2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末考试数学试卷及答案
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末考试数学试卷及答案满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：必修3、选修2-1一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上．）1．命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是（）A ．00x ∃≤，200230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．00x ∃>，200230x x -+≥D ．0x ∀>，2230x x -+≥2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（）A ．168B ．167C ．153D ．1353．在空间直角坐标系中，点(4,1,9)A ---与点(10,1,6)B --的距离是（）A ．5B ．6C ．7D ．84．命题“[1,2]x ∀∈，2x a ≤”成立的一个充分不必要条件是（）A ．1a >B ．1a ≥C ．4a ≥D ．4a >5．方程1x -=表示的曲线是（）A ．一个圆B ．一个椭圆C ．两个圆D ．半圆6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语甲组乙组听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x ，y 的值分别为（）90996166629x y甲组乙组A ．7，8B ．7，7C ．8，5D ．5，77．根据表格数据，得到的回归方程为ˆˆ9y bx =+，则ˆb =（）x45678y54321A ．2B ．1C ．0D ．1-8．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为（）A ．4B ．8C ．16D ．8-9．从区间[0,2]中任取一个实数x ，从区间[0,3]中任取一个实数y ，则使224x y +≤成立的概率为（）A ．12B ．9πC ．6πD ．3π10．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线经过椭圆的上顶点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则椭圆的离心率为（）A ．13B ．33C ．32D ．2211．已知椭圆22:142x y C +=，过点(1,1)M 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（）A ．230x y +-=B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=12．给出下列命题：①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 全不为0”；②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题；③设,x y ∈R ，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件；④已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)．其中是真命题的有（）A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取名志愿者．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为．15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为．16．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点是10,0)，则双曲线的标准方程为．17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 和N 分别是11B D 和11B C 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为．18．与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与圆222:(3)81C x y -+=内切的动圆圆心的轨迹方程为．19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为．20．如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．已知命题p ：“关于x 的方程220x x m -+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围；（2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围．22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：组号分组频数频率第1组[160,165)①第2组[165,170)0.300第3组[170,175)30②第4组[175,180)200.2第5组[180,185)100.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．24．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，CF //DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．图①图②（1）求证：CD//平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，右焦点为F ，右顶点为A ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线MA 、NA 分别与直线9x =交于点P 、Q ，且P 、Q 中点为G ，求证：1||||2FG PQ =．数学试题参考答案1-10DACDD BDBCD 11-12AB13．314．115．31016．2219y x -=17．3010解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(1,1,2)M ，(0,2,0)C ，(1,2,2)N ，(1,1,2)AM =- ，(1,0,2)CN =，设异面直线AM 和CN 所成角为θ，则||cos 10||||AM CN AM CN θ⋅===⋅ ．∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为3010．故答案为：3010．18．2212516x y +=解：设动圆圆心为3C ，半径为r ，与圆221:(3)1C x y ++=外切，且与圆222:(3)81C x y -+=内切，则131C C r =+，329C C r =-，133212106C C C C C C +=>=，故动圆圆心3C 的轨迹满足椭圆的定义，长轴长为10，焦距为6，可得动圆圆心的轨迹方程为：2212516x y +=，故答案为：2212516x y +=．19．31938解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，31,,02E ⎫⎛ ⎪⎝⎭，(1,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,3,0)AC =-，1(1,0,1)AD =- ，30,,02AE ⎫⎛= ⎪⎝⎭ ，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z =，则130n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =，得(3,1,3)n = ，∴点E 到面1ACD的距离：||||38AE n d n ⋅==，故答案为38．20．解：由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+ ，22()CD AB AC BD ∴=-+ 22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅ 2163664116AC BD -⋅=++=，||CD ∴=故答案为．21．解：（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m ≤若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤．m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得(,1)(2,3)t t +-Ü即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤．t ∴的取值范围22t -≤≤22．解：（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300，频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．设第3组的3位学生为1A ，2A ，3A ，第4组的2位学生为1B ，2B ，第5组的1位学生为1C ，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()11,B C ，()21,B C ，共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115．23．解：（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得||1a b =⎧⎪=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故双曲线方程22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F 直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=．由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=．所以，线段AB 的长是8．24．解：（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM 则//AM BC=∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴= 四边形ABEF 为矩形//AB EF ∴=，//MC EF∴=∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=又CF ⊂/平面ADE ，ME ⊂平面ADECF //∴平面ADE（2） 点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F (0,4,0)AD ∴= ，(2,2,0)CD =- ，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z = 是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩(2,2,1)n ∴=又AD是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．25．解：（1）由题意得132c a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a =，1c =，b =所以椭圆C 的方程为22198x y +=；（2）设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立221198x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()228916640t y ty ++-=，则0∆>恒成立，由韦达定理得1221689t y y t +=-+，1226489y y t =-+，设点(9,)P m ，(3,0)A ，则()()11113,2,AM x y ty y =-=- ，(6,)AP m =，由AM //AP ∣得()1162y m ty =-，可得1162y m ty =-，即点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，同理可得点2269,2y Q ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，1168,2y FP ty ⎫⎛∴=⎪ -⎝⎭ ，2268,2y FQ ty ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，()()1212366422y y FP FQ ty ty ∴⋅=+-- ()1221212366424y y t y y t y y =+-++2222236648964643248989t t t t t ⨯+=+-++++()222366464646406432489t t t -⨯=+=-=-+++()1221212366424yyt y y t y y =+-++因此，FP FQ ⊥．又因为P 、Q 中点为G ，所以1||||2FG PQ =．。
