线性二次型的最优控制
线性二次型最优控制应用举例与仿真
线性二次型最优控制一、最优控制概述最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。
它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。
最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。
一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。
然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。
系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。
因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。
变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。
庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。
尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。
二、线性二次型最优控制2.1 线性二次型问题概述线性二次型最优控制问题，也叫LQ 问题。
它是指线性系统具有二次型性能指标的最优控制问题。
线性二次型问题所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式，便于计算和工程实现。
它能兼顾系统性能指标的多方面因素。
例如快速性、能量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
线性二次型最优控制目标是使性能指标J 取得极小值, 其实质是用不大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的。
2.2 线性二次型问题的提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程如下：()()()()()()()()X t A t X t B t U t Y t C t X t ⎧=+⎨=⎩ （2.1）)(t X 是n 维状态变量，)(t U 是m 维控制变量，)(t Y 是l 维输出变量，)(t A 是n n ⨯时变矩阵，)(t B 是m n ⨯时变矩阵。
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
lqr控制器原理
lqr控制器原理
LQR（线性二次型调节器）是一种基于状态反馈的最优控制策略，其原理主要包括以下步骤：
1. 确定状态方程模型：首先需要确定一个描述系统状态的动力学模型，通常以状态空间的形式给出。
2. 线性化处理：对状态方程进行线性化处理，将其转化为线性系统模型。
3. 定义目标函数：目标函数通常是系统状态和控制输入的二次型函数，用于评估控制性能的好坏。
4. 优化目标函数：通过设计状态反馈控制器，使得目标函数取最小值。
这意味着需要找到一个状态反馈控制律，使得系统的状态轨迹能够跟踪参考信号，同时控制输入的二次型能量最小。
5. 求解最优控制律：通过求解优化问题，可以得到最优控制律，即状态反馈控制器的增益。
这个增益可以用来调节系统的状态，以达到最优控制的目的。
6. 控制系统实现：将得到的增益值代入到实际控制系统中，通过闭环控制的方式对系统进行调节，以实现最优控制。
LQR控制器的优点包括：
1. 易于实现：LQR控制器通过线性二次型目标函数进行优化，其解具有封闭形式的解析解，易于计算和实现。
2. 鲁棒性好：LQR控制器对系统参数的变化和扰动具有较强的鲁棒性，能够在不确定环境下实现较好的控制效果。
3. 稳定性高：LQR控制器能够保证系统的状态轨迹收敛到平衡点，具有较好的稳定性和收敛性。
4. 可扩展性：LQR控制器可以与其他先进控制策略相结合，如模糊逻辑、神经网络等，以实现更复杂的控制任务。
总之，LQR控制器是一种有效的最优控制策略，广泛应用于各种线性系统的控制中。
通过合理地选择权矩阵Q和R，可以适应不同的控制要求和系统特性，实现最优控制。
第七章 线性二次型最优控制
控制器设计，使得 √闭环系统是稳定的； √闭环系统具有给定的极点，保证一定的动、 稳态性能 不足： 没有考虑控制能量的问题； 极点配置对模型的要求高。 思路： 同时考虑系统性能和控制能量：积分性能指标
7.1 二次型最优控制系统 状态空间模型： 系统性能指标： Q和R为加权矩阵，由设计者选定。 目的：要求设计一个控制器u，使得性能指标J 尽可能小 √二次型最优控制问题； √最优控制器。 特别的，考虑状态反馈形式的最优控制器： √如何来确定最优状态反馈控制器？ √最优闭环系统的稳定性？
3。最优状态反馈控制律的增益矩阵：
最优闭环系统：
显然，它是渐近稳定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
最优闭环系统： 利用黎卡提方程的对称正定解矩阵P构造 沿闭环系统轨线，
因此，最优闭环系统是渐近稳定的。 一种新的稳定化控制器设计方法！
例 考虑一阶系统： 二次型性能指标： 求系统的状态反馈最优控制律。 解 模型参数 ，加权矩阵 ⇒ 其解： 。由于要求对称正定解，故取 最优状态反馈控制律： 最优闭环系统： 最小值依赖系统的初始状态。
线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤： 线性二次型状态反馈最优控制律的设计步骤 1。验证系统能控性； 2。求解黎卡提方程： 非线性方程组，取对称正定解； 3。由 构造最优反馈控制律。 例 性能指标：
问题：求最优状态反馈控制器
对象的状态方程： 1。系统是能控的。 2。求解黎卡提方程：
化简后，得到
开环系统： 在状态反馈控制律 系统是 下，所导出的闭环
闭环系统应该是渐近稳定的，因此存在李雅普 诺夫函数 其中的P为待定的对称正定矩阵。 沿闭环系统，V关于时间的导数是
应该是负定的。
控制律对性能指标的影响：
最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案最优控制课后习题答案最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系统的性能指标达到最优。
