域。
在图像处理中，我们常常需要对图片进行修复、增强或变形。
迭代法可以通过对图片像素的重复操作来达到修复、增强或变形的目的。
例如，如果我们想要修复一张受损的图片，可以通过迭代地修复每个像素点，以逐渐恢复整个图片。
除了上述示例，迭代法还有很多其他应用，比如求解线性方程组、图像压缩、机器学习等。
总之，迭代法是一种非常灵活和强大的算法，可以解决各种问题。
在实际应用中，迭代法的效果往往受到选择合适的初始值、迭代次数和停止条件的影响。
因此，为了获得较好的结果，我们需要在迭代过程中不断优化这些参数。
同时，迭代法也可能会陷入局部最优解的问题，因此我们需要设计合适的策略来避免这种情况。
总的来说，迭代法是一种重要的常用算法，它可以解决各种问题。
2.2 迭代法
首先用归纳假设证明如下不等式
| x* xk | Lk | x* x1 |
38
当k=1时 x x1 L x x0 ，已证成立。
k 1 x x L x x0 成立，可得 假设 k 1
不动点迭代的几何解释 y=f(x)=x y=g(x)
38
不动点判定定理
设g是一连续函数，且 { pn } 是由不动点迭代 n 0
生成的序列。若 lim pn p ，则p是g(x)的不动点
n
pn 1 p pn p ，则 lim 证：lim n n
g ( p ) g (lim pn ) lim g( pn ) lim pn1 p
1 1 x xk x k 1 x k ( x k ) ( x k 1 ) 1 L 1 L L Lk x k x k 1 x1 x0 1 L 1 L
L越小，收敛越快
38
不动点迭代的图形解释
一般来说从 f ( x ) 0 , 构造 ( x )不止一种，有的
38
由介值定理，存在 x [a , b] 使 f ( x ) 0
即
x ( x ).
②设方程 x ( x ) 还有一根 , 即 a (a ). 则由微分中值定理有
x ( x ) ( ) ( )( x ) L x
x4 2x 2 x 3 0 x 2 ( x)
x 4 1
x 3 ( x) x4 2x2 3
(其中第二式 x4 2 x 2 1=x 4 )
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题目：Newton-Raphson 迭代法 （1）计算原理 （2）编出计算机程序 （3）给出算例（任意题型） (1)计算原理：牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法也称为牛顿迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设()[]2,f x C a b ∈，对()f x 在点[]0,x a b ∈，作泰勒展开：略去二次项，得到()f x 的线性近似式：()()()()000f x f x f x x x '≈+- 由此得到方程()0f x =的近似根(假定()00f x '≠)，()()000f x x x f x =-' 即可构造出迭代格式(假定()00f x '≠)：()()1k k k k f x x x f x +=-' 这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{}k x 收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2 牛顿迭代法牛顿切线法，这是由于()f x 的线性化近似函数()()()()000l x f x f x x x '≈+-是曲线()y f x =过点()()00,x f x 的切线而得名的，求()f x 的零点代之以求()l x !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ的零点，即切线与x 轴交点的横坐标，如左图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1k x +，从几何图形上看，就是过点()(),k k x f x 作函数()f x 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1k x +，所以有()()1k k k k f x f x x x +'=-，整理后也能得出牛顿迭代公式：3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程()0f x =的形式如何，总可以构造：作为方程求解的迭代函数。
因为： 而且在根附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：若0(即根不是0的重根)，则由得：，因此可令，则也可以得出迭代公式：。
4 迭代法的基本思想是将方程改写成等价的迭代形式，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。
运用前述加速技巧，对于简单迭代过程，其加速公式具有形式：，其中 记，上面两式可以合并写成：这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：。
需要注意的是，由于是的估计值，若取，则实际上便是的估计值。
假设，则可以用代替上式中的，就可得到牛顿法的迭代公式：。
)(')(1k k k k x f x f x x -=+)()()(x f x k x x x -==ϕ)0)((≠x k )(')()()('1)('x f x k x f x k x --=ϕ)('x ϕα0)('=αϕ≠)('αf α=)(x f 0)('=αϕ)('1)(ααf k =)('1)(x f x k =)(')(1k k k k x f x f x x -=+0)(=x f )(x x ϕ=)(1n n n x f x x +=+θθϕ--=+1)(1n n n x x x )(111n n n x x x --+=++θθ)(1n n x x ϕ=+1-=θL L x f x x n n n )(1-=+L x f x x )()(-=ϕL )('x ϕ)()(x f x x +=ϕ)('x ϕ)('x f 0)('≠x f )('x f L )(')(1n n n n x f x f x x -=+牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。
牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代公式可以看成是由而获得的不动点迭代格式。
这样就可以应用不动点迭代的收敛原则，只须证明在根附近的迭代函数是一个压缩映象。
由于：， 这里的根是单根，即且，于是：。
那么由的连续性可知，存在一个邻域，对这个邻域内的一切，有：，其中O ＜＜1，因此为区间上的一个压缩映象，于是有以下结论：定理3.4.1设，是的精确解，且，则存在的邻域，对于任何迭代初值，迭代序列收敛于。
牛顿迭代法具有较高的收敛速度，它的收敛阶数为＝2；而牛顿迭代法的局部收敛性较强，只有初值充分地接近，才能确保迭代序列的收敛性。
