排列组合公式PPT课件
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人教版三年级数学上册《排列组合》PPT课件
穿法二
穿法三
穿法四
穿法五
穿法六
2×3﹦6（种）
要求：小组中一人记录，其他同学陈述自己的点。
用1，2，3可以组合成哪些两位数？
B
A
小组合作讨论二：
12
13
21
23
31
32
十位
十位
十位
个位
个位
个位
猜一猜：
我今年读九年级了，我的班级是由1、2、3这三个数字组成的一个三位数，请你猜一猜我读的是多少班？
有的问题需要考虑到顺序，也就是结果和顺序有关，例如组成几位数这样的问题等
今后我们在遇到这些问题的时候一定要认真审题，看清楚问题的“隐含条件”
这节课我们学了什么
作业：
同学们回家后仔细观察周围环境中可搭配和组合的实物，自己搭配和组合。
123
132
213
231
312
321
考考你：饮料和点心只能各选一样，有几种不同的搭配方式？
3×2=6（种）
⑥
①
②
③
④
⑤
下
M
能组成哪几个不同的两位数呢？
48 96 98
28
26
46
43
93
从宁波到北京一共有几种走法？
北京 上海 火车 火车 8种
轮船
宁波
飞机
火车
飞机
汽车
我们知道了：
有的问题不用考虑到顺序，也就是说结果和顺序无关，例如握手、比赛等问题
排列与组合
点击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点。
学习目标：
01
我能找出简单事物的组合数。
02
我能用排列与组合的知识解决生活中的实际问题。
大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
排列组合ppt课件
排列的分类与计算方法
01
02
03
排列的定义
排列是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行排序。
排列的分类
根据取出的元素是否重复 ，排列可分为重复排列和 不重复排列。
排列的计算方法
排列的计算公式为 nPr=n!/(n-r)!，其中n为 总元素个数，r为要取出的 元素个数。
组合的分类与计算方法
后再合并答案。
利用对称性
在某些问题中，可以利用对称性 来简化计算，例如在计算圆周率 时可以利用对称性来减少计算量
。
学会推理和猜测
在某些问题中，需要学会推理和 猜测，尝试不同的方法和思路，
以寻找正确的答案。
解题注意事项与易错点
注意细节
在解题过程中要注意细节，例如元素的重复、遗漏等问题，避免 出现错误。
组合的定义
组合是指从给定个数的元 素中取出指定个数的元素 进行组合，不考虑排序。
组合的分类
根据取出的元素是否重复 ，组合可分为重复组合和 不重复组合。
组合的计算方法
组合的计算公式为 nCr=n!/(r!(n-r)!)，其中n 为总元素个数，r为要取出 的元素个数。
排列组合的复杂应用
排列与组合的应用
另一个应用是解决组合问题，例如，在从n个不同元素中 选出m个元素的所有组合的问题中，可以使用排列组合的 方法来解决。
排列组合在物理中的应用
排列组合在物理中也有着广泛的应用，其中最常见的是在量子力学和统计物理中 。例如，在量子力学中，波函数的对称性和反对称性可以通过排列组合来描述。
在统计物理中，分子和原子的分布和运动可以通过排列组合来描述。例如，在理 想气体中，分子的分布和运动可以通过组合数学的方法来描述。
高中数学排列组合PPT课件
中去取 ,有2种方法 ; 根据分步乘法计,数 从1,原 2,3,理 4这4个不同的数
字中 ,每次取3个 出数字 ,按"百""十""个"位的顺序
排成一,共 列有43224种不同的排 ,因法而
共可得2到 4个不同的三,位 如数 图 .
1
2
3
4
23 4 1 34 1 24 1 23
342423 341413 241412 231312
即 有 Am n nn1n2321,
就 是 说 ,n个 不 同 元 素 全 部排取列出,数的 等 于 正 整1到 数n的 连 乘.正积整1数 到n的 连 乘,积 叫 做n的阶乘 ,用n!表 示.所 以n个 不 同 元 素 的 全 排式列可数以公写 成
Ann n!
另 外 ,我 们 规0!定 1.
事 , A m n n 实 n 1 n 2 上 n m 1
思考上述问 1,2的 题共同特点 ?你是 能什 将么 们推广到一?般情形吗 一 般,从 地 n个 不 同 的 元 素 m(m 中n取 )个出 元, 素 按 照 一 定 顺 序,叫 排做 成n从 个 一不 列同 元 素
出m个 元 素 的排一 列 (a个rrangetm ). en
思考 你能归纳一下排列的 征特 吗?
