数学七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷(带答案)-百度文库
数学七年级上册数学 压轴题 期末复习试卷(带答案)-百度文库
一、压轴题
1.小刚运用本学期的知识,设计了一个数学探究活动.如图1,数轴上的点M ,N 所表示的数分别为0,12.将一枚棋子放置在点M 处,让这枚棋子沿数轴在线段MN 上往复运动(即棋子从点M 出发沿数轴向右运动,当运动到点N 处,随即沿数轴向左运动,当运动到点M 处,随即沿数轴向右运动,如此反复?).并且规定棋子按照如下的步骤运动:第1步,从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处;第2步,从点1Q 继续运动2t 单位长度至点
2Q 处;第3步,从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如:当3t =时,点1Q 、2Q 、3Q 的位置如图2所示.
解决如下问题:
(1)如果4t =,那么线段13Q Q =______;
(2)如果4t <,且点3Q 表示的数为3,那么t =______; (3)如果2t ≤,且线段242Q Q =,那么请你求出t 的值.
2.阅读理解:如图①,若线段AB 在数轴上,A 、B 两点表示的数分别为a 和b (b a >),则线段AB 的长(点A 到点B 的距离)可表示为AB=b a -.
请用上面材料中的知识解答下面的问题:如图②,一个点从数轴的原点开始,先向左移动2cm 到达P 点,再向右移动7cm 到达Q 点,用1个单位长度表示1cm .
(1)请你在图②的数轴上表示出P ,Q 两点的位置;
(2)若将图②中的点P 向左移动x cm ,点Q 向右移动3x cm ,则移动后点P 、点Q 表示的数分别为多少?并求此时线段PQ 的长.(用含x 的代数式表示);
(3)若P 、Q 两点分别从第⑴问标出的位置开始,分别以每秒2个单位和1个单位的速度同时向数轴的正方向运动,设运动时间为t (秒),当t 为多少时PQ=2cm ?
3.如图,在数轴上的A 1,A 2,A 3,A 4,……A 20,这20个点所表示的数分别是a 1,a 2,a 3,a 4,……a 20.若A 1A 2=A 2A 3=……=A 19A 20,且a 3=20,|a 1﹣a 4|=12.
(1)线段A 3A 4的长度= ;a 2= ; (2)若|a 1﹣x |=a 2+a 4,求x 的值;
(3)线段MN 从O 点出发向右运动,当线段MN 与线段A 1A 20开始有重叠部分到完全没有重叠部分经历了9秒.若线段MN =5,求线段MN 的运动速度. 4.综合试一试
(1)下列整数可写成三个非0整数的立方和:45=_____;2=______.
(2)对于有理数a ,b ,规定一种运算:2a b a ab ?=-.如2121121?=-?=-,则计算()()532-??-=????______. (3)a 是不为1的有理数,我们把
11a
-称为a 的差倒数.如:2的差倒数是1
112=--,1-的差倒数是()
11
112=--.已知12a =,2a 是1a 的差倒数,3a 是2a 的差倒数,4a 是3
a 的差倒数,……,以此类推,122500a a a ++???+=______.
(4)10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分.若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是_____分. (5)在数1.2.3...2019前添加“+”,“-”并依次计算,所得结果可能的最小非负数是______
(6)早上8点钟,甲、乙、丙三人从东往西直行,乙在甲前400米,丙在乙前400米,甲、乙、丙三人速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟,问:______分钟后甲和乙、丙的距离相等.
5.如图,从左到右依次在每个小方格中填入一个数,使得其中任意三个相邻方格中所填数之和都相等. 6
a
b
x
-1
-2 ...
(1)可求得 x =______,第 2021 个格子中的数为______; (2)若前 k 个格子中所填数之和为 2019,求 k 的值;
(3)如果m ,n 为前三个格子中的任意两个数,那么所有的|m -n | 的和可以通过计算|6-a |+|6-b|+|a -b|+|a -6| +|b -6|+|b -a| 得到.若m ,n 为前8个格子中的任意两个数,求所有的|m-n|的和.
6.已知:OC 平分AOB ∠,以O 为端点作射线OD ,OE 平分AOD ∠. (1)如图1,射线OD 在AOB ∠内部,BOD 82∠=?,求COE ∠的度数. (2)若射线OD 绕点O 旋转,BOD α∠=,(α为大于AOB ∠的钝角),
COE β∠=,其他条件不变,在这个过程中,探究α与β之间的数量关系是否发生变化,
请补全图形并加以说明.