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷(Word版 含解析)
人教版2020-2021学年度上学期期末考试数学试卷（全册）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列关于事件发生可能性的表述，正确的是（ ）A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件B. 体育彩票的中奖率为10%，则买100张彩票必有10张中奖C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 132.下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )． A. B. C. D.3.关于 x 的一元二次方程 x 2−5x +2p =0 的一个根为 1 ，则另一根为（ ）.A. -6B. 2C. 4D. 14.下列关于二次函数 y =2x 2+3 ，下列说法正确的是（ ）.A. 它的开口方向向下B. 它的顶点坐标是 (2,3)C. 当 x <−1 时， y 随 x 的增大而增大D. 当 x =0 时， y 有最小值是35.如图，AB 为⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长DE 交⊙OO 于点F ，若AC = 12，AE = 3，则⊙O 的直径长为（ ）A. 10B. 13C. 15D. 166.某校食堂每天中午为学生提供A 、 B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 237.如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A. 2.5米B. 3米C. 3.5米D. 4米8.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·哧壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物。
而立之年督东吴，早逝英年两位数。
2020-2021学年广东省珠海市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
可得存在实数 t＝ 0，使得任意实数 x，均有 f（ t）﹣ h（ t）≤ f（ x）﹣ h（x），故（ 4）正
确．
故选： C．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 .请将答案填在答题卡相应位置） 13．【解答】 解：由题意得： x﹣1＞ 0，
解得： x＞ 1，
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即有﹣ 3﹣ m＝﹣ t，﹣ 3＝﹣ t﹣1，﹣ 3＝﹣ 1﹣ m﹣ n，
解得 t＝ 2， m＝﹣ 1， n＝3，
故选： D ． 12．【解答】 解：函数 f （x）＝ e2x， h（ x）＝ 2x+2，
由 y＝ f（ x）﹣ h（ x）＝ e2x﹣2x﹣ 2， 导数为 y′＝ 2e2x﹣ 2，
当 x＞ 0 时，函数 y 递增； x＜0 时，函数 y 递减，
x
2
4
5
6
8
y
30
60
70
90
100
（ 1）求 y 关于 x 的回归直线方程；
（ 2）预测当售货机上产品投入的广告费为 1000 元时的销售额是多少？
3
2
23．（ 10 分）已知函数 f（x）＝ 2x +2ax +bx+c 在 x＝﹣ 与 x＝ 1 时都取得极值．
（ 1）求 a、 b 的值与函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若对 x∈[ ﹣ 1， 2]，不等式 f（ x）＜ c2 恒成立，求 c 的取值范围．
2x
e
，h（
x）＝
2x+2
，对于下列语句，正确的个数是（
）
（ 1） f（ x）＞ h（ x）恒成立；
（ 2）存在实数 x1， x2，使得 f（ x1）＜ h（ x2）成立；
2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 20 页2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知命题P ：∃x 0≥1，x 02+x 0+1≤0，则命题P 的否定为（ ）A ．∃x ≥1，x 2+x +1＞0B ．∀x ≥1，x 2+x +1≤0C ．∀x ＜1，x 2+x +1＞0D ．∀x ≥1，x 2+x +1＞02．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√102C ．√17+14D ．√2243．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，且a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（ ） A ．212B ．33C ．42D ．844．△ABC 中，a cosA=b cosB=c cosC，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．准线方程为y ＝2的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．x 2＝﹣16yD ．x 2＝﹣8y6．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 23p−y 2p=1的一个焦点，则p ＝（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．设a ＞0，b ＞0，则“b ＞a ”是“椭圆x 2a +y 2b =1的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线C ：y 2a −x 2b =1(a ＞b ＞0)的一条渐近线与直线3x ﹣2y ﹣5＝0垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．√133B ．√132C ．√153 D ．√1529．在△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD +∠C =π2，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形。
珠海市2020年秋高二数学上学期12月试题卷附答案解析
故选：C
5
【点睛】判断命题真假的方法：
①直接法；②定义法；③等价命题法；④复合命题法.
3．已知 100 件产品中有 5 件次品，从这 100 件产品中任意取出 3 件，设 E 表示事件“3 件产品 全不是次品”， F 表示事件“3 件产品全是次品”，G 表示事件“3 件产品中至少有 1 件是 次品”，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题
13．某公司生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2 : 3 : 4 ，为了检验该公司的产品质量，用 分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，那么 n ___________.
14．已知双曲线
C
:
x2 a2
2x y 7 所以 x y 5 ，解得： x 12, y 17, m 14 .
4x 2 y m
故选：B
【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型.
5．某创业公司共有 36 名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了 9 位代表，得到的数据分别
A． AB (3, 0, 0)
B．
tan
BP,
AB
2
3
2
C．两异面直线 AC 与 PB 所成角为 60
D．VP ABC 2
12．已知双曲线 C 的方程为 x2 y2 1，则（
）
m4 m
A．m 的取值范围是 4, 0
B．C 的焦距与 m 的取值无关
C．当 C 的离心率不小于 2 时，m 的最小值为 3 D．存在实数 m，使得点 m2 , m 在 C 上
y2 5
1(a
0) 的焦距为 10，
广东省珠海市高二(上)期末数学试卷(理科)含参考答案
广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题,5分，满分60分）1．已知命题p：∀x≥0，x3﹣1≥0，则￢p为（）A．∀x≥0，x3﹣1＜0 B．∃x≥0，x3﹣1＜0C．∃x＜0，x3﹣1＜0 D．∀A＜0，x3﹣1＜02．若=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，2），则||=（）A．B．C．D．3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是（）A．＜B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a＞b+14．已知ax2﹣（1+a）x+b≥0的解集为{x|≤x≤1}，则a+b=（）A．B．C．﹣4 D．45．已知=1表示焦点在y轴上椭圆，则m的取值范围为（）A．（1，2） B．（1，）C．（1，+∞）D．（，2）6．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n，若，则sinS9=（）A．B．C．﹣D．7．设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为（）A．13 B．12 C．11 D．108．已知在△ABC中，∠BAC=60°，AB=6，若满足条件的△ABC有两个，则边BC的取值范围为（）A．[3，6） B．（3，6）C．[3，6） D．[，6）9．在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别在棱A1B1，C1D1上且A1E=1，C1F=1，则异面直线AE，B1F所成角的余弦值为（）A．B．C．D．010．一动圆P过定点M（﹣3，0），且与已知圆N：（x﹣3）2+y2=16外切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A．=1（x≥2）B．=1（x≥2）C．=1（x≤﹣2）D．=1（x≤﹣2）11．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•…•a n为整数的数n叫做“劣数”，则在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A．1016 B．2018 C．2024 D．202612．已知点A，B均在抛物线x2=4y上运动，且线段AB的长度为5，则AB的中点到x轴的最短距离为（）A．B．C．1 D．2二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）13．已知=（1，﹣3，λ），=（2，4，﹣5），若，则λ=．14．已知F1，F2为椭圆=1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|+|F1B|=，则|AB|=．15．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围为．16．已知各项为正数的等比数列{a n}中，a1a3=4，a7a9=25，则a5=．17．已知空间四边形ABCD中，=，，=，若，且（x，y，z∈R），则y=．18．若在△ABC中，，则△ABC是三角形．19．已知直线l：ax+y+2=0及两点P（﹣2，1），Q（3，2），若直线l与线段PQ有公共点，则a的取值范围是．20．如图，已知F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，|F1F2|=10，P是双曲线右支上的一点，直线F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=3，则双曲线的离心率为．三、解答题（共5小题，共50分）21．（10分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且（a2+b2﹣c2）tanC=ab．（1）求角C；（2）若c=，b=2，求边a的值及△ABC的面积．22．（10分）在梯形ABCD中，BC∥DA，BE⊥DA，EA=EB=BC=2，DE=1，将四边形DEBC沿BE 折起，使平面DEBC⊥平面ABE，如图2，连结AD，AC．（1）若F为AB中点，求证：EF∥平面ADC；（2）求平面ABE与平面ADC所成锐二面角的余弦值．23．（10分）某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=（注：利润与投资金额单位：万元）．（1）该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？24．（10分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=．求证：△AOB的面积为定值．25．（10分）正项数列{a n}的前n项和S n满足：=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，且前n项和为T n，且若对于∀n∈N*，都有（m ∈R），求m的取值范围．理科数学参考答案1-5：BCDCB6-10：BABAC11-12：DB13、－214、15、（－2,1）1617、2 318、等腰直角19、20、5 321、。
