随机准备金-拔靴法bootstrapping方法
统计中的 Bootstrap 方法是指什么？与 Monte Carlo 方法有什么联系与区别？
统计中的Bootstrap 方法是指什么？与Monte Carlo 方法有什么联系与区别？【JackDiamond的回答(73票)】:风马牛不相及，举个简单的例子(关于一个分布的平均值)来帮你理解bootstrap 和Monte Carlo，比如现在有一个分布F...1. Bootstrap: 如果我无法知道F的确切分布，手上仅有一组从F中iid抽样的样本(X_1, ..., X_n)，我想检验“F的均值是否为0”。
看起来这个不可能，因为我只有一个ar{X}的点估计，而并不知道ar{X}的分布。
Bootstrap的魔术是现在我把(X_1, ..., X_n)这个样本当做总体，从中(有放回地)重新抽样，重抽样样本大小仍为n，那么每一次重抽样就可以得到一个“样本均值”，不断地重抽样我就得到了一个ar{X}的“分布”。
这样接下来我就可以构造confidence interval并做检验了。
虽然实践中bootstrap的重抽样步骤都是用Monte Carlo方法来模拟重抽样样本统计量的分布，但是严格地说这个分布原则上可以精确计算。
而如果待估统计量比较简单，bootstrap的结果有时甚至可以直接用(X_1, ..., X_n)的某种统计量表示出来，从而并不需要真正地“重抽样”。
当然实际应用中绝大多数时候重抽样分布的解析表达式都会太复杂，所以用模拟代替计算。
(关于bootstrap的更多讨论见此答案下的评论，特别是Lee Sam提的问题)2. Monte Carlo: 如果我知道F的确切分布，现在想计算mean(F)，但是F的形式太复杂(或者我这人太懒)；另一方面我又知道如何从F中抽样，于是就抽一个样本出来，拿样本均值充数。
一般来说bootstrap干的事大都跟这个例子中干的事差不多，而Monte Carlo的应用要广泛和多元化得多了。
所以两者连“区别”都谈不上，就是两码事。
【赵卿元的回答(20票)】:谢邀。
bootstrap检验法
bootstrap检验法Bootstrap检验法1. 前言假设你有一个样本数据集合，你想要知道这个数据集的某些特征（比如均值、中位数、标准差、相关系数等）是否显著不同于其它数据集的这些特征，那么你可以使用假设检验。
经典的假设检验（如t检验、ANOVA、卡方检验等）需要满足一些假设前提条件，比如正态分布、方差齐性等。
如果这些前提条件得不到满足，则假设检验的结果可能会出现误差。
Bootstrap检验法是一种非参数检验方法，不需要满足前提条件，因此可以在不确定数据分布的情况下，对统计量进行检验，从而得出更加鲁棒的结果。
本文将介绍Bootstrap检验法的原理、应用场景以及示例代码，帮助读者更好地理解和应用该检验方法。
2. 原理Bootstrap检验法基于自助法（Bootstrap）的思想。
自助法是一种经验估计的方法，它通过从原始数据集中有放回地抽取n个样本，生成一个新的数据集，重复抽样m次得到m个样本，再对这m个样本进行统计量的计算，形成该统计量分布的样本估计。
Bootstrap检验法则是基于自助法生成的m个样本估计，对所感兴趣的两个样本进行比较的非参数检验。
通常使用百分位数法进行Bootstrap检验。
该方法将两个样本生成的m 个统计量分布进行合并，计算出合并后的统计量分布的百分位数，得到该百分位数两侧的统计量分布，以此作为假设检验的P值。
3. 应用场景Bootstrap检验法可用于比较两个数据集随机变量的各种统计量，比如均值、中位数、标准差、相关系数等。
适用于以下场景：1）样本量较小的情况。
2）数据集分布无法确定的情况。
3）数据集不满足方差齐性等前提条件的情况。
4. 示例代码以下代码演示如何使用Python的Scipy库进行Bootstrap检验：```pythonfrom scipy import statsimport numpy as np# 生成两个不同分布的样本数据集data1 = stats.norm.rvs(loc=2, scale=1, size=100)data2 = stats.norm.rvs(loc=3, scale=1, size=50)# 计算两个样本的均值差值diff_mean = np.mean(data1) - np.mean(data2)# 执行自助抽样n=10000次num_samples = 10000diff_mean_samples = np.empty(num_samples)for i in range(num_samples):bootstrap1 = np.random.choice(data1, size=100, replace=True)bootstrap2 = np.random.choice(data2, size=50, replace=True)diff_mean_samples[i] = np.mean(bootstrap1) - np.mean(bootstrap2)# 计算Bootstrap检验的p值p_value = (np.sum(diff_mean_samples >= diff_mean) +np.sum(diff_mean_samples <= -diff_mean)) / num_samplesprint('Bootstrap检验的p值为:', p_value)```上述代码中，首先生成了两个不同的数据集`data1`和`data2`，分别对应了两个分布。
Bootstrapping算法
Bootstrapping算法，指的就是利用有限的样本资料经由多次重复抽样，重新建立起足以代表母体样本分布之新样本。
bootstrapping的运用基于很多统计学假设，因此假设的成立与否会影响采样的准确性。
统计学中，bootstrapping可以指依赖于重置随机抽样的一切试验。
bootstrapping可以用于计算样本估计的准确性。
对于一个采样，我们只能计算出某个统计量(例如均值)的一个取值，无法知道均值统计量的分布情况。
但是通过自助法(自举法)，我们可以模拟出均值统计量的近似分布。
有了分布很多事情就可以做了（比如说有你推出的结果来进而推测实际总体的情况）。
bootstrapping方法的实现很简单，
（1）采用重抽样技术从原始样本中抽取一定数量（自己给定）的样本，此过程允许重复抽样。
（2）根据抽出的样本计算给定的统计量T。
（3）重复上述N次（一般大于1000），得到N个统计量T。
（4）计算上述N个统计量T的样本方差，得到统计量的方差。
优点：简单易于操作。
缺点：bootstrapping的运用基于很多统计学假设，因此假设的成立与否会影响采样的准确性。
基于Bootstrap方法的随机性准备金进展法及R实现_张连增
2011 年 4 月 第 33 卷 第 4 期
Joumal of Shanxi Finance and Economics University
Apr.， 2011 Vol. 3 3 No. 4
金 融·投 资
基 于 Bootstrap 方 法 的 随 机 性 准 备 金 进 展 法 及 R 实现
张连增， 段白鸽
（南开大学 经济学院， 天津 300071 ）
［摘
要］在传统准备金进展法的基础上， 结合模型假设提出了一种新的思路， 将传统的确定性准备金进展法合理转化为随
机性方法， 并将 Bootstrap 方法应用于准备金进展法中， 得到了未决赔款准备金的预测分布， 进而由该分布得到了各个分位数以 及相关的分布度量 （如均值、 方差等 ） ， 最后通过精算实务中的数值实例加以实证分析。 ［关键词］确定性准备金进展法； 过度分散泊松模型； 预测均方误差； Bootstrap 方法 ［中图分类号］F842 [文献标识码] A [文章编号] 1007- 9556 （2011 ） 04- 0018- 07
n-j
（13 ） （14 ）
I i， j
γ +…+γ =1
P 1
P n
对于增量已报案赔款 X ， 过度分散泊松模型可 以表述为： 对所有的 i 和 j， XIi， 而且都服从 j 相互独立， 过度分散泊松分布， 参数由式 （15 ） 、 （16 ） 、 （17 ） 确定。 ·19·
I I E （XIi， ） Var （XIi， ） （XIi， ） （15 ） j =m i， j， j =IE j =Im i， j
P i， j n
^
n
^
^
拔靴法--Bootstrap--R语言实现
x1=rpois(30,10);y1=median(x1);t1=c(t1,y1) } # Bootstrap t2 = NULL x0 = rpois(30,10) for (i in 1:10000){
x2=sample(x0,30,T);y2=median(x2);t2=c(t2,y2) } par(mfrow=c(1,2)) hist(t1,xlab = "Median",main = "Monte Carlo") hist(t2,xlab = "Median",main = "Bootstrap")
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拔靴法 --Bootstrap--R语言实现
