2018年北京昌平高三二模数学(文)试题及答案word版
昌平区2018年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科) 2018.5本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集U =R ,集合A ={x ∣x > 1或x <1- }，则U A =ð A. (,1)(1,)-∞-+∞ B. (,1][1,)-∞-+∞ C. (1,1)- D. [1,1]-2．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是 A. 1y x=B. 3y x =C. sin y x =D. lg y x =3. 在平面直角坐标系中，不等式组0,10,0x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A. 1B. 12C. 14D. 184. 设0.21()2a =，2log 3b =，0.32c -=，则A.b c a>> B. a b c >>C. b a c>>D.a cb >>5. 执行如图所示的程序框图，若输入 x 值满足24x -<≤，则输出y 值的取值范围是A. [3,2]-B. [1,2]C. [4,0)-D. [4,0)-U [1,2]2log y x=2x <23y x =-y 输出结束否x 输入开始是6. 设,x y ∈R ，则||1||1x y ≤≤“且”是22+2x y ≤“”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A ．4B ．5C ． 2D ．28. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额（含税级距）税率(%) 不超过1500元3 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分20 ……某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款A. 45元B. 350元C. 400元D. 445元第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为 . 10.若抛物线212x y =，则焦点F 的坐标是.11. 在∆ABC 中，2a =，263b =， π=3A ，则C = . 12. 能够说明命题“设，，a b c 是任意实数，若>>a b c ，则2a b c +>”是假命题的一组整数，，a b c 的值依次为 .b2 主视图 俯视图左视图12213. 向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a ，b 所成角的余弦值是_________;向量a ，b 所张成的平行四边形的面积是__________.14．已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚①当1a =时，函数()f x 极大值是 ；②当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ____ .三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题13分）已知函数()2sin()cos()3sin244f x x x x =--+ππ. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最值及相应的x 值.16. （本小题13分） 已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 前n 项的和n S .17.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：0.0070.0030.008频率/组距0.0050.0030.008频率/组距根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数AQI (0,100)[100,200)[200,300)空气质量状况优良轻中度污染 重度污染（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；(II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.18.（本小题14分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ； （III ）求三棱锥D -FEB 的体积.19. (本小题14分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的经过点(0,1)，且离心率为22.（I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0)M m ，，求实数m 的取值范围.FEBOADC20. (本小题13分)设函数3()f x x c =+,2()820g x x x =-，方程()()f x g x =有三个不同实根123123,,()x x x x x x <<. （I ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求c 的取值范围； （III ）求证：124x x +>.昌平区2018年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCAABC二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9. (1,1)- 10. (0,3) 11. 5π(75)12︒或 12. 1,2,3--- 13. 45; 3 14. 1e ；1a <三、解答题(共6小题，共80分) 15.（共13分）解：（I ）π()sin(2)3sin 22f x x x =-+cos23sin 2x x=+π2sin(2)6x =+所以()f x 的最小正周期是π. -------------------8分 （II ）因为 π02x ≤≤, 所以 02πx ≤≤,所以 ππ7π2666x ≤≤+,当π6x =时，max ()2f x =. 当π2x =时，m ()1in -f x =. --------------------13分16.（共13分）解：（Ⅰ）因为 11n n n nb a a na +++=，所以 1221b a a a += . 又因为1212a a =1，= , 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=， 得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--. --------------------13分17.（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ，B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ， 设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =， 所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为3()20P C =. --------------------13分18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥.又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF I 平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥ BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD.故BE ⊥AC. 又因为BE BD B =I ，所以 AC ⊥平面BDE . --------------------5分（II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点． 则OG //BE ，且12OG BE =． 由已知AF //BE ，且12AF BE =，则//AF OG 且AF OG =，所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ， 即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF I 平面ABCD=AB , 所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以 AD ⊥平面BEF .GFEBOADC所以11143323D BEFBEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. --------------------14分19.