高中数学 第二章 二次函数的性质教案 北师大版必修1
§4.2 二次函数的性质
教学目的：结合图像进一步掌握二次函数的性质，领会二次函数的应用
教学重点：结合图像掌握二次函数的性质
教学难点：对性质的应用 教学方法：讲练结合
教学过程： 一．阅读与思考
1. 阅读教材.
2. 思考函数2(0)y ax bx c a =++≠ 的性质
二．问题探究
1. 求证：a<0时，2(0)y ax bx c a =++≠ 在区间(,)2b a -+∞上是减小的。
2. 例2，例3 三．归纳
1、二次函数的问题，结合图像可以更直观形象。
2、 将2
(0)y ax bx c a =++≠ 配方得2
24()24b ac b y a x a a -=++ 之后，就可通过 a ， 2b a
-，244ac b a -, 直接得函数的主要性质，并依此画出图像。
四．练习实践
1. 教材P 53 练习
1、2、3、4. 2. 函数y =4x 2- mx+5的对称轴为x=-2 ， 则x=1时y =__D__
a .–7
b .1
c .17 d. 25
3. y = -x 2 - 6x + k 图像顶点在x 轴上，则 k= __-9__ 。
五．课堂小结
1. 二次函数的几大性质
2.二次函数的几大性质的应用
六．课后作业。
高中数学北师大版必修1教案：2§4+二次函数
用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的轴至少有一个交点，求a的取值范围精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)
关于二次函数的图像与性质的数学教案（9篇）二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象讨论函数的阅历，培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间沟通争论，到达对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解，把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思索探究，猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互沟通、展现，表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形。
误区三:无视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延长，而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质；2、会用二次函数的图象与性质解决问题；学习重点：二次函数的性质；学习难点：二次函数的性质与图像的应用；二学问点回忆：函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题：例 1：已知是二次函数，求m的值例 2：（1）已知函数在区间上为增函数，求a的范围；（2）知函数的单调区间是，求a；例 3：求二次函数在区间[0，3]上的最大值和最小值；变式：（1）已知在[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质学案 北师大版必修1(2021年最新整理)
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2。
4.2 二次函数的性质（建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1．函数y ＝3＋2x －x 2(0≤x ≤3)的最小值为( ） A ．－1 B ．0 C ．3D ．4【解析】 y ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4,∵0≤x ≤3， ∴当x ＝3时，y min ＝3＋6－9＝0。
【答案】 B2. 若抛物线y ＝x 2－（m －2）x ＋m ＋3的顶点在y 轴上,则m 的值为（ ) A ．－3 B ．3 C ．－2 D ．2 【解析】 由题意知其对称轴为x＝－－m －22＝错误!＝0，即m ＝2.【答案】 D3。
设函数f (x ）＝⎩⎨⎧1x ＞0，0，x ＝0，，－1x ＜0，g (x )＝x 2f （x －1)，则函数g (x ）的递减区间是( ）A ．（－∞，0］B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1，0]【解析】 g (x )＝错误!如图所示，其递减区间是[0,1）．故选B.【答案】 B4. 若f （x ）＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2,则（ )A．f（4)＜f(1)＜f（2) B．f(2）＜f(1）＜f(4）C．f（2）＜f（4)＜f(1）D．f(4)＜f（2）＜f(1）【解析】f(x)的对称轴为x＝2，所以f（2)最小．又x＝4比x＝1距对称轴远，故f（4）＞f（1)，即f（2）＜f（1）＜f（4)．【答案】B5。
高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究 2.4.1 二次函数的图像教案3 北师大版必修1
2.4.1二次函数的图象[教学目标]1、知识与技能(1) 通过绘制二次函数图象，观察二次函数图象的特征；(2) 通过画出具体二次函数的图象,总结二次函数2x y =和2ax y =以及()k h x a y +-=2的图象之间的关系和变换特征.(3) 利用多媒体绘画技术演示各函数图象之间的关系并能直观认识. 2、过程与方法(1)让学生通过学习二次函数的图象，借助图形直观认识函数图象的变换,找到一般的变换规律,完成从直观到抽象的转变.(2)了解运用多媒体技术制作演示函数函数图象,理解和研究二次函数的性质. 3、情感.态度与价值观使学生感到学习二次函数图象的必要性与重要性，增强学习函数的积极性和自信心. [教学重点]:二次函数图象的变换.[教学难点]：二次函数图象的绘制与想象以及发展到一般函数图象的变换结论． [教学教具]：直尺、多媒体和画图纸 [课时安排]: 1课时[学法指导]：学生观察、思考、交流、总结.[讲授过程] 【新课导入】 [互动过程1]我们初中学习过二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线,了解了抛物线的开口方向、对称轴、顶点等特征以及与系数之间的关系.请同学们回顾二次函数()02≠++=a c bx ax y 的开口方向与谁的取值有关?抛物线的对称轴的方程是什么?顶点的坐标是什么?怎样表示出?练习1.回答二次抛物线（1）322+-=x x y 的对称轴方程和顶点坐标; （2）11622++=x x y 的对称轴方程和顶点坐标 [提出问题]1．2x y =和()02≠=a ax y 的图象之间有什么关系?2．()02≠=a ax y 和()()02≠++=a k h x a y 的图象之间有什么关系?3．()02≠=a ax y 和()02≠++=a c bx ax y 的图象之间有什么关系?这三个问题是本节课所要解决的问题.引出课题： [板书课题] 2.4.1二次函数的图象1．请同学们列表画出函数2x y =和22x y =的图像x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2x y = … 9 4 1 0 1 4 9 … 22x y =…18822818…从表中你发现了什么?从图像上发生这样的变化?它们相对应的点之间有什么关系?从表中我们不难发现,要得到22x 的值,只要把相应的2x 的值扩大2倍即可,在图像上则可以看出把线段AB 伸长为原来的2倍,即AC 的长度,得到当1=x时, 22y x =对应的值.同理,其余的x 的值对应的2x 的值,都扩大为原来的2倍,就可以得到22y x =的图像了.请你用类似的方法画出221x y =和22x y -=的图像. 思考:（1）221x y =和22x y -=的图像与2x y =和22x y =的图像之间有什么关系? （2）二次函数()02≠=a ax y 与2x y =的图像之间有什么关系?请你总结出规律.规律：二次函数()02≠=a ax y 的图像可以由2x y =的图像变化得到，横坐标不变，纵坐标伸长或缩短到原来的a 倍. （3）二次函数()02≠=a ax y 中a 起什么作用?