数学证明

全等三角形的对应边相等， △ABE≌△ACD, ∴ AE=AD.
这种推理形式是（充分条件） 假言判断的肯定式。
通俗地讲，证明的论题告诉我们“要证明什么”，论据告 诉我们“用什么来证明”，而论证告诉我们“怎样证 明”。
数学证明常分为已知、求证和证明三部分。其中：
• “已知”是有待证明其真实性的命题（论题）的题设； • “求证”是有待证明其真实性的命题（论题）的结论； • “证明”就是论证，即说明论题真实性的推理过程。
a2 b2 c2sin2A c2cos2A c2(sin2A cos2A) c2.
规则5 论据必须能推出论题. 证明是特殊的推理，证明中论据必须是推出论题的充足理由。否则，
从论据就推不出论题。违反这条规则的逻辑错误，叫做不能推 出。
例6
设 αβ,
,γ（
0
，π） 2
，
且 tanα
例10 自⊙O外一点P作⊙O的切线PA，切点为A，再由PA的中点 M作⊙O的割线，交⊙O于B、C两点，PB、PC分别交⊙O于D、 E,求证：ED∥PA.
（3）直接证法和间接证法
①直接证法
直接证法是从正面推出论题的证明。数学命题大多数是用这种方法 证明的。
直接证法的一般形式是：
本 题 条 件 （ 已 知）
导 致 矛盾律 逻辑矛盾
p q 排中律
为假
pq
为真
反证法的一般步骤如下： （1）假设命题的结论不成立（即结论的否定成立）； （2）从否定结论出发，进行层层推理，得出与公理， 或前述的定理、定义（例11、例12）或题设条件（例 13、例14），或与临时假设等自相矛盾（即说明结论 不能否定），或含有自相矛盾命题（例15）的结论； （3）根据排中律，最后肯定原命题成立。
§4 数学证明
目标： 了解证明的各种形式； 理解数学证明的形式及本质。
一、证明的含义与结构 1. 证明的含义
在一门科学理论中，证明是用某个或某些命题（判断）的 真实性来断定另一命题（判断）的真实性的思维过程。
数学命题的证明是用一些已知真实的命题为前提，通过推
理来实现的。
例1 如图，已知：∠B=∠C,AB=AC.求证：AE=AD.
( a b )2 a b.
a b a b.
有时，很难从题设出发找到证明途径，这时用综合法比较困难，应 用分析法。例如，选修1-2第二章§2.2（P39）：
③分析综合法（“两头凑”方法） 由上面的例子可以看出，探索论题p→q的证明途径，无论是分析
法，还是综合法，都是要构成一个联系题设p和结论q的推理系 列。只不过分析法是由后向前构造，即“执果索因”或“逆推”； 综合法就是由前向后构造，即“由因导果”或“顺推”。由此想 到，如果同时用分析法和综合法去探索，即从前后两个方向构造 推理序列，则一般可以较快地找到证明途径。这种“两头凑”的 方法，或称“分析综合法”，尤其适宜结构比较复杂的问题。
例16 已知：△ABC中，AD=DB,AE=EC.求证:DE∥BC. /（人教版，八年级下，“第十九章 四边形”，“第一节 平行四
边形”中，“19.1.2 平行四边形的判定”，P88—89.）
人教A版，选修4-1，“第一讲 相似三角形的判定及有关性质”， “一、平行线等分线段定理”。
同一法的依据是同一原理。 同一法的一般步骤如下：
可作数学证明的论据的有：本论题的题设；证明论题真实 所引用的那些数据；已知的公理、公式、定理或者已 证明了的论断；以及学过的概念的定义、性质等命题 。
3.证明与推理的关系 证明与推理有密切的联系，又有明显的区别。 其联系表现在：证明必须运用推理，证明的论题相当于推
理的结论，论据相当于推理的前提，证明的方式，即 论证相当于推理形式。 其区别表现在：（1）推理是先有前提，再由前提推出结 论，证明是先有论题，再探求论据；（2）推理只是 断定了前提与结论之间有必然性联系或或然性联系， 并不要求前提和结论是真实的，证明则要以真实的论 据来确定论题的真实性。
1 2
,t a n β
1 5
,t a n γ
1 8
.
求
证
：
αβγ
π. 4
证
明
： t
a
n
( αβγ
)
tanα t 1tanα
a t
nβ tanγ anβ tanβ
t t
a a
nα n γ
tanβ tnaγ tanγtanα
1 1 1 111