7.如图1,线段AB的长为a.
(1)尺规作图:延长线段AB到C,使BC=2AB;延长线段BA到D,使AD=AC.(先用尺规画图,再用签字笔把笔迹涂黑.)
(2)在(1)的条件下,以线段AB所在的直线画数轴,以点A为原点,若点B对应的数恰好为10,请在数轴上标出点C,D两点,并直接写出C,D两点表示的有理数,若点M 是BC的中点,点N是AD的中点,请求线段MN的长.
(3)在(2)的条件下,现有甲、乙两个物体在数轴上进行匀速直线运动,甲从点D处开始,在点C,D之间进行往返运动;乙从点N开始,在N,M之间进行往返运动,甲、乙同时开始运动,当乙从M点第一次回到点N时,甲、乙同时停止运动,若甲的运动速度为每秒5个单位,乙的运动速度为每秒2个单位,请求出甲和乙在运动过程中,所有相遇点对应的有理数.
8.如图,数轴上点A表示的数为4
-,点B表示的数为16,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向
左匀速运动.设运动时间为t秒(t0)
>.
()1A,B两点间的距离等于______,线段AB的中点表示的数为______;
()2用含t的代数式表示:t秒后,点P表示的数为______,点Q表示的数为______;()3求当t为何值时,1
PQ AB
2
=?
()4若点M为PA的中点,点N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变请直接写出线段MN的长.
9.结合数轴与绝对值的知识解决下列问题:
探究:数轴上表示4和1的两点之间的距离是____,表示-3和2两点之间的距离是
____;
结论:一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于∣m-n∣.
直接应用:表示数a和2的两点之间的距离等于____,表示数a和-4的两点之间的距离等于____;
灵活应用:
(1)如果∣a+1∣=3,那么a=____;
(2)若数轴上表示数a的点位于-4与2之间,则∣a-2∣+∣a+4∣=_____;
(3)若∣a-2∣+∣a+4∣=10,则a =______; 实际应用:
已知数轴上有A 、B 、C 三点,分别表示-24,-10,10,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行,甲的速度为4个单位长度/秒,乙的速度为6个单位长度/秒.
(1)两只电子蚂蚁分别从A 、C 两点同时相向而行,求甲、乙数轴上相遇时的点表示的数。 (2)求运动几秒后甲到A 、B 、C 三点的距离和为40个单位长度? 10.已知线段30AB cm =
(1)如图1,点P 沿线段AB 自点A 向点B 以2/cm s 的速度运动,同时点Q 沿线段点B 向点A 以3/cm s 的速度运动,几秒钟后,P Q 、两点相遇? (2)如图1,几秒后,点P Q 、两点相距10cm ?
(3)如图2,4AO cm =,2PO cm =,当点P 在AB 的上方,且060=∠POB 时,点P 绕着点O 以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止,同时点Q 沿直线BA 自B 点向
A 点运动,假若点P Q 、两点能相遇,求点Q 的运动速度.
11.从特殊到一般,类比等数学思想方法,在数学探究性学习中经常用到,如下是一个具体案例,请完善整个探究过程。
已知:点C 在直线AB 上,AC a =,BC b =,且a b ,点M 是AB 的中点,请按照
下面步骤探究线段MC 的长度。 (1)特值尝试
若10a =,6b =,且点C 在线段AB 上,求线段MC 的长度. (2)周密思考:
若10a =,6b =,则线段MC 的长度只能是(1)中的结果吗?请说明理由. (3)问题解决
类比(1)、(2)的解答思路,试探究线段MC 的长度(用含a 、b 的代数式表示). 12.如图,在数轴上从左往右依次有四个点,,,A B C D ,其中点,,A B C 表示的数分别是
0,3,10,且2CD AB =.
(1)点D 表示的数是 ;(直接写出结果)
(2)线段AB 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动,同时线段CD 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动,设运动时间是t (秒),当两条线段重叠部分是2个单位长度时. ①求t 的值;
②线段AB 上是否存在一点P ,满足3BD PA PC -=?若存在,求出点P 表示的数x ;若不存在,请说明理由.
13.如图,数轴上有A 、B 、C 三个点,它们表示的数分别是25-、10-、10.
(1)填空:AB = ,BC = ;
(2)现有动点M 、N 都从A 点出发,点M 以每秒2个单位长度的速度向右移动,当点M 移动到B 点时,点N 才从A 点出发,并以每秒3个单位长度的速度向右移动,求点N 移动多少时间,点N 追上点M ?