(共14分)解：（Ⅰ）由题意，得222122b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 解得 21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=． -------------------5分（II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得()()2222124210k x k x k +-+-=， 由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设()11,x y A ，()22,x y B ，则2212122242(1)1212k k x x x x k k-+=⋅=++，． 所以121222(2)12k y y k x x k -+=+-=+，所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得2120=11242k m k k k <=≤++，当且仅当22k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，2120=11242k m k k k>=≥-++，当且仅当22k =-时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为22,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．--------------------14分20. (共13分)解：（Ⅰ）2'()3x f x =，'(1)3f =，又(1)1f c =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：32y x c =+-. --------------------3分（Ⅱ）设32()820h x x x x c =-++，2'()31620h x x x =-+， 令'()0f x =，则2,x =或103x =当x 变化时，'()h x 与()h x 的变化情况如下表：x(,2)-∞210(2,)3 10310(,)3+∞ '()h x+-+()h x16c +40027c +所以，当160,c +>且400027c +<时， 因为(0)0,(4)h c h c =<=+>，故存在1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈310(,4),3x ∈使得123()()()0h x h x h x === 由()h x 的单调性知，当且仅当400(16,)27c ∈--时，函数()h x 有三个不同的零点， 即当且仅当400(16,)27c ∈--时，方程()()f x g x =有三个不同实根. -------------------9分 （III ）由（Ⅱ）知1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈224(,2)(0,2),3x -∈⊆()h x 在(0,2)上单调递增，则122144x x x x +>⇔-<212(4)()()0h x h x h x ⇔-<==222()()(4)0u x h x h x ⇔=-->，210(2,),3x ∈ 由32322222222(4)(4)8(4)20(4)4416h x x x x c x x x c -=---+-+=-+-++，3232222222222()()(4)(820)(4416)u x h x h x x x x c x x x c =--=-++--+-++322222(6128)x x x =-+-设32()2122416u x x x x =-+-，则2'()6(2)u x x =-所以当10(2,)3x ∈时，'()0u x >，即()u x 在10(2,)3上单调递增，而(2)0u = 所以当10(2,)3x ∈时，()(2)0u x u >=，所以2()0u x >，210(2,)3x ∈所以124x x+>. --------------------13分。
2018北京昌平区高三数 学 (文)第二次统一练习
2018北京昌平区高三数 学 (文)第二次统一练习2018.5本试卷共5页，共150分. 考试时长120分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集U =R ,集合A ={x ∣x> 1或x <1- }，则U A =ðA. (,1)(1,)-∞-+∞B. (,1][1,)-∞-+∞C. (1,1)-D. [1,1]-2．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是 A. 1y x= B. 3y x = C. sin y x = D. lg y x =3. 在平面直角坐标系中，不等式组0,10,0x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A. 1B. 12C. 14D. 184. 设0.21()2a =，2log 3b =，0.32c -=，则A. b c a >>B. a b c >>C. b a c >>D. a c b >>5. 执行如图所示的程序框图，若输入 x 值满足24x -<≤，则输出y 值的取值范围是A. [3,2]-B. [1,2]C. [4,0)-D. [4,0)-U [1,2]6. 设,x y ∈R ，则||1||1x y ≤≤“且”是22+2x y ≤“”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 A ．42log y x=2x <23y x =-y输出 结束否x输入开始是B ．5C ． 2D ．28. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额（含税级距）税率(%) 不超过1500元3 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分20 ……某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款A. 45元B. 350元C. 400元D. 445元第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为 . 10. 若抛物线212x y =，则焦点F 的坐标是 .11. 在∆ABC 中，2a =，263b =， π=3A ，则C = . 12. 能够说明命题“设，，a b c 是任意实数，若>>a b c ，则2a b c +>”是假命题的一组整数，，a b c 的值依次为 .13. 向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a ，b 所成角的余弦值是_________;向量a ，b 所张成的平行四边形的面积是__________.ab14．已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚①当1a =时，函数()f x 极大值是 ；②当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ____ . 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题13分）已知函数()2sin()cos()3sin 244f x x x x =--+ππ. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最值及相应的x 值.16. （本小题13分） 已知数列{}n a 满足1211,2a a ==，数列{}n b 是公差为2的等差数列，且11n n n n b a a na +++=. （I ）求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 前n 项的和n S . 17.（本小题13分）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数AQI (0,100)[100,200)[200,300)空气质量状况优良轻中度污染 重度污染（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；0.007AQI0.0030.0012502001500.008100频率/组距50O图1 A 地空气质量指数（AQI ）0.005AQI0.0030.0022502001500.008100频率/组距50O图2 B 地空气质量指数（AQI ）(II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.18.（本小题14分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ； （III ）求三棱锥D -FEB 的体积.19. (本小题14分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的经过点(0,1)，且离心率为22.