江苏省淮安市新淮高级中学2019-2020年高三圆锥曲线综合测试卷(无答案)
圆锥曲线综合测试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立如下的对应关系，那么，这个方程叫做 ，这条曲线叫做 ．
2. 若椭圆 152
2=+m
y x 的一个焦点坐标为)0,1( ，则实数m 的值等于 ．
3. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
① 设 A ，B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-，则动点 P 的轨迹为双曲线；
② 过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，则弦 AB 中点P 的轨迹为椭圆； ③ 方程02522
=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④ 双曲线192522=-y x 与椭圆135
22
=+y x 有相同的焦点． 其中真命题的序号为 ．（ 写出所有真命题的序号）
4. 若曲线0122
=-+y x 与直线01=+-y kx 有交点，则k 的取值范围为 ． 5. 椭圆14
52
2=+y x 的离心率为 ．
6. 已知双曲线1422
2=-b
y x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程是 ．
7. 过椭圆13
42
2=+y x 的焦点且垂直于x 轴的直线l 被椭圆截得的弦长是 ．
8. 准线方程1-=x 的抛物线的标准方程为 ．
9. 已知1F ，2F 是椭圆 13
42
2=+y x 的两个焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若 7
24=AB ，则直线AB 的斜率为 ． 10. 曲线36)()(22=-+-b y a x 经过)12,0(-A 和坐标原点，则=a ，
=b ．
11. 已知P 是抛物线x y 42
=上任意一点，点)0,3(Q 是x 轴上的定点，则PQ 的最小值为 ． 12. 在平面直角坐标系xoy 中，1F ，2F 分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，过1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于B ，C 两点，且ο
902=∠C BF ，则该椭圆的离心率是 ． 13. 已知椭圆12
4:2
2=+y x C 的上顶点为 A ，直线kx y l =: 交椭圆C 于P ，Q 两点，若直线AP ，AQ 的斜率分别为 1k ，2k ，则21k k 的值为 ．
14. 过椭圆13
92
2=+y x 上一点)2,3(M 作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，若MA 与MB 的斜率互为相反数，则直线AB 的斜率为 ．
二、简答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题16分，共计90分．
15. （本小题满分14分）
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点 )6,2(-；
（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．
16. （本小题满分14分） 求与双曲线116
92
2=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(- 的双曲线方程．
17. （本小题满分14分）
已知椭圆 136
8182
2=+y x 上一点),(00y x M ，且00<x ，20=y ． （1）求0x 的值；
（2）求过点M 且与椭圆14
92
2=+y x 共焦点的椭圆的方程．
18. （本小题满分16分）
如图，在平面直线坐标系xoy 中，已知直线02:=--y x l ，抛物线)0(2:2
>=p px y C ．
（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；
（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ．①求证：线段PQ 的
中点坐标为 ),2(p p --；②求p 的取值范围．
19. （本小题满分16分） 已知点)0,3(-A 和 )0,3(B ，动点C 到A ，B 两点的距离之差的绝对值为2，记点C
的轨迹为W ．
（1）求轨迹W 的方程；
（2）设W 与直线2-=x y 交于两点D ，E ，求线段DE 的长度．
20. （本小题满分16分）
在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点为)0,1(-F ，且经过点)23,1(．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DB DA =，求DF
AB 的值．。
推荐2019年人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：圆锥曲线(含答案)Word版
高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线的两条渐近线的方程为。
2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为。
4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线的焦点坐标为▲．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为▲． 11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。
江苏专版2020届高三数学一轮复习《圆锥曲线》典型题精选精练附答案详析
PA PB
为定值；
② 过点 P 作两条斜率分别为 k1 ，k2 的直线 l1 ，l2 ，且直线 l1 ，l2 与椭圆 C1 均有且只有
y2 b2
1（ a
0 ，b
0 ）的右准线与两条渐近线分别
交于
A，B
两点．若△AOB
的面积为
ab 4
，则该双曲线的离心率为
▲
．
17、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（二））已知双曲线 C 的方程为 x2 y2 1，则其离心率为
．
4
18、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（一））抛物线 y2 4x 的焦点坐标为
（3）求线段 AC 长的取值范围.
5
8、（扬州市 2019 届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，a＞b＞0)的离心率为 1 2
，
左右顶点分別为 A，B，线段 AB 的长为 4．P 在椭圆 M 上且位于第一象限，过点 A，B 分别作 l1⊥PA，l2⊥PB， 直线 l1，l2 交于点 C．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 MB 是线段 PN 的垂直平分线，求实数 m 的值．
2、（南京市
2019
高三
9
月学情调研）在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为
2， 2
且直线 l：x＝2 被椭圆 E 截得的弦长为 2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆 E 于 P，Q 两点，且 PQ 的中点 R 在
在平面直角坐标系
xOy
中，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1 (a 0，b 0) 的右顶点
A(2 ，0)
【教育专用】2019年人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：圆锥曲线(含答案)Word版
高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。
2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。
4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ 8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ Y二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。
江苏省淮安市(新版)2024高考数学统编版质量检测(综合卷)完整试卷
江苏省淮安市（新版）2024高考数学统编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(2)题如图，已知正三角形内接于圆，记的内切圆及其内部区域为，在的外接圆内随机取一点，此点取自区域的概率为（）A．B．C．D．第(3)题已知函数，则关于x的不等式的解集为（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(5)题在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值y[单位：dB（分贝）]定义为，其中I为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值．则声强级为60dB时的声强度是声强级为50dB时的声强度的（）倍．A．10B．100C．1.2D．12第(6)题奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图（1），图（2）是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸．若向图（1）内随机投入一点，则此点取自图中黑色部分的概率约为（）A．0.108B．0.237C．0.251D．0.526第(7)题函数在区间的图象大致为（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，下列说法正确的是（）A．的周期为B ．函数为偶函数C ．函数的图像关于直线对称D．函数在上的最小值为第(2)题已知函数，，若对任意的，均存在，使得，则a的取值可能是（）A．0B．2C．D．1第(3)题已知抛物线的焦点为，，是以为半径的圆与抛物线的一个公共点，是圆上的动点，则（）A．直线轴B．直线与抛物线相切C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的左顶点，，若是椭圆上一点，且，（是坐标原点），则椭圆的标准方程为______．第(2)题某校要求每名学生只参加某一个兴趣小组，并对高一、高二年级的3个兴趣小组的学生人数进行了统计，结果如下表：书法组舞蹈组乐器组高一x2030高二453010已知按兴趣小组类别用分层抽样的方法，从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取了30人，其中书法组被抽取12人，则_________．第(3)题将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知数列的前项和满足.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和.第(2)题已知为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右顶点，且直线与的斜率之和为．(1)求双曲线的方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线的倾斜角分别为和，且，证明：直线过定点．第(3)题的内角的对边分别为，已知，且的面积.(1)求C；(2)若内一点满足，，求．第(4)题的内角所对边分别为，，，已知，.(1)若，求的周长；(2)若边的中点为，求中线的最大值.第(5)题已知椭圆：，其短轴为2，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．。
2020年江苏省淮安市高考数学模拟训练试卷(含答案) (6)
2020年江苏省淮安市高考数学模拟训练试卷6一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.λ＞2是圆锥曲线的焦距与实数λ无关的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.直线y=kx+m与双曲线（a＞0，b＞0）的交点个数最多为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上（）A. 一定单调递增B. 一定没有单调减区间C. 可能没有单调增区间D. 一定没有单调增区间4.若数列{a n}中，对任意n∈N*，都有（k为常数），则称{a n}为等差比数列．下列对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n=a•b n+c（a≠0，b≠0，1）的数列一定是等差比数列．其中正确的判断为（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.不等式＞3的解集是______ ．6.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工______人．7.已知（n∈N*），则=______8.一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为______ ．9.一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是______．10.若2sinα•cosα-cos2α=0，则cotα=______11.已知变量x、y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为______．12.已知点O为△ABC的外心，且，则= ______ ．13.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，3，…9}，若|a-b|≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，得出他们”心有灵犀”的概率为______．14.在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，AB：AD：AC=3：k：1，则实数k的取值范围为______．15.已知函数f（x）=x-sin x是R上的单调增函数，则关于x的方程的实根为______16.