2014年中考数学压轴题包括答案

备战2014中考：动态问题精华试题汇编（500套）一、选择题ABCDACP1.（2011安徽，10，4分）如图所示，P是菱形的对角线上一动点，过垂直于ACABCDMNACBDAPxy 的直线交菱形的边于、两点，设=2，=1，=，△AMN的面积为，则yx关于的函数图象的大致形状是（）A． B． C． D．【答案】C 2. （2011山东威海，12，3分）如图，ABCDABMA AB在正方形中，=3cm，动点自点出发沿方向以每秒1cm的速度运动，同时动点NAADDCCBB自点出发沿折线——以每秒3cm 的速度运动，到达点时运动同时停止，设2AMNyxyx△的面积为（cm），运动时间为（秒），则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（）【答案】B 1

3. （2011甘肃兰州，14，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是 H y y A D y y E 1 1 1 1 G -1 x O 1 O 1 O O 1 x x x B C F A． B． C． D．【答案】B

4. 二、填空题 1. 2. 3. 4.

5. 三、解答题AB1. （2011浙江省舟山，24，12分）已知直线（＜0）分别交轴、轴于、yx3OAPOAP两点，线段上有一动点由原点向点运动，速度为每秒1个单位长度，过点ABCt作轴的垂线交直线于点，设运动时间为秒．x OAQAOP（1）当时，线段上另有一动点由点向点运动，它与点以相同速度同时出发，当点到达点时

两点同时停止运动（如图1）．CQt① 直接写出＝1秒时、两点的坐标；QCAAOBt② 若以、、为顶点的三角形与△相似，求的值．32CABD（2）当时，设以为顶点的抛物线与直线的另一交点为（如4图2），CD① 求的长；CODOCt② 设△的边上的高为，当为何值时，的值最大？hh 2

yy BBCDC11PxA O x Q1OP1A（第24题图1）（第24题图2）CQ【答案】（1）①（1，2），（2，0）．PtCt－ｔQt②由题意得：(，0)，(，＋3)，(3－，0)，分两种情形讨论：AQC∽AOBAQC=AOB＝CQOA情形一：当△△时，∠∠90°，∴⊥，CPOAPQOQOPttt=∵⊥，∴点与点重合，=，即3－=，∴1.5．ACQ∽AOBACQ=AOB＝OＡOＢ＝AOB情形二：当△△时，∠∠90°，∵=3，∴△是等腰直角ACQCQOAAQ=2CPttt=三角形，∴△是等腰直角三角形，∵⊥，∴，即=2（－＋3），∴2．∴t满足条件的的值是1.5秒或2秒． 3t Ct－C (2) ①由题意得：(，＋3)，∴以为顶点的抛物线解析式是432y x t t，43332(x t t x由，解得=，=；过点作⊥于点，则∠12444DECD＝DE∥OAEDC=OABDEC∽AOB∠90°，，∴∠∠，∴△△，∴，AOBA DE BA15ｔCD∵=4，=5，=－（－）=．∴=．44AO．∴S

．∴S为定值；②∵=，边上的高=CODCOD△△165521658OChOC要使边上的高的值最大，只要最短．12OC⊥ABOCOCBCO＝AOB＝COP因为当时最短，此时的长为，∠90°，∵∠90°，∴∠5＝BOC＝OBACP⊥OARtPCO∽RtOAB90°－∠∠，又∵，∴△△，OPOC3636OC BO36∴，=，即=，∴当为秒时，的值最大．BOBA2525BA5251752AA x y x与y轴交于点，过点 2. （2011广东东莞，22，9分）如图，抛物线44BBBCxC的直线与抛物线交于另一点，过点作⊥轴，垂足为点（3，0）. 3

AB（1）求直线的函数关系式；POCOCPx（2）动点在线段上，从原点出发以每钞一个单位的速度向移动，过点作⊥轴，ABMNPtMNsst交直线于点，抛物线于点，设点移动的时间为秒，的长为个单位，求与t的函数关系式，并写出的取值范围；POGCM BN t（3）设（2）的条件下（不考虑点与点，点重合的情况），连接，，当为何值BCMNtBCMN时，四边形为平等四边形？问对于所求的的值，平行四边形是否为菱形？说明理由.