（I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0)M m ，，求实数m 的取值范围.20. (本小题13分)设函数3()f x x c =+,2()820g x x x =-，方程()()f x g x =有三个不同实根123123,,()x x x x x x <<. （I ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求c 的取值范围； （III ）求证：124x x +>.FEBOADC数学试题答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCAABC二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)9. (1,1)- 10. (0,3) 11. 5π(75)12︒或12. 1,2,3--- 13. 45; 3 14. 1e ；1a <三、解答题(共6小题，共80分) 15.（共13分）解：（I ）π()sin(2)3sin 22f x x x =-+cos23sin 2x x=+π2sin(2)6x =+所以()f x 的最小正周期是π. -------------------8分 （II ）因为 π02x ≤≤, 所以 02πx ≤≤,所以 ππ7π2666x ≤≤+,当π6x =时，max ()2f x =. 当π2x =时，m ()1in -f x =. --------------------13分16.（共13分）解：（Ⅰ）因为 11n n n nb a a na +++=，所以 1221b a a a += . 又因为1212a a =1，= , 所以11b =.所以数列{}n b 的通项公式是2-1n b n =. --------------------7分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知2-1n b n =，且11n n n n b a a na +++=.所以11(21)n n nn a a na ++-+=，得到112n n a a += .所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 那么数列{}n a 前n 项和111()222112nn n S --==--. --------------------13分17.（共13分）解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ， 设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为3()20P C =. --------------------13分18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥.又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF I 平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥ BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD.故BE ⊥AC. 又因为BE BD B =I ，所以 AC ⊥平面BDE . --------------------5分（II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点． 则OG //BE ，且12OG BE =． 由已知AF //BE ，且12AF BE =，则//AF OG 且AF OG =，所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ， 即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ，所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF I 平面ABCD=AB , 所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以 AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEF BEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. --------------------14分19.(共14分)解：（Ⅰ）由题意，得222122b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩， 解得 21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=． -------------------5分（II ）（1）当直线x AB ⊥轴时，m = 0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，由22(1)220y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，得()()2222124210k x k x k +-+-=， GFEBOADC由2222(4)8(12)(1)0k k k ∆=--+->，得k ∈R ．设()11,x y A ，()22,x y B ，则2212122242(1)1212k k x x x x k k-+=⋅=++，． 所以121222(2)12ky y k x x k -+=+-=+，所以线段AB 中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，0k ≠，故直线C M 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令x = 0，212k y k =+，即212k m k =+当k > 0时，，得2120=11242k m k kk<=≤++，当且仅当22k =时“=”成立． 同理，当 k < 0时，2120=11242k m k kk>=≥-++，当且仅当22k =-时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为22,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．--------------------14分20. (共13分)解：（Ⅰ）2'()3x f x =，'(1)3f =，又(1)1f c =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：32y x c =+-. --------------------3分（Ⅱ）设32()820h x x x x c =-++，2'()31620h x x x =-+， 令'()0f x =，则2,x =或103x =当x 变化时，'()h x 与()h x 的变化情况如下表：x(,2)-∞210(2,)310310(,)3+∞ '()h x + 0- 0+ ()h x16c +40027c +所以，当160,c +>且400027c +<时，因为(0)0,(4)160h c h c =<=+>，故存在1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈310(,4),3x ∈使得123()()()0h x h x h x === 由()h x 的单调性知，当且仅当400(16,)27c ∈--时，函数()h x 有三个不同的零点， 即当且仅当400(16,)27c ∈--时，方程()()f x g x =有三个不同实根. -------------------9分 （III ）由（Ⅱ）知1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈224(,2)(0,2),3x -∈⊆()h x 在(0,2)上单调递增，则122144x x x x +>⇔-< 212(4)()()0h x h x h x ⇔-<==222()()(4)0u x h x h x ⇔=-->，210(2,),3x ∈ 由32322222222(4)(4)8(4)20(4)4416h x x x x c x x x c -=---+-+=-+-++，3232222222222()()(4)(820)(4416)u x h x h x x x x c x x x c =--=-++--+-++322222(6128)x x x =-+-设32()2122416u x x x x =-+-，则2'()6(2)u x x =-所以当10(2,)3x ∈时，'()0u x >，即()u x 在10(2,)3上单调递增，而(2)0u = 所以当10(2,)3x ∈时，()(2)0u x u >=，所以2()0u x >，210(2,)3x ∈所以124x x +>. --------------------13分。
2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编--概率统计