2 1

1 2
58 11 55
证明：依题设，2和 3是无理数，而无理数与无理数的和是无理数
所以 2 3也必是无理数.
规则4 论据不能靠论题来证明. 论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来
证明，那么结果什么也没证明。违反这条规则的逻辑错误叫循 环论证。
例 5 在 RtΔ ABC中 ，C 90， 求 证 a2 b2 c2. 证 明 ： a csinA,b ccosA,
a b ab.
分析法证明数学命题时，要步步探求结论的充分条件，最后达到题 设。这种方法合乎人们探求真理，解决问题的思维过程，比较容 易开拓思路找到证明途径。教学中经常使用分析法，对培养学生 分析问题和解决问题的能力是很有益处的。
②综合法
用综合法证明数学命题p→q，就是从题设p出发，逐步进行推理， 最后导出结论q。
任务：深入分析例1的证明过程。
逻辑思维对数学命题证明的基本要求是：证明要有说服力，即证明 要有真实理由，并且应遵守证明的规则
2. 数学命题证明应遵守的规则 规则1 论题要明确. 论题是证明的基本目标，只有把论题清楚、明确地表述出来，才能
使证明有的放矢。
例2 连结四边形四边的中点成一平行四边形。 规则2 论题应当始终同一. 根据同一律的要求，在证明过程中，论题应当始终同一，不得中途
（1）当命题的条件与结论所含事项都唯一存在时，先作出符合 命题结论的图形； （2）证明所作图形符合已知条件； （3）根据唯一性，确定所作图形与已知图形重合； （4）最后肯定原命题成立。 同一法的另一定义：对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难 时，可以改证和它等价的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命 题就成立，这种证明方法叫做同一法。（此种观点有局限！）
例15 用反证法证明：如果m是奇数，n是整数，那么方程 x2+mx+m=0没有相等的实根。
注：在反证法由假设推出矛盾的推导过程中，必须保证每个推理都 合乎逻辑。否则，即使得出矛盾，也不能由此矛盾判定假设不正 确。
.用反证法证明命题“p→q”的全过程和逻辑依据可以用
下图来表示：
肯定条件p 推理 否定结论q
D
C
AB CD BC DA Δ ABC≌Δ CDA
A
B
CA AC

C A B C
B A

A C D A
D C
A B
B C
// //
DC AD

四
边
形
A
B
C
D
为
平
行四
边
形
.
归纳法是用归纳推理来证明论题的方法，也就是从包含在论据 中的个别、特殊事实推出包含在论题中一般原理的。
.在应用反正法时，如果命题结论的否定方面只有一种可能情况， 那么，只要把这一情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫 做归谬法（例11、12、13、15）。如果命题的结论的否定方面 不只一种情况，那就必须把否定方面所有的可能情况逐一驳倒， 才能肯定结论成立，这种反证法叫做穷举法（例14）。
同一法
在几何中，要证明某个图形a具有属性P，可以先作出具有属性p的 图形b，然后证明图形b和图形a是同一个图形，从而证明图形a 具有属性p.这种证明方法叫做同一方法。
已知定义 已知公理






结论.

已 知 定 理 （ 公 式 ）
即从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结
论的真实性。
②间接证法
间接证法不是从正面证明确定论题的真实性，而是证明它的反论题
为假或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的. 间接证法有反证法和同一法两种.
反证法
P
D
O1C B O2
A （3）
（2）分析法和综合法 ①分析法 用分析法证明数学命题p→q，就是从结论q出发，一步一步地探求
使结论成立的充分条件，直到所探求的充分条件是题设p。
例如基本不等式的证明。 必修5第三章§3.4（P98）：
选修1-2第二章§2.2（P39）：
例 9 已 知 a b 0,求 证 ：a b ab. 证 明 ： 要 证 a b ab， 因 为 已 知 a b 0, 只 须 证 （ a b）2 a b, 即证 a2 abb ab. 只须证 2 ab 2b. 只须证 ab b. 因 为 已 知 a 0,b 0, 只须证 ab b2. 只须证 a b. 这是已知条件，
论据是确定论题的真实性时所依据的判断或命题，即证明的根据和 理由。例1中，能重合的量相等（公理），三角形全等的判定 定理“ASA”，本论题的题设“（∠B=∠C）∧（AB=AC）”， 以及定理“全等三角形的对应角相等”等，都是论据。
论证（也称为证明方式）是由论据得出论题的推理形式，它是由一
系列命题，根据逻辑推理规则构成的一个逻辑推演的程序。一 个论证可以只包含一个推理，也可以包含一系列推理。例1中 包含了三个演绎推理，其中最后一个演绎推理完整地写出来就 是：
变更。违反这条规则的逻辑错误，叫做偷换论题。
例3 求证“四边形的内角和等于360°”，证明时用矩形代替四边形。 规则3 论据要真实. 论据是确定论题真实性的理由。如果论据是假的，那就不能确定论