为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加条件建立以下收敛的充分条件。
定理3.4.2设，且满足：在区间上，⑴；⑵；⑶不变号；⑷，满足条件：则牛顿迭代序列，单调地收敛于方程的唯一解。
由条件⑴至条件⑷可归结为四种情形： ①，，，；②，，，；)(')()(x f x f x x -=ϕα222)]('[)(")()]('[)(")()]('[1)('x f x f x f x f x f x f x f x =--=ϕα0)(=αf 0)('≠αf 0)]('[)(")()('2==ααααϕf f f )('x ϕ),(δαδα+-x q x <)('ϕq )(x ϕ),(δαδα+-],[)(2b a C x f ∈*x 0)(=x f 0*)('≠x f *x δ)*,*(δδ+-x x )*,*(0δδ+-∈x x x }{n x *x p *x ],[)(2b a C x f ∈],[b a 0)()(<b f a f 0)('≠x f )("x f ],[0b a x ∈0)(")(00>x f x f }{n x 0)(=x f *x 0)(<a f 0)(>b f 0)('>x f 0)(">x f 0)(<a f 0)(>b f 0)('>x f 0)("<x f③，，，； ④，，，。
对定理的几何意义作如下说明：条件⑴保证了根的存在性；条件⑵表明函数单调变化，在区间内有惟一的根；条件⑶表示函数图形在区间上的凹向不变。
条件⑶和条件⑷一起保证了每一次迭代值都界于区间内。
在不满足上述收敛充分条件时，有可能导致迭代值远离所求根的情况或死循环的情况(如下图所示)。
0)(>a f 0)(<b f 0)('<x f 0)(">x f 0)(>a f 0)(<b f 0)('<x f 0)("<x f ],[b a ],[b a ],[ba（2）牛顿迭代法 matlab 程序）1、本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程()1011=a a a a 0n n n n f x x x x --++++=K （a 0n ≠ ）的在初始值0x 附近的一个根。
2.使用说明a 函数语句Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1) 调用M 文件newton_1.m 。
b 参数说明A n+1元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。
N 整变量，输入参数，方程阶数。
X0 实变量，输入参数，初始迭代值。
NN 整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。
EPS1 实变量，输入参数，控制根的精度。
3．方法简介解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有 f(x0)+f ˊ(x0)(x －x0)=0 设f ˊ(x0)≠0则其解为 x1=x0－f(x0)/f ˊ(x0)再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。
若f(x1)≠0，则得 x2=x1－f(x1)/f ˊ(x1)这样，得到牛顿法的一个迭代序列 xn+1=xn －f(xn)/f ˊ(xn) 4．newton_1.m 程序function y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1) x(1)=x0；!2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξb=1；i=1；while(abs(b)>eps1*x(i))i=i+1；x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；b=x(i)-x(i-1)；if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；return；endendy=x(i)；i程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下：function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数y=0.0;for i=1:ny=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);endfunction y=n_df(a,n,x)y=0.0；for i=1:ny=y+a(i)*(n+１-i)*xˆ(n-i)；end5．程序附注（1）程序中调用n_f.m和n_df.m文件。
n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m是方程一阶导数的函数。
由使用者自己编写。
（2）牛顿迭代法的收敛速度：如果f(x)在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是f(x)的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。
(3)算例：f1[x, y] = x*x + y*y - 5 = 0f2[x, y] = (x + 1)*y - (3*x + 1) = 0用牛顿法求在(x0, y0) = (1, 1)附近的解1．程序清单：Clear[x, y, x0, y0]n = 4;f1[x_, y_] := x*x + y*y - 5;f2[x_, y_] := (x + 1)*y - (3*x + 1);(*定义矩阵*)g1[x_, y_] := Det[{{D[f1[x, y], x], D[f1[x, y], y]}, {D[f2[x, y], x], D[f2[x, y], y]}}];g1[x, y];j1[x_, y_] := Det[{{D[f1[x, y], y], f1[x, y]},{D[f2[x, y], y], f2[x, y]}}];j2[x_, y_] := Det[{{f1[x, y], D[f1[x, y], x]},{f2[x, y], D[f2[x, y], x]}}];x0 = 1 // N;y0 = 1 // N;for [i = 1,i<= n,i ++,x0=(x0+j1(x,y)/g1(x,y))/.{x → x0,y → y0};y0=(y0+ j2(x,y)/g1(x,y))/.{x → x0,y → y0};Print [“x [“,i ,”]=”,x0, “y[“,i,”]=”,y0]]print [“The root is :”,{x0, y0}];2．运行结果：x[1]=1.25 y[1]=2.15584x[2]=1.00294 y[2]=2.0028x[3]=1 y[3]=2x[4]=1 y[4]=2The root is : {1,2}。