【人教版】五年级下册数学导学案：喝牛奶问题——数形结合的解题策略
借助几何直观,渗透解决问题的策略——人教版五下“喝牛奶问题”教学设计
加兑满后水与牛奶混合液的一半倒
2 中。
设计意图：通过实物演示，加深学生的印象；通
过教师适时的提问，引学生的
。用
牛奶，更能从浓淡颜色上清楚、直观地看出两次喝的
半杯中纯牛奶量的不同，学生的 提供一
，
感受“一半的一半”。
（2） 对比&引发冲突。
教师同时举起1号、2号杯子问：乐乐两次都喝了
丄杯，这两个丄杯有什么不同？
有前面的教师指导，所以学生大都能清晰表示出来，
而且表述清晰$
多媒体的直观、动态演示，彳
地解决了此题中的难点$
2.拓展、发现规律。
利用课件逐次出示乐乐第一次、第二次、第三次
喝的纯牛奶。
师：照这样喝下去#乐乐第四次又会喝多少杯的
纯牛奶呢？
学生猜，课件演示。（图3）
第一次
第二次
第三次
第四次
杯
杯
杯
（）杯
2
4
1•探究。 （1） 教师指导：要解决这个问题#我们可以用什 么办法来帮助我们研究？（画图）那在画图之前我们 得先弄清什么问题？（这里面还剩下多少杯纯牛奶# 多少杯 ） （2） 学生自主画图解决#与同桌交流，汇报。
设计意图：此刻的画图已没有第一次画图那样有
教师的实物演示作为支撑，抽象程度更高了，但因为
75 Teaching Research教学#研/教学设计
借助几何直观，渗透解决问题的策略
——人教版五下“喝牛奶问题”教学设计
◎卓杨晶
【教学内容】人教版五下第六单元“异分母分数加
减法”例3。 【教学目标】
1. 经历解决问题的全过程&探索解决问题的途径、 策略和方法。体会图示在理解、分析、解决问题中的
喝牛奶问题解题思路的公式
喝牛奶问题解题思路的公式
解决“喝牛奶问题”的解题思路可以采用数学建模的方法来表达。
首先，假设噴
射时间为T1，冷却时间为T2，牛奶的总量为M，喝牛奶的速度为V，则T1＝
M/V。
再假设每次喝牛奶的时间为t1，休息的时间为t2，那么可以得出T2＝t1+t2。
接下来，我们需要如何选择t1和t2才能最小化T1+T2，这就是这个问题的关键。
首先，我们明确两个阶段的目标：在第一阶段，目标是优化t1使得在T1时间
内喝完全部的牛奶，即使得M/V最小；在第二阶段，目标是选择合适的t2使得T2最小。
一般来说，两个阶段的优化目标是存在冲突的，这就需要我们通过权衡来确认最终的解决方案。
大多数情况下，我们关注的是总时间T＝T1+T2为最小。
而T1＝M/V是固定的，即V的选择并不会影响T1。
因此，我们主要考虑如何优化T2。
一种可能的思路就是选择t1，使得在提供的V条件下，T1尽可能的小，然后在剩余的M中选择
t2使得T2最小。
所以我们可以建立数学模型进行求解，模型的形式如下：
minT=T1+T2=s.t. T1＝M/V, T2＝t1+t2.（目标函数）
我们可以得到：
infT=min(T1+T2)=min(M/V+t1+t2).