(3)若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B 和点C 分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动.试探索:BC -AB 的值是否随着时间的变化而改变?请说明理由.
14.如图,A 、B 、P 是数轴上的三个点,P 是AB 的中点,A 、B 所对应的数值分别为-20和40.
(1)试求P 点对应的数值;若点A 、B 对应的数值分别是a 和b ,试用a 、b 的代数式表示P 点在数轴上所对应的数值;
(2)若A 、B 、P 三点同时一起在数轴上做匀速直线运动,A 、B 两点相向而行,P 点在动点A 和B 之间做触点折返运动(即P 点在运动过程中触碰到A 、B 任意一点就改变运动方向,向相反方向运动,速度不变,触点时间忽略不计),直至A 、B 两点相遇,停止运动.如果A 、B 、P 运动的速度分别是1个单位长度/s ,2个单位长度/s ,3个单位长度/s ,设运动时间为t .
①求整个运动过程中,P 点所运动的路程.
②若P 点用最短的时间首次碰到A 点,且与B 点未碰到,试写出该过程中,P 点经过t 秒钟后,在数轴上对应的数值(用含t 的式子表示);
③在②的条件下,是否存在时间t ,使P 点刚好在A 、B 两点间距离的中点上,如果存在,请求出t 值,如果不存在,请说明理由.
15.如图所示,已知数轴上A ,B 两点对应的数分别为-2,4,点P 为数轴上一动点,其对应的数为x .
(1)若点P 到点A ,B 的距离相等,求点P 对应的数x 的值.
(2)数轴上是否存在点P ,使点P 到点A ,B 的距离之和为8?若存在,请求出x 的值;若不存在,说明理由.
(3)点A ,B 分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动,同时点P 以5个单位长度/分的速度从O 点向左运动.当遇到A 时,点P 立即以同样的速度向右运动,并不
停地往返于点A 与点B 之间.当点A 与点B 重合时,点P 经过的总路程是多少?
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一、压轴题
1.(1)4;(2)12或72;(3)27或2213
或2 【解析】 【分析】
(1)根据题目得出棋子一共运动了t+2t+3t=6t 个单位长度,当t=4时,6t=24,为MN 长度的整的偶数倍,即棋子回到起点M 处,点3Q 与M 点重合,从而得出13Q Q 的长度.
(2)根据棋子的运动规律可得,到3Q 点时,棋子运动运动的总的单位长度为6t,,因为t<4,由(1)知道,棋子运动的总长度为3或12+9=21,从而得出t 的值.
(3)若t 2,≤则棋子运动的总长度10t 20≤,可知棋子或从M 点未运动到N 点或从N 点返回运动到2Q 的左边或从N 点返回运动到2Q 的右边三种情况可使242Q Q = 【详解】
解:(1)∵t+2t+3t=6t, ∴当t=4时,6t=24, ∵24122=?, ∴点3Q 与M 点重合, ∴134Q Q =
(2)由已知条件得出:6t=3或6t=21, 解得:1t 2=
或7t 2= (3)情况一:3t+4t=2, 解得:2t 7=
情况二:点4Q 在点2Q 右边时:3t+4t+2=2(12-3t) 解得:22t 13
=
情况三:点4Q 在点2Q 左边时:3t+4t-2=2(12-3t) 解得:t=2.
综上所述:t 的值为,2或27或2213
. 【点睛】
本题是一道探索动点的运动规律的题目,考查了学生数形结合的能力,探索规律的能力,用一元一次方程解决问题的能力.最后要注意分多种情况讨论.
2.(1)见详解;(2)2x --,53x +,47x +;(3)当运动时间为5秒或9秒时,PQ=2cm. 【解析】 【分析】
(1)根据数轴的特点,所以可以求出点P ,Q 的位置; (2)根据向左移动用减法,向右移动用加法,即可得到答案;
(3)根据题意,可分为两种情况进行分析:①点P 在点Q 的左边时;②点P 在点Q 的右边时;分别进行列式计算,即可得到答案. 【详解】
解:(1)如图所示:
.
(2)由(1)可知,点P 为2-,点Q 为5;
∴移动后的点P 为:2x --;移动后的点Q 为:53x +; ∴线段PQ 的长为:53(2)47x x x +---=+; (3)根据题意可知, 当PQ=2cm 时可分为两种情况: ①当点P 在点Q 的左边时,有
(21)72t -=-,
解得:5t =;
②点P 在点Q 的右边时,有
(21)72t -=+,
解得:9t =;
综上所述,当运动时间为5秒或9秒时,PQ=2cm. 【点睛】
本题要是把方程和数轴结合起来,既要根据条件列出方程,又要把握数轴的特点.解题的关键是熟练掌握数轴上的动点运动问题,注意分类讨论进行解题.