解 任意两队间进1行 次主场比赛1与 次 客场比赛 ,对应于从14个元素中任2取个 元素的一个排.因列此,比赛的总场次是 A124 1413182.
所有不同的排列有 abc , abd , acb , acd , adb , adc , bac , bad , bca , bcd , bda , bdc , cab , cad , cba , cbd , cda , cdb , dab , dac , dba , dbc , dca , dcb . 共有 4 3 2 24 种 .
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
《高三排列组合复习》课件
3... times m}$
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
四年级下第9讲《排列组合公式》教学课件
(2) 2 C37 C52；
例题讲解
mathematics
(3) C180.
例题讲解
mathematics
例题4：墨爷爷把10张不同的游戏卡分给墨莫和小高，并且决定给墨莫7张，给小高3张， 一共有多少种不同的分法? 分析：从10张中取出7张给墨莫，这7张的顺序是否有影响呢？应该是排列数还是组合数
四年级下第9讲
排列组合公式
数学知识点
mathematics
• Culture
1.知识精讲 3.极限挑战
2.例题讲解 4.巩固提升
数学知识点
mathematics
知识精讲
开篇漫画中，小高要想说对口诀还真不容易！我们学过乘法原理，口诀第一个字有6种说法，第二个字有5
种说法，依此类推，口诀这六个字有6×5×4×3×2×1=720种排法；我们也可以这样理解：只有把口诀这六
个字按照正确的顺序排列好，才能练成高思神掌；把六个字排成一列，就是我们这一讲要学习的排列.
排列公式：
从m个不同的元素中取出n个(n≤m)，并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从m个不同元素中取出n
个的排列数，记作
A
n m
它的计算方法如下:
• Culture
从m开始递减地连乘n个数
A
n m
m m
1 m
(1)
A
2；
4
(2) A140；
例题讲解
mathematics
(3)
A
4 6
3
A
2 6
.
(2)
A
3 5
A
2 5
.
例题讲解
mathematics
例题讲解
mathematics
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• 第一个球有n种选法，第二个球有n种，等等 ，乘法原理
• nr • 这里n和r的大小没有限制
11
例子
• 将3封信向2个信箱投寄，有多少种投寄方 法？
• 23=8 • 无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序
12
例子
• 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多 少种不同的进站方法？
• [6]9=6×7×…×14 • 七部汽车通过五间收费亭的方式数？ • 今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子，
排列组合公式
• 排列组合公式 • 非降路径问题 • 组合恒等式
1
排列与组合
• 从五个候选人中选出两个代表 • 把5本不同的书安排在书架上 • 从五个候选人中选出两个代表时，有10种
可能的结果。 • 把5本不同的书安排在书架上有120种方法 • 选出-组合；安排-排列
2
一、排列组合公式
• 排列问题：从某个集合中有序地选取若干 个元素的问题
• n个元素的r-无重排列数： • 排列的长度r • 计算（一般情形）：乘法原理 • r=n时,n个元素的全排列 • r=0时 • r>n时
5
2、可重排列
• n个元素的r-可重排列数 • 计算（乘法原理）
6
例题
• 在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中 ，有多少个数含有数码1？又有多少个数不 含数码1？
，k个物体属于第二类，… ，k个物体属于 第(k-1)!类。
33
推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r的展开式中有
项
x x k1 k2 12
• 不含1:910 • 含1:1010-910+1
7
放球问题
• 设n≥r，把r个不同的球放入n个不同的盒子， 这里每一盒最多只能装一物，允许空盒。放 球的方法数为多少？
• 第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等 等，乘法原理
• P(n,r)
10
放球问题
• 把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒 中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法 数为多少？
≥ 3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
26
例题
• 从为数众多的一分币、二分币、一角币和二 角币中，可以有多少种方法选出六枚来？
• F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
27
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒 装糕点？
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？
28
例题
• 摇三个不同的骰子的时候，可能的结果的个数是多 少？
• 63=216。 • 如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数
是多少？ • 从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。 • F(6,3)=C(6+3-1,3)=56 • 将r个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？ • F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5)
4、可重组合
• n个元素的r-可重组合 • 例子 • 计算 • 一一对应的;x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1
17
组合数的推广
Cnr
n! r!(n r)!
n(n
1)(n r!
r
1)
n r
R,r Z
r
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
18
计算
1
2 3
29
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
30
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次 数为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数 。
• 求解方法1 • 求解方法2
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
23
例题
C(4,2)-4+C(4,4) × 2=4 C(10,2)-10+C(10,4) × 2=455
C(5,2)-5+C(5,4) × 2=15 24
1
2 3
1
2 0
3 5
20
例题
• 如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的 内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成 多少条线段？
21
多边形
22
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆 都得使用，问有多少种安排的方法？
14
组合
• 无重组合 • 可重组合 • 从{a,b,c}中选取2个不同元素，选法数是多
少？ • 从{a,b,c}中选取5个元素，元素可以相同，
选法数是多少？
16
3、无重组合（Combination）
• n个元素的r-无重组合数 • 无重组合数与无重排列数的关系 • 计算 • r=0时 • r=n时 • r>n时
31
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同 的方式？ 13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个，则 有多少种不同的方式？ 7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++ 5!2! 4!3! 3!4! 2!5! 1!6! 0!7!