从图上可以看出，a 决定了图像的开口方向和在同一坐标系中的开口大小. [互动过程3]请画出22y x =与()2213y x =++的图像,并回答下列问题:1．抛物线22y x =与()2213y x =++的顶点分别是谁？对称轴和开口方向怎样？那么开口 大小呢？开口大小与谁有关呢？2．22y x =与()2213y x =++的图像有什么关系?抛物线22y x =的顶点为（0,0）开口向上,对称轴为y 轴, ()2213y x =++的顶点是（1,3）,开口向上,对称轴为1-=x .从图上可以看出只要把22y x =向右平移1个单位长度, 再向上平移3个单位长度就可以得到()2213y x =++的 图像.,它们的形状相同,位置不同. [互动过程4]1．你能说出由函数23x y -=的图像怎样得到函数 ()2321y x =---的图像吗?2．如果把函数25x y -=向右平移2个单位,再向上平移3个 单位,你得到的是哪个函数的图像?请你写出解析式.3．思考:对于二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 的作用是什么?h 和k 分别代表什么含义?结论:一般地, 二次函数()()20y a x h k a =++≠,a 决定了二次函数图像的开口大小及方向;h 决定了二次函数图像的左右平移,而且遵循的原则为“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图像的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”.4．思考:对于一个一般函数()y f x a b =++的图像与函数()y f x =的图像之间的关系怎样?你能由函数()y f x =的图像得到函数()y f x a b =++的图像吗? [互动过程5]1．你能写出函数2422-+=x x y 的顶点坐标吗?有哪些方法？请你把方程改写为 ()()20y a x h k a =++≠的形式吗？你能说出函数的图象是由22y x =的怎样进行平移的吗?2．请举出一例形如()02≠++=a c bx ax y 的函数改写为()()20y a x h k a =++≠形式的函数吗?试试看.3．你能写出函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标吗?请你把函数改写为顶点式()()20y a x h k a =++≠的形式. 并说明函数的图象是怎样由()02≠=a ax y 的图象变来的.变化规律为: ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=,即把函数()02≠=a ax y 的图象向左(2b a 为正)或向右(2b a 为负)平移||2ba个单位,然后再向上或向下平移244ac b a -个单位.4．二次函数()02≠++=a c bx ax y 中,确定函数图像开口大小和方向的参数是什么?确定函数图像位置的参数是什么?5．写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.例1.二次函数()f x 和)(x g 的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数)(x g 的解析式和()f x 图像的顶点,写出函数()f x 的解析式.（1）函数2)(x x g =,()f x 的顶点为(4,-7); （2）函数2)1(2)(+-=x x g ,()f x 的顶点为(-3,2)解:如果二次函数的图像与2y ax =的图像开口大小相同,开口方向也相同,顶点Oxy是(-h,k),则其解析式为()()20y a x h k a =++≠.（1）二次函数()f x 和2)(x x g =的图像开口大小相同,开口方向也相同, ()f x 的顶点为 (4,-7),所以22()(4)789f x x x x =--=-+（2）二次函数()f x 和2)1(2)(+-=x x g 的图像开口大小相同,开口方向也相同,2)1(2)(+-=x x g 与22y x =-的图像开口大小相同,开口方向也相同;所以()f x与22y x =-的图像开口大小相同,开口方向也相同,因为()f x 的顶点为(-3,2),所以22()2(3)221216f x x x x =-++=---.练习: 1．画出函数22y x =的图像,并由此图像得到函数2245y x x =-+的图像 练习: 2．不画函数的图像,你能说出由函数2y x =的图像怎样得到函数21232y x x =--的图像吗?练习: 3.画出函数1y x =的图像,怎样得到函数123y x =-+的图像?. 练习: 4.画出函数2y x =-的图像,你能由函数2y x =-的图像,得到函数382x y x -=-的图像吗?[解决的问题]：1．2x y =和()02≠=a ax y 的图象之间的关系。
高中数学 2.4.2二次函数的性质教学设计 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学教案
4．2 二次函数的性质整体设计教学分析在讨论二次函数性质的过程中，其图像显然起了重要作用，但是又不忽视解析式的作用．因此教材突出数与形的有机结合．本节教材先给出了抽象的字母形式的配方结果，进而从字母出发对a＞0时函数的单调性进行了证明．与二次函数的图像一节相比，例题也比较综合，有一定的难度．可以而且应该适度综合，适度抽象．高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分．对一般学生来说，分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜．程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来做．对于抽象的一般二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师应该带领学生尝试．解决实际问题，是数学学习的重要目的，也是引起学生思考的重要方法．有些例题，如例3，意在联系实际．但是，编者眼界有限．教师，可以而且应该具有这种意识，自己出马或发动学生根据当地实际再编写一些联系实际的问题．值得注意的是课上注意组织学生动手，活动，实践．教材中安排了学生的“动手实践”和“思考交流”．教师，要创造性地用好它们．三维目标对一般二次函数解析式配方，确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质，提高学生数形结合的能力．重点难点教学重点：二次函数的性质．教学难点：应用二次函数的性质解决实际问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.上一节课，我们学习了二次函数的图像，本节课我们来学习二次函数的性质．思路 2.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，人们在制造时一般是期望在它达到最高点(大约是距地面25米到30米处)时爆炸，烟花冲出去后的运动路线是抛物线形的，为了达到放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度，如果是你来设计，你可以吗？教师引出课题．推进新课新知探究 提出问题①画出y ＝2x 2－4x －3的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.②画出y ＝－x 2＋4x ＋5的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.③讨论二次函数f x ＝ax 2＋bx ＋c a ≠0图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.活动：学生回顾画二次函数图像的方法，思考函数的单调性、最值的几何意义． 讨论结果：①y ＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5，其图像如图1所示．图1观察图像得：开口向上；顶点A (1，－5)；对称轴直线x ＝1；在(－∞，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的；当x ＝1时，函数取得最小值－5.