2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——概率统计1.（昌平）为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数（AQI ），绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：（I ）试根据样本数据估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；(II) 若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.解：（Ⅰ）从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.0080.007)500.75+⨯=，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为3650.75274⨯≈天 .--------------------4分（Ⅱ）A 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.003503⨯⨯=个，设为123,,a a a ，空气质量指数在[200,250)内，为200.001501⨯⨯=个，设为4a ， B 地20天中空气质量指数在[150,200)内，为200.002502⨯⨯=个，设为12,b b ， 空气质量指数在[200,250)内，为200.003503⨯⨯=个，设为345,,b b b ，150图1 A 地空气质量指数（AQI ） 0.0050.0030.0020.008图2 B 地空气质量指数（AQI ）设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ， 则基本事件空间1112131415212223242531323334354142434445{,,,,,,,,,,,,,,,,,,,}a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ω=，基本事件个数为20n =，434445{,,}C a b a b a b =，包含基本事件个数为3m =，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为()P C =分（Ⅰ）根据表中数据写出这10年内栽种银杏数量的中位数,并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况. 所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 3. （东城）某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为 B （A ）66 （B ）54 （C ）40 （D ）364.（东城）2017年北京市百项疏堵工程基本完成．有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）的数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组．A组：128，100，151，125，120．B组：100，102，96，101，a．已知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是45.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”．从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，求这两个数据对应的两次运行中至少有一次“正点运行”的概率；（Ⅲ）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义．解：（Ⅰ）因为B组数据的中位数为100，所以100a≤．因为从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是45，所以100a≥．所以100a=. …………5分（Ⅱ）从A组中取到128,151,125,120时，B组中符合题意的取法为100,96,100，共4312⨯=种；从A组中取到100时，B组中符合题意的取法为100,102,96,101,100，共155⨯=种；因此符合题意的取法共有12517+=种，而所有不同的取法共有5525⨯=种，所以该路公交车至少有一次“正点运行”的概率1725P=. …………10分（Ⅲ）B组的方差小于A组的方差，说明疏堵工程完成后，该路公交车全程所用时间更加稳定，而且“正点运行”率高，运行更加有保障．…………13分5.（房山） 1995年联合国教科文组织宣布每年的4月23日为世界读书日，主旨宣言为“希望散居在全球各地的人们，都能享受阅读带来的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明作出巨大贡献的文学、文化、科学思想的大师们，都能保护知识产权。
2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编--函数与导数
2018年北京各区高三二模文科数学分类汇编——函数与导数1.（昌平）下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是 B A. 1y x=B. 3y x = C. sin y x =D. lg y x =2.（昌平）设0.21()2a =，2log 3b =，0.32c -=，则 C A. b c a >>B. a b c >>C. b a c >>D. a c b >>3.（昌平）2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款 CA. 45元B. 350元C. 400元D. 445元4.（昌平）已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚①当1a =时，函数()f x 极大值是 ；②当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ____ . 1e；1a <5.（昌平）设函数3()f x x c =+,2()820g x x x =-，方程()()f x g x =有三个不同实根123123,,()x x x x x x <<.（I ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）求c 的取值范围；（III ）求证：124x x +>.解：（Ⅰ）2'()3x f x =，'(1)3f =，又(1)1f c =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：32y x c =+-. --------------------3分（Ⅱ）设32()820h x x x x c =-++，2'()31620h x x x =-+， 令'()0f x =，则2,x =或103x =当x 变化时，'()h x 与()h x 的变化情况如下表：所以，当160,c +>且027c +<时， 因为(0)0,(4)h c h c =<=+>，故存在1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈310(,4),3x ∈使得123()()()0h x h x h x === 由()h x 的单调性知，当且仅当400(16,)27c ∈--时，函数()h x 有三个不同的零点， 即当且仅当400(16,)27c ∈--时，方程()()f x g x =有三个不同实根. -------------------9分 （III ）由（Ⅱ）知1(0,2),x ∈210(2,),3x ∈224(,2)(0,2),3x -∈⊆()h x 在(0,2)上单调递增，则122144x x x x +>⇔-< 212(4)()()0h x h x h x ⇔-<==222()()(4)0u x h x h x ⇔=-->，210(2,),3x ∈ 由32322222222(4)(4)8(4)20(4)4416h x x x x c x x x c -=---+-+=-+-++，3232222222222()()(4)(820)(4416)u x h x h x x x x c x x x c =--=-++--+-++322222(6128)x x x =-+-设32()2122416u x x x x =-+-，则2'()6(2)u x x =-所以当10(2,)3x ∈时，'()0u x >，即()u x 在10(2,)3上单调递增，而(2)0u = 所以当10(2,)3x ∈时，()(2)0u x u >=，所以2()0u x >，210(2,)3x ∈所以124x x +>. --------------------13分6. （朝阳）已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ． 恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定7.（朝阳）如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB ，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为 ；()S x 的最小值为．