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，200230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．00x ∃>，200230-+≥x xD ．0x ∀>，2230x x -+≥【答案】D【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题求解即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时既要改变量词又要否定结论，所以命题“00x ∃>，200230x x -+<”的否定是0x ∀>，2230x x -+≥，故选：D.2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（ ） A ．168 B ．167C ．153D ．135【答案】A【分析】先求样本间隔，然后根据抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可． 【详解】样本间隔为18﹣3＝15， 即抽取样本数为180÷15＝12， 则最大的样本编号为3+15×11＝168， 故选：A ．3．在空间直角坐标系中，点(4,1,9)A ---与点(10,1,6)B --的距离是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由A ，B 的坐标求出AB 的坐标，求其模可得A 与B 的距离． 【详解】点(4,1,9)A ---，点(10,1,6)B --，∴(6,2,3)AB =-，则||||(7AB AB ==-=． 故选：C ．4．命题“[1,2]x ∀∈，2x a ≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a > B ．1a ≥C ．4a ≥D ．4a >【答案】D【分析】先找出命题为真命题的充要条件{}4a a ≥，从集合的角度充分不必要条件应为{}4a a ≥的真子集，由选项得出答案.【详解】[]1,2x ∀∈，214x ≤≤，∴要使2x a ≤恒成立，即4a ≥， 本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有D 符合. 故选：D.【点睛】结论点睛：充分不必要条件一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．5．方程211(1)x y -=--表示的曲线是（ ） A ．一个圆 B ．一个椭圆C ．两个圆D ．半圆【答案】D【分析】原方程两边平方，等价于22(1)(1)1(1)x y x -+-=，从而可得出结论． 【详解】方程211(1)x y -=--等价于22(1)(1)1(1)x y x -+-=，∴表示的曲线是半个圆．故选：D ．6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x 、y 的值分别为A ．7、8B ．5、7C ．8、5D ．7、7【答案】D【分析】根据中位数和平均数的公式分别进行计算即可．【详解】组数据的中位数为17，x 7∴=，乙组数据的平均数为17.4，()19161610y 2917.45∴+++++=， 得80y 87+=， 则y 7=， 故选D ．【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数和平均数的公式是解决本题的关键．中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数. 7．根据如表数据，得到的回归方程为y b x 9=+，则b (= )A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D【分析】由题意可得样本中心点，代入回归直线可得b 值，即可得答案． 【详解】由题意可得()14567865x =++++=，()15432135y =++++=， 回归方程为9y b x =+且回归直线过点()6,3，369b ∴=+，解得1b =-，故选D ．【点睛】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.8．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为4，则数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．8-【答案】B【分析】首先设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为12x -，然后结合原数据的方差，利用方差的公式计算得出新数据的方差，再求出标准差即可． 【详解】设原数据的平均数为x ，则新数据的平均数为12x -， 则原数据的方差为22211021[()()()]1610x x x x x x -+-+⋯+-=， 则新数据的方差为：11[(121210x --+22)(1212x x +--+102)(1212x x +⋯+--+2)]x 222121014[()()()10]x x x x x x =⨯-+-+⋯+- 41664=⨯=．故数据112x -，212x -，…，1012x -的标准差为：8． 故选：B ．9．从[0]2，中任取一个数x ，从[0]3，中任取一个数y ，则使224x y ≤＋的概率为（ ）A ．12B ．π9C ．π3D ．π6【答案】D【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x ∈[0，2]，y ∈[0，3]的平面区域为矩形，符合条件x 2+y 2≤4的区域为以原点为圆心，2为半径的扇形内部，则扇形面积与矩形面积的比为概率【详解】在平面直角坐标系中作出图形，如图所示， 则x ∈[0，2]，y ∈[0，3]的平面区域为矩形OABC ， 符合条件x 2+y 2≤4的区域为以原点为圆心， 2为半径的扇形OAD 内部， ∴P （x 2+y 2≤4）2124236S S ππ⨯===⨯扇形矩形；故选D ．【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题的关键．10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上端点B ，且与椭圆相交于点A ，若3BF FA =，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．33C 3D ．22【答案】D【分析】首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可得()()0,,,0B b F c -，由3BF FA =， 得4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点A 在椭圆上，则：22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理可得：2222216812,,9922c c e e a a ⋅=∴===. 故选D.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．11．已知椭圆：22142x y +=，过点()1,1M 的直线与椭圆相交于,A B 两点，且弦AB 被点M 平分，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y +-=C ．20x y +-=D ．210x y -+=【答案】B【详解】设()11A x y ，，()22B x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-∴+=则()()121212122142x x y y x x y y -+-==--+ 即直线AB 的斜率为12-则直线AB 的方程为()1112y x -=-- 即230x y +-= 故选B12．给出下列命题：①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 全不为0”； ②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是真命题； ③设,x y ∈R ，则“1x ≠或2y ≠”是“2xy ≠”的充分不必要条件；④已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率其中是真命题的有（ ） A ．①② B ．②④C ．①③D ．②③④【答案】B【分析】根据否命题的定义判断①；求出逆否命题判断②命；根据充分条件与必要条件的定义判断③；求出双曲线的离心率判断④.【详解】①命题“若220a b +=，则a ，b 全为0”的否命题应该是“若220a b +≠，则a ，b 不全为0”，故①错误；②命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题是“已知,x y ∈R ，若2x =且1y =，则3x y +=”，故②正确； ③取112x =≠，42y =≠，但是2xy =，即“1x ≠或2y ≠”不能推出“2xy ≠”，所以“1x ≠或2y ≠”不是“2xy ≠”的充分不必要条件，故③错误；④双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则有2b a=，则离心率2215c b e a a==+=，故④正确故选：B ．二、填空题13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取__________名志愿者．【答案】3【分析】先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案. 【详解】第3组的人数为10050.0630⨯⨯=， 第4组的人数为10050.0420⨯⨯=， 第5组的人数为1000.02510⨯⨯=， 所以这三组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，第三组应抽取306360⨯=名， 故答案为：3.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关频率分布直方图的识别以及分层抽样某层抽取个数的问题，正确解题的关键是掌握在抽取过程中每个个题被抽到的机会均等. 14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为__________． 【答案】1【分析】求出抛物线22x y =的焦点坐标与准线方程，从而可得答案. 【详解】由22x y =可得1p =，抛物线22x y =的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y， 所以抛物线22x y =的焦点到准线的距离为11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故答案为：1.15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为__________． 【答案】310【分析】从2名男同学和3名女同学中任选2人，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，根据概率公式计算即可【详解】从2名男同学和3名女同学中任选2人，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，故选中的2人都是女同学的概率310P =， 故答案为：310.16．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】2219y x -=.【解析】解：由双曲线渐近线方程可知b /a =3 ①因为它的一个的焦点为（10，0），所以c=10 ② 又c2=a 2+b 2③联立①②③，解得a 2=1，b 2=9， 所以双曲线的方程为x 2- y 2/9 =1． 故答案为为x 2- y 2/9 =1．17．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 和N 分别是11B D 和11B C 的中点，则异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为__________．【答案】3010【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，利用空间向量夹角余弦公式可得答案.