②y ＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9，其图像如图2所示．图2观察图像得：开口向下；顶点A (2,9)；对称轴直线x ＝2；在(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的；当x ＝2时，函数取得最大值9.③对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a .(1)当a ＞0时，其图像如图3所示．图3由图像得：当a ＞0时，它的图像开口向上，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴为x ＝－b 2a ；f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减少的，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增加的；当x ＝－b2a 时，函数取得最小值4ac －b 24a. (2)当a ＜0时，其图像如图4所示．图4由图像得：当a ＜0时，它的图像开口向下，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴为x ＝－b 2a ；f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增加的，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减少的；当x ＝－b2a 时，函数取得最大值4ac －b 24a. 下面证明当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减少的，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上是增加的．证明：设a ＞0，任取x 1、x 2，且x 1＜x 2≤－b2a，则 f (x 2)－f (x 1)＝(ax 22＋bx 2＋c )－(ax 21＋bx 1＋c ) ＝a (x 22－x 21)＋b (x 2－x 1)＝[a (x 2＋x 1)＋b ](x 2－x 1)．因为x 1＜－b 2a ，x 2≤－b 2a ，所以x 1＋x 2＜－ba ，即a (x 1＋x 2)＜－b . 也就是a (x 1＋x 2)＋b ＜0.又x 2－x 1＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＜0， 即f (x 2)＜f (x 1)．由函数单调性的定义，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减少的．同理可证，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增加的．显然，将f (x )＝ax 2＋bx ＋c 配方成f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a 之后，我们就可以通过a ，－b 2a 和4ac －b 24a直接得到函数的主要性质，并且可以依此画出函数图像． 应用示例思路1例1将函数y ＝－3x 2－6x ＋1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．活动：学生回顾思考如何由二次函数的解析式讨论其性质． 解：y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4.由于x 2的系数是负数，所以函数图像开口向下；图5顶点坐标为(－1,4)；对称轴为x ＋1＝0(或x ＝－1)；函数在区间(－∞，－1]上是增加的，在区间[－1，＋∞)上是减少的； 函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是4.采用描点画图，选顶点A (－1,4)，与x 轴的交点B ⎝⎛⎭⎪⎫23－33，0和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋33，0，与y 轴的交点D (0,1)，再任取点E (－2,1)，过这5个点画出图像，如图5.点评：从这个例题中可以看出，根据配方后得到的性质画函数图像，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图的操作更简便，使图像更精确．本题主要考查二次函数的图像与性质． 变式训练1．函数y ＝－x 2＋4x 的单调递增区间是( )． A ．[－2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，2]解析：函数y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则对称轴是x ＝2，所以当x ≤2时，是增函数． 答案：D2．函数f (x )＝x 2－2x －3在[－2,4]上的最大值和最小值分别为( )． A ．5，－4 B ．3，－7C ．无最大值和最小值D ．7，－4解析：画出二次函数f (x )＝x 2－2x －3在[－2,4]上的图像，可得最大值为5，最小值为－4.答案：A3．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，函数f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时函数f (x )为减函数，则m 等于( )．A ．－4B ．－8C ．8D ．无法确定解析：二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8.答案：B例2绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？活动：学生仔细审题，读懂题意，教师可以提示解决应用题的关键是建立数学模型． 解：设销售价为x 元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好当月销售完的进货量为4－x 0.05×40＋400即400(9－2x )瓶． 此时所得的利润为f (x )＝400(9－2x )(x －3)＝400(－2x 2＋15x －27)(元)． 根据函数性质，当x ＝154时，f (x )取得最大值450.这时进货量为400(9－2x )＝400×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－2×154＝600(瓶)． 获得最大利润为450元．点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力. 变式训练渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨与实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量可达到最大值时，求k 所应满足的条件．分析：本题解题的关键是理解题意，并将其转化为常规的数学问题——二次函数问题，然后利用二次函数的知识解决该实际问题．解：(1)由题意，知空闲率为1－x m，∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎪⎫1－x m(0＜x ＜m )．(2)y ＝－km x 2＋kx ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km4，∵－k m ＜0且0＜x ＜m ，∴当x ＝m2时，y max ＝km4. (3)∵当x ＝m 2时，y max ＝km4，又实际养殖量不能达到最大养殖量，∴此时，需要m 2＋km4＜m ，解得k ＜2. 又∵k ＞0， ∴0＜k ＜2.思路2例1已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3. (1)画出f (x )的图像；(2)根据图像写出函数f (x )的单调区间；(3)利用定义证明函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数； (4)当函数f (x )在区间(－∞，m ]上是增函数时，某某数m 的取值X 围．