已知数列a1，a2，…，a n是1，2，…，n（n≥2，n∈N*）满足下列性质T的一个排列，性质T：排列a1，a2，…，a n有且仅有一个a i＞a i+1（i∈{1，2，…，n-1}），则满足性质T的所有数列a1，a2，…，a n的个数f（n）=______三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为1米，圆环的圆心O距离地面的高度为1.5米，蚂蚁爬行一圈需要4分钟，且蚂蚁的起始位置在最低点P0处．（1）试写出蚂蚁距离地面的高度h（米）关于时刻t（分钟）的函数关系式h（t）；（2）在蚂蚁绕圆环爬行一圈的时间内，有多长时间蚂蚁距离地面超过1米？18.如图，已知圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥体的体积；（2）异面直线SO与PA所成角的大小（结果用反三角函数表示）．19.设常数a∈R，若函数f（x）=（a-x）|x-1|存在反函数f-1（x）．（1）求证：a=1，并求出反函数f-1（x）；（2）若关于x的不等式f-1（x2-m）+f-1（mx）＜2对一切x∈[2，3]恒成立，求实数m的取值范围．20.已知A、B是双曲线C1：（a＞0，b＞0）的两个顶点，点P是双曲线上异于A、B的一点，O为坐标原点，射线OP交椭圆C2：于点Q，设直线PA、PB、QA、QB的斜率分别为k1、k2、k3、k4．（1）若双曲线C1的渐近线方程是，且过点，求C1的方程；（2）在（1）的条件下，如果，求△ABQ的面积；（3）试问：k1+k2+k3+k4是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．21.定义：若数列{a n}满足，存在实数M，对任意n∈N*，都有a n≤M，则称数列{a n}有上界，M是数列{a n}的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）．（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；（2）若非负数列{a n}满足a1=0，（n∈N*），求证：1是非负数列{a n}的一个上界，且数列{a n}的极限存在，并求其极限；（3）若正项递增数列{a n}无上界，证明：存在k∈N*，当n＞k时，恒有．-------- 答案及其解析 --------1.答案：A解析：解：若λ＞2，则λ-2＞0，λ-2＜λ+5，则圆锥曲线表示焦点在y轴上的椭圆，a2=λ+5，b2=λ-2，c2=a2-b2=（λ+5）-（λ-2）=7，故焦距与λ无关．λ＞2能推出圆锥曲线的焦距与实数λ无关．若圆锥曲线的焦距与实数λ无关，则讨论曲线情况，当圆锥曲线为椭圆时，（λ+5）＞0，（λ-2）＞0，易能推导λ＞2，成立．当圆锥曲线为双曲线时，（λ+5）＞0，（2-λ）＞0，易能推导-5＜λ＜2，成立．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断λ＞2是圆锥曲线的焦距与实数λ无关的充分非必要条件．故选：A．分类讨论圆锥曲线情况，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，圆锥曲线的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.答案：B解析：解：直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个的交点，与双曲线的渐近线不平行时有2个交点．故选：B．利用直线与双曲线的形状判断交点个数，求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的判断，是基本知识的考查．3.答案：C解析：解：若f（x）是增函数，则由x＜x+1可知f（x）＜f（x+1）一定成立，但F（x）＜F（x+1）并不能保证f（x）＜f（x+0.5），比如令f（x）=x+sin2πx则f（x+1）=x+1+sin2πx=f（x）+1＞f（x）但显然它不单调，因此，无法证明f（x）是增函数，同理，函数f（x）可能没有单调增区间，可能没有单调减区间．故选C．根据对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），根据函数的单调性的定义可得结论．本题考查了对函数单调性的定义的理解和运用能力．比较基础．4.答案：D解析：解：当k=0时，则数列成了常数列，则分母也为0，因而不可能为0，故①正确．当等差数列为常数列时不满足题设的条件，故②不正确．当等比数列为常数列时，不满足题设，故③不正确．把a n=a•b n+c代入结果为b，为常数，故④正确、故选：D．当k=时，则数列成了常数列，则分母也为0，进而推断出k不可能为0，判断出①正确．当等差数列和等比数列为常数列时不满足题设的条件，排除②③；把④通项公式代入题设中，满足条件，进而推断④正确．本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合分析问题的能力．5.答案：（0，）解析：解：由得，则x（1-3x）＞0，即x（3x-1）＜0，解得，所以不等式的解集是（0，），故答案为：（0，）．将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集．本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题．6.答案：10解析：解：本题是一个分层抽样，∵单位共有职工200人，取一个容量为25的样本，∴依题意知抽取超过45岁的职工为．故答案为：10．本题是一个分层抽样，根据单位共有职工200人，要取一个容量为25的样本，得到本单位每个职工被抽到的概率，从而知道超过45岁的职工被抽到的概率，得到结果．本题主要考查分层抽样，分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法．7.答案：解析：解：由题意（n∈N*），可知：则===．故答案为：．直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列极限的运算法则的应用，考查计算能力．8.答案：14解析：解：由题意可得：前4项之和为a1+a2+a3+a4=40①，后4项之和为a n+a n-1+a n-2+a n-3=80②，根据等差数列的性质①+②可得：4（a1+a n）=120⇒（a1+a n）=30，由等差数列的前n项和公式可得：=210，所以n=14．故答案为：14由题意可得a1+a2+a3+a4=40，a n+a n-1+a n-2+a n-3=80，两式相加，且由等差数列的性质可求（a1+a n）的值，代入等差数列的前n项和公式，结合已知条件可求n的值．本题考查等差数列的定义和性质，以及等差数列前n项和公式的应用，根据题意，利用等差数列的性质求出a1+a n的值是解题的难点和关键．9.答案：解析：解：由已知中三视图，可得这是一个正三棱柱底面的高为2，则底面面积S==4棱柱的高H=2则正三棱柱的体积V=SH=8故答案为：8由已知中的三视图，我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高，进而求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何的形状，并分析出棱长，高等关键几何量是解答本题的关键，本题易将2当成底面的棱长，而错解为12．10.答案：0或2解析：解：∵2sinα•cosα-cos2α=0，∴cosα=2sinα，或cosα=0，∴cotα==2．或cotα=0．故答案为：0或2．推导出cosα=2sinα，或cosα=0，由此能求出cotα的值．本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.答案：11解析：解：画出变量x、y满足约束条件的可行域如图阴影部分，由解得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为-3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11．故答案为：11．先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题．12.答案：6解析：解：∵点O为△ABC的外心，且，∴==||||cos＜，＞-||||cos＜，＞===6故答案为：6根据点O为△ABC的外心，且，所以==得到答案．本题主要考查向量数量积的几何意义．要会巧妙的转化问题．属中档题．13.答案：解析：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10=100种不同的结果，则|a-b|≤1的情况有（0，0）；（1，1）；（2，2）；（3，3）；（4，4）；（5，5）；（6，6）；（7，7）；（8，8）；（9，9）；（0，1）；（1，0）；（1，2）；（2，1）；（2，3）；（3，2）；（3，4）；（4，3）；（4，5）；（5，4）；（5，6）；（6，5）；（6，7）；（7，6）；（7，8）；（8，7）；（8，9）；（9，8）共28种情况，∴他们”心有灵犀”的概率为P==．故答案为：．由题意知本题是一个古典概型．试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个数由分步计数原理知共有10×10种不同的结果，而满足条件的|a-b|≤1的情况通过列举得到共28种情况，代入公式得到结果．本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．在列举时，满足条件的事件容易漏掉，同学们做题时要按照一定的顺序比如从大到小来列举．14.答案：（，）解析：解：∵DC=2BD，∴=+，两边平方得：2=2+2+||•||cosθ，θ∈（0，π），即k2=×9+×1+cosθ=+cosθ∈（，），∵k＞0，∴k∈（，）．故答案为：（，）根据DC=2BD，得到=+，两边平方后利用完全平方公式及平面向量的数量积运算法则化简，利用余弦函数的值域求出k2的范围，即可确定出k的范围．此题考查了余弦定理，向量共线表示和三角形问题交汇在一起，试题的选拔性和交汇性极高，建议考生记忆一些结论，不仅能提高解题速度，而且减缩思维，打开思路．15.答案：0解析：解：令，则=，∴，即2x-sin2x=0，令g（x）=2x-sin2x，由题意可知，函数g（x）为增函数，又g（0）=0，故方程2x-sin2x=0的实根有且仅有0．故答案为：0．令，通过二倍角公式及完全平方公式的运用，可得，结合已知条件即可得到答案．本题考查函数的单调性运用，同时也涉及了二倍角公式的运用，考查化简变形能力及运算求解能力，属于中档题．16.答案：2n-n-1解析：解：∵当n=3时，1，2，3所有的排列有：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，2，1），（3，1，2），其中满足仅存在一个i∈{1，2，3}，使得a i＞a i+1的排列有：（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2）；∴f（3）=4；同理可得：f（4）=11，f（5）=26；∴归纳出f（n）=2n-n-1．证明：∵在1，2，…，n的所有排列（a1，a2，…，a n）中，若a i=n，（1≤i≤n-1），从n-1个数1，2，3…n-1中选i-1个数从小到大排列为：a1，a2，…，a i-1，其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置；∴满足题意的排列个数为；若a i=n，则满足题意的排列个数为f（n-1），综上：f（n）=f（n-1）+=f（n-1）+2n+1-1；∴．故答案为：2n-n-1．利用归纳法求解，先求出f（3）．f（4），f（5），再由此推出f（n），最后证明结论即可．本题考查了数学归纳法，属于难题．17.答案：解：（1）设在时刻t（min）时蚂蚁达到点P，由OP在t分钟内所转过的角为：t=t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为t+π，则P点的纵坐标为sin（t+π），则h=sin（t+π）+1.5=1.5-cos t，可得：h=1.5-cos t（t≥0）（2）由题意可得：h=1.5-cos t＞1，可得：cos t＜，可得：+2kπ＜t＜+2kπ，（k∈Z），解得：4k+＜t＜4k+，（k∈Z），因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故t∈[0，4]，可得：＜t＜．解析：（1）先算出以OP为终边的角，根据三角函数求解；（2）利用三角函数的性质进行求解．本题考查了在实际问题中学生建立三角函数模型的能力，属于中档题．18.答案：解：（1）∵圆锥体SO的侧面积为15π，底面半径OA=3，∴π•OA•SB=15π，得SB=5Rt△SOB中，SO==4，即圆锥的高为4∴圆锥体的体积为V=π×32×4=12π（2）取OB中点H，连接PH、AH∵△POB中，PH为中位线∴PH∥SO，PH=SO=2故∠APH（或其补角）即为直线SO与PA所成角∵SO⊥平面AOB，PH∥SO，∴PH⊥平面AOB，可得PH⊥AH∵△AOH中，AO⊥BO，HO=BO=∴AH==∴Rt△PAH中，tan∠APH==，得∠APH=arctan（锐角），因此，异面直线SO与PA所成角的大小为arctan．解析：（1）根据圆锥侧面积公式，结合题中数据列式，可得圆锥的母线长，再用勾股定理算出高的长度，最后用圆锥体积公式可得该圆锥的体积．（2）取OB中点H，连接PH、AH，在△POB中，利用中位线定理，得到PH∥SO，故∠APH （或其补角）即为直线SO与PA所成角．在Rt△AOH中，计算出AH的长，最后在Rt△PAH中，利用正切的定义，得到异面直线SO与PA所成角的大小为arctan．本题给出圆锥一条母线的中点与底面圆上一点的连线，要我们求它与高线所成的角，着重考查了空间平行垂直的位置关系和异面直线所成角的求法，属于中档题．19.答案：解：（1）常数a∈R，若函数f（x）=（a-x）|x-1|存在反函数f-1（x）．函数一定的单调函数，f（x）=（a-x）|x-1|=；则f（x）是定义域R的单调减函数，∴a=1，当a=1时，函数y=f（x）=（1-x）|x-1|；①当x≥1时，函数y=f（x）=（1-x）|x-1|=-（x-1）2；则：y≤0；②当x＜1时，函数y=f（x）=（1-x）|x-1|=（x-1）2；则：y＞0；由反函数的定义可得：由①：x=1+，y≤0；即：f-1（x）=1+，x≤0；同理可得②：f-1（x）=1-，x＞0；所以原函数的反函数为：；（2）常数a∈R，函数f（x）=（a-x）|x-1|存在反函数f-1（x）．由（1）可得反函数，f-1（x）递减，且对称中心为（0，1），∴x2+mx-m＞0在x∈[2，3]恒成立，解得：m＞-4．解析：（1）通过单调函数具有反函数可以求解a和函数的反函数，（2）利用函数恒成立转换为x2+mx-m＞0在x∈[2，3]恒成立求解即可．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，函数的反函数以及转化思想的应用，函数单调性的应用．属于中档题．20.答案：解：（1）∵双曲线C1的渐近线方程是，故可设C1的方程为∵C1过点，∴，λ=1故C1的方程；；（2）设PQ：y=kx，P（x0，y0），则y0=kx0=．∴k=∴，由⇒，故△ABQ的面积S=；（3）设PQ：y=kx，P（x0，y0），Q（x1，y1），则y0=kx0，y1=kx1．=同理∴k1+k2+k3+k4=（定值）．解析：（1）可设C1的方程为，由C1过点，可得λ=1即可．（2）设PQ：y=kx，P（x0，y0），则y0=kx0=．⇒k=，⇒，即可．（3）设PQ：y=kx，P（x0，y0），Q（x1，y1），则y0=kx0，y1=kx1．=同理，即可．本题考查了椭圆、双曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．21.答案：解：（1），，∴数列存在上界，且上界为1；（2）证明：先证明a n＜1，当n=1时，a1=0＜1成立，假设当n=k时，a k＜1成立，当n=k+1时，，即，解得0＜a k+1＜1，即当n=k+1时也成立，故a n＜1，恒成立，故1是非负数列{a n}的一个上界，得证；，则，即（a n+1+a n）（a n+1-a n）＞0，则a n+1＞a n，故数列{a n}递增，故数列{a n}的极限存在，设，则m2+m-1=m2，解得m=1，即；（3）证明：假设任意k∈N•，当n＞k时，恒有，取满足正项递增数列无上界，，取k=4039，当k＞4039时，＜n-2019，这与假设矛盾，故假设不成立，故存在k∈N*，当n＞k时，恒有．解析：（1）容易得到数列的取值集合，进而得到上界；（2）运用数学归纳法证明即可；（3）运用反证法证明即可．本题考查数列与不等式的综合，考查数学归纳法及反证法的运用，考查逻辑推理能力，属于难题．。