上面的公式就是“喝牛奶问题”解题思路的公式，数学建模方法通过建立模型的
形式，将实际问题抽象为求解数学问题，使得问题的解决更为具有科学性和准确性。
人教版五年级数学下册《.图形的变换 喝牛奶问题》导学案_5
教学片段设计表
2号和3号杯中。
第一步：将1号杯中的半杯纯牛奶倒入2号杯。
第二步：将1号杯注入水，注满为止。
教师适时提问：这时1号杯里装的是什么？
第三步：将1号杯中的半杯液体倒入3号杯。
（2）画一画。
教师：同学们，想一想，刚才这个过程你可以怎样记录下来？先独立操作，然后在四人小组内交流。
（3）说一说。
下面谁能将自已的思考过程向大家来交流一下。
预设方法一：
第一次喝的1
2
杯
1
2
杯牛奶
1
4
杯牛奶
第二次喝的1
2
杯
1
4
杯水
学生解释方法，并询问其他同学是否同意，是否需要补充。
预设方法二：
学生解释方法，并询问其他同学是否同意，是否需要补充。
预设方法三：
1
2第一次：
牛奶
牛奶水
第二次：
1
2
学生解释方法，并询问其他同学是否同意，是否需要补充。
（4）写一写。
五年级数学下册第6单元第8课时 喝牛奶问题——数形结合的解题策略导学案
第8课时 喝牛奶问题——数形结合的解题策略 学习内容 书第99页例3内容及101页练习二十五的第8-10题编写人学习目标 1、培养数形结合的数学思想能力。
2、体会转化思想，提高解决实际问题的技能。
重 难 点 重点：借助形感受与数之间的关系。
难点：理解12 杯的12是多少杯？会用数形结合的思想解决问题。
导学流程 自主空间【独立自主学习】1、口算34 +14 79 －49 37 +57 715 －4151112 －512 617 +817 1721 －1321 914 +51421+31 91+101 41+71 51+81 21-31 91-101 41-71 51-81 2、折一折：取出一张长方形纸，涂色表示出12 和41 12 +41＝42+41＝ 3、说一说：“喝了一杯奶的34 ”表示（ ）【合作互助学习】1、自学课本第99页例3：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。
又喝了半杯，就出去玩了。
他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？2、阅读与理解 ： 你知道了哪些信息？写在下面。
喝了 _____ 次纯牛奶。
思考：第二次喝的有牛奶也有水，第二次喝了多少牛奶呢？ 12 杯的12是多少杯？ 第一次：______________________________。
第二次：______________________________。
3、分析与解答因为：第一次喝完后剩（ ）杯纯牛奶，喝了（ ） 杯；加满水，纯牛奶还是只有原来的（ ）杯。
又喝了加满水后的（ ） ，也就是把（ ）杯的纯牛奶再平均分成2份，喝的纯牛奶就是其中的 1 份了。
把 （ ）平均分成 2 份，可以把（ ） 化成（ ），其中 1 份就是 _____ 。
第二次喝的纯牛奶是 _____ 杯，水是_____ 杯。
所以列式计算一共喝的纯牛奶是：__________ 杯 ， 水是：__________杯。
回顾与反思可以怎样检验？解决这道题的关键是什么？关键步骤利用了什么知识？ 答：______________________________【展示引导学习】1、完成教材第101页第8 题。
人教版小学数学《解决问题——喝牛奶》导学案
数学五下第六单元《分数的加法和减法》之P99《解决问题——喝牛奶》导学案自研自探·合作交流·展示提升·检测评价学法指导【学习目标】1.我会利用画图的方法和分数的意义来理解并解决喝牛奶问题。
2.我会利用解决“喝牛奶问题”的策略来解决生活中相关的实际问题。
【学具准备】作图工具（铅笔、尺子等）【学习流程】一、知识链接1.把一个长方形平均分成2份，其中的一份是这个长方形的（）。
2.再把其中的一份平均分成2份，每份又是这个长方形的（）。
3.如果再把其中的一份平均分成2份，每份又是这个长方形的（）。
二、自学成才（一）独学一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。
他又喝了半杯，就出去玩了。
乐乐一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？你知道了哪些信息？写在下面。
第一次：一杯纯牛奶，喝了杯。
第二次：兑满热水，又喝了杯。
问题：一共喝了多少杯纯牛奶？1.实验研究。
①②③2.把刚才实验的过程用自己喜欢的方式记录下来。
（文字、画图等等）可以怎样检验？解决这道题的关键是什么？关键步骤利用了什么知识？答：（二）对群学1.重点交流分析与解答环节，第一次喝了多少牛奶？第二次喝了多少牛奶？用什请你仔细阅读学习目标，按要求完成学习任务，课后还可以对照目标检查自己的完成情况。