分析：(1)画二次函数的图像时，重点确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几何意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取x 1＜x 2，然后作差f (x 1)－f (x 2)，判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间(－∞，m ]的相对位置．图6解：(1)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图像如图6所示.(2)由函数f (x )的图像得，在直线x ＝1的左侧图像是上升的，在直线x ＝1的右侧图像是下降的，故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是(1，＋∞)．(3)设x 1，x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝(－x 21＋2x 1＋3)－(－x 22＋2x 2＋3)＝(x 22－x 21)＋2(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(2－x 1－x 2)．∵x 1、x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＜2.∴2－x 1－x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0. ∴f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数．(4)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的对称轴是直线x ＝1，在对称轴的左侧是减函数，那么当区间(－∞，m ]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m ≤1，即实数m 的取值X 围是(－∞，1]．点评：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其综合应用．讨论二次函数的单调性时，要结合二次函数的图像，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决． 变式训练如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上是减函数，那么f (2)的取值X 围是( )．A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞) D．[7，＋∞)解析：本题主要考查二次函数的单调性．二次函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上是减函数，由于图像开口向上，∴对称轴a －12≥12. ∴af (2)＝22－2(a －1)＋5＝11－2a ≤7. 答案：A例2某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2，80 000，0≤x ≤400，x >400，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数．(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)分析：(1)利润＝总收益－总成本；(2)转化为求函数的最值，由于此函数是分段函数，则要求出各段上的最大值，再从中找出函数的最大值．解：(1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋300x －20 000，60 000－100x ，0≤x ≤400，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，当x ＝300时，有最大值25 000；当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， 又f (x )＜60 000－100×400＜25 000， 所以，当x ＝300时，有最大值25 000.即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元．点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力．二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题．变式训练某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R (Q )＝4Q －1200Q 2，则总利润L (Q )的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________．(总利润＝总收入－成本)解析：L (Q )＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250，则当Q ＝300时，总利润L (Q )取最大值250万元．答案：250 300知能训练1．已知函数f (x )＝ax 2＋2(a －2)x ＋ax ∈(－1,1)时，恒有f (x )＜0，则a 的取值X 围为( )．A ．a ≤2B ．a ＜2C ．0＜a ＜2D ．a ＜2且a ≠0解析：思路1：当a ＝0时，f (x )＝－4x －4，则此时f (x )是减函数，且f (－1)＝0，则当x ∈(－1,1)时，恒有f (x )＜f (－1)＝0，即a ＝0符合题意，排除C ，D ；当a ＝2时，f (x )＝2x 2－2，由于x ∈(－1,1)，则有f (x )＝2x 2－2＜f (－1)＝f (1)＝0，即a ＝2符合题意，排除B ；故选A.思路2：当x ∈(－1,1)时，有x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2＞0，又f (x )＝(x 2＋2x ＋1)a －4(x ＋1)，则恒有(x 2＋2x ＋1)a －4(x ＋1)＜0，即a ＜4x ＋1x 2＋2x ＋1＝4x ＋1恒成立，又x ∈(－1,1)，则4x ＋1＞2，则只需a ≤2即可． 答案：A2．若函数f (x )＝(a －2)x 2＋2x －4的图像恒在x 轴下方，则a 的取值X 围是__________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝22＋4×4a －2<0.解得a ＜74.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74 3．二次函数f (x )＝x 2＋ax ，对任意x ∈R ，总有f (1－x )＝f (1＋x )，则实数a ＝__________.解析：∵对任意x ∈R ，总有f (1－x )＝f (1＋x )， ∴函数f (x )的对称轴是x ＝1－x ＋1＋x 2＝1，则有－a2＝1，∴a＝－2.答案：－24．函数y＝x2＋2(m－1)x＋3在区间(－∞，－2]上是减函数，则m的取值X围是( )．A．m≤3 B．m≥3 C．m≤－3 D．m≥－3解析：结合二次函数的图像来分析．二次函数y＝x2＋2(m－1)x＋3的对称轴x＝－(m －1)＝1－m.∵1＞0，∴开口向上，在(－∞，－2]上递减，需满足对称轴x＝1－m在区间(－∞，－2]的右侧，则－2≤1－m，∴m≤3.答案：A5．已知f(x)＝x2－2x＋3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值X围是__________．答案：[1,2]6．设f(x)＝x2－2axx∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，某某数a的取值X围．解：当a≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a，当x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a，即3＋2a≥a⇔a≥－3.故此时－3≤a≤－1.当a＞－1时，f(x)min＝f(a)＝a2－2a2＋2＝2－a2，当x∈[－1，＋∞)，f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a，即2－a2≥a⇔a2＋a－2≤0⇔－2≤a≤1.