2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三下学期5月调研数学试题(wd无答案)
2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三下学期5月调研数学试题一、填空题(★) 1. 已知集合，，则__________.(★) 2. 已知函数，则曲线在点处的切线在 y轴上的截距为________. (★) 3. 某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有 ______ 个网箱产量不低于50kg．(★) 4. 从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为________．(★★) 5. 函数的定义域是____________(★★) 6. 已知复数满足，则 ________ .(★★) 7. 已知等比数列的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若，则a 1的值为_____________．(★★★) 8. 已知双曲线的离心率为2，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线的标准方程是______.(★★★) 9. 如图，已知正方形 ABCD的边长为2， E， F分别为边 BC， CD的中点．沿图中虚线折起，使 B， C， D三点重合，则围成的几何体的体积为_____(★★★) 10. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____.(★★★) 11. 在梯形中，，，，是线段上的动点，若，则的取值范围是________(★★★★) 12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则方程在区间上所有的实数解之和为_____．(★★★) 13. 设，且，则 ______ ．(★★★★) 14. 已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为 _____ ．二、解答题(★★) 15. 在中，角，，的对边分别是，，，，且.（1）求的大小；（2）若的面积为，求的周长.(★★★) 16. 如图所示，在四棱柱中，，，.（1）求证：（2）若为线段的中点，求证：.(★★★) 17. 已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上位于第一象限内的动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．(★★) 18. 某小区内有一块以为圆心半径为20米的圆形区域.广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内且在圆外的区域，其中，，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过60米.设.（1）求的长（用表示）；（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？(★★★) 19. 已知函数（I）讨论的单调性；（II）设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值．(★★★★) 20. 已知正项数列中，，点在抛物线上.数列中，点在经过点，以为方向向量的直线上.（1）求数列，的通项公式；（2）若，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）对任意的正整数，不等式成立，求正数的取值范围.(★★) 21. 已知点在变换作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点.若点的坐标为，求点的坐标.(★★) 22. 在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标.(★★★) 23. 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.(★★★) 24. 已知数列{ a n}满足．（1）求 a 1， a 2， a 3的值；（2）对任意正整数 n， a n小数点后第一位数字是多少？请说明理由．。
2019-2020学年江苏省淮安市高三(上)期中数学试卷试题及答案(理科)
2019-2020学年江苏省淮安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1A =，3，4}，{3B =，5}，则()U A B =ð ．2．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是 ． 3．函数(1)y ln x =++的定义域为 ．4．已知单位向量的a ，b 夹角为120︒，则|2|a b -的值是 ．5．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项和为 ． 6．“a b >”是“22a b >”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一）7．设函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为 ．8．在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C = ． 9．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)f x f …（2）的解集为 ．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x f +=+（2），f （1）4=，则f （3）(10)f += ．11．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD =，则AD AC = ．12．在ABC ∆中，BC =，tan 3tan A B =，则tan()2CB += ． 13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为 ．14．已知函数()f x xlnx =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x …的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共10小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且满足22()b c a bc -=-． （1）求角A 的大小；（2）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC ∆的面积．16．在如图所示的平面直角坐标系中，已知(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点． （1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值； （2）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n 的最小值及其对应的x值．17．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．18．（16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()f t f t f +=+（2）． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()2af x lgx =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．19．（16分）已知函数3()3||f x x x a =+-，a R ∈ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）当[1x ∈-，1]时，求函数()f x 的最小值；（3）已知0a >，且任意1x …有2()(1)15f x a f a a lnx +-+…，求实数a 的取值范围20．（16分）给定数列{}n a ，若满足1(0a a a =>且1)a ≠，对于任意的n ，*m N ∈，都有n m n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”． （Ⅰ）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为153n n a -=⨯，4n n b =，试判断{}n a ，{}n b 是不是“指数型数列”； （Ⅱ）若数列{}n a 满足：112a =，1123(*)n n n n a a a a n N ++=+∈，判断数列1{1}na +是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；（Ⅲ）若数列{}n a 是“指数型数列”，且11(*)2a a a N a +=∈+，证明：数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．21．已知矩阵0123A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2018B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A B -．22．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A a ．23．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点． （1）求AC 与PB 所成角的余弦值；（2）求平面AMC 与平面BMC 所成二角角（锐角）的余弦值．24．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=． （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B A C D --的大小为60︒，求实数λ的值．2019-2020学年江苏省淮安市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1A =，3，4}，{3B =，5}，则()U A B =ð {1，2，4，5} ． 【解答】解：{1A =，3，4}，{3B =，5}，{3}AB ∴=，则(){1U AB =ð，2，4，5}，故答案为：{1，2，4，5}2．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是 1 ． 【解答】解：a b ⊥；∴220a b m =-=；1m ∴=．故答案为：1． 3．函数(1)y ln x =++的定义域为 (1,2)- ．【解答】解：依题意，102020x x x +>⎧⎪-≠⎨⎪-⎩…，解得12x -<<，所以(1)y ln x =+的定义域为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．4．已知单位向量的a ，b 夹角为120︒，则|2|a b -【解答】解：单位向量,a b 的夹角为120︒，则221|2|4414a b a a b b -=-+=+⨯=．5．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项和为 31 ．【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 2124a a +=，235a a =， 1(2)4a q ∴+=，24411a q a q =，联立解得11a =，2q =，∴数列的前5项的和为51(12)3112⨯-=- 故答案为：31．6．“a b >”是“22a b >”的 充要 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一）【解答】解：由a b >，利用指数函数的单调性可得22a b >， 反之，由22a b >，可得a b >．∴ “a b >”是“22a b >”的充要条件．故答案为：充要．7．设函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象如图所示，则ϕ的值为3．【解答】解：根据函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，0)ϕπ<<的部分图象， 可得3274126πππω=+，2ω∴=． 再根据五点法作图可得2()06πϕ⨯-+=，3πϕ∴=，故答案为：3π．8．