,4π8.（朝阳）已知函数()e x f x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围;（Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）由题意可知()(1)x f x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e,()(2)e 0xx h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0x x a +-=,于是()h x 的最小值为0000()e 1x h x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，， 因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10x x x x h x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分 （Ⅲ）()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <.令2()e ,1xt x x x =<-.则2()(2)e .xt x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数.所以max 24()(2)1e t x t =-=<.所以2e 1xx <.又1x <-，所以1e x x x >.而当1x <-时，()11,0x∈-， 所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1) 当0a =时，()1g x =，符合题意；(2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，，所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<.综上11[,]22a ∈-. ……………13分9.（东城） 若22log (1)x x <+，则x 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）(1,+)∞（C ）(1,0)- （D ）(0,)+∞10.（东城）已知函数()sin f x x x =，现给出如下命题：① 当(43)x ∈--，时，()0f x ≥； ② ()f x 在区间(0,1)上单调递增； ③ ()f x 在区间(1,3)上有极大值；④ 存在0>M ，使得对任意x ∈R ，都有|()|f x M ≤． 其中真命题的序号是（A ）①② （B ）②③（C ）②④（D ）③④11.（东城）设函数2()2ln 2f x x x ax =-++. （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若直线1y x =-+是曲线()y f x =的切线，求a 的值.解：()f x 的定义域为(0,)+∞． ………1分（Ⅰ）当3a =时，2()2ln 32f x x x x =-++，所以22232'()23x x f x x x x-++=-+=.令2232'()0x x f x x-++==，得22320x x -++=， 因为0x >，所以2x =.()f x 与'()f x 在区间(0,)+∞上的变化情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间(2)+∞，.()f x 有极大值2ln 24+，()f x 无极小值. …………6分（Ⅱ）因为2()2ln 2f x x x ax =-++，所以2'()2f x x a x=-+. 设直线1y x =-+与曲线()y f x =的切点为（00,()x f x ），所以2000000222'()21x ax f x x a x x -++=-+==-，即2002(1)20x a x -+-=.又因为200000()2ln 21f x x x ax x =-++=-+，即20002ln (1)10x x a x -+++= 所以2002ln 10x x +-=.设2()2ln 1g x x x =+-，因为22(1)'()0(0)x g x x x+=>>， 所以()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.所以()g x 在区间(0,)+∞上有且只有唯一的零点. 所以(1)0g =，即01x =.所以1a =-. …………13分12.（房山） 下列函数中，在区间(2,)+∞上为增函数的是 B（A ）3xy =- （B ）12y x =- （C ） 2(2)y x =-- （D ）12log y x = 13. （房山）已知集合{}{}4,3,2,,=c b a ，且下列三个关系：4,3,3≠=≠c b a 有且只有一个正确，则函数()()22,,,,⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩xx b f x x c a x b 的值域是 ． [)+∞,314. （房山）已知函数()1ln ()f x a x a x∈R ＝－．（Ⅰ）当1a ＝-时，（i ）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）设()()1g x xf x =-，求函数()g x 的极值； （Ⅱ）若函数()f x 在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个的零点，求实数a 的取值范围．(Ⅰ)解：1a ＝-，()1ln f x x x ＝－，()11f ＝，()211x x f x-'+＝. ()10k f ∴='＝.故所求切线方程为：1y ＝ …………4分 (Ⅱ) 解：()ln g x x x =,函数定义域为：{|0}x x >()ln 1g x x '=+，01x e=111(0,)(,)()()xe e eg x g x +∞'-+ 极小值 故()g x 的极小值为1e-，无极大值. …………9分 (Ⅲ)解法1：令()1ln 0f x a x x =-=，解得：1x x aln ＝（显然0a ≠） 问题等价于函数1y a=与函数y x x ln ＝的图像有两个不同交点. 由(Ⅱ)可知：2212()g e e =-，11()g e e =-，21112a eae ⎧>-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得：22e a e -≤<- 故实数a 的取值范围是2,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. …………13分(Ⅲ)解法2： ()2211a ax fx x x x +=--=-，（1） 0a =时，()211,f x x e ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()f x 不能有两个零点； （2）0a >时，10ax +>，所以()210ax f x x+=-<，在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 所以()21,f x e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()f x 不能有两个零点； （3）0a <时，令()210,ax fx x +=-=，1x a=- ()(),f x f x ，变化情况如下表：()(),1110,,0x a a a f x f x ⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+极大值 （i ）211a e -≤时，即2a e ≤-，()f x 21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在上是增函数， 所以()f x 不能有两个零点； （ii ）211a e ->时，20e a -<<()211,f x ea ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭在上是减函数， ()1,f x a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭在上是增函数. ()10f =所以若()f x 21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在有两个零点只需： 21010f a f e ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 即：221ln 01ln 0a a a e a e ⎧⎛⎫---< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎪⎩ 解得22a e e a <-⎧⎪⎨≥-⎪⎩ 所以22e a e -≤<-综上可知a 的范围是2,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭…………13分15. (丰台)下列函数中，既是偶函数，又在区间)0,(-∞上为减函数的是 D(A) 2log ()y x =- (B) xxy -=1 (C) 21y x =-+(D) ||e x y =16.