故此时－1＜a≤1.综上所得，实数a的取值X围是－3≤a≤1.7．已知f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1]，t∈R，(1)求f(x)的最小值g(t)的解析式；(2)求g(t)的最小值．分析：(1)易得函数的对称轴为x＝2，之后分对称轴在区间[t，t＋1]左、内、右分段得出最小值的解析式．(2)g(t)是分段函数，各段上最小值中的最小值是g(t)的最小值．解：(1)∵f(x)＝(x－2)2－8，∴f(x)的对称轴是直线x＝2.当2∈[t，t＋1]，即t≤2≤t＋1时，1≤t≤2，g(t)＝f(2)＝－8；当2＞t＋1，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上随x增大f(x)减小．∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.当t ＞2时，f (x )在[t ，t ＋1)上随x 增大f (x )增大． ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4.综上可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t －7，－8，t 2－4t －4，t <1，1≤t ≤2，t >2.(2)当t ＜1时，g (t )＝t 2－2t －7＝(t －1)2－8＞－8； 当1≤t ≤2时，g (t )＝－8；当t ＞2时，g (t )＝t 2－4t －4＝(t －2)2－8＞－8； 则g (t )的最小值是－8.8．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f (t )表示学生注意力随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析，得知f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋24t ＋100，240，－7t ＋380，0<t ≤10，10<t ≤20，20<t ≤40.(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？分析：(1)转化为求函数f (t )的最大值；(2)比较f (5)，f (25)的大小；(3)结合函数f (t )的图像，求当f (t )≥180时，时间t 的取值X 围．解：(1)当0＜t ≤10时，f (t )＝－t 2＋24t ＋100＝－(t －12)2＋244是增函数，且f (10)＝240.当20＜t ≤40时，f (t )＝－7t ＋380是减函数，且f (20)＝240， 所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟． (2)由题意得f (5)＝－52＋24×5＋100＝195，f (25)＝－7×25＋380＝205，所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中． (3)函数f (t )的图像与y ＝180交于两点，当0＜t ≤10时，令f (t )＝－t 2＋24t ＋100＝180，得t ＝4，当20＜t ≤40时， 令f (t )＝－7t ＋380＝180，得t ≈28.57， 由(1)函数f (t )的单调性，知4＜t ＜28.57，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4＝24.57＞24，所以经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．9．已知函数f (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋2，当－1≤a ≤0时，恒有f (x )＞0成立，试求x 的取值X 围．分析：本题如果按二次函数问题来解决会陷入繁杂的计算，当看成关于a 的函数时，问题简便获解．解：设h (a )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋2＝(x 2＋2x )a ＋(2＋2x )， 当x 2＋2x ＝0时 ，即x ＝0或x ＝－2， 若x ＝0时，f (0)＝2＞0，即x ＝0符合题意； 若x ＝－2时，f (－2)＝－2＜0，即x ＝－2不合题意； 当x 2＋2x ≠0时，函数h (a )＝(x 2＋2x )a ＋(2＋2x )是一次函数， 又一次函数h (a )是单调函数，当－1≤a ≤0时， 恒有h (a )＞0成立，所以有⎩⎪⎨⎪⎧h 0>0，h －1>0，x ≠0，x ≠－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2x >0，－x 2＋2>0，x ≠0，x ≠－2，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜ 2.综上所得，x 的取值X 围是(－1，2)． 10．如果函数y ＝f (x )(x ∈D )满足： (1)f (x )在D 上是单调函数；(2)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使f (x )在区间[a ，b ]的值域也是[a ，b ]． 那么就称函数y ＝f (x )为闭函数．试判断函数y ＝x 2＋2x (x ∈[－1，＋∞))是否为闭函数，如果是闭函数，那么求出符合条件的区间[a ，b ]，如果不是闭函数，请说明理由．分析：本题立意新颖，背景鲜明，设问灵活，体现了考查能力和素质的要求．闭函数的概念是教材上没有的，这类问题的给出可以是新概念、新定理或新规则，其解决策略是先读懂题目，进行信息迁移，获取有用信息，再利用这个新知识作进一步的演算或推理，结合数学知识进而解决问题．先证明函数y ＝x 2＋2x (x ∈[－1，＋∞))是增函数．然后用反证法判断函数y ＝x 2＋2x (x ∈[－1，＋∞))是否为闭函数．解：设－1≤x 1＜x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝(x 21＋2x 1)－(x 22＋2x 2)＝(x 21－x 22)＋2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)． ∵－1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2－2＞0. ∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)＜0.∴f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数y ＝x 2＋2x (x ∈[－1，＋∞))是增函数． 假设存在符合条件的区间[a ，b ]，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f a ＝a ，fb ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＝a ，b 2＋2b ＝b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.又∵－1≤a ＜b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴函数y ＝x 2＋2x (x ∈[－1，＋∞))是闭函数， 符合条件的区间是[－1,0]．拓展提升问题：怎样求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间[p ，q ]上的最值？探究：求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间[p ，q ]上的最值时，易错认为最大值是f (q )，最小值是f (p )，总是一错再错．其突破方法是结合二次函数f (x )在闭区间[p ，q ]上的图像，依据函数的单调性求出．我们知道，①如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c )上单调递减，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最大值f (b )；②如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c )上单调递增，则函数y ＝f (x )在x ＝b 处有最小值f (b )．