在图中分一分阅读与理解分析与解答1.准备三个杯子，最好透明，没有的话，用家里的一次性杯子等都可以。
2.为了节约和研究方便，在水里倒入一些酱油代替牛奶，把两次喝掉的分别倒入②号③号杯子中，代替喝掉。
3.操作过程根据题目的信息进行。
4.每一次的操作都要思考“这时①号杯装的是什么？喝掉的是什么？两次分别喝了多少牛奶？②号③号杯里装的又是什么？是①号杯的多少？”回顾与反思么方式表达大家容易懂。
2.结论：一共喝了多少杯纯牛奶？ （三）展学1.边实验边板书，边展示边说。
同时可以对听展者进行提问。
2.听展者进行质疑补充。
三、大显身手1.如果乐乐又兑满了热水，第三次把整杯喝完了，那么此时乐乐一共喝了多少牛奶，多少水呢？2.李大伯有一条绳子，第一次用去了全长的21，第二次用去了剩下的31，这时剩下的绳子是原来长度的几分之几？3.一个果园种了桃树、梨树和苹果树，其中桃树和梨树的种植面积占总面积的1613,梨树和苹果树的种植面积占总面积的85。
小学数学五年级《喝牛奶问题》优秀教学设计
《牛奶中的数学问题》教学目标：1、在学习了分数的意义和性质及分数加减法后，借助几何直观，综合运用这些知识解决简单实际问题。
2、经历解决问题的全过程，体会图示在解决问题、分析问题中的作用，学习用几何直观的方法分析问题,同时为后面理解分数乘法的意义和解决问题积累一定的方法和经验。
3、体会数学与现实生活的联系，养成用简明、灵活的方法解决问题的习惯。
教学重点：通过运用“数形结合”与“变中不变”的策略来解决问题。
教学难点：理解“半杯水和牛奶混合物中有多少杯纯牛奶和多少杯水”。
教学过程:一、情境引入同学们都喝过牛奶吧,乐乐在喝牛奶的时候就遇到了一个数学问题，今天这节课我们一起去探究一下吧！板书课题：解决问题请同学们看大屏幕。
二、探究新知1、出示问题：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。
他又喝了半杯，就出去玩了。
乐乐一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？谁愿意来读一读题目？从题目中你获得了哪些信息？板书：第一次：喝了1/2杯牛奶。
第二次：兑满热水，又喝了1/2杯。
要我们求的问题是什么？怎么计算乐乐喝了多少牛奶？多少水呢？2、自主学习请同学们把数学书翻到第99页，先自学“分析与解答”部分，再把你的答案填写在书上。
“分析与解答”12杯的一半是（ ）（ ）杯。
第二次喝的纯牛奶是（ ）（ ）杯，水是（ ）（ ）杯。
一共喝的纯牛奶： 水：3、直观演示有的同学已经做好了，可还有一部分同学遇到困难了。
为了帮助同学们理解题目的意思，老师准备了一些教具。
（出示一瓶水，三个透明的量杯，其中1号杯装满牛奶，2、3号杯为空杯。
）想请一个同学用老师的教具来“演一演”。
为了研究方便，我们把两次喝掉的分别放入2号和3号杯中。
第一步：乐乐喝了半杯牛奶。
（将1号杯中的半杯纯牛奶倒入2号。
）第二步：喝了半杯后，注满水。
（将1号杯注入水，注满为止。
）不着急第三步，李老师还有问题想要问呢。
适时提问：这个时候，1号杯里装了多少牛奶？多少水？有分数表示也就是1/2杯。
第8课时 喝牛奶问题——数形结合的解题策略
第8课时喝牛奶问题——数形结合的解题策略
古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。
我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。
学习知识要善于思考，思考，再思考。
——爱因斯坦
镜破不改光，兰死不改香。
——孟郊
生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。
—
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。
——陶铸
研卷知古今；藏书教子孙。
——《对联集锦》
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。
——《礼记》
知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。
——泰戈尔
你是一个积极向上，有自信心的孩子。
学习上有计划、有目标，能够合理安排自己的时间，学习状态挺好；心态平和，关心、帮助同学，关心班集体，积极参加班级、学校组织的各项活动，具有较强的劳动观念，积极参加体育活动，尊敬师长。
希望你再接再厉，不满足于现状，争取做的更好。
【备课教案】第6单元第8课时 喝牛奶问题——数形结合的解题策略(人教版五年级下册数学)
第8课时 喝牛奶问题——数形结合的解题策略 学习内容 书第99页例3内容及101页练习二十五的第8-10题编写人 学习目标 1、培养数形结合的数学思想能力。
2、体会转化思想，提高解决实际问题的技能。