在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C = 【解答】解：sin :sin :sin 2:3:4A B C =，∴由正弦定理可得：::2:3:4a b c =，∴不妨设2a t =，3b t =，4c t =，则22222249161cos 22234a b c t t t C ab t t +-+-===-⨯⨯， (0,)C π∈tan C ∴==．故答案为：．9．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)f x f …（2）的解集为 {|1}x x +… ． 【解答】解：()|4|f x x x =-，∴由(2)f x f …（2）得，2|24|4x x -…，|2|1x x ∴-…，∴2212x x x ⎧-⎨⎩……或2212x x x ⎧-⎨<⎩…，解得1x +…，(2)f x f ∴…（2）的解集为{|1}x x +…．故答案为：{|1}x x …．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x f +=+（2），f （1）4=，则f （3）(10)f += 4 ．【解答】解：由(4)()f x f x f +=+（2）， 令2x =-，得(24)(2)f f f -+=-+（2）； 又()f x 为偶函数，(2)f f ∴-=（2）， f ∴（2）0=； (4)()f x f x ∴+=， ()f x ∴的周期为4；又f （1）4=，f ∴（3）(10)(1)f f f +=-+（2）f =（1）f +（2）404=+=．故答案为：4．11．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD =，则AD AC = 12 ．【解答】解：因为2AB AC AB AD =，所以AB AC AB AD AB DC AB AD -==， 因为//AB CD ，2CD =，4BAD π∠=，所以上式化简得：2||||||cos4AB AB AD π=，即||22AD =，所以2()8222cos 124AD AC AD AD DC AD AD DC π=+=+=+=．故答案为：12．12．在ABC ∆中，BC =，tan 3tan A B =，则tan()2CB +=2 ． 【解答】解：由BC =，利用正弦定理可得sin A B =，① 由tan 3tan A B =，可得sin 3sin cos cos A BA B=，② 由②÷①可得cos A B =，③， 由①，③两式平方相加可得1sin 2B =，所以6B π=或56π， 由tan 3tan A B =，知56B π=应舍去， 所以6B π=，代入③式可得3A π=，由三角形内角和定理可得2C A B ππ=--=，可得24C π=，所以tan tan2tan()221tan tan2CB C B C B ++===+-故答案为：2+．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的【解答】解：依题意，因为9362S S S =+，所以1q ≠，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q ---=+---，即333(2)(1)(1)0q q q --+=，因为数列{}n a 为正项数列，所以32q =． 当631S S +取得最小值时，631S S =，即2631()(1)(1)11a q q q --=-，所以11a q =-，所以9319(1)(12)1a S q q =-=-=-．14．已知函数()f x xlnx =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x …的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 [2，3． ． 【解答】解：()1f x lnx '=+，故当1(0,)x e ∈时，()0f x '<，当1(x e ∈，)+∞时，()0f x '>，()f x ∴在1(0,)e 上单调递减，1(e，)+∞上单调递增，且f （1）0=，又()g x 的函数图象开口向下，对称轴为62ax =+， 要使不等式()()f x g x …的解集中恰有两个整数，其图象如下：不等式()()f x g x …的解集中恰有两个整数是1，2， ∴(1)(1)(2)(2)(3)(3)f g f g f g ⎧⎪⎨⎪>⎩……，无解，不等式()()f x g x …的解集中恰有两个整数是2，3， ∴(2)(2)(3)(3)(4)(4)(1)(1)f g f g f g f g ⎧⎪⎪⎨>⎪⎪>⎩……， 解得210241623ln ln a --<…． ∴实数a 的取值范围是210[2ln -，2416)3ln -． 故答案为：210[2ln -，2416)3ln -． 二、解答题：本大题共10小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且满足22()b c a bc -=-． （1）求角A 的大小；（2）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC ∆的面积． 【解答】（本题满分为12分）解：（1）22()b c a bc -=-，可得：222b c a bc +-=，∴由余弦定理可得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，4⋯分 又(0,)A π∈，63A π∴=⋯分（2）由sin 2sin C B =及正弦定理可得：2c b =， 3a =，3A π=，8⋯分∴由余弦定理可得：2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=，∴解得：b =，c =，10⋯分11sin 1222ABC S bc A ∆∴===分16．在如图所示的平面直角坐标系中，已知(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC x ∠=，其中O 为坐标原点． （1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值； （2）若[0,]2x π∈，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n 的最小值及其对应的x值．【解答】解：（1）设(D t ，0)(01)t 剟，由题易知(C ，所以(OC OD t +=-+所以22211||122OC OD t t +=++=-+21((01)2t t =+剟，所以当t =||OC OD +． （2）由题意，得(cos C x ，sin )x ， (cos m BC == 1x +，sin )x ，则1cos 2sin 22sin m n x x =-+- cos x 1cos x =- 2sin x - 21)4x x π=-+，因为[0x ∈，]2π，所以52444x πππ+剟， 所以当242x ππ+=，即8x π=时，sin(2)4x π+取得最大值1，所以m n的最小值为18x π=．17．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．【解答】解：（1）连接CO 并延长交半圆于M ，则4AOM COD π∠=∠=，故4πθ…， 同理可得34πθ…，[4πθ∴∈，3]4π． 过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，||2GOF πθ∠=-，11sin cos ||2OF πθθ∴==-，又AE θ=， 11()566sin T vv v θθθ∴=++，[4πθ∈，3]4π． （2）222221cos 65cos 65cos 6()563030sin cos T v vsin vsin vsin θθθθθθθθθ---+'=-==，令()0T θ'=可得26cos 5cos 60θθ--+=，解得2cos 3θ=或3cos 2θ=-（舍)．设02cos 3θ=，0[4πθ∈，3]4π，则当04πθθ<…时，()0T θ'<，当034πθθ<…时，()0T θ'>，∴当0θθ=，()T θ取得最小值．故2cos 3θ=时，时间T 最短．18．（16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)()f t f t f +=+（2）． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()2af x lgx =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．【解答】解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()f t f t f +=+（2）38310t t ⇔+=+⋯（2分）此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()f t f t f +=+（2）， 故()32f x x =+不属于集合M ． ⋯（2）由2()2af x lgx =+属于集合M ，可得 方程22(2)226a a alg lg lg x x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，⋯（7分）若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有△21624(6)(2)0a a a =---…，解得1212a -+，故所求a 的取值范围是[12-+． ⋯ （3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()f x f x f +=+（2）2222(2)24432440x x x b x bx b bx +⇔++=+++⇔⨯+-=，⋯令()3244x g x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图象是连续的，当0b …时，(0)10g =-<，g （1）240b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点； 当0b <时，(0)10g =-<，11()320bg b =⨯>，故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点；故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()f x f x f +=+（2）总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈． ⋯（16分） 19．（16分）已知函数3()3||f x x x a =+-，a R ∈ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）当[1x ∈-，1]时，求函数()f x 的最小值；（3）已知0a >，且任意1x …有2()(1)15f x a f a a lnx +-+…，求实数a 的取值范围 【解答】解：（1）当1x >时，3()33f x x x =+-，f （2）11=．由2()33f x x '=+，得f '（2）15=．所以()y f x =在2x =处的切线方程为15(2)11y x =-+即15190x y --=． （2）①当1a -…时，得3()33f x x x a =+-，因为2()330f x x '=+>， 所以()f x 在[1-，1]单调递增，所以()(1)43min f x f a =-=--．②当1a …时，得3()33f x x x a =-+，因为2()330f x x '=-…， 所以()f x 在[1-，1]单调递减，所以()min f x f =（1）23a =-+． ③当11a -<<时，3333,1()33,1x x a a x f x x x a x a ⎧+-<<=⎨-+-<⎩…由①②知：函数()f x 在(1,)a -单调递减，(,1)a 单调递增， 所以()min f x f =（a ）3a =． 综上，当1a -…，()43min f x a =--； 当11a -<<时，3()min f x a =；当1a …时，()23min f x a =-+． （3）当0a >，且任意1x …有2()(1)15f x a f a a lnx +-+…， 即对任意1x …有323()315(1)30x a x a lnx a ++--+-…．设323()()315(1)3g x x a x a lnx a =++--+-，则g （1）0=，2215()3()3a g x x a x'=++-．设2215()()3()3a h x g x x a x'==++-，因为0a >，1x …，所以2215()6()0a h x x a x '=++>， 所以()h x 在[1，)+∞单调递增，所以()h x h …（1），即()g x g ''…（1）223(1)315(1)(21)a a a a =++-=--+，1当g '（1）0…即01a <…时，所以()0g x '…恒成立，所以()g x 在[1，)+∞单调递增，此时()g x g …（1）0=，满足题意． 2当g '（1）0<即1a >时，因为g '（a ）2121533(1)(41)0a a a a =-+=-->，且()g x '在[1，)+∞单调递增， 所以存在唯一的01x >，使得0()0g x '=，因此当01x x <<时()0g x '<；当0x x >时()0g x '>； 所以()g x 在0(1,)x 单调递减，0(x ，)+∞单调递增． 所以0()g x g <（1）0=，不满足题意． 综上，01a <…．20．（16分）给定数列{}n a ，若满足1(0a a a =>且1)a ≠，对于任意的n ，*m N ∈，都有n m n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”． （Ⅰ）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为153n n a -=⨯，4n n b =，试判断{}n a ，{}n b 是不是“指数型数列”； （Ⅱ）若数列{}n a 满足：112a =，1123(*)n n n n a a a a n N ++=+∈，判断数列1{1}na +是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （Ⅲ）若数列{}n a 是“指数型数列”，且11(*)2a a a N a +=∈+，证明：数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【解答】（Ⅰ）解：对于数列{}n a ，15(53)3n m n m n m n a a a a +-+==⨯⨯≠，所以{}n a 不是指数型数列．