因此二次函数f (x )在闭区间[p ，q ]上的最值问题转化为判断其单调性．例如：求函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值和最小值．思路分析：画出函数的图像，写出单调区间，根据函数的单调性求出．图7解：画出函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的图像，如图7所示，观察图像得，函数f (x )＝x 2－2x 在区间[－2,1]上是减函数，则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；函数f (x )＝x 2－2x 在区间(1,3]上是增函数，则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；则函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.因此可见，求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间[p ，q ]上的最值的关键是看二次项系数a 的符号和对称轴x ＝－b2a的相对位置，由此确定其单调性，再由单调性求得最值．可以利用同样方法归纳出结论： 若a ＞0，则(1)当－b2a≤p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图8(1)，从图像上易得f (x )在[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )；(2)当p ＜－b 2a ＝p ＋q2，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图8(2)，从图像上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max＝f (q )；图8(3)当p ＋q2＜－b2a≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图8(3)．从图像上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (p )；(4)当－b2a＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图8(4)，从图像上易得f (x )在[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．对a ＜0的情况，可类似得出．即二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间[p ，q ]上的最值：设f (x )在区间[p ，q ]上的最大值为M ，最小值为m ，x 0＝12(p ＋q )．结合图像，得当a ＞0时，若－b2a ＜p ，则f (p )＝m ，f (q )＝M ；若p ≤－b2a ＜x 0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝m ，f (q )＝M ；若x 0≤－b2a ＜q ，则f (p )＝M ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝m ； 若－b2a≥q ，则f (p )＝M ，f (q )＝m . 当a ＜0时，若－b2a ＜p ，则f (p )＝M ，f (q )＝m ；若p ≤－b2a ＜x 0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝M ，f (q )＝m ；若x 0≤－b2a ＜q ，则f (p )＝m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝M ； 若－b2a≥q ，则f (p )＝m ，f (q )＝M . 课堂小结本节我们学习了： (1)二次函数的性质；(2)解决二次函数的实际应用问题．作业习题2—4 A 组5,6,7.设计感想本节教学设计注重了用图像探索出二次函数的性质(如单调性)，再用定义证明其正确性．这样体现了由感性认识，再上升到理性认识，符合学生的认知规律．并且拓展了教材的内容，以便适应高考的要求．备课资料二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质总结 1．解析式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有的二次函数的解析式均有零点式，只是图像与x 轴有交点的二次函数才有零点式．2．图像(1)形状是抛物线．其特征是：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；对称轴是直线x ＝－b2a ；顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ；当Δ＝b 2－4ac ＞0时，与x 轴有两个交点，当Δ＝b 2－4ac ＝0时，与x 轴有一个交点，当Δ＝b 2－4ac ＜0时，与x 轴没有交点．(2)画抛物线时，重点体现抛物线的特征：先确定“三点一线一开口”即顶点和与x 轴交点，对称轴这条直线，开口方向．再根据这些特征在坐标系中简单画出抛物线的草图．3．性质 (1)定义域：R .(2)值域：当a ＞0时，为⎣⎢⎡⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞，当a ＜0时，为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a .(3)单调性：当a ＞0时，单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a ，单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞；当a ＜0时，单调递减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞，单调递增区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a .(4)最值：当a ＞0时，有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，没有最大值；当a ＜0时，有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，没有最小值．(5)f (0)＝c . 4．常见结论：(1)当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，则有x 1＋x 2＝－b2a；(2)当二次函数f(x)在(－∞，m]和(m，＋∞)上的单调性相反时，则有m＝－b2a ；当a＞0时，二次函数f(x)在(－∞，m]上为减函数，则有m≤－b2a，二次函数f(x)在[m，＋∞)上为增函数，则有m≥－b2a；当a＜0时，二次函数f(x)在(－∞，m]上为增函数，则有m≤－b2a，二次函数f(x)在[m，＋∞)上为减函数，则有m≥－b2a；(3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的关系：二次函数f(x)的图像与x轴交点的个数等于方程f(x)＝0的实数根的个数，并且当二次函数f(x)的图像与x轴有交点时，其交点的横坐标是方程f(x)＝0的实数根．。
高中数学 第二章 函数 2.4 二次函数性质的再研究 2.4.2 二次函数的性质教案3 北师大版必修1
2.4.2 二次函数的性质一、教学目标1、知识与技能： (1) 结合二次函数图象，研究二次函数所具有的性质,从解析式到定义域、值域、单调性,对称性等不同的角度认识二次函数,熟知性质. (2) 通过二次函数的图象和函数的单调性,会求二次函数在某一区间上的最值或值域.2、 过程与方法： (1)能够借助二次函数的图象，研究二次函数的性质,体会数形结合研究函数的重要性. (2)仔细体会函数的定义域对研究函数性质的影响.3、情感.态度与价值观：通过学习二次函数的性质体会研究具体函数性质的方法和必要性与重要性，增强研究学习函数性质的积极性和自信心。