3.(1)4,16;(2)x =﹣28或x =52;(3)线段MN 的运动速度为9单位长度/秒. 【解析】 【分析】
(1)由A 1A 2=A 2A 3=……=A 19A 20结合|a 1﹣a 4|=12可求出A 3A 4的值,再由a 3=20可求出a 2=16;
(2)由(1)可得出a 1=12,a 2=16,a 4=24,结合|a 1﹣x|=a 2+a 4可得出关于x 的含绝对值符号的一元一次方程,解之即可得出结论;
(3)由(1)可得出A 1A 20=19A 3A 4=76,设线段MN 的运动速度为v 单位/秒,根据路程
=速度×时间(类似火车过桥问题),即可得出关于v的一元一次方程,解之即可得出结论.
【详解】
解:(1)∵A1A2=A2A3=……=A19A20,|a1﹣a4|=12,
∴3A3A4=12,
∴A3A4=4.
又∵a3=20,
∴a2=a3﹣4=16.
故答案为:4;16.
(2)由(1)可得:a1=12,a2=16,a4=24,
∴a2+a4=40.
又∵|a1﹣x|=a2+a4,
∴|12﹣x|=40,
∴12﹣x=40或12﹣x=﹣40,
解得:x=﹣28或x=52.
(3)根据题意可得:A1A20=19A3A4=76.
设线段MN的运动速度为v单位/秒,
依题意,得:9v=76+5,
解得:v=9.
答:线段MN的运动速度为9单位长度/秒.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点间的距离以及规律性:图形的变化类,解题的关键是:(1)由相邻线段长度相等求出线段A3A4的长度及a2的值;(2)由(1)的结论,找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程;(3)找准等量关系,正确列出一元一次方程.
4.(1)23+(-3)3+43,73+(-5)3+(-6)3;(2)100;(3)2503
2
;(4)9.38;(5)0;(6)
24或40
【解析】
【分析】
(1)把45分解为2、-3、4三个整数的立方和,2分解为7、-5、-6三个整数的立方和即可的答案;(2)按照新运算法则,根据有理数混合运算法则计算即可得答案;(3)根据差倒数的定义计算出前几项的值,得出规律,计算即可得答案;(4)根据精确到十分位得9.4分可知平均分在9.35到9.44之间,可求出总分的取值范围,根据裁判打分是整数即可求出8个裁判给出的总分,再计算出平均分,精确到百分位即可;(5)由1+2-3=0,连续4个自然数通过加减运算可得0,列式计算即可得答案;(6)根据题意得要使甲和乙、甲和丙的距离相等就可以得出甲在乙、丙之间,设x分钟后甲和乙、甲和丙的距离相等,就有甲走的路程-乙走的路程-400=丙走的路程+800-甲走的路程建立方程求出其解,就可以得出结论.当乙追上丙时,甲和乙、丙的距离相等,求出乙追上丙的时间即可.综上即可的答
案. 【详解】
(1)45=23+(-3)3+43,2=73+(-5)3+(-6)3, 故答案为23+(-3)3+43,73+(-5)3+(-6)3 (2)∵2a b a ab ?=-,
∴()()532-??-=????(-5)?[32
-3×(-2)]
=(-5)?15 =(-5)2-(-5)×15 =100. (3)∵a 1=2, ∴a 2=1
112
=--, a 3=
11(1)--=1
2
,
41
2
112
a =
=-
a 5=-1 ……
∴从a 1开始,每3个数一循环, ∵2500÷3=833……1, ∴a 2500=a 1=2,
∴122500a a a ++???+=833×(2-1+
1
2)+2=25032
. (4)∵10个裁判打分,去掉一个最高分,再去掉一个最低分, ∴平均分为中间8个分数的平均分, ∵平均分精确到十分位的为9.4, ∴平均分在9.35至9.44之间, 9.35×8=74.8,9.44×8=75.52,
∴8个裁判所给的总分在74.8至75.52之间, ∵打分都是整数, ∴总分也是整数, ∴总分为75,
∴平均分为75÷8=9.375, ∴精确到百分位是9.38. 故答案为9.38
(5)2019÷4=504……3,
∵1+2-3=0,4-5-6+7=0,8-9-10+11=0,…… ∴(1+2-3)+(4-5-6+7)+……+(2016-2017-2018+2019)=0
∴所得结果可能的最小非负数是0,
故答案为0
(6)设x分钟后甲和乙、丙的距离相等,
∵乙在甲前400米,丙在乙前400米,速度分别为120米/分钟、100米/分钟、90米/分钟,
∴120x-400-100x=90x+800-120x
解得:x=24.