（丰台） 设函数122,0,()log ,0.x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪⎩① (2)f =____；② 若(1)1f x +>，则x 的取值范围是____1-；1,4,2-∞-U （）（-1-）17.（丰台）已知函数()()cos sin f x x a x x =--，(0,π)x ∈，()a ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有2122()21f x x x >--，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）()()sin f x x a x '=--． …………………2分因为 (0,π)x ∈，所以 sin 0x >． …………………3分 由 ()0f x '=得 x a =． …………………4分 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,π)上单调递减； …………………5分 当πa ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,π)上单调递增； …………………6分 当0πa <<时，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,π)上单调递减； 当πa ≥时，()f x 在(0,π)上单调递增；当0πa <<时，以()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,π)a ．………9分 （Ⅱ）设 2()21g x x x =--．因为 2()(1)2g x x =--，当1x =时，()g x 有最小值为2-． …………………10分因为对于任意1(0,π)x ∈，存在2(0,π)x ∈，都有 2122()21f x x x >--，所以 (0)2(π)2f f ≥-⎧⎨≥-⎩， 即2(π)2a a -≥-⎧⎨--≥-⎩． 所以π22a -≤≤，即a 的取值范围是[π2,2]-． …………………13分18. （海淀）已知函数()x a f x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a ∈R ．（1）求()f x 的零点．（2）当5a ≥-时，求证：()f x 在区间()1,+∞上为增函数． （1）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ， 令()0f x =，得20x a +=，2x a =-． 当0a ≥时，方程无解，()f x 没有零点；当0a <时，得x = …………………4分综上，当0a ≥时()f x 无零点；当0a <时，()f x 零点为． （Ⅱ）2'()(1)()x x a a f x e x e x x=-++ 322()xx x ax a e x++-=． 令32()g x x x ax a =++-(1)x >， 则2'()32g x x x a =++， 其对称轴为13x =-，所以'()g x 在(1,)+∞上单调递增． 所以2'()31215g x a a >⨯+⨯+=+． 当5a ≥-时，'()0g x >恒成立，所以()g x 在(1,)+∞上为增函数． …………………13分19. （顺义）若31log 2a =，3log 9.1b =，0.82c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．CA ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【解析】由指数函数和对数函数的性质可知，331log log 102a =<=，33log 9.1log 92b =>=，00.8112222=<<=，∴a c b <<，故选C ．20.（顺义）已知函数()e xf x mx =-（m 为常数）．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率为1-，求实数m 的值． （2）求函数()f x 的极值．（3）证明：当0x >时，2e x x >．【解析】（1）由()e x f x mx =-，得()e x f x m '=-，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率为1-，则()01f '=-，可得0e 1m -=-，解得2m =．（2）令()0f x '>，得ln x m >，令()0f x '<，得ln x m <，∴函数()f x 在(),ln m -∞上是减函数，在()ln ,m +∞上是增函数，∴()f x 的极小值为()ln ln f m m m m =-，无极大值．（3）令()2e x g x x =-，则()e 2x g x x '=-，由（2）可知，()min 22ln22ln40g x '=-=->， ∴()0g x '>恒成立，∴()g x 在()0,+∞上单调递增，∴()()010g x g >=>，即2e 0x x ->，故当0x >时，2e x x >．21（西城）．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 D（A ）1y x = （B ）2y x = （C ）cos y x = （D ）ln ||y x =-22.（西城）函数1||2y x =+的最大值是____．1223.（西城）已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____． 1[2,)2-- 24.（西城）已知函数ln ()x f x ax x=-，曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设1b >，求()f x 在区间1[,]b b上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）()f x 的导函数为221ln ()x ax f x x --'=， ……………… 2分 所以(1)1f a '=-．依题意，有(1)(1)112f a --=--， 即 1112a a -+=--， ……………… 4分 解得 1a =． ……………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得221ln ()x x f x x --'=． 当0<<1x 时，210x ->，ln 0x ->，所以()0f x '>，故()f x 单调递增； 当>1x 时，210x -<，ln 0x -<，所以()0f x '<，故()f x 单调递减．所以 ()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减． ……………… 8分 因为 101b b<<<， 所以 ()f x 最大值为(1)1f =-． ……………… 9分 设 111()()()()ln h b f b f b b b b b b=-=+-+，其中1b >． ………………10分 则 21()(1)ln 0h b b b '=->， 故 ()h b 在区间(1,)+∞上单调递增． ………………11分 所以 ()(1)0h b h >=， 即 1()()f b f b>， ………………12分 故 ()f x 最小值为11()ln f b b b b=--． ………………13分。
高三试卷—北京2018昌平区高三(上)期末数学(文)试题及答案
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18.（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°， PAB 为正三角形，
且侧面 PAB⊥底面 ABCD. E，M 分别为线段 AB，PD 的中点. （I）求证：PE⊥平面 ABCD； （II）求证：PB//平面 ACM； （III）在棱 CD 上是否存在点 G， 使平面 GAM⊥平面 ABCD，请说明理由．
20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f (x) ex(x2 2) ， g(x) x .
e
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 h(x) f (x) g(x) 在区间[2, 0]上的最大值和最小值.
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数学试题答案
一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．)
证明：（法一）连接 EC ．
由（Ⅰ）得，PE⊥平面 ABCD， 所以 PE⊥CD， 因为 ABCD 是菱形，∠ ABC＝60°，E 为 AB 的中点，
所以 ABC 是正三角形，EC⊥AB .