对于数列{}n b ，对任意n ，*m N ∈，因为b 444n m n m n mn m b b ++===，所以{}n b 是指数型数列． （Ⅱ）证明：由题意，1{1}na +，是“指数型数列”， 1123n n n n a a a a ++=+，⇒1132n n a a +=+⇒11113(1)n na a ++=+， 所以数列1{1}n a +是等比数列，1111(1)33n n n na a -+=+⨯=， 111(1)(1)333(1)n m m n n m n m a a a ++++===+，数列1{1}na +是“指数型数列”． （Ⅲ）证明：因为数列{}n a 是指数数列，故对于任意的n ，*m N ∈， 有n m n m a a a +=，1111()2n nn n n a a a a a a a ++⇒=⇒==+， 假设数列{}n a 中存在三项u a ，v a ，w a 构成等差数列，不妨设u v w <<， 则由2v u w a a a =+，得1112()()()222a a a v u w a a a +++=++++， 所以2(2)(1)(2)(1)w v v u w u w u a a a a ----++=+++，当t 为偶数时，2(2)(1)w v v u a a --++是偶数，而(2)w u a -+是偶数，(1)w u a -+是奇数， 故2(2)(1)(2)(1)w v v u w u w u a a a a ----++=+++不能成立；当t 为奇数时，2(2)(1)w v v u a a --++是偶数，而(2)w u a -+是奇数，(1)w u a -+是偶数， 故2(2)(1)(2)(1)w v v u w u w u a a a a ----++=+++也不能成立．所以，对任意*a N ∈，2(2)(1)(2)(1)w v v u w u w u a a a a ----++=+++不能成立， 即数列{}n a 的任意三项都不成构成等差数列． 21．已知矩阵0123A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2018B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A B - 【解答】解：设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，11001AA -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴10230231c d a c b d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，即321210a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩， 1312210A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎣⎦， 154220A B -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎣⎦． 22．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A a ． 【解答】解：212()5614f λλλλλ--==-+-，由()0f λ=，解得2λ=或3．当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．设521311m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．解得21m n =⎧⎨=⎩．55521371221311307A a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 23．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点． （1）求AC 与PB 所成角的余弦值；（2）求平面AMC 与平面BMC 所成二角角（锐角）的余弦值．【解答】解：因为PA PD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，以A 为坐标原点AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设1AD =，则各点坐标为(0A ，0，0)(0B ，2，0)，(1C ，1，0)，(1D ，0，0)，(0P ，0，1)，(0M ，1，1)2（1）因(1,1,0),(0,2,1)AC PB ==-，2,5,2AC PB AC PB ==⋅=故，所以10cos ,5||||AC PB AC PB AC PB <>==． （2）由题得：平面PMC 的法向量为1111(,,)n x y z =，1(0,1,),(1,1,1)2PM PC =-=--所以111111120z n PM y n PC x y z ⎧=-=⎪⎨⎪=--+=⎩解得：1(1,1,2)n =同理设平面AMC 的法向量为2222(,,)n x y z =，1(0,1,),(1,1,0)2AM AC ==所以22222220z n AM y n AC x y ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩解得：2(1,1,2)n =- 故1212122cos ,3||||n n n n n n <>==， 即所求锐二面角的余弦值为23． 24．直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=． （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B A C D --的大小为60︒，求实数λ的值．【解答】解：（1）分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0C ，4，0)，1(0A ，0，2)，1(2B ，0，2)，1(0C ，4，2)，⋯（2分）当1λ=时，D 为BC 的中点，(1D ∴，2，0)，1(1DB =，2-，2)，11(0A C =，4，0)，1(1A D =，2，2)-，设平面11A C D 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则11140220n A C y n A D x y z ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩，取2x =， 得(2n =，0，1)，又111cos ,||||35DB n DB n DBn <>===， ∴直线1DB 与平面11A C D ．⋯ （2）BD DC λ=，2(1D λ∴+，41λλ+，0)， ∴11(0A C =，4，0)，12(1A D λ=+，41λλ+，2)-， 设平面11A C D 的法向量为(n x =，y ，)z ，则11140242011n A C y n A D x y z λλλ⎧==⎪⎨=+-=⎪++⎩，取1z =，得(1n λ=+，0，1)．⋯ 又平面111A B C 的一个法向量为(0m =，0，1)， 二面角111B A C D --的大小为60︒，1|cos ,|||||||2(m n m n m n λ∴<>===+，解得1λ=-或1λ=-（不合题意，舍去），∴实数λ1．⋯。
江苏省淮安市2025届高三上学期第一次调研测试 数学含解析
淮安市2024-2025学年度第一学期高三年级第一次调研测试数学试题（答案在最后）2024.11注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只要将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11M x x =-<<∣，{}220N x x x =->∣，则M N ⋃=（）A.()0,1 B.()1,0-C.()(),12,-∞+∞ D.()(),12,-∞-+∞ 2.若复数z 满足12i2iz -=-（i 为虚数单位），则z 的模z =（）A.1B.5C.D.533.已知等差数列{}n a 的公差为2，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则452a a -=（）A.1- B.1C.2D.34.已知幂函数()()2231t f x t t x-=--的图象与y 轴无交点，则t 的值为（）A .2- B.1- C.1D.25.已知函数()()sin 2,f x x x ϕ=+∈R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件6.已知e 是单位向量，a 满足3a e a e +=- ，则a 在e方向上的投影为（）A.12-B.13C.12D.17.在外接圆半径为4的ABC V 中，30ABC ∠=o ，若符合上述条件的三角形有两个，则边AB 的长可能为（）A.2B.3C.4D.58.已知函数()221x f x x =+，正数a ，b 满足()()1f a f b +=，则()22229481a b a b-+的最大值为（）A.124B.112C.16D.14二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（）A.若a bc c>，0c <，则a b <B.若0a >，0b >，则a b +≤C.若a b >，0ab >，则11a b>D.若0a >，0b >，0m >，则b m ba m a+>+10.在数列{}n a 和{}n b 中，111a b ==，11n n a a n +-=+*1,n =∈N ，下列说法正确的有（）A.2n b n= B.()()122n n n a ++=C.36是{}n a 与{}n b 的公共项D.11112ni i i b a =++<-∑11.已知函数()2221xx f x x=++，（）A.函数()f x 为单调减函数B.函数()f x 的对称中心为()0,1C.若对0x ∀>，()()f x f x a >-+恒成立，则2a ≤D.函数()π2sin 12g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，[)(]19,00,19x ∈- 与函数()y f x =的图象所有交点纵坐标之和为20三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.4log 94214log 3log 223+-=______.13.已知sin cos 5αα+=，则tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭______.14.已知函数()cos f x x =，将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移π4个单位长度，得到()y g x =的图象.设函数()()()2h x g x f x =-，若存在x ∈R使()280x m m -+≥成立，则实数m 的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，已知()3,1A ，()2,2B -，()1,4C -.（1）若四边形ABCD 为平行四边形，求D 点的坐标；（2）若A ，C ，D 三点共线，18BD AC ⋅=-，求D 点的坐标.16.设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()π4f x g x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）设()()π3h x f x g x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.当()2h x =时，求x 的值.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且22cos 0c b a C -+=.（1）求A ；（2）如图，过ABC V 外一点P 作PB AB ⊥，PC AC ⊥，PB =，4AC =，求四边形ABPC 的面积.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，24a =，37a =，且()1n n AS n a B +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若*N k ∈，当k n a =时，n b k =；当1k k a n a +<<时，12k nn b b -=.①求数列{}3k b 的前k 项和k T ；②当1k n a +=时，求证：2212520n k b ka -+-≥.19.已知函数()32f x x ax =-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()ln f x x ≥恒成立.①求实数a 的取值范围；②当a 取最大值时，若12341x x x x +++=（1x ，2x ，3x ，4x 为非负实数），求()()()()12233441x f x x f x x f x x f x +++的最小值.淮安市2024-2025学年度第一学期高三年级第一次调研测试数学试题2024.11注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只要将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}11M x x =-<<∣，{}220N x x x =->∣，则M N ⋃=（）A.()0,1 B.()1,0-C.()(),12,-∞+∞ D.()(),12,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】解不等式可得集合()(),02,N ∞∞=-⋃+，再由并集运算可得结果.【详解】解不等式220x x ->可得()(),02,N ∞∞=-⋃+，又{}()111,1M xx =-<<=-∣，可得()(),12,M N ∞∞⋃=-⋃+.故选：C2.若复数z 满足12i2iz -=-（i 为虚数单位），则z 的模z =（）A.1B.55C.D.53【答案】A 【解析】【分析】根据模长的运算公式以及性质求解即可.【详解】由题意可知：12i 12iz -===-，故选：A.3.已知等差数列{}n a 的公差为2，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则452a a -=（）A.1-B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列性质利用等差数列通项公式计算可得11a =-，代入计算可得结果.