在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 线性二次型最优控制问题考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt\end{align*}$$其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。
求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。
答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$\begin{align*}\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P\end{align*}$$其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。
通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。
2. 非线性最优控制问题考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：$$\begin{align*}\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt\end{align*}$$其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。
第4章线性二次型最优控制
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
线性二次型最优控制问题
2023/12/21
9
对容许控制U(t)和终态X(tf)的说明
（1） 在线性二次型问题的定义中，并没有直接提出对控制 作用U(t)的不等式约束，但这并不等于在物理上不需要对 U(t)进行必要的限制。实际上，用适当选择Q(t)和R(t)数值 比例的方法，同样可以把U(t)的幅值限制在适当的范围之 内。这样，就可以在保持闭环系统线性性质的前提下，实 现对U(t)的限制。
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1
线性二次型最优控制问题是指线性系统具有二次型 性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：
性能指标具有鲜明的物理意义。最优解可以写成统一的解 析表达式。所得到的最优控制规律是状态变量的反馈形式， 便于计算和工程实现。
可以兼顾系统性能指标的多方面因素。例如快速性、能量 消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。
dt
这时问题转化为：用不大的控制量，使系统输出Y(t)紧
紧跟随Yr(t)的变化，故称为跟踪问题。
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6.2 有限时间的状态调节器问题
问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件
X (t) AX (t) BU (t)
X
(t0 )
X0
（6.2.1）
其 中 X(t) 是 n 维 状 态 变 量 ， U(t) 是 m 维 控 制 变 量 ， A 是 nn常数矩阵，B是nm常数矩阵。性能指标是
在理论上，线性二次型最优控制问题是其它许多控制问题 的基础，有许多控制问题都可作为线性二次型最优控制问 题来处理。
线性二次型最优控制问题，在实践上得到了广泛而 成功的应用。可以说，线性二次型最优控制问题是 现代控制理论及其应用领域中最富有成果的一部分。
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(5 3)
1 Le e(t )T Q(t )e(t ) 0 — 状态转移过程中衡量e(t )大小的代价函数 2 1 Lu u (t )T R(t )u (t ) 0 — 状态转移过程中衡量u (t )大小的代价函数 2 1 (t f ) e(t f )T Fe(t f ) 0 — 终端代价函数（衡量终点误差） 2
第5章 线性二次型的最优控制
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 ) (t ) 0
(5 14)
(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) x(t )
令P(t ) (22 F12 ) 1 ( F11 21 ) (5 16)
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
第5章 线性二次型的最优控制
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
横截条件给出了终端时刻二者的关系：
(5 9)
1 T [ x (t f ) Fx(t f )] (t f ) 2 Fx(t f ) x(t f )
(5 1)
y(t ) x(t ) e(t ) 输出调节器 跟踪问题
状态调节器
e(t ) yr (t ) y(t )
第5章 线性二次型的最优控制
5.2 状态调节器问题
终端时间t , 有限时间问题 终端时间t , 无限时间问题
5.2.1 有限时间状态调节器问题
设线性时变系统的状态方程为
(5 23)Leabharlann 第5章 线性二次型的最优控制
例[5-1]
已知一阶系统的微分方程为 二次型性能指标为：
x(t ) ax(t ) u (t )
x(0) x0
1 2 1 tf J fx (t f ) [qx2 (t ) ru 2 (t )]dt 2 2 0 f 0 q0 r 0
第5章 线性二次型的最优控制
5.1 线性二次型问题
线性二次性问题的提法：
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) (5 1) y(t ) C (t ) x(t ) 假设控制向量 u(t ) 不受约束 ，用 yr (t )表示期望输出，则误差向量为 e(t ) yr (t ) y(t ) (5 2)
正定二次型 x 0
(5 3)
xT Ax 0
半正定二次型 x 0
xT Ax 0
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
第5章 线性二次型的最优控制
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) u (t )T R(t )u (t )]dt 2 2 t0