因为 CD // AB， 所以 EC⊥CD． 因为 PE∩EC=E， 所以 CD⊥平面 PEC， 所以 CD⊥PC． 因为 M，G 分别为 PD，CD 的中点， 所以 MG//PC， 所以 CD⊥MG． 因为 ABCD 是菱形，∠ADC＝60°，
M
所以点 H 为 BD 的中点.
又因为 M 为 PD 的中点，
A
D
E
所以 MH // BP.
H
B
C
又因为 BP 平面 ACM, MH 平面 ACM.
所以 PB // 平面 ACM.
……………8 分
2018年北京市昌平区高考数学二模试卷(文科)
2018年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x<−1或x>1}，则∁U A＝（）A.(−∞, −1)∪(1, +∞)B.(−∞, −1]∪[1, +∞)C.(−1, 1)D.[−1, 1]【答案】D【考点】补集及其运算【解析】进行补集的运算即可．【解答】∁U A＝[−1, 1]．2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=1xB.y=x3C.y=sinxD.y=lgx【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，y=1x为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于B，y=x3为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；对于C，y=sinx为正弦函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；对于D，y=lgx为对数函数，其定义域为(0, +∞)，不是奇函数，不符合题意；3. 在平面直角坐标系中，不等式组{x−y≥0x+y−1≤0y≥0，表示的平面区域的面积是（）A.1B.12C.14D.18【答案】C【考点】简单线性规划【解析】先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由{x =y x +y =1 得A(12, 12)，则三角形的面积S =12×1×12=14，4. 设a =(12)0.2，b ＝log 23，c ＝2−0.3，则（ ）A.b >c >aB.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b 【答案】C【考点】 对数值大小的比较【解析】把a ，c 化为同底数，再由指数函数与对数函数的单调性比较大小．【解答】∵ a =(12)0.2=2−0.2>2−0.3=c ，且2−0.2<20＝1，而b ＝log 23>log 22＝1．∴ b >a >c ．5. 执行如图所示的程序框图，若输入x 值满足−2<x ≤4，则输出y 值的取值范围是（ ）A.[−3, 2]B.[1, 2]C.[−4, 0)D.[−4, 0)∪[1, 2]【答案】A【考点】程序框图【解析】直接利用程序框图和分段函数求出结果．【解答】解：当−2<x <2时，−3≤y <1,当2≤x ≤4时，1≤y ≤2，得：−3≤y ≤2，即：y ∈[−3, 2].故选A ．6. 设x ，y ∈R ，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x 2+y 2≤2“的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．即可判断出结论．【解答】“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=√2．∴ “|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的充分不必要条件．7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A.4B.√5C.2D.√2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．【解答】由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB=2，AD=1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=90∘，PA=2，则S四边形ABCD=2×1=2，S△PAD=12×2×1=1，S△PAB=12×2×2=2，S△PBC=12×2√2×1=√2，S PDC=12×2×√5=√5．∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是√5．8. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，希望将个税免征额从元上调至元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月工资、薪金所得8500元，则此人当月少缴纳此项税款（）A.45元B.350元C.400元D.445元【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】根据列表即可分别求出个税免征额为3500元和7000元时，此人当月所缴纳的税款，进而即可得出此人当月少缴纳此项税款的值．【解答】根据表格，个税免征额为3500元时，此人当月所缴纳的税款为：1500×3100+3000×10100+500×20100=445（元）；当个税免征额为7000元时，此人当月的所缴纳的税款为：1500×3100=45(元)；∴此人当月少缴纳此项税款为445−45=400（元）．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．在复平面内，复数1+ii对应的点的坐标为________．【答案】(1, −1)【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴复数1+ii对应的点的坐标为(1, −1)．若抛物线x2＝12y，则焦点F的坐标是________．【答案】(0, 3)【考点】抛物线的性质【解析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点位置以及p的值，由焦点坐标公式计算可得答案．【解答】根据题意，抛物线x2＝12y，其焦点在y轴的正半轴上，且p＝6，则其焦点坐标为(0, 3)；在△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3，则C =________． 【答案】5π12【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理与三角形内角和定理求出B 的值，再求C 的大小．【解答】△ABC 中，a =2，b =2√63，A =π3， ∴a sinA =b sinB ， 2sin π3=2√63sinB ，∴ sinB =√22， 又a >b ，∴ 0<B <π2，解得B =π4，∴ C =π−A −B =π−π3−π4=5π12．能够说明命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．【答案】−1，−2，−3【考点】命题的真假判断与应用【解析】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，可得命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题．【解答】令整数a ，b ，c 的值依次为−1，−2，−3，此时a >b >c ，且2a +b <c ，即命题“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则2a +b >c ”是假命题，向量a →，b →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量a →，b →所成角的余弦值是________；向量a →，b →所张成的平行四边形的面积是________．【答案】45,3【考点】向量的三角形法则【解析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【解答】如图所示，建立直角坐标系，不妨取a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，则cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|⋅|b →|=√5⋅√5=45． 向量a →，b →所张成的平行四边形的面积S =|a →|⋅|b →|⋅sin <a →,b →>=√5×√5×√1−(45)2=5×35=(3)已知函数f(x)={−x 2+2ax,x <1alnxx ,x ≥1①当a =1时，函数f(x)极大值是________；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．