二、重难点: 重点：二次函数的性质. 难点：二次函数在区间上的值域．三、教学方法：观察、思考、探究.四、教学过程（一）、新课导入在初中，我们已经学习了二次函数，知道其图象为抛物线，并了解其图像的开口方向、对称轴、顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。
（二）、新知探究1．二次函数()02≠++=a c bx ax y 性质包括图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值、最小值.请画出函数()02≠++=a c bx ax y 的图像并回答出其性质。
对于二次函数c bx ax y ++=2配方为___________________________.当0>a 时，它的图像开口向_______，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________；()f x 在_________上是减少的，在___________上是增加的，当____________时，()f x 取得最______-值。
当0<a 时，它的图像开口向________，顶点坐标为_________________，对称轴为_____________；()f x 在_________上是减少的，在___________上是增加的，当____________时，()f x 取得最______值。
数学高一(北师大)必修1教案 二次函数的性质
2．4．2二次函数的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握二次函数的概念、图像特征．(2)能熟练地对一般二次函数的解析式配方，研究二次函数的对称性、值域和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．2．过程与方法(1)通过对二次函数的性质的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力．(2)通过对二次函数的性质的证明，提高学生的推理论证能力．3．情感、态度与价值观(1)由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣．(2)通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．●重点难点重点：掌握二次函数的定义域、值域、单调性、最值等性质及其图像的开口方向和顶点坐标．难点：二次函数的应用．课堂上通过学生探究、活动、问答交流等形式，发现其思维过程，恰当地运用一些鼓励性手段和方法，肯定学生思维中的有效成分；课堂上通过练习检测学生知识掌握情况，及时作出肯定性评价；通过课后作业与课堂小结及时反馈信息，查漏补缺；课间课后学生、师生之间平等进行讨论交流．●教学建议教学过程主要分复习、探究新知、例题讲解、练习巩固、小结这五部分．在复习这个过程中先复习上一节课学过的二次函数图像的知识点，使学生很快进入到二次函数的氛围当中，接着使学生看图回忆大家所学过的函数的增减性，同时提出问题——二次函数的增减性是怎么样的，从而过渡到本节课所要学习的内容．利用四幅具体的二次函数图像，通过小组讨论的方式，让学生自主发现随着自变量的增大，函数值的变化情况．接着在让学生根据图像找到最大值或者是最小值，并考虑何时取到最值，若取到最大或最小值与哪个系数有关．通过这三个问题的设置，学生也基本了解了二次函数的性质．然后用表格的形式将性质进行总结归纳，使学生的知识形成了一定的体系．●教学流程复习二次函数的图像，过渡到本节课所要学习的内容⇒利用几个具体的函数图像，通过小组讨论，让学生自主发现随着自变量的变化时函数值的变化情况⇒根据函数图像，理解函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质⇒通过例1及其变式训练，使学生加深对二次函数性质的理解⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握动轴或动区间时的最值情况，深化对二次函数中参数的分类讨论⇒强化二次函数的应用，完成例3及变式训练⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正【问题导思】已知函数f(x)＝x2－2x－31．函数的顶点式是什么？【提示】f(x)＝(x－1)2－4.2．函数的单调区间是什么？它的图像的对称轴是什么？【提示】递增区间为[1，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，它的对称轴为x＝1.3．当自变量x为何值时，函数的图像达到最低点？它的最小值为多少？【提示】在x＝1时达到最低点，最小值为－4.4．该函数在[1,2]上的最小值和最大值分别为多少？在[0,2]上呢？【提示】在[1,2]上的最小值为－4，最大值为－3，在[0,2]上的最小值为－4，最大值为－3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质如表：开口向下已知函数y ＝f (x )＝3x 2－6x ＋1. (1)求其对称轴和顶点坐标；(2)已知f (－1)＝10，不计算函数值，求f (3)； (3)不直接计算函数值，试比较f (－12)与f (32)的大小．【思路探究】 本题中已知二次函数f (x )的解析式，故可考虑用配方法将f (x )配成顶点式，进而确定对称轴和顶点坐标．然后再结合对称性求f (3)及比较f (－12)与f (32)的大小．【自主解答】 ∵f (x )＝3x 2－6x ＋1＝3(x －1)2－2，由于x 2项的系数为正数，∴函数图像开口向上．(1)顶点坐标为(1，－2)；对称轴方程为x ＝1. (2)∵f (－1)＝10，又|－1－1|＝2，|3－1|＝2，∴由二次函数的对称性可知，f (3)＝f (－1)＝10.(3)∵f (x )＝3(x －1)2－2的图像开口向上，且对称轴为1，∴离对称轴越近，函数值越小． 又|－12－1|>|32－1|，∴f (－12)>f (32)．1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k ，进而确定顶点坐标为(－h ，k )，对称轴为x ＝－h .2．比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系；也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．(1)下列区间中，使函数y ＝－2x 2＋x 是增函数的是( ) A ．R B ．[2，＋∞) C ．[14，＋∞) D ．(－∞，14](2)(2013·保定检测)若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2.则( ) A ．f (4)<f (1)<f (2) B ．f (2)<f (1)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1)【解析】 (1)函数y ＝－2x 2＋x ＝－2(x －14)2＋18的图像的对称轴是直线x ＝14，图像的开口向下，所以函数在对称轴x ＝14的左边是增加的．(2)函数f (x )的对称轴为x ＝2，所以f (2)最小，又x ＝4比x ＝1距对称轴远，故f (4)>f (1)，即f (2)<f (1)<f (4)．【答案】 (1)D (2)B已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数f (x )在区间[－5,5]上的最值． 【思路探究】(1)将a ＝－1代入―→配方―→写最值 (2)配方―→写对称轴―→分类讨论―→结论【自主解答】 (1)∵a ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， ∴f (x )在[－5,1]上单调递减， f (x )在[1,5]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图像开口向上，对称轴为x＝－a.①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图像如图(1)所示．