32
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。 • 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类
• 组合问题：从某个集合中无序地选取若干 个元素的问题
• 注意：可以重复 不能重复
3
排列
• 无重排列 • 可重排列 • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得
每位数字都不同，有多少个？ • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得
不同数位上的数字可以相同，有多少个？
4
1、 无重排列
• nr • 这里n和r的大小没有限制
11
例子
• 将3封信向2个信箱投寄，有多少种投寄方 法？
• 23=8 • 无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序
12
例子
• 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多 少种不同的进站方法？
• [6]9=6×7×…×14 • 七部汽车通过五间收费亭的方式数？ • 今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子，
排列组合公式
• 排列组合公式 • 非降路径问题 • 组合恒等式
1
排列与组合
• 从五个候选人中选出两个代表 • 把5本不同的书安排在书架上 • 从五个候选人中选出两个代表时，有10种
可能的结果。 • 把5本不同的书安排在书架上有120种方法 • 选出-组合；安排-排列
2
一、排列组合公式
• 排列问题：从某个集合中有序地选取若干 个元素的问题
• n个元素的r-无重排列数： • 排列的长度r • 计算（一般情形）：乘法原理 • r=n时,n个元素的全排列 • r=0时 • r>n时
5
2、可重排列
• n个元素的r-可重排列数 • 计算（乘法原理）
6
例题
• 在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中 ，有多少个数含有数码1？又有多少个数不 含数码1？
，k个物体属于第二类，… ，k个物体属于 第(k-1)!类。
33
推论
• 多项式(x1+x2+…+xn)r的展开式中有
项
x x k1 k2 12
• 不含1:910 • 含1:1010-910+1
7
放球问题
• 设n≥r，把r个不同的球放入n个不同的盒子， 这里每一盒最多只能装一物，允许空盒。放 球的方法数为多少？
• 第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等 等，乘法原理
• P(n,r)
10
放球问题
• 把r个不同的球放入n个不同的盒子，一个盒 中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法 数为多少？
≥ 3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
26
例题
• 从为数众多的一分币、二分币、一角币和二 角币中，可以有多少种方法选出六枚来？
• F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=84
27
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒 装糕点？
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？
28
例题
• 摇三个不同的骰子的时候，可能的结果的个数是多 少？
• 63=216。 • 如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数
是多少？ • 从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。 • F(6,3)=C(6+3-1,3)=56 • 将r个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？ • F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5)
4、可重组合
• n个元素的r-可重组合 • 例子 • 计算 • 一一对应的;x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1
17
组合数的推广
Cnr
n! r!(n r)!
n(n
1)(n r!
r
1)
n r
R,r Z
r
(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
18
计算
1
2 3
29
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
30
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次 数为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数 。
• 求解方法1 • 求解方法2
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
23
例题
C(4,2)-4+C(4,4) × 2=4 C(10,2)-10+C(10,4) × 2=455
C(5,2)-5+C(5,4) × 2=15 24
1
2 3
1
2 0
3 5
20
例题
• 如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的 内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成 多少条线段？
21
多边形
22
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆 都得使用，问有多少种安排的方法？
14
组合
• 无重组合 • 可重组合 • 从{a,b,c}中选取2个不同元素，选法数是多
少？ • 从{a,b,c}中选取5个元素，元素可以相同，
选法数是多少？
16
3、无重组合（Combination）
• n个元素的r-无重组合数 • 无重组合数与无重排列数的关系 • 计算 • r=0时 • r=n时 • r>n时
31
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同 的方式？ 13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个，则 有多少种不同的方式？ 7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++ 5!2! 4!3! 3!4! 2!5! 1!6! 0!7!
32
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。 • 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类
• 组合问题：从某个集合中无序地选取若干 个元素的问题
• 注意：可以重复 不能重复
3
排列
• 无重排列 • 可重排列 • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得
每位数字都不同，有多少个？ • 从{1,2,…,9}中选取数字构成四位数，使得
不同数位上的数字可以相同，有多少个？
4
1、 无重排列