拔靴法属于重复抽样(resampling)方法，与Monte Carlo相比，二者真实的母体不同。它是将已有的观察值作为母体重复抽样， 以求取原先资料不足二无法探讨的资料特性。 举个例子，假设x1,x2,...,xn为来自同一分配的观察值，我们想了解这个分配的中位数。 设一组有Poisson分配抽出的随机样本，6 7 7 7 7 8 ... 15 15 17 20,共30个。已知样本中位数为10。 这里我们分别用MC方法和拔靴法模拟10000次，看中位数的分布。
统计学中的Bootstrap方法
统计学中的Bootstrap方法引言统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，Bootstrap方法是一种常用的统计推断方法，它可以通过重复抽样来评估统计量的抽样分布。
本文将介绍Bootstrap方法的原理、应用和优点。
一、Bootstrap方法的原理Bootstrap方法是由Bradley Efron于1979年提出的一种非参数统计推断方法。
它的基本思想是通过从原始样本中有放回地进行随机抽样，形成多个“伪样本”，然后利用这些“伪样本”来估计统计量的抽样分布。
具体步骤如下：1. 从原始样本中有放回地抽取n个样本观测值，形成一个“伪样本”；2. 重复步骤1，生成B个“伪样本”；3. 对每个“伪样本”，计算统计量的值；4. 利用这些统计量的值构建抽样分布。
二、Bootstrap方法的应用Bootstrap方法在统计学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 参数估计：Bootstrap方法可以用于估计参数的抽样分布和置信区间。
通过从原始样本中重复抽样，可以得到参数的分布情况，从而估计参数的置信区间。
2. 假设检验：Bootstrap方法可以用于假设检验，特别是在小样本情况下。
通过生成多个“伪样本”，可以计算统计量的抽样分布，并进行假设检验。
3. 回归分析：Bootstrap方法可以用于回归分析中的参数估计和模型选择。
通过对原始样本进行重复抽样，可以得到回归参数的抽样分布，从而进行模型的评估和选择。
4. 非参数统计推断：Bootstrap方法是一种非参数统计推断方法，可以用于估计分布函数、密度函数等非参数统计量的抽样分布。
三、Bootstrap方法的优点Bootstrap方法相对于传统的统计推断方法有以下优点：1. 不依赖于分布假设：Bootstrap方法是一种非参数方法，不需要对数据的分布进行假设。
这使得它在实际应用中更加灵活和适用。
2. 考虑了样本的不确定性：Bootstrap方法通过重复抽样，考虑了样本的不确定性。
稳健性检验方法
稳健性检验方法稳健性检验是指在统计学中用来检验模型的稳定性和鲁棒性的一种方法。
在实际应用中，由于数据的不确定性和复杂性，我们需要对模型进行稳健性检验，以确保模型的可靠性和有效性。
本文将介绍稳健性检验的基本原理、常用方法以及实际应用。
一、稳健性检验的基本原理。
稳健性检验的基本原理是通过对模型的参数进行一定的扰动，来检验模型对数据的变化和异常值的敏感程度。
在实际应用中，我们经常会遇到数据的异常值、缺失值等问题，这些问题可能会对模型的参数估计产生影响。
稳健性检验可以帮助我们评估模型对这些问题的鲁棒性，从而提高模型的可靠性和泛化能力。
二、稳健性检验的常用方法。
1. Bootstrapping（自助法）。
Bootstrapping是一种常用的稳健性检验方法，它通过对原始数据进行重抽样来估计参数的分布。
在每次重抽样中，我们可以得到一个新的参数估计值，通过对这些值的分布进行分析，可以评估模型对数据的变化和异常值的敏感程度。
2. Robust regression（鲁棒回归）。
Robust regression是一种通过对残差进行加权来减小异常值对参数估计的影响的方法。
它可以有效地降低异常值对模型的影响，提高模型的稳健性。
3. Sensitivity analysis（敏感性分析）。
敏感性分析是一种通过对模型参数进行一定范围内的变化来评估模型的稳健性的方法。
通过对参数进行逐步调整，我们可以了解模型对参数变化的敏感程度，从而评估模型的稳健性。
三、稳健性检验的实际应用。
稳健性检验在实际应用中具有重要的意义。
在金融领域，由于金融数据的复杂性和波动性，我们经常需要对模型进行稳健性检验，以确保模型对市场波动和异常事件的鲁棒性。
在医学领域，稳健性检验也被广泛应用于临床试验和流行病学研究中，以评估模型对异常数据和缺失数据的处理能力。
总之，稳健性检验是保证模型可靠性和有效性的重要手段。
通过对模型的稳健性进行评估，我们可以更好地理解模型对数据的敏感程度，从而提高模型的预测能力和泛化能力。
bootstrap方法理论一,二
/
999
=
0.0731 。
4．如果τˆ > Cα∗ 或 pˆ ∗ (τˆ) < α 则拒绝零假设。
当 B 是有限的，可行的 P 值 pˆ ∗ (τˆ) 依赖于使用 bootstrap 样本重复抽样得到的随机变量个