【详解】由2a ，3a ，6a 成等比数列可得2326a a a =，即()()()21114210a a a +=++，解得11a =-，所以可得()()4511122342143a a a d a d a d -=+-+=+=-+=，故选：D.4.已知幂函数()()2231t f x t t x-=--的图象与y 轴无交点，则t 的值为（）A.2- B.1- C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义和图象特点可得出关于实数t 的等式与不等式，即可解出t 的值.【详解】因为幂函数()()2231t f x t t x-=--的图象与y 轴无交点，则211230t t t ⎧--=⎨-≤⎩，解得1t =-.故选：B.5.已知函数()()sin 2,f x x x ϕ=+∈R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A .充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合正弦函数的奇偶性以及充要条件的定义判断即可.【详解】若()00f =，则sin 0ϕ=，则πk ϕ=，Z k ∈，所以()()sin 2πsin2f x x k x =+=±，则()f x 为奇函数.若()f x 为奇函数，则一定有()00f =.则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的充要条件.故选：A.6.已知e 是单位向量，a 满足3a e a e +=- ，则a 在e方向上的投影为（）A.12-B.13C.12D.1【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积运算公式，求得a 在e方向上的投影，进而可得投影.【详解】3a e a e +=- ，2222269a a e e a a e e ∴+⋅+=-⋅+，88a e ∴⋅=，即1a e ⋅= ，a 在e 上投影向量2||a e e e e ⋅=，所以a 在e 方向上的投影为1.故选：D.7.在外接圆半径为4的ABC V 中，30ABC ∠=o ，若符合上述条件的三角形有两个，则边AB 的长可能为（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，由三角形有两解的条件，结合正弦定理求出边AB 的范围.【详解】在ABC V 中，30ABC ∠=o ，由ABC V 有两解，得30150C << ，且90C ≠ ，则1sin 12C <<，由ABC V 外接圆半径为4及正弦定理，得8sin (4,8)AB C =∈，所以边AB 的长可能为5.故选：D8.已知函数()221x f x x =+，正数a ，b 满足()()1f a f b +=，则()22229481a b a b-+的最大值为（）A.124B.112C.16D.14【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据()()1f a f b +=可得1ab =，再由基本不等式计算可得结果；方法二：由函数解析式可得()11f a f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由单调性可得1ab =，利用基本不等式计算可得结果.【详解】方法一：由()()1f a f b +=可得222222211111111a b b a b b b=-==++++，易知()2111f x x=-+在()0,∞+上单调递增，因此可得1a b =，即1ab =；又()222222292929136481481(29)362929aba b a b a b a b a b a b a b---===++-+-+-要求()22229481a ba b-+的最大值，只需考虑290a b ->即可，因此1136122929a b a b≤=-+-，当且仅当)311,23a b +-==时，等号成立；故选：B.方法二：()()1f a f b +=，而()11f a f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1f b f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；而()2111f x x =-+在()0,∞+上单调递增，所以1b a=，即1ab =，因此原式2222929481(29)36a b a ba b a b --==+-+，要求其最大值，只需考察290a b ->可得原式1136122929a b a b=≤=-+-，当且仅当2961a b ab -=⎧⎨=⎩时，即)311,23a b ==时等号成立；故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ，则下列说法正确的是（）A.若a bc c>，0c <，则a b <B.若0a >，0b >，则a b +≤C.若a b >，0ab >，则11a b>D.若0a >，0b >，0m >，则b m ba m a+>+【答案】AB 【解析】【分析】利用作差法可判断A ，利用不等式222ab a b ≤+可判断B ，利用特殊值法可判断C 、D.【详解】由a b c c >，得0a b c c->，即0a bc ->，又0c <，则0a b -<，即a b <，故A 正确；因为222ab a b ≤+，所以()222222ab a b a b ++≤+，即()()2222a b a b +≤+，又因为0a >，0b >，所以a b +≤B 正确；假设1a =-，2b =-，满足0ab >，a b >，此时11a =-，112b =-，11a b >不成立，故C 错误；假设1a =，1b =，1m =，满足0a >，0b >，0m >，此时1b m a m +=+，1b a =，b m ba m a+>+不成立，故D 错误；故选：AB.10.在数列{}n a 和{}n b 中，111a b ==，11n n a a n +-=+*1,n =∈N ，下列说法正确的有（）A .2n b n= B.()()122n n n a ++=C.36是{}n a 与{}n b 的公共项D.11112ni i i b a =++<-∑【答案】ACD 【解析】【分析】A：根据等差数列定义求的通项公式，则n b 可求；B ：累加法求{}na 的通项公式；C ：根据通项公式计算并判断；D ：采用裂项相消法求和并证明.【详解】对于A：因为*1,n =∈N，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，()111n n =+-⨯=，所以2n b n =，故正确；对于B ：因为()*213212,3,,2,n n a a a a a a n n n --=-=⋅⋅⋅-=≥∈N ，所以123n a n a =+-++ ，所以()()112322n n n a n n +=+++⋅⋅⋅+=≥，当1n =时，11a =符合条件，所以()12n n n a +=，故错误；对于C ：令()1362n n +=，解得8n =(负值舍去)，所以836a =，令236n =，解得6n =(负值舍去)，所以66b =，所以86a b =，即36是{}n a 与{}n b 的公共项，故正确；对于D ：因为()()()2111111212112n n n n b a n n n ++⎛⎫==- ⎪++-+⎝⎭+-，所以11111111112121222311ni i i b a n n n =++⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭∑，故正确；故选：ACD.11.已知函数()2221xx f x x=++，（）A.函数()f x 为单调减函数B.函数()f x 的对称中心为()0,1C.若对0x ∀>，()()f x f x a >-+恒成立，则2a ≤D.函数()π2sin 12g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)(]19,00,19x ∈- 与函数()y f x =的图象所有交点纵坐标之和为20【答案】BCD 【解析】【分析】去绝对值分类讨论可得函数解析式，易知()f x 在0,+∞以及(),0∞-上是分别单调递减的，即A 错误，易知()f x 满足()()2f x f x -+=，可知B 正确，再利用函数单调性以及不等式恒成立计算可得C 正确，画出两函数在同一坐标系下的图象根据周期性计算可得D 正确.【详解】对于A ，易知当0x >时，()2221x f x =++，0x <时()2221x f x =-+，因此可得()f x 在0,+∞以及(),0∞-上分别为单调递减函数，即A 错误；对于B ，易知函数()f x 满足()()2222121x xf x f x --+=+=++，因此可得()f x 关于0,1对称，即B 正确；对于C ，由()()f x f x a >-+，即()22f x a >+，即()12a f x >+在0x >时恒成立，易知()22221xf x =+>+在0,+∞上恒成立，所以可得212a≥+，解得2a ≤，即C 正确；对于D,画出函数()f x 以及π2sin 12y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象如下图所示：易知()π2sin 12g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭也关于0,1对称，()g x 的周期为4，一个周期与()f x 有两个交点，5个周期有10个交点，()f x 与()g x 在[)(]19,00,19-⋃共20个交点，即20110220ii y==⨯=∑，故D 正确，故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数()f x 以及()π2sin 12g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都关于0,1成中心对称，再由函数周期性计算可得结果.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.4log 94214log 3log 223+-=______.【答案】2-【解析】【分析】应用对数运算律化简求值即可.【详解】2log 342444144log 3log 2log 3log 3log 43132233+-=+-=-=-=-.故答案为：−213.已知sin cos 5αα+=，则tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭______.【答案】4-【解析】【分析】利用恒等变换公式以及商数关系进行化简并计算.【详解】因为()()cos sin sin2sin2sin21tan tan2cos cos21tan πcos sin cos21tan tan cos21tan 4cos αααααααααααααααααα-⎛⎫ ⎪-⎝⎭===+++⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭()()()()222sin2cos sin sin2sin25sin21cos sin cos sin cos sin 5αααααααααααα-====-++，而()21sin cos 1sin25ααα+=+=，所以4sin25α=-，5sin24α=-，故答案为：4-.14.已知函数()cos f x x =，将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象上各点向左平移π4个单位长度，得到()y g x =的图象.设函数()()()2h x g x f x =-，若存在x ∈R使()280x m m -+≥成立，则实数m 的取值范围为______.【答案】[]1,9-【解析】【分析】求得函数()g x 的解析式，进而求得ℎ的解析式，利用导数求得ℎ的最大值.【详解】将函数=图象上各点的横坐标缩短为原来的12得到函数()2cos2f x x =的图象，再将所得图象上各点向左平移π4个单位长度，得到ππ2cos244f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()πcos2sin24g x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()sin22cos h x x x =--，可得ℎ周期为2π，()2cos22sin 0h x x x =-+='，所以22(12sin )2sin 0x x --+=，所以1sin 2x =或sin 1x =-，解得π6x =或5π6或3π2，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ℎ′<0，所以ℎ在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，当π5,π66x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，ℎ′>0，所以ℎ在π5,π66⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，当53π,π62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，ℎ′<0，所以ℎ在53π,π62⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，当3π,2π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，ℎ′，所以ℎ在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，()02h =-，5π62h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2π2h =-，max()2h x =，因为存在∈使()280x m m -+≥成立，所以2980m m -+≥所以19m -≤≤，所以实数m 的取值范围为[1,9]-.故答案为：[1,9]-.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，已知()3,1A ，()2,2B -，()1,4C -.（1）若四边形ABCD 为平行四边形，求D 点的坐标；（2）若A ，C ，D 三点共线，18BD AC ⋅=-，求D 点的坐标.【答案】（1）()4,3D（2）118,55D ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),D x y ，利用BC AD =，可求D 点的坐标；（2）利用三点共线，可得AD AC λ=，可得()34,13D λλ-+，利用数量积可求D 点的坐标.