，得【解】（1）把x=0代入

，得，把x=3代入2445∴A、B两点的坐标分别（0，1）、（3，）设直线AB的解析式为，代入A、B的坐标，得，解得

所以，

和（2）把x=t分别代入到

分别得到点M、N的纵坐标为和

-（）= ∴MN=24444 4

即44∵点P在线段OC上移动，∴0≤t≤3. (3)在四边形BCMN中，∵BC∥MN ∴当BC=MN时，四边形BCMN即为平行四边形51，得由或2即当时，四边形BCMN为平行四边形当时，PC=2，PM=，PN=4，由勾股定理求得CM=BN=, 22此时BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN为菱形；当时，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=, 此时BC≠CM，平行四边形BCMN不是菱形；所以，当时，平行四边形BCMN为菱形． 3. （2011江苏扬州，28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AB0）（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；3（2）若∠ABC=60o，AB=4厘米。① 求动点Q 的运动速度；② 设Rt△APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；222（3）探求BP、PQ、CQ三者之间的数量关系，以图1为例说明理由。【答案】解：（1）△PBM与△QNM相似；∵MN⊥BC MQ⊥MP ∴∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90o ∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90o－∠C ∴△PBM∽△QNM 33（2）①∵∠ABC=60o，∠BAC =90o,AB=4,BP=t 3∴AB=BM=CM=4,MN=4 ∵△PBM∽△QNM 5

BPBMBP43∴即：NQMNNQ43∵P点的运动速度是每

秒厘米，∴Q点运动速度是每秒1厘米。② ∵AC=12,CN=8 33∴AQ=12-8+t=4+t, AP=4－t 132∴ S== 22222 （3）BP+ CQ =PQ322 证明如下：∵BP=t, ∴BP=3t 222∵CQ=8-t ∴CQ=(8-t)=64-16t+t 2222∵PQ=(4+t)+3(4-t)=4t-16t+64 222∴BP+ CQ =PQ ＞0）xoyP4. （2011山东德州23,12分）在直

角坐标系中，已知点是反比例函数xPyA图象上一个动点，以为圆心的圆

始终与轴相切，设切点为．PxKOKPA（1）如图1，⊙运动到与轴相切，

设切点为，试判断四边形的形状，并说明理由．PxBCABCP（2）如图2，

⊙运动到与轴相交，设交点为，．当四边形是菱形时：ABC①求出点，，

的坐标．1ABCMMBPABCP②在过，，三点的抛物线上是否存在点，使△

的面积是菱形面积的．若2M存在，试求出所有满足条件的点的坐标，

若不存在，试说明理由． y A 23 图1 6 P【答案】解：（1）∵⊙分别与两坐标轴相切，PAOAPKOK ∴⊥，⊥．PAOOKP∴∠=∠=90°．AOK又∵∠=90°，PAOOKPAOK∴∠=∠=∠=90°．OKPA∴四边形是矩形．OAOK又∵=，OKPA∴四边形是正方形．……………………2分23PBPx（2）①连接，设点的横坐标为，则其纵坐标为．x PPGBCG过点作⊥于． y ABCP∵四边形为菱形，BCPAPBPC∴===．PBC∴△为等边三角形．PBGPBGPBPAx 在Rt△中，∠=60°，==， P 23 M A y23x PG=．x G x O B C 23图2 PBG． sin∠=，即2xPB x解之得：=±2

（负值舍去）．3PGPAB∴=，=C=2．……………………4分OGPAPAOGBGCG易知四边形是矩形，==2，==1，OBOGBGOCOGGC∴=－=1，=+=3．3ABC∴（0，），（1，0）（3，0）．……………………6分2yaxbxc设二次函数解析式为：=++． 7

据题意得：

343解之得：=， =， =． 333432．……………………9分∴二次函数关系式为：33BPyuxv②解法一：设直线的解析式为：=+，据题意得：解之得：=，

=．∴直线的解析式为：．过点作直线

∥，则可得直线的解析式为：．解方程组：343

得：；．

过点作直线∥，则可设直线的

解析式为：．∴0=．∴．∴直线的

解析式为：．解方程组：343

得：；．

综上可知，满足条件的的坐标有四个，3383分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分 8

解法二：∵，3AC∴（0，），（3，0）显

然满足条件．APMPMPA延长交抛物线于点，由抛物线与圆的轴对称性可知，=． AMBC又∵∥，∴．3M∴点的

纵坐标为．MAMPAPM又点的横坐标为=+=2+2=4．3M∴点（4，）符合要求．83点（7，）的求法同解法一．M综上可知，满足条件的的坐标

有四个，3383分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．…………………12分APMPMPA解法三：延长交抛物线于点，由抛物线与圆的轴对称性可知，=． AMBC又∵∥，∴．3M∴点的纵坐

标为．3432即．解得：（舍），． 123M∴点的

坐标为（4，）．83点（7，）的求法同解法一． M综上可知，满足条件的

的坐标有四个，3383分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）． (12)