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，(1,1,2)M ，(0,2,0)C ，(1,2,2)N ，(1,1,2)AM =-，(1,0,2)CN =，设异面直线AM 和CN 所成角为θ， 则||30cos ||||65AM CN AM CN θ⋅===⋅⨯．∴异面直线AM 和CN 30．30．18．一个动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为：______.【答案】2212516x y += 【分析】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，根据动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，得到121,9QQ R QQ R =+=-，两式相加得到1212106QQ QQ QQ +=>=，再根据椭圆的定义求解.【详解】设动圆的圆心为(),Q x y ，半径为R ，因为动圆与圆221():31Q x y ++=外切，与圆222:()381Q x y +=-内切，所以121,9QQ R QQ R =+=-， 所以1212106QQ QQ QQ +=>=，所以动圆圆心的轨迹为以12,Q Q 为焦点的椭圆， 所以2210,5,3,16a a c b ====，所以动圆圆心的轨迹方程为2212516x y +=， 故答案为：2212516x y += 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系以及椭圆的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为__________．【答案】319【分析】以D为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面1ACD 的法向量，利用向量法能求出点E 到平面1ACD 的距离． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，31,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(0,0,1)D ， (1,3,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-，30,,02AE ⎫⎛= ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z =，则1300n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， ∴点E 到面1ACD 的距离：||319||38AE n d n ⋅==， 故答案为:31938．【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间角与距离的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”.20．如图，在一个直二面角AB αβ--的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且4AB =，6AC =，8BD =，则CD =__________．【答案】229【分析】求CD 的长转为求||CD ，而CD CA AB BD =++，按照向量的模长求法，即可求解.【详解】由已知，可得AC AB ⊥，BD AB ⊥，AC BD ⊥，CD CA AB BD AB AC BD =++=-+，22()CD AB AC BD ∴=-+22222AB AC BD AB AC AB BD =++-⋅+⋅2163664116AC BD -⋅=++=， ||229CD ∴=．故答案为229．三、解答题21．已知命题p ：“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根”，命题q ：“23m -<<”，命题r ：“1t m t <<+”．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围； （2）若r 是q 的充分不必要条件，求t 的取值范围． 【答案】（1）21m -<≤；（2）22t -≤≤. 【分析】（1）由p 为真可得1m ，从而123m m ≤⎧⎨-<<⎩，进而可得答案；（2）由r 是q 的充分不必要条件，可得213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），进而可得答案.【详解】（1）若p 为真：440m ∆=-≥，解得1m 若“p q ∧”是真命题，则p ，q 均为真命题即123m m ≤⎧⎨-<<⎩，解得21m -<≤．m ∴的取值范围21m -<≤（2）由r 是q 的充分不必要条件， 可得(,1)t t +是(2,3)-的真子集，即213t t ≥-⎧⎨+≤⎩（等号不同时成立），解得22t -≤≤． t ∴的取值范围22t -≤≤22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）11 15.【分析】（1）依据频数与频率公式求得相应数据，再根据数据完成频率分布直方图；（2）利用分层抽样求得第3、4、5组中的人数，再用列举法求得相应概率.【详解】（1）第2组的频数为1000.30030⨯=人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300，频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯=人，第4组：206260⨯=人，第5组：106160⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．设第3组的3位学生为1A，2A，3A，第4组的2位学生为1B，2B，第5组的1位学生为1C，则从这6位学生中抽取2位学生有：()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,AB ，()11,AC ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共15种情况．抽到的2位学生不同组的有：()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()31,A B ，()32,A B ，()31,A C ，()11,B C ，()21,B C ，共11种情况．所以抽到的2位学生不同组的概率为1115． 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏.23．（1）已知等轴双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；（2）已知抛物线24y x =的焦点为F ，设过焦点F 且倾斜角为45︒的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求线段AB 的长．【答案】（1）22122y x -=；（2）8. 【分析】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，再由点到直线距离公式求解即可；（2）求得直线方程代入抛物线，结合焦点弦长求解即可.【详解】（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为0y x +=，且顶点(0,)a 到渐近线的距离为1，可得1a b=⎧=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22122y x -=（2）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x=-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，设其两根为1x ，2x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 24．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 【详解】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//AM BC=，∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴=，四边形ABEF 为矩形//AB EF ∴=，//MC EF∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=， 又CF ⊂/平面ADE ，ME ⊂平面ADE ，//CF ∴平面ADE ；（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F ，(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=， 又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅，∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，右焦点为F ，右顶点为A ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形面积为122．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，直线MA、NA分别与直线9x=交于点P、Q，且P、Q中点为G，求证：1||||2FG PQ=．【答案】（1）22198x y；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率及菱形的面积联立方程求出,a b，即可求解；（2）设直线方程为1x ty=+，表示出,P Q点的坐标，利用向量可证明FP FQ⊥，根据直角三角形斜边中线的性质得证.【详解】（1）由题意得132122caab⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3a=，1c=，22b =，所以椭圆C 的方程为22198x y；（2）如图，设直线l的方程为1x ty=+，设点()11,M x y、()22,N x y，联立221198x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得()228916640t y ty++-=，则0∆>恒成立，由韦达定理得1221689ty yt+=-+，1226489y yt=-+，设点(9,)P m，(3,0)A，则()()11113,2,AM x y ty y=-=-，(6,)AP m=，由AM//AP→得()1162y m ty=-，可得1162y m ty =-，即点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，同理可得点2269,2y Q ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，1168,2y FP ty ⎫⎛∴=⎪ -⎝⎭，2268,2y FQ ty ⎫⎛=⎪ -⎝⎭， ()()1212366422y y FP FQ ty ty ∴⋅=+--()1221212366424y y t y y t y y =+-++2222236648964643248989t t t t t ⨯+=+-++++()222366464646406432489t t t -⨯=+=-=-+++ 因此，FP FQ ⊥．又因为P 、Q 中点为G ，所以1||||2FG PQ =． 【点睛】关键点点睛：设点()11,M x y 、()22,N x y ，点(9,)P m ，根据向量AM //AP →，转化出点1169,2y P ty ⎫⎛⎪ -⎝⎭，2269,2y Q ty ⎫⎛⎪-⎝⎭，利用向量0FP FQ ⋅=，证明FP FQ ⊥是证明结论的关键所在，属于中档题.。
广东省珠海二中2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题含答案
（1）求 cos C ；
（2）若 c 3 ，求 a b 的取值范围.
解：（1） a c cos B 1 b ，由正弦定理可得 sin A sin C cos B 1 sin B ，
2
2
即 sin B C sin C cos B 1 sin B ，整理得 sin B cos C 1 sin B .
3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项
有 (8k 2 )2 4(1 2k 2 )(8k 2 2) 0 ，整理得 2k 2 1 0 .
设 A(x1,y1) ， B(x2 , y2 ) ，则
x1
x2
8k 2 1 2k2
，
x1x2
8k 2 2 1 2k2
.
有 kAF
kBF
y1 x1 1
y2 x2 1
k x1 2
x1 1
k x2 2
g
x
sin
x
4
的图像，则正数
的
最小值等于 3 . 2
17.下列命题中：（1）“若 xy 1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；（2）“四边相等的四边形是正方形”的否命
题；（3）“梯形不是平行四边形”的逆否命题；（4）“若 sin x sin y ，则 x y ”的逆命题.其中是真命题的
是（1）（2）（3）（4）.