数。在 B → ∞ ，大样本准则显示 bootstrap P 值为
pˆ ∗(τˆ) ≡ Prμˆ (τ ≥ τˆ)
yt∗
=
β1
+
β2
y∗ t −1
+
ut∗ ， ut∗
∼
NID(0, s2 )
，
（4）关键在于零假设。如，如果参数 β = ⎡⎣β1 β2 ⎤⎦ ，零假设 β2 = 0 ，则实际估计的模型是
y = X1β1 + u ，因此使用 β = ⎡⎣β1 0⎤⎦ 生成 bootstrap 样本。
如果不需要假设误差项是正态分布，但是可以假设误差项是独立同分布。则可以使用半参
rejection probability function (RPF)定义为，
R(α , μ) ≡ Prμ (πτ ≤ α ) 明显地， R(α , μ) 依赖于α 和 DGP μ 。
对于确定性检验，RPF 等于α 。 对于主轴量检验，RPF 是平滑的，但一般不等于α 。
对于非主轴量检验，RPF 是非平滑的。
对于这类主轴量检验，bootstrap 样本很容易生成。因为所有这些统计量都是 M X ε 的函数，
我们只要生成 ε ∗ ∼ N (0, I) ，这里不需要计算 u∗ ， y∗ 。注意：这些假设没有滞后自变量和其他
依赖于滞后自变量的回归变量。 三、参数 bootstrap 估计
对于线性回归模型，参数 bootstrap 估计如下：
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灰色区域的LDF是通过拔靴带法得到的一个拔靴带样本
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针对LDF的拔靴带法举例
得到的未来赔款预测的一个拔靴带样本如下：
年度 1 2 3 4 1 1000 1200 1000 1200 2 1500 1600 1400 1680 3 终极 准备金 1600 1600 0 1700 1700 0 1493.333 1493.333 93.33333 1785 1785 585 Total: 678.3333
以上仅是一个拔靴带样本，我们需要重复m次，比如10 万次，得到总准备金的均值约是693，标准差约是88 本质上类似于针对LDF的随机链梯法
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E&V提出的拔靴带法举例
已知的实际累积赔款三角形如下：
年度 1 2 3 4 1 1000 1200 1000 1200 2 1500 1600 1400 3 1600 1700 Ult 1600
重新构造一个增量三角形
年度 1 2 3 4 1 1,078.88 1,242.02 1,000.00 1,192.34 2 474.02 454.93 410.63 3 94.79 74.04 Ult -
重构增量三角形的算法为 ������‘ = ������ + ������ ∙ ������
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拔靴带法的典故
术语“Bootstrap”来自短语“to pull oneself up by one's bootstraps” 源自西方神话故事“ The Adventures of Baron Munchausen”，男爵掉到了深湖底，没有工具，所以他 想到了拎着鞋带将自己提起来 计算机的引导程序boot也来源于此 意义：不靠外界力量，而靠自身提升自己的性能，翻译 为自助/自举
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非参数Bootstrap举例
这时，我们采用非参数拔靴带法得到10个拔靴带样本
X1 0 2 0 10 0 2 0 2 2 0 5 5 X2 10 10 10 2 10 2 0 10 2 2 5 10 X3 6 0 10 2 2 2 2 6 5 0 5 6 X4 0 0 2 10 6 0 10 2 10 10 2 10 X5 10 2 10 10 5 2 0 10 0 5 2 10 X6 10 10 0 2 2 10 6 2 10 2 0 10 X7 2 0 2 2 2 10 6 0 10 2 10 10 X8 10 4 0 10 10 0 10 2 4 6 2 10 X9 5 0 2 10 2 10 4 2 0 6 10 10 X10 2 0 2 10 10 10 0 2 0 2 0 10
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拔靴带法的分类
非参数bootstrap
参数boots rights reserved.