分12yxbxxAB5. （2011山东菏泽，21，9分）如图，抛物线＝＋－2与轴

交于，两点，与2yCA轴交于点，且(－1，0)． D（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；ABC（2）判断△的形状，证明你的结论； MmxMCMDm （3）点(，0)是轴上的一个动点，当＋的值最小时，求的值． 9

y 1 A B x O 1 C D 12Ayx bx解：（1）把点(－1，0)的坐标代入抛物线的解析式＝＋－2，23整理后解得，2132所以抛物线的解析式为．顶

点．

ACOAOCBCOCOB（2）∵=5，=＋=5，=＋=20，222ACBCABABC∴＋=．∴△是直角三角形．CxC′C′ OC′（3）作出点关于轴的对称点，则(0，2)，=2．C′DxM连接交轴于点，MCMD根据轴对称性及两点之间线段最短可知，＋的值最小．x E设抛物线的对称轴交轴于点．

C′OMDEM△∽△．∴．∴．∴=．

6. （2011山东济宁，23，10分）如图，

在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物x CC0yABBA线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，3）.

（1）求此抛物线的解析式；CABDBDB（2）过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与直线相lC切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；CPAP（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积. 10

y D A x OC B (第23题) 2y a(x【答案】（1）解：设抛物线为a a A∵抛物线经过点（0，3），∴.∴. 41122y x x x∴抛物线为. ……………………………3分44lC(2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分12x x x证明：当时，，. 12422C B∴为（2，0），为（6，0）.∴. CCE BEC AOB BD E设⊙与相切于点，连接，则ABD CBE ABO∵，∴. BAO ABO BAO CBE AOB又∵，∴.∴∽.

CEBC CE∴.…………………………6分.∴.∴OBAB21313lx Cl∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2. lC∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分ACyQP (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点. 1ACy x可求出的解析式为.…………………………………………82分112mmm m m QP设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. 24111322m m m m m

∴244211332722S S S m m m

∵, PAC PAQ PCQ2424427m∴当时，的面积最大为. 4 11

P此时，点的坐标为（3，）. …………………………………………10分4y D AE Q x OC B P(第23题)

,7. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线交轴于点，点BC F交轴于点．点是点关于点的对称点，点是线段的中点，直线过点

且与轴平行．直线过点，交轴于点．（1）求抛物线的函数表达式；xKABKCDH（2）点为线段上一动点，过点作轴的垂线与直线交于点，与抛物线交于点G HG,求线段长度的最大值；lMNACMN（3）在直线上取点，在抛物线上取点，使以点，，，为顶点的四边是平行四边N形，求点的坐标．图① 备用图【答案】解：（1）设抛物线的函数表达式∵抛物线与轴交于点，将该点坐标代入上式，得．∴所求函数表达式，即．（2）∵点是点关于点的对称点，点，点，C(5,0)C∴点的坐标是．将点的坐标是代入，得． 12

∴直线的函数表达式为．设

点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为．KAB∵点为线段上一动点，

∴．

∴．，∵∴当时，线段长度有最大值．24B(1,0)C(5,0)FBC（3）∵点是线段的中点，点，点， F(3,0)F∴点的坐标为．l y F∵直线过点且与轴平行，∴直线的函数表达式为．lMN∵点在直线上，点在抛物线上，∴设点的坐标为，点的坐标为．∵点，点，∴．分情况讨论：ACACMNMNACMN① 若线段是以点，，，为顶点的四边是平行四边形的边，则须∥，且＝AC＝8．当点在点的左侧时，．∴，解得．∴点的坐标为．当点在点的右侧时，．∴，解

得．N(11,40)N∴点的坐标为．ACACMNCAB②若线段是以点，，，为顶点的平行四边形的对角线，由“点与点关于点MNBFBPP中心对称”知：点与点关于点中心对称．取点关于点对称点，则点的坐标为 13

x PNPN．过点作⊥轴，交抛物线于点．2将代入，得． lNBNBM过点，作直线交直线于点．BPNBFM在△和△中，

∵

∴△≌△．NBMB∴＝．ANCM∴四边形点为平行四边形．N∴坐标为的点符合条件．NACMN∴当点的坐标为，，时，以点，，，为顶点的四边是平行四边形． ABCD AB x 8. （2011山东烟台，26,14分）如图，在直角坐标系中，梯形的

底边在轴416xADCDDyCBy+，点、的坐标分别为（－上，底边

的端点在轴上.直线的表达式为=－33PAABQBBCD4，0），（0，4）.动点自点出发，在上匀速运行.动点自点出发，在折线上P

匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点tOPQsOPQ运动（秒）时，△的面积为（不能构成△的动点除外）. BC（1）求出点、的坐标； st（2）