∵当乙追上丙时,甲和乙、丙的距离相等,
∴400÷(100-90)=40(分钟)
∴24分钟或40分钟时甲和乙、丙的距离相等.
故答案为24或40.
【点睛】
本题考查数字类的变化规律、有理数的混合运算、近似数及一元一次方程的应用,熟练掌握相关知识是解题关键.
5.(1)6,-1;(2)2019或2014;(3)234
【解析】
【分析】
(1)根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、x的值,再根据第9个数是-2可得
b=-2,然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环,在用2021除以3,根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解.
(2)可先计算出这三个数的和,再照规律计算.
(3)由于是三个数重复出现,因此可用前三个数的重复多次计算出结果.
【详解】
(1)∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,∴6+a+b=a+b+x,解得x=6,a+b+x=b+x-1,∴a=-1,所以数据从左到右依次为6、-1、b、6、-1、b,第9个数与第三个数相同,即b=-2,所以每3个数“6、-1、-2”为一个循环组依次循环.
∵2021÷3=673…2,∴第2021个格子中的整数与第2个格子中的数相同,为-1.
故答案为:6,-1.
(2)∵6+(-1)+(-2)=3,∴2019÷3=673.
∵前k个格子中所填数之和可能为2019,2019=673×3或2019=671×3+6,∴k的值为:673×3=2019或671×3+1=2014.
故答案为:2019或2014.
(3)由于是三个数重复出现,那么前8个格子中,这三个数中,6和-1都出现了3次,-2出现了2次.
故代入式子可得:(|6+2|×2+|6+1|×3)×3+(|-1-6|×3+|-1+2|×2)×3+(|-2-6|×3+|-2+1|×3)×2=234.
【点睛】
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,规律推导的运用,此类题的关键是找出是按什么规律变化的,然后再按规律找出字母所代表的数,再进行进一步的计算.
6.(1)41°;(2)见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据角平分线的定义可得12AOC AOB ∠∠=,1
2
AOE AOD ∠∠=,进而可得∠COE=
()1
2
AOB AOD ∠∠-,即可得答案;(2)分别讨论OA 在∠BOD 内部和外部的情况,根据求得结果进行判断即可. 【详解】
(1)∵射线OC 平分AOB ∠、射线OE 平分AOD ∠, ∴12AOC AOB ∠∠=
,1
2
AOE AOD ∠∠=, ∴COE AOC AOE ∠∠∠=-
=
11
22AOB AOD ∠∠- =()1
2
AOB AOD ∠∠- =
1
2BOD ∠ =01822? =41°
(2)α与β之间的数量关系发生变化,
如图,当OA 在BOD ∠内部,
∵射线OC 平分AOB ∠、 射线OE 平分AOD ∠,
∴11
O ,22
AOC A B AOE AOD ∠∠∠∠=
=, ∴COE AOC AOE β∠∠∠==+
=
11
22AOB AOD ∠∠+ =()1
2AOB AOD ∠∠+ =12
α
如图,当OA 在BOD ∠外部,
∵射线OC 平分AOB ∠、射线OE 平分AOD ∠,
∴11
,22
AOC AOB AOE AOD ∠∠∠∠==, ∴COE AOC AOE β∠∠∠==+
=11
22
AOB AOD ∠∠=+ =
()1
2AOB AOD ∠∠+ =()0
13602
BOD ∠- =
()
01
3602
α- =0
11802
α-
∴α与β之间的数量关系发生变化. 【点睛】
本题考查角平分线的定义,正确作图,熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键.
7.(1)详见解析;(2)35;(3)﹣5、15、1123、﹣767
. 【解析】 【分析】
(1)根据尺规作图的方法按要求做出即可;
(2)根据中点的定义及线段长度的计算求出;
(3)认真分析甲、乙物体运行的轨迹来判断它们相遇的可能性,分情况建立一元一次方程来计算相遇的时间,然后计算出位置.