设线性时变系统的状态方程为
求最优控制 u * (t ) ，使下列二次型性能指标最小。
1 T 1 tf T J (u ) e (t f ) Fe(t f ) [e (t )Q(t )e(t ) u (t )T R (t )u (t )]dt 2 2 t0 F — 半正定对称常数加权矩阵 Q(t ) — 半正定对称时变加权矩阵 R(t ) — 正定对称时变加权矩阵 t0 及t f 固定
第5章 线性二次型的最优控制
第5章 线性二次型的最优控制
本章主要内容：
5.1 线性二次型问题 5.2 状态调节器
5.3 输出调节器
5.4 跟踪器
1 tf T J (u ) ( x Qx u T Ru)dt 2 t0
线性二次型问题的特点
(0 14)
（1）最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化 （2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）
求使性能指标为极小值时的最优控制。
解： u (t )* R 1 BT P(t ) x(t ) 1 p(t ) x(t )
r
其中p(t)为黎卡提方程的解
PA AT P PBR1BT P Q p(t ) 2ap(t ) 1 p 2 (t ) q P r P(t f ) F p(t f ) f
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
第5章 线性二次型的最优控制
2.应用其性质求解p(t)
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
（5-17）对时间求导
x Ax BR 1 BT Ax S H Qx AT Qx AT Px x
(5 21)
边界条件：
(t f ) Fx(t f )
(5 10)
(t ) P(t ) x(t )
(5 17 )
P(t f ) F
(5 22)
第5章 线性二次型的最优控制
黎卡提方程求解问题： （1）可以证明，P(t)为对称矩阵，只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组。 （2）为非线性微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。 还可进一步证明，最优性能指标为：
(5 11)
x(t f ) 11x(t ) 12 (t ) (t f ) 21x(t ) 22 (t )
(5 12) (5 13)
(5 14)
（5-13）-（5-12）*F 可得
(t f ) Fx(t f ) (21 F11 ) x(t ) (22 F12 ) (t ) 0
x(t f ) x(t ) 11 12 x(t ) (t ) (t f , t ) (t ) 21 22 (t ) f
即
(5 10)
为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向终端转移形式：
第5章 线性二次型的最优控制
设a 1, f 0, x(0) 1, q 1, t f 1，r变化
r越小，p(t )越平稳、x(t )衰减越快、u(t )幅值越大
（3）求反馈增益矩阵K(t)及最优控制u*(t)
(5 21)
u (t )* K (t ) x(t ) R 1BT P(t ) x(t )
（4）求解最优轨线x*(t) （5）计算性能指标最优值
(5 18)
J *[ x(t ), t ]
1 x(t )T P(t ) x(t )T 2
线性二次型问题的本质：
用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。 线性二次型问题的三种重要情形：
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t ) y(t ) C (t ) x(t )
e(t ) yr (t ) y(t ) 1) 2) 3) C (t ) I yr (t ) 0 yr (t ) 0 yr (t ) 0 y(t ) e(t ) (5 2)
加权矩阵的意义：
（1）F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量 的重要性灵活选取。
（2）采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。 例如：t t0时刻e(t0 )很大，但误差在系统开 始前形成，
并不反映系统性能的好坏。
Q(t)可开始取值小，而后取值大
第5章 线性二次型的最优控制
物理意义：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。
(5 4)
第5章 线性二次型的最优控制
解：1.应用最小值原理求解u(t)关系式
H L f T
1 T 1 x Qx u T Ru xT AT u T BT 2 2
(5 5)
因控制不受约束，故沿最优轨线有：
最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）
x(t ) ax(t ) u (t ) [a
1 p(t )] x(t ) r
x(0) x0
第5章 线性二次型的最优控制
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：dfun1.mat
function dy = dfun1(t,y)
1 J [ x(t ), t ] x(t )T P(t ) x(t )T 2
*
(5 23)
第5章 线性二次型的最优控制
3. 状态调节器的设计步骤 （1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵F,Q,R （2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵P(t)
P PA AT P PBR1BT P Q P(t f ) F
H Ru BT 0 u (t ) R 1BT u
（R(t)正定，保证其逆阵的存在。）
(5 6)
x Ax BR 1 BT Ax S H 规范方程组： (5 7) Qx AT x S x 下面思路： x A 写成矩阵形式： (5 8) T 确定 x(t ) 与 (t ) Q A 的关系，带入 （ x(t0 ) x(t ) 5-6）形成状态反 (5 9) 其解为： (t ) (t , t0 ) (t ) 馈 0
(5 15)
(t ) P(t ) x(t )