非参数Bootstrap
什么是非参数bootstrap方法？
• 非参数Bootstrap方法是在得到一组随机样本 X=(X1,…,Xn)且分布F(x)未知的情况下，利用对原始样 本X进行n次重复抽样获得的样本来研究F(x)的统计特征 θ。 • 非参数Bootstrap方法的具体做法是：对原始样本X有放 回的重复抽样n次，每次抽取一个，得到的样本称为一个 Bootstrap样本，计算此样本下θ的估计值；然后重复抽 取Bootstrap样本m次，即可得到θ估计值的分布，它可 近似作为θ的分布。
拔靴带法及其在赔款准备金评 估中的应用
李晓翾, 中国/英国精算师
非寿险随机准备金评估技术研讨会
深圳 ▪ 2012年8月8日
主 要 内 容
拔靴带法简介 拔靴带法在准备金评估中的应用 拔靴带法在Excel中的实现 拔靴带法与GLM框架的关系
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实际上，这个样本是从正态分布N(10,5)产生的
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参数Bootstrap举例
接下来，我们要利用参数Bootstrap技术做统计推断 首先，从N(9.51, 5.06)重新抽取10个拔靴带样本如下：
从10个拔靴带样本中重新计算了正态分布的参数 这样，我们就实现了建模中的参数不确定性
拔靴带法简介
什么叫bootstrap方法？
• Bootstrap方法最初是由美国斯坦福大学的Bradley Efron 教授 于1979年在归纳前人研究成果的基础上提出来的 • Bootstrap是一种通过对总体分布未知的观测数据进行模拟再抽 样来对其分布特征进行统计推断的统计方法 • Bootstrap的基本思想是：在原始数据的范围内做有放回的抽样， 得到大量的bootstrap样本并计算相应的统计量，从而完成对其 真实总体分布的统计推断 • Bootstrap方法的出现，在一定程度上解决了无法获得大量样本 可能导致的推断失误
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主 要 内 容
拔靴带法简介 拔靴带法在准备金评估中的应用 拔靴带法在Excel中的实现 拔靴带法与GLM框架的关系
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拔靴带法在准备金评估中的应用
Bootstrap是一种统计方法，它在准备金评估中的应用 方式也有多种 最著名的应用是England与Verrall在1999年将拔靴带法 引入到随机准备金领域中，主要是针对拟合残差引入了 拔靴带法 也有人将拔靴带法应用到损失进展因子上也形成一种随 机性准备金方法
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非参数Bootstrap举例
假设得到样本X=(0,0,2,2,2,4,5,6,10,10,10),我们想判断 样本背后的总体分布的VaR 90% 单从随机样本计算出来的VaR 90%为10，它正确吗？ 实际上，这个样本是从分布DUniform(0,10)产生的，所 以VaR 90%的真实值应为9
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E&V提出的拔靴带法举例
把增量三角形转变为累积三角形
年度 1 2 3 4 1 1,078.88 1,242.02 1,000.00 1,192.34 2 1,552.90 1,696.96 1,410.63 3 1,647.69 1,771.00 Ult 1,647.69
拟合的累积赔款三角形如下：
年度 1 2 3 4 1 1068.82 1135.62 995.56 1200 2 1503.03 1596.97 1400 3 1600 1700 Ult 1600
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E&V提出的拔靴带法举例
拟合的增量赔款三角形(E)如下：
链梯法是从前往后的预测，而不是从后向前的预测
链梯法中各个增量赔款是相关的，而不是相互独立的 链梯法的上半个三角形是不变的，而不是随机的
所以，拔靴带法准备金的期望值并不等于链梯法的值
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E&V拔靴带法的ODP版本
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E&V提出的拔靴带法举例
得到的残差三角形(e)如下：
年度 1 2 3 4 1 -2.1051 1.9104 0.1409 2 3.1573 -2.8561 -0.2210 3 0.3077 -0.2985 Ult -
残差的算法为 ������ =
VaR 90%=
从而得到VaR 90%的平均值为9.1，样本标准差为1.912 从而我们推断，VaR 90%有很大可能在9.1左右
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参数Bootstrap
什么参数bootstrap方法？
• 参数Bootstrap方法是在得到一组随机样本X=(X1,…,Xn) 且已知其总体分布F(x)的情况下，利用对原始样本X进行 n次重复抽样获得的样本来研究F(x)的参数特征θ。 • 参数Bootstrap方法的具体做法是：用原始样本X对F(x) 做参数估计θ；然后从估计的F(x)中重复抽取Bootstrap 样本m次，用每个Bootstrap样本来得到参数θ估计值的 分布，近似作为θ的分布。
得到损失进展因子如下：
年度 1-2 2-3 1 1.5 1.066667 2 1.333333 1.0625 3 1.4 4 选定值： 1.40625 1.064516 3-Ult 1
1
其中选定值为全部年度加权平均
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E&V提出的拔靴带法举例
以上仅是一个拔靴带样本，我们需要重复m次，比如10 万次，得到总准备金的均值约是689，标准差约是52
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E&V提出的拔靴带法举例
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对E&V拔靴带法的说明
E&V提出的拔靴带法并不是基于标准链梯法模型，因此 它也不是用来预测链梯法的波动性的，这是因为拔靴带 法违背了链梯法的一些基本法则：