【详解】
解:(1)如图所示;
(2)根据(1)所作图的条件,如果以点A为原点,若点B对应的数恰好为10,则有
点C对应的数为30,点D对应的数为﹣30,MN=|20﹣(﹣15)|=35
(3)设乙从M点第一次回到点N时所用时间为t,则
t=2235
22
MN?
==35(秒)
那么甲在总的时间t内所运动的长度为
s=5t=5×35=175
可见,在乙运动的时间内,甲在C,D之间运动的情况为
175÷60=2……55,也就是说甲在C,D之间运动一个来回还多出55长度单位.①设甲乙第一次相遇时的时间为t1,有
5t1=2t1+15,t1=5(秒)
而﹣30+5×5=﹣5,﹣15+2×5=﹣5
这时甲和乙所对应的有理数为﹣5.
②设甲乙第二次相遇时的时间经过的时间t2,有
5t2+2t2=25+30+5+10,t2=10(秒)
此时甲的位置:﹣15×5+60+30=15,乙的位置15×2﹣15=15
这时甲和乙所对应的有理数为15.
③设甲乙第三次相遇时的时间经过的时间t3,有
5t3﹣2t3=20,t3=20
3
(秒)
此时甲的位置:30﹣(5×20
3
﹣15)=11
2
3
,乙的位置:20﹣(2×
20
3
﹣5)=11
2
3
这时甲和乙所对应的有理数为112 3
④从时间和甲运行的轨迹来看,他们可能第四次相遇.设第四次相遇时经过的时间为t4,有
5t4﹣112
3
﹣30﹣15+2t4=11
2
3
,t4=9
16
21
(秒)
此时甲的位置:5×916
21
﹣45﹣11
2
3
=﹣7
6
7
,乙的位置:11
2
3
﹣2×9
16
21
=﹣7
6
7
这时甲和乙所对应的有理数为﹣76
7
.
四次相遇所用时间为:5+10+203+91621=3137(秒),剩余运行时间为:35﹣3137=347
(秒)
当时间为35秒时,乙回到N 点停止,甲在剩余的时间运行距离为5×347=525
7
?=17
6
7
. 位置在﹣767+176
7
=10,无法再和乙相遇,故所有相遇点对应的有理数为﹣5、15、11
23、﹣767
.
【点睛】
本题考查数轴作图及线段长度计算的基础知识,重要的是两个点在数轴上做复杂运动时的运动轨迹和相遇的位置,具有比较大的难度.正确分析出可能相遇的情况并建立一元一次方程是解题的关键.
8.(1)20,6;(2)43t -+,162t -;(3)t 2=或6时;(4)不变,10,理由见解析. 【解析】 【分析】
(1)由数轴上两点距离先求得A ,B 两点间的距离,由中点公式可求线段AB 的中点表示的数;
(2)点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动同时点Q 从点B 出发,向右为正,所以-4+3t ;
Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动,向左为负,16-2t.
(3)由题意,1
PQ AB 2
=表示出线段长度,可列方程求t 的值; (4)由线段中点的性质可求MN 的值不变. 【详解】
解:()
1点A 表示的数为4-,点B 表示的数为16,
A ∴,
B 两点间的距离等于41620--=,线段AB 的中点表示的数为
416
62
-+= 故答案为20,6
()
2点P 从点A 出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,
∴点P 表示的数为:43t -+,
点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动,
∴点Q 表示的数为:162t -,
故答案为43t -+,162t -
()
13PQ AB 2
=
()43t 162t 10∴-+--=
t 2∴=或6
答:t 2=或6时,1
PQ AB 2
=
()4线段MN 的长度不会变化,
点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点,
1PM PA 2∴=
,1
PN PB 2
= ()1
MN PM PN PA PB 2
∴=-=- 1
MN AB 102
∴=
= 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,数轴上两点之间的距离,找到正确的等量关系列出方程是本题的关键.