求随变化的函数关系式；ts. （3）当为何值时有最大值？并求

出最大值 y C D y C D Q x A B O x A （备用

图1） P B O 14

y C D x A B O （备用图2）416yyxx【答案】解：（1）把＝4代入＝－＋，得＝1. 33C∴点的坐标为（1，4）. 416yx当＝0时，－＋＝0，33xB∴＝4.∴点坐标为（4，0）. CMABMCMBM（2）作⊥于，则＝4，＝3. 2222BC∴＝＝＝5. CM BM CM ABC∴sin∠＝＝. 5BC QNOBN①当0＜t＜4时，作⊥于，4QNBQABC则＝2sin∠＝t. 5114282SOPQNttttt∴＝2＝（4－）3＝－＋（0＜＜4）. 22555t②当

4＜≤5时，（如备用图1），QOQPQNOBN连接，，作⊥于. 4QNt

同理可得＝. 5114282SOPQNttttt∴＝2＝3（－4）3. ＝－（4＜≤5）. 22555 15

t③当5＜≤6时，（如备用图2），QOQP连接，. 11SOPODttt＝33＝（－4）34＝2－8（5＜≤6）. 22

t（3）①在0＜＜4时，85t当＝＝2时，5825S

＝＝. 最大2852tSttt②在4＜≤5时，对于抛物线＝

－，当＝－＝2时，52882S＝32－32＝－. 最小

5552882Stt∴抛物线＝－的顶点为（2，－）. 555tSt∴在4＜≤5时，随的增大而增大. 16

282tS∴当＝5时，＝35－35＝2. 最大55t③在5＜≤6时， StSt在＝2－8中，∵2＞0，∴随的增大而增大. tS∴当＝6时，＝236－8＝4. 最大tS∴

综合三种情况，当＝6时，取得最大值，最大值是 4. OPQ（说明：（3）

中的②也可以省略，但需要说明：在（2）中的②与③的△，③中的底边OP CD OPOPQOPQ和高都大于②中的底边和高.所以③中的△面积一定大于②中的△的面积.）2y axbx+c xmm 9. （2011四川南充市，22，8分）抛物线=+与轴的交点为A（－4,0）和B(,0)，y－xpmm与直线=+相交

于点A和点C(2－4,－6). (1)求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求

点P,Q的坐标；x（3）在（2）条件下，若点M是轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。y-xp【答案】解：（1）∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线=+上

∴解得：

∴A(-1,0) B(3,0), C(2,-3) 2yaxbx+c设抛物线=+=a(x-3)(x+1), ∵C(2,-3) ∴a=1 2yxx-∴抛物线解析式为：=-23 20y-x（2）AC=3,AC所在直线的解析式为：=-1，∠BAC=45 ∵平行四边形ACQP的面积为12. 122∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2 322过点D作DK⊥AC与PQ所在直

线相交于点K,DK= 2,∴DN=4 ∵ACPQ,PQ所在直线在直线ACD的两侧，可

能各有一条，y-xy-x∴PQ的解析式或为=+3或=-5

∴解得：或

，此方程组无解.

即P(3,0), P(-2,5) 12∵ACPQ是平行四边形，A(-1,0) C(2,-3) ∴当P(3,0)时，Q(6，-3) 当P(-2,5)时，Q(1，2) ∴满足条件的P,Q点是P(3,0), Q(6，-3)或P(-2,5)，Q(1，2) 11222ttt-（1）设M(,-23),(-1＜t＜3),过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T,则T(t,-t+3) 22tt- tt+MT=(-t+3)-(-23)=-+6 过点M作MS⊥PQ 所在直线于点S，125222222tt+MS=MT= (-+6)=- (t-)+ 28222 1115252时，M（，-），⊿PQM中PQ边上高的最大值为∴当t= 2248y O x BADC OACBDAC10．（2011 浙江杭州，24， 12)图形既关于点中心对称，又关于直线，对称，＝BDEMABOEFMN10，＝6，已知点，是线段上的动点(不与端点重合)，点到，的距离分OEFOGHhh别为，．△与△组成的图形称为蝶形．12S(1)求蝶形面积的最大值；EHMQhhh(2)当以为直径的圆与以为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的121取值范围． 18

，，【答案】(1) 如图，设EF与AC交于点K，由△OEF∽△ABD，得AOBD，，整理得，当时，蝶形面积S的最大，最大值为．如图，设MN与AC交

于点L，由(1)得，则，112555

由OK+EK＝OE，OL+ML

＝OM，得OK+EK＝OL+ML，，

整理得，当

点E，M不重合时，，．当OE⊥AB时，，所以

）当点重合时，则，此时的取值范围为. 1211 ABCD解法二：（1）由题意，得四边形是菱形.

由，得，，即

所以当时，. （2）根据

题意，得R如图，作于，关于对称线段为， 19

RE RM OR E,MOE,OM）当点不重合时，则在的两侧，易知. 1B15E

，R34M

由，得

，即

，此时的取值范围为且

）当点重合时，则，此时的取值范围为. 1211 20