2021-2022学年广东省珠海市高二上期末考试数学试卷附答案解析
2021-2022学年广东省珠海市高二上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知点M （1，2，3），N （2，3，4），P （﹣1，2，3），若PQ →=3MN →，则Q 的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，﹣5） B ．（3，4，1）C ．（﹣4，﹣1，0）D ．（2，5，6）2．圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1关于直线x +y ＝0对称的圆的方程是（ ） A ．（x +3）2+（y ﹣4）2＝1 B ．（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1 C ．（x +4）2+（y ﹣3）2＝1 D ．（x +4）2+（y +3）2＝13．若方程x 2m+y 22−m=1表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1）∪（1，2）4．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，若PN →=2NC →，AM →=3MB →，NM →=x PA →+y PC →+z PD →，则x +y +z ＝（ ）A ．−12B ．−13C ．13D ．−165．直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得最大弦长为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．3D ．2√26．已知直线y ＝kx ﹣1与椭圆x 24+y 23=1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP →=3PB →，则实数k 的值为（ ） A ．√62B ．−32C ．±√62D ．±327．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2AB ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 翻折至△P AE 的位置（点P ∉平面AECD ），设线段PD 的中点为F ，则在翻折过程中，下列论断不正确的是（ ）A ．CF ∥平面AEPB ．异面直线CF 与PE 所成角的大小恒定不变C ．AE ⊥DPD ．当平面APE ⊥平面AECD 时，AD 与平面PDE 所成角为30° 8．如图，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为P ，线段PF 1与另一条渐近线交于点Q ，且△OPF 2的面积是△OPQ 面积的2倍，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．3√22C ．√2D ．√3二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为（ ） A ．x 24−y 2=1B ．x 2−y 24=1C ．y 24−x 2=1D ．y 2−x 24=1 10．已知空间向量a →=(2k +2，k ，−4)，b →=(−2，1，8)，且a →⊥b →，则（ ） A ．k ＝﹣6B ．|b →|=69C ．k ＝﹣12D ．|b →|=√6911．已知圆M ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝3（a ，b ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|=√3，则下列结论错误的是（ ） A ．a 2+b 2＝4B ．四边形OAMB 的面积为√32C ．a +b 的最小值为−√2D ．MA →⋅MB →是定值12．如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是（ ）A ．A 1C 1⊥平面BD 1B ．BD 1⊥平面ACB 1C ．BD 1与底面BCC 1B 1所成角的正切值是√2D ．过点A 1与异面直线AD 与CB 1成60°角的直线有2条 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →=(1，2，3)，b →=(x ，x 2+y −2，y)，且a →，b →同向，则x ，y 的值x ＝ ，y ＝ ．14．以点A （0，4），B （4，6）为直径的两个端点的圆的标准方程是 ． 15．已知椭圆x 26+y 23=1的左焦点为F ，点A 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点B 是线段AF 的中点，则△FOB 的周长为 ． 16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，关于原点对称的点A 、B 在椭圆上，且满足|AB |＝|F 1F 2|，若令∠F 1AB ＝θ且θ∈[π12，π4]，则该椭圆离心率的取值范围为 ．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）求证：P A∥平面EBD；（2）求PB与平面EBD所成的角的正弦值．18．已知直线l1：（m+2）x+my﹣8＝0与直线l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为点F1，F2，左、右顶点分别为A，B，长轴长为4，椭圆上任意一点P（不与A，B重合）与A，B连线的斜率乘积均为−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，试问：四边形MNPQ可否为菱形？并请说明理由．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且PD ＝CD ＝1，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． （1）证明：PB ⊥平面DEF ；（2）若三棱锥A ﹣BDP 的体积为13，求二面角D ﹣BP ﹣C 的余弦值．21．已知圆C上有两个点A（2，3），B（4，9），且AB为直径．（1）求圆C的方程；（2）若直线3x+4y﹣18＝0与圆C交于C、D，求CD长度；（3）已知P（﹣1，3），点Q是圆C上的任意一点，求PQ的最大值和最小值．22．已知椭圆C ：x 22+y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A （0，2）的直线l 交椭圆C 于不同的两点P 、Q ．（1）若直线l 经过F 2，求△F 1PQ 的周长；（2）若以线段PQ 为直径的圆过点F 2，求直线l 的方程； （3）若AQ →=λAP →，求实数λ的取值范围．2021-2022学年广东省珠海市高二上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知点M （1，2，3），N （2，3，4），P （﹣1，2，3），若PQ →=3MN →，则Q 的坐标是（ ） A ．（﹣3，﹣2，﹣5） B ．（3，4，1）C ．（﹣4，﹣1，0）D ．（2，5，6）解：点M （1，2，3），N （2，3，4），P （﹣1，2，3），设Q （a ，b ，c ），则PQ →=（a +1，b ﹣2，c ﹣3），MN →=（1，1，1）， ∵PQ →=3MN →，∴（a +1，b ﹣2，c ﹣3）＝（3，3，3）， ∴{a +1=3b −2=3c −3=3，解得a ＝2，b ＝5，c ＝6． ∴Q 的坐标是（2，5，6）． 故选：D ．2．圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1关于直线x +y ＝0对称的圆的方程是（ ） A ．（x +3）2+（y ﹣4）2＝1 B ．（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝1 C ．（x +4）2+（y ﹣3）2＝1D ．（x +4）2+（y +3）2＝1解：由题意，设所求的圆为：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝1． 易知（a ，b ）与（3，4）关于x +y ＝0对称，所以{b−4a−3×(−1)=−1b+42+a+32=0，解得a ＝﹣4，b ＝﹣3． 故所求圆方程为：（x +4）2+（y +3）2＝1． 故选：D ． 3．若方程x 2m+y 22−m=1表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1）∪（1，2）解：方程x 2m+y 22−m=1表示椭圆，假设焦点在x 轴上，则m ＞2﹣m ＞0， 解得：1＜m ＜2，当焦点在y 轴上，则2﹣m ＞m ＞0，解得：0＜m ＜1，综上可知：m 的取值范围（0，1）∪（1，2）， 故选：D ．4．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，若PN →=2NC →，AM →=3MB →，NM →=x PA →+y PC →+z PD →，则x +y +z ＝（ ）A ．−12B ．−13C ．13D ．−16解：因为PN →=2NC →，AM →=3MB →，所以NM →=NC →+CB →+BM →=13PC →+PA →−PD →+14(PD →−PC →)=112PC →+PA →−34PD →， 又NM →=x PA →+y PC →+z PD →， 所以x =112，y =1，z =−34， 则x +y +z =112+1−34=13． 故选：C ．5．直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得最大弦长为（ ） A ．2√5B ．2√3C ．3D ．