9.探究:3;5;直接应用:∣a-2∣,∣a+4∣;灵活应用(1)2或-4;(2)6;(3)-6或4;实际应用:(1)甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是-10.4;(2)运动2秒或5秒后甲到A 、B 、C 三点的距离和为40个单位长度. 【解析】 【分析】
利用数轴上两点间的距离公式、绝对值的意义、行程问题的基本数量关系,以及数轴直观解决问题即可. 【详解】
探究:4-1=3;2-(-3)=5. 直接应用:∣a -2∣,∣a +4∣; 灵活应用:
(1)a +1=±3,a =3-1=2或a =-3-1=-4,∴a =2或-4;
(2)∵数轴上表示数a 的点位于-4与2之间,∴a -2<0,a +4>0,∴原式=2-a +a +4=6; (3)由(2)可知,a <-4或a >2.分两种情况讨论: ①当a <-4时,方程变为:2-a -(a +4)=10,解得:a =-6; ②当a >2时,方程变为:a -2+(a +4)=10,解得:a =4; 综上所述:a 的值为-6或4. 实际应用:
(1)设x 秒后甲与乙相遇,则: 4x +6x =34
解得:x =3.4,4×3.4=13.6,﹣24+13.6=﹣10.4. 故甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是﹣10.4;
(2)设y 秒后甲到A ,B ,C 三点的距离之和为40个单位,B 点距A ,C 两点的距离为14+20=34<40,A 点距B 、C 两点的距离为14+34=48>40,C 点距A 、B 的距离为34+20=54>40,故甲应为于AB 或BC 之间.
①AB 之间时:4y +(14﹣4y )+(14﹣4y +20)=40 解得:y =2;
②BC 之间时:4y +(4y ﹣14)+(34﹣4y )=40 解得:y =5.
答:运动2秒或5秒后甲到A 、B 、C 三点的距离和为40个单位长度. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.
10.(1)6秒钟;(2)4秒钟或8秒钟;(3)点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s . 【解析】 【分析】
(1)设经过ts 后,点P Q 、相遇,根据题意可得方程2330t t +=,解方程即可求得t 值;(2)设经过xs ,P Q 、两点相距10cm ,分相遇前相距10cm 和相遇后相距10cm 两种情况求解即可;(3)由题意可知点P Q 、只能在直线AB 上相遇,由此求得点Q 的速度即可. 【详解】
解:(1)设经过ts 后,点P Q 、相遇. 依题意,有2330t t +=, 解得:6t =.
答:经过6秒钟后,点P Q 、相遇;
(2)设经过xs ,P Q 、两点相距10cm ,由题意得
231030x x ++=或231030x x +-=, 解得:4x =或8x =.
答:经过4秒钟或8秒钟后,P Q 、两点相距10cm ;
(3)点P Q 、只能在直线AB 上相遇,
则点P 旋转到直线AB 上的时间为:()120430s =或()120180
1030
s +=, 设点Q 的速度为/ycm s ,则有4302y =-,
解得:7y =; 或10306y =-, 解得 2.4y =,
答:点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s .
【点睛】
本题考查了一元一次方程的综合应用解决第(2)(3)问都要分两种情况进行讨论,注意不要漏解.
11.(1)2(2)8或2;(3)见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据线段之间的和差关系求解即可;
(2)由于B点的位置不能确定,故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论;
(3)由(1)(2)可知MC=1
2
(a+b)或
1
2
(a-b).
【详解】
解:解:(1)∵AC=10,BC=6,∴AB=AC+BC=16,
∵点M是AB的中点,
∴AM=1
2
AB
∴MC=AC-AM=10-8=2.
(2)线段MC的长度不只是(1)中的结果,
由于点B的位置不能确定,故应分当B点在线段AC的上和当B点在线段AC的延长线上两种情况:
①当B点在线段AC上时,
∵AC=10,BC=6,
∴AB=AC-BC=4,
∵点M是AB的中点,
∴AM=1
2
AB=2,
∴MC=AC-AM=10-2=8.
②当B点在线段AC的延长线上,
此时MC=AC-AM=10-8=2.
(3)由(1)(2)可知MC=AC-AM=AC-1
2
AB 因为当B点在线段AC的上,AB=AC-BC,
故MC=AC-1
2
(AC-BC)=
1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(a+b)
当B点在线段AC的延长线上,AB=AC+BC,
故MC=AC-1
2
(AC+BC)=1
2
AC-
1
2
BC=
1
2
(a-b)
【点睛】
主要考察两点之间的距离,但是要注意题目中的点不确定性,需要分情况讨论. 12.(1)16;(2)①t 的值为3或143秒;②存在,P 表示的数为31
4
. 【解析】 【分析】
(1)由数轴可知,AB=3,则CD=6,所以D 表示的数为16,
(2)①当运动时间是t 秒时,在运动过程中,B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t, C 点表示的数为10-t ,D 点表示的数为16-t ,分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可;②分情况讨论当t=3秒, t=14
3
秒时,满足3BD PA PC -=的点P , 注意P 为线段AB 上的点对x 的值的限制. 【详解】 (1)16
(2)①在运动过程中,B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t,C 点表示的数为10-t ,D 点表示的数为16-t.