由图像可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，f(x)max＝f(5)＝27＋10a；③当0<－a<5，即－5<a<0时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是单调递减的，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.求二次函数在某区间上的最值的要点为：1．考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；2．当对称轴在区间内部时，还要考虑区间两端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．本例(1)中“当a＝－1时”条件不变，求x∈[t，t＋1]时f(x)的最小值g(t)．【解】①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2；②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，此时g(t)＝f(1)＝1；③当t＋1<1，即t<0时，f(t)在[t，t＋1]上单调递减，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，此时g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1. 综上得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ＋2t >1，10≤t ≤1，t 2＋1t <0.在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．(1)试建立价格p (元)与周次t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进价q (元)与周次t 之间的关系为q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？【思路探究】 由题设可知，在不同周次，价格是不同的，前5周价格直线上升；中间5周价格保持不变，最后6周价格直线下降，所以价格p 与周次t 之间的函数关系是一个分段函数，而且有每件利润＝每件售价－每件进价，分段来分析第几周销售利润达到最大．【自主解答】 (1)当t ∈[0,5]时，p ＝10＋2t ； 当t ∈(5,10]时，p ＝20； 当t ∈(10,16]时，p ＝40－2t . 所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t t ∈[0，5]，20t ∈5，10]，t ∈N .40－2t t ∈10，16](2)由于每件销售利润＝售价－进价，所以每件销售利润L ＝p －q . 所以，当t ∈(0,5]时，L ＝10＋2t ＋0.125(t －8)2－12＝0.125t 2＋6，t ∈N ， 当t ＝5时，L 取最大值9.125； 当t ∈(5,10]时，L ＝18(t －8)2＋8，t ∈N ，当t ＝6或t ＝10时，L 取最大值8.5；当t ∈(10,16]时，L ＝0.125t 2－4t ＋36＝18(t －16)2＋4，t ∈N ，当t ＝11时，L 取最大值7.125.因此，该服装第5周每件销售利润最大．求解实际问题“四步曲”1．读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．2．建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．3．求解：选择合适的数学方法求解函数．4．评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．。
北师大版高中数学必修1《二章 函数 4 二次函数的再研究 4.2 二次函数的性质》优质课教案_26
【教学设计、中学数学】
《2.4.3二次函数的性质》
2.4.3二次函数的性质------高三复习课
教学任务分析
教学流程安排
教学过程设计x=-
=
时=
= f f f f
总体设计说明
本节课为高三第一轮复习课，教学内容为第二章第4节《二次函数的性质》。
所面对的对象是基础较为薄弱的文科生，所以教学设计上遵循循序渐进的原则，所选例题均偏重基础，总体思路是：基础---巩固---提高---灵变。
同时在本节课中给学生提供了展示自己的舞台，充分发挥他们的动手能力，体验成功的乐趣。
也培养了学生相互合作的合作意识，有利于学生的全面发展。
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §4 4.2 第1课时 二次函数的性质
A.a<-2
B.a≤-2
C.a>-2
D.a≥-2
解析:由题意,得-
������-1 3
≥1,解得a≤-2.
答案:B
12345
4若函数y=8x2-(m-1)x+m-7的图像的顶点在x轴上,则m=
.
解析:∵顶点在x轴上,
∴4×8(������4-7×)8-(������-1)2=0,
即(m-1)2-4×8(m-7)=0.
有������
5 2
= ������
7 2
41 =− 8.
题型一 题型二 题型三
反思二次函数图像的对称轴有三种求法:
(1)利用配方法求二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴为直
线
x=−
������ .
2������
(2)若二次函数 f(x)对任意 x1,x2∈R 都有 f(x1)=f(x2),则其图像的对
12345
1若函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称,则 ( )
A.m=-2
B.m=2
C.m=-1
D.m=1
解析:函数
f(x)=x2+mx+1
的图像的对称轴为直线
x=−
������ 2
,
且只有一条对称轴,所以
−
������ 2
=
1, 即m=-2.
答案:A
12345
2如果二次函数y=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么( )
∴f(1)≥25.
反思利用二次函数的单调区间与对称轴的关系,求m的取值范围
是解此题的关键.不要认为f(x)的递增区间是[-2,+∞),实际上它只是
北师大版二次函数-教案
第二章二次函数2.1 二次函数一、知识点1. 二次函数的概念.2. 利用二次函数的关系式进行简单的计算.二、教学目标知识与技能1.能够表示简单变量之间的二次函数关系.2.能够利用尝试求值的方法解决实际问题.过程与方法1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间的关系的体验.2.经历利用二次函数解决实际问题的过程，提高学生的应用能力.情感态度与价值观通过二次函数与变量之间的联系，二次函数与一元二次方程的联系，发展学生的数学思维能力.三、重点与难点重点：二次函数的概念.难点：根据题意，获得变量之间的关系.四、温故知新(放幻灯片2）1.说说什么是函数？2.我们学习过的函数有活动目的：复习函数的概念，以及学过的正比例函数和一次函数，自然引出其他函数，为学习二次函数做铺垫.五、创设情境，导入新课1.现实生活中的二次函数问题(放幻灯片3～14）2.情境问题：(放幻灯片15、16）某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.①说一说问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些因变量？②设果园增种x棵橙子树，则果园共有棵橙子树，这时平均每棵树结个橙子③如果果园橙子的总产量为y个，请写出y与X之间的关系式：y= .化简得：y=活动目的：创设情境，激发学生的求知欲，引导学生主动探索和解决问题，培养学生自主学习精神，灵活运用知识处理问题的意识.六、探究新知1.做一做（放幻灯片17）银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储存转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式.①本金：；②一年到期后，利息：；本息和；③两年到期后，本金；利息：；本息和；④请写出y与x之间的关系式：活动目的：通过交流讨论，培养学生思维的严密性和灵活性，让学生体验在交流中收益的乐趣。