2√2解：根据题意，圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0，即x 2+（y −√5）2＝3，其圆心为（0，√5），半径r =√3，圆心到直线2x •sin θ+y ＝0的距离d =√5|√1+4sin θ=√5√1+4sin θ≥√5√5=1，当圆心到直线的距离最小时，直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得弦长最大， 而d =√5√1+4sin θ的最小值为1，则直线2x •sin θ+y ＝0被圆x 2+y 2﹣2√5y +2＝0截得最大弦长值为2×√3−1=2√2，故选：D ．6．已知直线y ＝kx ﹣1与椭圆x 24+y 23=1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP →=3PB →，则实数k 的值为（ ） A ．√62B ．−32C ．±√62D ．±32解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意可得P （0，﹣1）， 联立{y =kx −1x 24+y 23=1，整理可得：（3+4k 2）x 2﹣8kx ﹣8＝0，x 1+x 2=8k 3+4k2①，x 1x 2=−83+4k2②，因为AP →=3PB →，则（﹣x 1，﹣1﹣y 1）＝3（x 2，y 2+1）， 可得x 1＝﹣3x 2，将其代入①可得﹣2x 2=8k 3+4k2，可得x 2=−4k 3+4k2，将x 1＝﹣3x 2，x 2=−4k 3+4k2代入②可得：﹣3•（−4k 3+4k 2）2=−83+4k2，解得：k 2=32， 即k ＝±√62， 故选：C ．7．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ＝2AB ，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 翻折至△P AE 的位置（点P ∉平面AECD ），设线段PD 的中点为F ，则在翻折过程中，下列论断不正确的是（ ）A ．CF ∥平面AEPB ．异面直线CF 与PE 所成角的大小恒定不变C ．AE ⊥DPD ．当平面APE ⊥平面AECD 时，AD 与平面PDE 所成角为30°解：对于A ，取P A 中点M ，连接MF ，ME ，因为F 为PD 中点，所以MF ∥AD ，MF =12AD ，又因为四边形ABCD 为矩形，AD ＝2AB ，E 是BC 的中点，所以CE ∥AD ，CE =12AD ， 所以MF ∥CE ，MF ＝CE ，所以四边形MFCE 为平行四边形，所以CF ∥EM ， 又因为EM ⊆平面AEP ，CF ⊈平面AEP ，所以CF ∥平面AEP ，所以A 对； 对于B ，由A 知，∠PEM 为异面直线CF 与PE 所成角的大小，所以B 对； 对于C ，取AD 中点N ，连接EN ，CN ，当△P AE 接近极限位置△NAE 时， AE 与DP 所成角等于CN 与DP 所以角，接近于∠CND ＝45°，所以C 错； 对于D ，因为四边形ABCD 为矩形，AD ＝2AB ，E 是BC 的中点，所以DE ⊥AE ， 因为平面APE ⊥平面AECD ，平面APE ∩平面AECD ＝AE ，所以DE ⊥平面P AE ， 又因为DE ⊆平面PDE ，所以平面P AE ⊥平面PDE ，因为平面P AE ∩平面PDE ＝PE ，AP ⊥PE ，所以P A ⊥平面PDE ，所以AD 与平面PDE 所成角为∠PDA ，因为P A =12AD ，所以∠PDA ＝30°，所以D 对． 故选：C ．8．如图，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为P ，线段PF 1与另一条渐近线交于点Q ，且△OPF 2的面积是△OPQ 面积的2倍，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．3√22C ．√2D ．√3解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），直线OP 的方程为bx ﹣ay ＝0，①以OF 2为直径的圆的方程为（x −c 2）2+y 2=c 24，②由①②解得P （a 2c，ab c），直线PF 1的方程为y =aba 2+c 2（x +c ），与渐近线方程bx +ay ＝0， 解得Q （−a 2c2a 2+c 2，abc 2a 2+c2），由△OPF 2的面积是△OPQ 面积的2倍，可得F 2到直线OP 的距离为Q 到直线OP 的距离的2倍，即有√b 2+a 2=2|−a 2bc 2a 2+c 2−a 2bc2a 2+c2|√b 2+a 2， 化为4a 2＝2a 2+c 2，即为c =√2a ， 所以e =ca =√2． 故选：C ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为（ ） A ．x 24−y 2=1B ．x 2−y 24=1C ．y 24−x 2=1D ．y 2−x 24=1解：双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦距，可得c =√5，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，可得a ＝2b ，又c 2＝a 2+b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线方程为：x 24−y 2＝1或y 2−x 24=1．故选：AD ．10．已知空间向量a →=(2k +2，k ，−4)，b →=(−2，1，8)，且a →⊥b →，则（ ） A ．k ＝﹣6B ．|b →|=69C ．k ＝﹣12D ．|b →|=√69解：∵a →=(2k +2，k ，−4)，b →=(−2，1，8)，且a →⊥b →， ∴a →⋅b →=−2(2k +2)+k −32=0，即k ＝﹣12． |b →|=√(−2)2+12+82=√69． 故选：CD ．11．已知圆M ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝3（a ，b ∈R ）与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB|=√3，则下列结论错误的是（ ）A ．a 2+b 2＝4B ．四边形OAMB 的面积为√32C ．a +b 的最小值为−√2D ．MA →⋅MB →是定值解：圆M 的圆心M （a ，b ），半径r =√3，则△MAB 为边长为√3的等边三角形， 由OA ＝OB ＝1，AB =√3，△OAB 的高h =√1−34=12， 所以S △ABO =12×12×√3=√34，S △MAB =√34×（√3）2=3√34， 所以S 四边形OAMB =√34+3√34=√3，故B 错误； S 四边形OAMB =12×OM ×AB ，所以OM =√3√3=2， 即√a 2+b 2=2，所以a 2+b 2＝4，故A 正确； 因为2（a 2+b 2）≥（a +b ）2，所以（a +b ）2≤8， 即﹣2√2≤a +b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时取等号， 则a +b 的最小值为﹣2√2，故C 错误； MA →•MB →=|MA →|•|MB →|•cos60°=√3×√3×12=32，故D 正确． 故选：BC ．12．如图，ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论中正确的是（ ）A ．A 1C 1⊥平面BD 1B ．BD 1⊥平面ACB 1C ．BD 1与底面BCC 1B 1所成角的正切值是√2D ．过点A 1与异面直线AD 与CB 1成60°角的直线有2条 解：如图，正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，对于A ，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥B 1B ，∴A 1C 1⊥平面 BB 1D 1D ，所以A 正确；对于B ，由A 知 A 1C 1⊥平面 BB 1D 1D ，∴A 1C 1⊥BD 1，∴AC ⊥BD 1，同理，AB 1⊥BD 1，∴BD 1⊥平面 ACB 1，所以B 正确；对于C ，在Rt △D 1C 1B 中，BC 1=√2D 1C 1，∴tan ∠C 1BD 1=D 1C 1BC 1=√22，所以C 错误；对于D ，由于异面直线AD 与CB 1成45°的角，如图，过A 1作 MN //AD ，PQ //CB 1，设MN 与PQ 确定平面α，∠P A 1M ＝45°，过A 1在面α上方作射线A 1H ，则满足与MN ，PQ 成60°的射线A 1H 有2条：满足∠MA 1H ＝∠P A 1H ＝60°的有一条， 满足∠NA 1H ＝∠QA 1H ＝60°的有一条，故满足与MN ，PQ 成60°的直线有2条，故过点A 1与异面直线AD 与CB 1成60°角的直线有2条．所以D 正确； 故选：ABD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →=(1，2，3)，b →=(x ，x 2+y −2，y)，且a →，b →同向，则x ，y 的值x ＝ 1 ，y ＝ 3 ． 解：∵a →，b →同向，∴存在实数k ＞0，使得k a →=b →． ∴{x =kx 2+y −2=2k y =3k ， 解得：x ＝1，y ＝3，k ＝1． 故答案为：1，3．14．以点A （0，4），B （4，6）为直径的两个端点的圆的标准方程是 （x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝5 ．解：点A （0，4），B （4，6）的中点坐标为（0+42，4+62），即圆心的坐标（2，5），半径r =|AB|2=√42+(6−4)22=√5， 所以A （0，4），B （4，6）为直径的两个端点的圆的方程为：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝5； 故答案为：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝5． 15．已知椭圆x 26+y 23=1的左焦点为F ，点A 是椭圆上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．