重 难 点 重点：借助形感受与数之间的关系。
难点：理解12 杯的12是多少杯？会用数形结合的思想解决问题。
导学流程 自主空间【独立自主学习】1、口算34 +14 79 －49 37 +57 715 －4151112 －512 617 +817 1721 －1321 914 +51421+31 91+101 41+71 51+81 21-31 91-101 41-71 51-81 2、折一折：取出一张长方形纸，涂色表示出12 和41 12 +41＝42+41＝ 3、说一说：“喝了一杯奶的34 ”表示（ ）【合作互助学习】1、自学课本第99页例3：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。
又喝了半杯，就出去玩了。
他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？2、阅读与理解 ： 你知道了哪些信息？写在下面。
喝了 _____ 次纯牛奶。
思考：第二次喝的有牛奶也有水，第二次喝了多少牛奶呢？ 12 杯的12是多少杯？ 第一次：______________________________。
第二次：______________________________。
3、分析与解答因为：第一次喝完后剩（ ）杯纯牛奶，喝了（ ） 杯；加满水，纯牛奶还是只有原来的（ ）杯。
又喝了加满水后的（ ） ，也就是把（ ）杯的纯牛奶再平均分成2份，喝的纯牛奶就是其中的 1 份了。
把 （ ）平均分成 2 份，可以把（ ） 化成（ ），其中 1 份就是 _____ 。
第二次喝的纯牛奶是 _____ 杯，水是_____ 杯。
所以列式计算一共喝的纯牛奶是：__________ 杯 ， 水是：__________杯。
回顾与反思可以怎样检验？解决这道题的关键是什么？关键步骤利用了什么知识？ 答：______________________________【展示引导学习】1、完成教材第101页第8 题。
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学案整理：
本节课我学会了：
教学反思ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
喝了_____次纯牛奶.思考：第二次喝的有牛奶也有水，第二次喝了多少牛奶呢？ 杯的 是多少杯？
第一次：______________________________.
第二次：______________________________.
3、分析与解答
因为：第一次喝完后剩（）杯纯牛奶，喝了（）杯；加满水，纯牛奶还是只有原来的（）杯.又喝了加满水后的（），也就是把（）杯的纯牛奶再平均分成2份，喝的纯牛奶就是其中的1份了.把（）平均分成2份，可以把（）化成（），其中1份就是_____.第二次喝的纯牛奶是_____杯，水是_____杯.所以列式计算一共喝的纯牛奶是：__________杯，水是：__________杯.
回顾与反思
可以怎样检验？解决这道题的关键是什么？关键步骤利用了什么知识？
答：______________________________
【展示引导学习】
1、完成教材第101页第8题.
已知： ； ； ； .你能很快计算出 的和吗？通过计算，你发现什么?
2、分一分：把6个同样大小的苹果平均分给8个孩子，可以怎么分？每个孩子分得这些苹果的几分之几？(教材第102页第9题)
+ + + +
- - - -
2、折一折：取出一张长方形纸，涂色表示出 和
+ ＝ + ＝
3、说一说：“喝了一杯奶的 ”表示（）
【合作互助学习】
1、自学课本第99页例3：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水.又喝了半杯，就出去玩了.他一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
2、阅读与理解：你知道了哪些信息？写在下面.
提示：可以先将4个苹果，平均分给8个孩子，每人得4÷8=（个），再将剩下的2个苹果，平均分给8个孩子,每人得2÷8= (个).所以，每个孩子可分得（）+（）＝(个).
把6个同样大小的苹果看做一个整体，平均分成8份，每个孩子分得其中的1份，即每个孩子分得这些苹果的（）.
3、完成教材第101页第10题.（注意：在计算1减几分之几时，可以把1转化成与减数同分母的假分数，再计算.）
第
学习内容
书第99页例3内容及101页练习二十五的第8-10题
编写人
学习目标
1、培养数形结合的数学思想能力.
2、体会转化思想，提高解决实际问题的技能.
重难点
重点：借助形感受与数之间的关系.
难点：理解 杯的 是多少杯？会用数形结合的思想解决问题.
导学流程
自主空间
【独立自主学习】
1、口算
+ － + －
－ + － +