当BC =2,点B 在点C 的右边时, 由题意得:32-10-2BC t t =+=(), 解得:t =3,
当AD=2,点A 在点D 的左边时, 由题意得:16--22AD t t ==, 解得:t =
143
. 综上,t 的值为3或143
秒 ②存在,理由如下:
当t=3时,A 点表示的数为6,B 点表示的数为9,C 点表示的数为7,D 点表示的数为13. 则13-94-6|-7|BD PA x PC x ====,,,
-3BD PA PC =,
()4--6|-7|x x ∴=,
解得:314x =或112
, 又
P 点在线段AB 上,则69x ≤≤ 314x ∴=.
当143t =时,A 点表示的数为
283,B 点表示的数为373,C 点表示的数为16
3,D 点表示的数为343
.
则37343816-1-|-|3333BD PA x PC x =
===,,, -3BD PA PC =,
∴ 2816
1--
|-|33
x x ??= ??
?, 解得:7912x =或
17
6
, 又
283733x ≤≤, x ∴无解
综上,P 表示的数为31
4
. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及数轴,解题的关键是:(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t 秒时点A 、B 、C 、D 所表示的数,(2)根据3BD PA PC -=列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程.
13.(1) AB =15,BC =20;(2) 点N 移动15秒时,点N 追上点M;(3) BC -AB 的值不会随着时间的变化而改变,理由见解析 【解析】 【分析】
(1)根据数轴上点的位置求出AB 与BC 的长即可,
(2)不变,理由为:经过t 秒后,A 、B 、C 三点所对应的数分别是-24-t ,-10+3t ,10+7t ,表示出BC ,AB ,求出BC-AB 即可做出判断,
(3)经过t 秒后,表示P 、Q 两点所对应的数,根据题意列出关于t 的方程,求出方程的解得到t 的值,分三种情况考虑,分别求出满足题意t 的值即可. 【详解】
解:(1)AB =15,BC =20,
(2)设点N 移动x 秒时,点N 追上点M ,由题意得:
15322x x ?
?=+ ??
?,
解得15x =,
答:点N 移动15秒时,点N 追上点M .
(3)设运动时间是y 秒,那么运动后A 、B 、C 三点表示的数分别是
25y --、103y -+、107y +,
∴BC ()()107103204y y y =+--+=+,AB ()()10325154y y y =-+---=+,
∴BC -AB ()()2041545y y =+-+=, ∴BC -AB 的值不会随着时间的变化而改变. 【点睛】
本题主要考查了整式的加减,数轴,以及两点间的距离,解决本题的关键是要熟练掌握行程问题中等量关系和数轴上点,
14.(1)10,(a+b);(2)①60个单位长度;②10-3t ,0≤t≤7.5;③不存在,理由见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据数轴上两点间的距离公式结合A 、B 两点表示的数,即可得出结论; (2) ①点P 运动的时间与A 、B 相遇所用时间相等,根据路程=速度×时间即可求得; ②由P 点用最短的时间首次碰到A 点,且与B 点未碰到,可知开始时点P 是和点A 相向而行的;
③点P 与点A 的距离越来越小,而点P 与点B 的距离越来越大,不存在PA=PB 的时候. 【详解】
解:(1)∵A 、B 所对应的数值分别为-20和40, ∴AB=40-(-20)=60, ∵P 是AB 的中点, ∴AP=
60=30,
∴点P 表示的数是-20+30=10;
∵如图,点A 、B 对应的数值分别是a 和b , ∴AB=b-a , ∵P 是AB 的中点, ∴AP=(b-a)
∴点P 表示的数是a+(b-a) =(a+b). (2)①点A 和点B 相向而行,相遇的时间为=20(秒),此即整个过程中点P 运动的
时间.
所以,点P 的运动路程为3×20=60(单位长度),故答案是60个单位长度.
②由P 点用最短的时间首次碰到A 点,且与B 点未碰到,可知开始时点P 是和点A 相向而行的.所以这个过程中0≤t≤7.5.P 点经过t 秒钟后,在数轴上对应的数值为10-3t . 故答案是:10-3t ,0≤t≤7.5. ③不存在.
由②可知,点P 是和点A 相向而行的,整个过程中,点P 与点A 的距离越来越小,而点P 与点B 的距离越来越大,所以不存在相等的时候.
故答案为:(1)10,(a+b);(2)①60个单位长度;②10-3t ,0≤t≤7.5;③不存在,理由