【小问1详解】因为()3,1A ，()2,2B -，()1,4C -，所以()1,2BC =，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC AD =，设(),D x y ，所以()3,1AD x y =--，所以314123x x y y ⎧-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以()4,3D 【小问2详解】因为A ，C ，D 三点共线，()4,3AC =-，所以设()()4,34,3AD AC λλλλ==-=-，又()3,1A ，所以()34,13D λλ-+，所以()54,31BD λλ=--，又()()1454331185BD AC λλλ⋅=--+-=-⇒=所以118,55D ⎛⎫⎪⎝⎭.16.设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()π4f x g x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）设()()π3h x f x g x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.当()2h x =时，求x 的值.【答案】（1）()()sin ,cos f x x g x x ==（2）0x =或π6x =【解析】【分析】（1）根据条件，利用正、余弦函数的奇偶性，得到()()sin cos f x g x x x +=+，()()sin cos f x g x x x -+=-+，联立即可求解；（2）利用正弦的和角公式、倍角公式及辅助角公式，得到1π()sin 2234h x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，结合条件得到πsin 232x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，再利用特殊角的三角函数值，即可求解.【小问1详解】因为()()π)sin cos 4f xg x x x x +=+=+①，()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，()()()()sin cos f x g x x x ∴-+-=-+-，即()()sin cos f x g x x x -+=-+②，联立①②，解得()sin f x x =，()cos g x x =.【小问2详解】因为()2π1sin cos sin cos cos 322h x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭()11πsin21cos2sin 244234x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当()2h x =时，1ππsin 2sin 2234232x x ⎛⎫⎛⎫++=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭02x π≤≤，ππ4π2333x ∴≤+≤，ππ233x ∴+=或2π3，0x ∴=或π6x =.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且22cos 0c b a C -+=.（1）求A ；（2）如图，过ABC V 外一点P 作PB AB ⊥，PC AC ⊥，PB =4AC =，求四边形ABPC 的面积.【答案】（1）π3（2）1332【解析】【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式求解；（2）解法一：连接AP ，设θ∠=CAP ，由条件求得即tan θ，求出CP ，AP ，AB ，由ABPC ABP ACP S S S =+△△计算即可；解法二：延长CP ，AB 交于点Q ，则π6Q ∠=，求出BQ ，CQ ，由ABPC ACQ PBQ S S S =-△△计算即可.【小问1详解】∵22cos 0c b a C -+=，∴根据正弦定理得sin 2sin 2sin cos 0C B A C -+=，∴()sin 2sin 2sin cos 0C A C A C -++=，∴sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 0C A C A C A C --+=，sin 2cos sin C A C ∴=，sin 0C > ，1cos 2A ∴=，0πA << ，π3A ∴=.【小问2详解】解法一：连接AP ，设θ∠=CAP ，在Rt ACP 和Rt ABP 中，cos sin π3BP AP ACθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，即43433tan cos cos 231sin cos sin 322πθθθθθθ=⇒==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3432CP ∴=⨯=，27AP =，5AB ∴=，∴四边形ABPC 的面积1135343222ABPC ABP ACP S S S =+=⨯⨯⨯△△.解法二：延长CP ，AB 交于点Q，π3A =Q ，PC AC ⊥，6πQ ∴∠=，3= PB ，33πtan 6BQ ∴==，4AC = ，43πtan 6CQ ∴==，∴四边形ABPC 的面积1134333222ABPC ACQ PBQ S S S =-=⨯⨯⨯⨯△△.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，24a =，37a =，且()1n n AS n a B +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若*N k ∈，当k n a =时，n b k =；当1k k a n a +<<时，12k nn b b -=.①求数列{}3k b 的前k 项和k T ；②当1k n a +=时，求证：2212520n k b ka -+-≥.【答案】（1）32n a n =-（2）①()131449k k k T +-⋅+=②证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件赋值法列方程组计算求出,A B ,再应用1n n n a S S -=-，化简得出23n a n+=进而得出n a 即可；（2）①由12k nn b b -=得出34k k b k =⋅再应用错位相减法即可求解；②构造数列22522(31)n n c n =⋅-⋅+再根据数列单调性即可证明不等式.【小问1详解】在()1n n AS n a B +=+中，分别令()421,25272A B A n A B B =+⎧=⎧=⇒⇒⎨⎨=+=-⎩⎩()122n n S n a +∴=-，当2n ≥时，()()1212n n S n a -=--，两式相减得出()1212n n n a na n a +=---，()()1122n n na n a n +∴-+=≥，1n =也满足上式()*111112,211n n n n a a na n a n n n n n ++⎛⎫∴-+=∈⇒-=- ⎪++⎝⎭N *122,1n n a a n n n+++⇒=∈+N 2n a n +⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为常数列，2332n n a a n n +=⇒=-【小问2详解】①当32n k =-时，n b k =，当3231k n k -<<+时，12k nn b b -=32n k ∴=-时，23n n b +=，31332312k k k k k b b b b ---==312k k b k -∴=⋅，34kk b k =⋅()1213631424144k k k k T b b b k k -∴=+++=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()()23114142424144k k k k T k k k -+∴=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，两式相减得出()()1231141413443444444143k k k k k k k T k k +++--⋅--=++++-⋅=-⋅=- ()131449k kk T +-⋅+∴=②131k n a k +==+，2312kn k b b k --==⋅222212522522(31)2522(31)k k n k b ka k k k k k -+⎡⎤∴-=⋅-⋅+=⋅-⋅+⎣⎦令22522(31)n n c n =⋅-⋅+，12212522(34)2522(31)n n n n c c n n ++-=⋅-⋅+-⋅+⋅+()252665n nn d =⋅-+=()()112526611252665252360n n n n n d d n n ++-=⋅-+-⋅++=⋅->{}n d ∴在*N n ∈上单调递增，注意到12n ≤≤时，10n n n d c c +=-<，当3n ≥时，10n n n d c c +=->，123c c c ∴>>且345c c c <<<30n c c ∴≥=，22522(31)0k k c k ∴=⋅-⋅+≥2212520n k b ka -+∴-≥.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造数列结合数列的单调性得出22522(31)0k k c k =⋅-⋅+≥即可得证.19.已知函数()32f x x ax =-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()ln f x x ≥恒成立.①求实数a 的取值范围；②当a 取最大值时，若12341x x x x +++=（1x ，2x ，3x ，4x 为非负实数），求()()()()12233441x f x x f x x f x x f x +++的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）①(],1-∞②116-【解析】【分析】（1）分0,0,0a a a =><三种情况讨论再应用导函数正负判断函数单调性；（2）①把恒成立问题转化为最值问题，应用导数求出函数min ()1g x =得解；②先构造函数()()321144F x f x x x x x =+=-+根据函数单调性得出()()()()()122334411223341414x f x x f x x f x x f x x x x x x x x x +++≥-+++再结合基本不等式求解.【小问1详解】()()23232f x x ax x a x-='=-当0a =时，()230f x x '=≥，()f x \在R 上单调递增当0a <时，()f x 的单调增区间为2,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,∞+，()f x 的单调减区间为2a,03⎛⎫ ⎪⎝⎭当0a >时，()f x 的单调增区间为(),0-∞，2,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；单调减区间为20,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问2详解】①由32ln x ax x -≥恒成立322min minln ln x x x a x x x ⎛⎫-⎛⎫⇒≤=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()2ln x g x x x =-，()3432ln 2ln 11x x x x x g x x x +='--=-令()32ln 1x x x ϕ=+-，()x ϕ在()0,∞+上单调递增注意到()10ϕ=，∴当01x <<时，()0x ϕ<，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >时，()0x ϕ>，()0g x '>，()g x 单调递增，()min ()11g x g ∴==，1a ∴≤，实数a 的取值范围为(],1-∞.②当a 取最大值时，1a =，12340,,,1x x x x ≤≤()32f x x x =-，()232f x x x '=-，()f x 在11,28⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线，1311244k f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭'，构造()()321144F x f x x x x x =+=-+，()()()2221611128132444x x x x F x x x '---+=-+==()f x 在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增注意到()00F =，102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0F x ∴≥对[]0,1x ∀∈恒成立()()()()()()()()1112122223233334344441141144114411441144fx x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x ⎧⎧≥-≥-⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥-≥-⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪≥-≥-⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥-≥-⎩⎩()()()()()122334411223341414x f x x f x x f x x f x x x x x x x x x ∴+++≥-+++()()132414x x x x =-++而()()212341324124x x x x x x x x +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭当且仅当1324x x x x +=+时取“=”，()()()()122334*********x f x x f x x f x x f x ∴+++≥-⨯=-当1234121200x x x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩时可取“=”，综上：()()()()12233441min 116x f x x f x x f x x f x ⎡⎤+++=-⎣⎦.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数()()321144F x f x x x x x =+=-+根据函数的单调性结合基本不等式即可求解.。