若点B 是线段AF 的中点，则△FOB 的周长为 √3+√6 ．解：椭圆x 26+y 23=1，可得a =√6，b =√3，∴c =√3．由题意可知如图：连结AF 2，点B 是线段AF 的中点，可得OB =∥12AF 2， 有椭圆的定义可知|AF |+|AF 2|＝2a ， ∴|BF |+|BO |＝a =√6．△FOB 的周长为：a +c =√3+√6． 故答案为：√3+√6．16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，关于原点对称的点A 、B 在椭圆上，且满足|AB |＝|F 1F 2|，若令∠F 1AB ＝θ且θ∈[π12，π4]，则该椭圆离心率的取值范围为 [√22，√63] ． 解：由已知可得AB ＝2c ，且四边形AF 1BF 2为矩形． 所以BF 1＝2c ⋅sin θ，AF 1＝2c ⋅cos θ＝BF 2， 又因为BF 1+BF 2＝2a ，所以2c ⋅sin θ+2c ⋅cos θ＝2a ． 得离心率e =c a =1sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)因为θ∈[π12，π4]，所以θ+π4∈[π3，π2]，可得sin(θ+π4)∈[√32，1]， 从而e ∈[√22，√63]． 故答案为：[√22，√63]．四．解答题（共6小题，其中第17小题10分，第18-22小题各12分，共70分）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．（1）求证：P A ∥平面EBD ；（2）求PB 与平面EBD 所成的角的正弦值．（1）证明：连接AC ，交BD 于O ，连接OE ， 因为底面ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点， 又因为E 为PC 中点，所以P A ∥OE ， 因为OE ⊂平面EBD ，P A ⊄平面EBD ， 所以P A ∥平面EBD ．（2）解：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ， 所以DA 、DC 、DP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2a ， P （0，0，2a ），B （2a ，2a ，0），E （0，a ，a ），DE →=（0，a ，a ），DB →=（2a ，2a ，0），PB →=（2a ，2a ，﹣2a ）， 设平面EBD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），{n →⋅DE →=ay +az =0n →⋅DB →=2ax +2ay =0，令y ＝﹣1，n →=（1，﹣1，1）， 所以PB 与平面EBD 所成的角的正弦值为|n →⋅PB →||n →|⋅|PB →|=√3⋅2a √3=13．18．已知直线l 1：（m +2）x +my ﹣8＝0与直线l 2：mx +y ﹣4＝0，m ∈R ． （1）若l 1∥l 2，求m 的值； （2）若l 1⊥l 2，求m 的值．解：（1）∵l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率一定存在， ∴m+2m=m 1≠−8−4，解得m ＝﹣1． （2）∵l 1⊥l 2， ∴（m +2）m +m ×1＝0， 解得m ＝0或﹣3． 19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为点F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，长轴长为4，椭圆上任意一点P （不与A ，B 重合）与A ，B 连线的斜率乘积均为−34．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 1的直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，过点F 2的直线l 2与椭圆C 交于P ，Q 两点，且l 1∥l 2，试问：四边形MNPQ 可否为菱形？并请说明理由．解：（1）由题意，a ＝2，则A （﹣2，0），B （2，0），设P(x 0，y 0)(x 02≠4)，则点P 与点A 连线的斜率为k AP =y0x 0+2，点P 与点B 连线的斜率为k BP=y 0x 0−2，故y 02x 02−4=−34， 又因为点P 在椭圆C 上，故有x 024+y 02b 2=1，联立解得b 2＝3，则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）由于点F 1，F 2关于原点对称且l 1∥l 2，故l 1，l 2关于原点对称，又椭圆关于原点对称，所以四边形MNPQ 为平行四边形；由（1），知F 1（﹣1，0），易知直线MN 不能平行于x 轴．所以令直线MN 的方程为x ＝my ﹣1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．联立方程{3x 2+4y 2−12=0x =my −1，得（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9＝0，所以y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4． 若MNPQ 是菱形，则OM ⊥ON ，即OM →⋅ON →=0，于是有x 1x 2+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2−m(y 1+y 2)+1=0， 整理得到−12m 2−53m 2+4=0，即12m 2+5＝0，上述关于m 的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ 不可能是菱形．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且PD ＝CD ＝1，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ． （1）证明：PB ⊥平面DEF ；（2）若三棱锥A ﹣BDP 的体积为13，求二面角D ﹣BP ﹣C 的余弦值．证明：（1）∵PD ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵底面ABCD 为长方形，∴CD ⊥BC ， ∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ， ∵DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PD ＝CD ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ， ∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PBC ， ∴DE ⊥PB ，又EF ⊥PB ，DE ∩EF ＝E ， ∴PB ⊥平面DEF ．解：（2）由题意知DA 、DC 、DP 两两垂直，以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系D ﹣xyz ，可得D （0，0，0），P （0，0，1），C （0，1，0），设BC ＝t ，则有V A ﹣BDF ＝V P ﹣ABD =13×12×t ×1=13，解得t ＝2，∴B （2，1，0），∴BD →=（﹣2，﹣1，0），BP →=（﹣2，﹣1，1），又E （0，12，12），设平面PBD 的法向量n →=（x ，y ，z ），∴{n →⋅BD →=0n →⋅BP →=0则{−2x −y =0−2x −y +z =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣2，0），由（1）DE ⊥平面PBC ，得DE →为平面PBC 的法向量，得DE →=（0，12，12），设二面角D ﹣BP ﹣C 为α，则cos α=||||⋅||=√105， 所以二面角D ﹣BP ﹣C 的余弦值为√105．21．已知圆C 上有两个点A （2，3），B （4，9），且AB 为直径． （1）求圆C 的方程；（2）若直线3x +4y ﹣18＝0与圆C 交于C 、D ，求CD 长度；（3）已知P （﹣1，3），点Q 是圆C 上的任意一点，求PQ 的最大值和最小值．解：（1）由题可得C （3，6），圆C 的直径2r ＝|AB |=√(2−4)2+(3−9)2=2√10，所以r =√10，∴圆C 的方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10；（2）圆心（3，6）到直线的距离d =√3+4=1，则由弦长公式可得CD ＝2√r 2−d 2=2√10−1=6；（3）因为CP =√(3+1)2+(3−6)2=5，且P （﹣1，3）在圆外，所以PQ 的最小值为CP ﹣r ＝5−√10，PQ 的最大值为r +CP =√10+5． 22．已知椭圆C ：x 22+y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A （0，2）的直线l 交椭圆C 于不同的两点P 、Q ．（1）若直线l 经过F 2，求△F 1PQ 的周长；（2）若以线段PQ 为直径的圆过点F 2，求直线l 的方程；（3）若AQ →=λAP →，求实数λ的取值范围．