江苏省高三历次模拟数学试题分类汇编：第9章圆锥曲线
目录（基础复习部分）第九章圆锥曲线 (2)第51课椭圆 (2)第52课双曲线 (7)第53课抛物线 (8)第54课直线与圆锥曲线（１）（位置关系、弦长） (9)第55课直线与圆锥曲线（２）（定值、存在性问题） (16)第56课综合应用（最值、范围） (27)第九章圆锥曲线 第51课椭圆（苏北四市期末）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，点A ，1B ，2B ，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点．若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 ▲ ．12（扬州期末 ）如图，A ，B ，C 是椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC=2AC ． （1）求椭圆的离心率；（2）若y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程．（1）因为BC 过椭圆M 的中心，所以22BC OC OB ==．又AC BC ⊥，2BC AC =，所以OAC ∆是以角C 为直角的等腰直角三角形，……3分 则(,0)A a ，(,)22a a C -，(,)22a aB -，102AB a =， 所以2222()()221a aa b -+=，则223a b =，所以222c b =，6e = ……7分 （2）ABC ∆的外接圆圆心为AB 中点(,)44a aP ，半径为104a ， 则ABC ∆的外接圆为2225()()448a a x y a -+-=． ……10分令0x =，y a =或2a y =-，所以()92aa --=，得6a =，所以所求的椭圆方程为2213612x y +=． ……15分（南京盐城模拟一）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，y lBAxyCOB上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 25（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率． 解：（1）直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=，∴右焦点F 到直线l 222555c a -=，1a c ∴-=． 又椭圆C 右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =， 将此代入上式解得2a =，1c =，23b ∴=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=；……………6分 （2）由（1）知3)B ，(1,0)F ，∴直线BF 的方程为3(1)y x =-， ……………8分联立方程组223(1),1,43y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得8,5335x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩833(,5P ，……12分 ∴直线l 的斜率330(3358225k -==-． ……………14分方法二：由（1）知3)B ，(1,0)F ，∴直线BF 的方程为3(1)y x =-．由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组3(1),(2),y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩解得3333x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入椭圆方程解得33k =3k =．又由题意知303ky k -=<+，得0k >或3k <-33k =方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++，21243P ky k -=+．当B ，F ，P 三点共线时，有BP BF k k =，即22212334386143kk k k ---+=-+，解得33k =或3k =-．又由题意知303ky k -=<+，得0k >或3k <-，所以33k =． （苏锡常镇一）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为2，且过点6(1,)，过椭圆的左顶点A 作直线l x ⊥轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：AP OM ⊥；（3）试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为2，∴222a c =，则222a b =，又椭圆C 过点6(1,)，∴221312a b+=．…………2分 ∴24a =，22b =，则椭圆C 的方程22142x y +=． …………………………………………………4分（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ，将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=，………………………………………………………6分解之得2124221k x k -=+，22x =，∴1124(2)21ky k x k -=-=+，从而222424(,)2121k k P k k --++．………………………………８分令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--． ………………………9分又222424(2,)2121k k AP k k --=+++＝22284(,)2121k kk k -++， …………………………………11分∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++，∴AP OM ⊥． ………………………………………………………………………13分 （3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++ =2222284168442121k k k k k -+++==++．∴OP OM⋅为定值4．…………………………………………………………16分已知椭圆22:1 42x yC的上顶点为A，直线:l y kx m交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为1k，2k.（1）若0m时，求12k k⋅的值；（2）若121k k⋅=-，证明直线:l y kx m过定点. xyPQlAO（南通调研二）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222 1 ( 0 )y x a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为(0)F c ，.00( )P x y ，为椭圆上一点，且PA PF ⊥.（1）若3a =，5b =0x 的值； （2）若00x =，求椭圆的离心率；（3）求证：以F 为圆心，FP 为半径的圆与椭圆的右准线2a x c=相切.解：（1）因为3a =，5b =2224c a b =-=，即2c =， 由PA PF ⊥得，0000132y y x x ⋅=-+-，即22006y x x =--+, …… 3分 又2200195x y +=，所以204990x x +-=，解得034x =或03x =-(舍去) ． …… 5分 （2）当00x =时,220y b =， 由PA PF ⊥得，001y y a c⋅=--，即2b ac =，故22a c ac -=， …… 8分 xyO PAF （第18所以210e e +-=，解得51e -= …… 10分（3）依题意，椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c -，且2200221x y a b+=，① 由PA PF ⊥得，00001y y x a x c⋅=-+-,即2200()y x c a x ca =-+-+, ② 由①②得，()2002()0a b ac x a x c ⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎣⎦， 解得()2202a a ac c x c --=-或0x a =-(舍去). …… 13分所以()2200PF x c y =-+()22000()x c x c a x ca =--+-+0c a x a=-()222a a ac c c a a c --=+⋅2a c c =-， 所以以F 为圆心，FP 为半径的圆与右准线2a x c=相切. …… 16分 （注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线2a x c =的距离为2a c c-，得1分；直接使用焦半径公式扣1分．）第52课 双曲线已知双曲线2241ax y -=3a 的值为 ▲ ．8已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．2双曲线2222 1 (0, 0)x y a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ．答案：53；提示：双曲线唯一的重要性质：焦点到渐近线的距离等于b ；则有：222()22a c a c b a c ++=⇒+=2253250(35)()03c c ac a c a c a e a ⇒--=⇒-+=⇒==． 平时强调的重点内容啊！双曲线2212y x -=的离心率为 ．3已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±，则该双曲线的离心率为 .103 （南京盐城模拟一）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ .答案：22（苏北三市调研三）已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是抛物线28x y =的焦点，则双曲线C 的标准方程为 ▲ .2213x y -=（扬州期末）已知双曲线C ：22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线与直线l ：3x ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿＿＿. 221412x y -= （淮安宿迁摸底）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线的渐近线方程是2y x =±， 且经过点(2,2)，则该双曲线的方程是 ▲ ．2214y x -= (泰州二模)已知双曲线2214x y m-=的渐近线方程为22y x =±，则m = ▲ ． 2 （南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ． 4 3（苏锡常镇二模）已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 3x 2-y 2=1（金海南三校联考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>10则双曲线C 的渐近线方程为 .y ＝±3x（镇江期末）若双曲线22221(0x y a a b -=>，0)b >的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .3y =第53课抛物线（南通调研一）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物线24y x =焦点的双曲线的方程是 .x 2－y 24=1 （苏州期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 .2213y x -=（南京盐城二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，定点)0,22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 。
高三试卷数学-江苏省淮安市2024届高三上学期9月摸底考试数学试卷及参考答案
2023-2024学年度高三年级第一次调研测试数学试题总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{3},{0,1,2,3,4,5}A x x B =>=∣，则()RA B = ð（）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{4,5}D ．{3,4,5}2．“1a =”是“函数21()log 1ax f x x +=-是奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．己知长方形ABCD 的边42AB AD ==，，E 为BC 的中点，则AE BD ⋅=（）A ．14-B ．14C ．18-D ．184．谢尔宾斯基（Sierpinski ）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（）图1图2图3图4A ．7316B ．9316C ．27364D ．373645．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t （单位：s ）与位移y （单位：cm ）之间满足函数关系：πsin cos 6y t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则这个简谐运动的振幅是（）A ．1cmB ．2cmC D ．6．函数()ln f x x ax =-与直线10x y ++=相切，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．eD ．2e7．球M 是圆锥SO 的内切球，若球M 的半径为1，则圆锥SO 体积的最小值为（）A ．4π3B ．42π3C ．8π3D ．4π8．己知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足()2(6)f x f x =--，()2(4)f x f x ''=--，(3)1f '=-，若()(3)5g x f x =-+，则181()k g k ='=∑（）A ．18-B ．20-C ．88D ．90二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。