解：（1）因为椭圆C ：x 22+y 2＝1，所以椭圆C 的长半轴长为√2，由椭圆的定义可得，PF 1+PF 2=2√2，QF 1+QF 2=2√2，所以△F 1PQ 的周长为4√2；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝0，此时Q （0，1），P （0，﹣1）， 又F 2（1，0），所以F 2P →=(−1，−1)，F 2Q →=(−1，1)，所以F 2P →⋅F 2Q →=0符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx +2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线与{x 22+y 2=1y =kx +2，则有（1+2k 2）x 2+8kx +6＝0， 所以x 1+x 2=−8k1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2，△＝64k 2﹣4（1+2k 2）×6＞0，解得k 2＞32，因为F 2P →=(x 1−1，y 1)，F 2Q →=(x 2−1，y 2)，F 2P →⋅F 2Q →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+（kx 1+2）（kx 2+2）＝0， 所以（k 2+1）x 1x 2+（2k ﹣1）（x 1+x 2）+5＝0，故(k 2+1)61+2k 2+(2k −1)(−8k1+2k 2)+5=0，解得k =−118， 故直线l 的方程为11x +8y ﹣16＝0，综上所述，直线l 的方程为x ＝0或11x +8y ﹣16＝0；（3）①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝0，若Q （0，1），P （0，﹣1），则AQ →=(0，−1)，AP →=(0，−3)，所以AQ →=13AP →，此时λ=13；若Q （0，﹣1），P （0，1），则AQ →=(0，−3)，AP →=(0，−1)，所以AQ →=3AP →，此时λ＝3；②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx +2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），又A （0，2），所以AP →=(x 1，y 1−2)，AQ →=(x 2，y 2−2)，因为AQ →=λAP →，所以{x 2=λx 1y 2−2=λ(y 1−2)，故λ=x 2x 1， 由（1）可知，x 1+x 2=−8k 1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2， 所以(x 1x 2)2x 1x 2=(−8k 1+2k 2)261+2k 2， 则x 1x 2+2+x 2x 1=32k 23(1+2k 2)，即λ+1λ=103−163(1+2k 2)＜103， 因为k 2＞32，故3（1+2k 2）＞12，103−163(1+2k 2)＞2， 所以λ+1λ∈(2，103)， 因为λ+1λ＞2(λ≠1)，由λ+1λ＜103，可得λ2−103λ+259＜169，即−43＜λ−53＜43，所以13＜λ＜3，综上所述，实数λ的取值范围为[13，1)∪(1，3]．。
2021-2022学年广东省珠海市高二上学期期末考试数学试卷带讲解
A
【分析】根据 将 最小值问题转化为d取得最大值问题，然后结合图形可解.
【详解】将 ，变形为 ，故直线 恒过点 ，
圆心 ，半径 ，已知点P在圆内，
过点 作直线与圆 相交于A， 两点，记圆心到直线的距离为d，则 ，所以当d取得最大值时， 有最小值，
结合图形易知，当直线与线段 垂直的时候，d取得最大值，即 取得最小值，
【分析】利用基本量结合已知列方程组求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为
由题可知
即
因为 ，所以解得：
所以 .
故答案为：
15.已知四面体 中， ， 分别在 ， 上，且 ， ，若 ，则 ________.
【分析】连接 ，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.
【详解】解：连接
∵四面体 中， ， 分别在 ， 上，且 ，
（2）
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，得到 ，选① ，联立求解；选② ，联立求解；选③ ，联立求解；
（2）由（1）知 ，令 求解.
【小问1详解】
解：设等差数列 的公差为 ，
得 ，
选① ，得 ，
故 ，
∴ .
选② ，
得 ，得 ，
故 ，
∴ .
选③ ，
，得 ，
故 ，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）知 ， ， ，
（1）
（2）
【分析】（1）由条件因式分解可得 ，从而得到 ，即可得出答案.
（2）由（1）可得 ，由错位相减法求和得到 ，由题意即即 对 恒成立，分析数列 的单调性，得出答案.
【小问1详解】由 ，得
∵ ∴ ∴
∴数列 是公比为2的等比数列.
∵ ，∴ .
2020年广东省珠海市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2020年广东省珠海市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．以下说法中正确个数是（ ）①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；<成立，只需证22<； ③用数学归纳法证明2231111n n a a a a aa++-+++++=-L （1a ≠，n ∈+N ，在验证1n =成立时，左边所得项为21a a ++； ④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误.A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知6)x -展开式的常数项为15，则a =（ ） A ．±1 B ．0 C ．1 D ．-13．设函数21223,0()1log ,0x x f x x x -⎧+≤=⎨->⎩，若()4f a =，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．18C ．12或18D ．1164．已知抛物线22(0)y px p =>上一动点到其准线与到点M （0，4）的距离之和的最小值为F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，则MOF ∆的内切圆半径为ABC1 D．25．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 （ ）A ．①用系统抽样，②用简单随机抽样B ．①用系统抽样，②用分层抽样C ．①用分层抽样，②用系统抽样D ．①用分层抽样，②用简单随机抽样6．若a b >，则（ ）A ．()lg 0a b ->B ．33a b <C ．a b >D ．330a b ->A ．4B ．8C ．16D ．248．若复数z 满足22i 1i z -=+ ，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i - B ．1i +C ．1i -+D ．1i -- 9．已知：0x >，0y >，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞UC ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞ 10．下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数的是（ ）A ．()1333x x y -=-B ．1233x y log x+=- C ．y ＝x ﹣1D ．y ＝tanx 11．在()82x -的二项展开式中，二项式系数的最大值为a ，含5x 项的系数为b ，则a b =（ ） A ．532 B ．532- C ．325 D ．325- 12．函数()2cos()3f x x π=-的单调递增区间是（ ）A ．42233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ B ．22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ C ．22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ D ．242233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．命题“0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________.14．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为____.15．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()31(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为______.焦点，且，则E 的离心率为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.18．已知函数()()21+ax x f x e =，（其中a R ∈,e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若12,x x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，且12x x >，求证：()()1212f x f x x x +>+. 19．（6分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A cos A +=30，27a =，b=2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求△ABD 的面积.20．（6分）已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明3()24f x a ≤--. 21．（6分）已知函数（1）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；（2）若函数()f x 有三个不同零点，求a 的取值范围.22．（8分）已知，设：实数满足 ，：实数满足．（1）若，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）【分析】①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。