【答案】1e ,a <1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ，f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ，分析各个区间上导函数的符号，进而可得函数f(x)极大值；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，进而得到答案．【解答】①当a =1时，函数f(x)={−x 2+2x,x <1lnx x,x ≥1 ， f′(x)={−2x +2,x <11−lnx x 2,x ≥1 ， 当x <1时，f′(x)>0，函数为增函数，当1≤x <e 时，f′(x)>0，函数为增函数，当x >e 时，f′(x)<0，函数为减函数，故当x =e 时，函数f(x)极大值是1e ；②当x <1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则函数的对称轴在x =1的左侧，即x =a <1，三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x ．(I)求函数f(x)的最小正周期；(II)求函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【答案】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6， 当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)【考点】正弦函数的周期性诱导公式三角函数的最值【解析】（I ）直接利用二倍角公式变形，再由辅助角公式化积即可求函数f(x)的最小正周期；(II)结合已知条件求出π6≤2x +π6≤7π6，进而可求出函数f(x)在区间[0,π2brack 上的最值及相应的x 值．【解答】(Ⅰ)f(x)=sin(π2−2x)+√3sin2x =cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，∴ f(x)的最小正周期是π；(Ⅱ)∵ 0≤x ≤π2，∴ 0≤2x ≤π，∴ π6≤2x +π6≤7π6， 当x =π6时，f(x)max =(2)当x =π2时，f(x)min =−(1)已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=12，数列{b n }是公差为2的等差数列，且b n a n+1+a n+1=na n ．(I)求数列{b n }的通项公式；(II)求数列{a n }前n 项的和S n ．【答案】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的前n 项和．【解答】(Ⅰ)因为 b n a n+1+a n+1=na n ，所以 b 1a 2+a 2=a 1．又因为a 1=1,a 2=12，所以b 1=(1)所以数列{b n }的通项公式是b n =2n −(1)(Ⅱ) 由(Ⅰ)知b n =2n −1，且b n a n+1+a n+1=na n ．所以(2n −1)a n+1+a n+1=na n ，得到 a n+1a n =12（常数）．所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．那么数列{a n }前n 项和：S n =1−(12)n 1−12=2−21−n ．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A ，B 两地区分别随机抽取了20天的观测数据，得到A ，B 两地区的空气质量指数(AQI)，绘制如下频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：( II)若分别在A 、B 两地区上述20天中，且空气质量指数均不小于150的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．【答案】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A 地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a 1，a 2，a 3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a 4，B 地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b 1，b 2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b 3，b 4，b 5，设“A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C ，则基本事件空间：Ω={a 1b 1, a 1b 2, a 1b 3, a 1b 4, a 1b 5, a 2b 1, a 2b 2, a 2b 3, a 2b 4, a 2b 5, a 3b 1, a 3b 2, a 3b 3, a 3b 4, a 3b 5, a 1b 1,a 4b 2,a 4b 3,a 4b ，基本事件个数为n =20，C ={a 4b 3, a 4b 4, a 4b 5}，包含基本事件个数为m =3，所以A ，B 两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320．——————–【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】(Ⅰ)从A 地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，从而能求出A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数．(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内为3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内为1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内为2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内为3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，利用列举法能求出A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率．【解答】(Ⅰ)从A地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为(0.008+0.007)×50=0.75，估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为0.75，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为365×0.75≈274天．——————–(Ⅱ)A地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.003×50=3个，设为a1，a2，a3，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.001×50=1个，设为a4，B地20天中空气质量指数在[150, 200)内，为20×0.002×50=2个，设为b1，b2，空气质量指数在[200, 250)内，为20×0.003×50=3个，设为b3，b4，b5，设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为C，则基本事件空间：Ω={a1b1, a1b2, a1b3, a1b4, a1b5, a2b1, a2b2, a2b3, a2b4, a2b5, a3b1, a3b2, a3b3, a3b4, a3b5, a1b1,a4b2,a4b3,a4b ，基本事件个数为n=20，C={a4b3, a4b4, a4b5}，包含基本事件个数为m=3，．——————–所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为P(C)=320如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABE，AF // BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC // 平面DEF；(III)求三棱锥D−FEB的体积．【答案】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴AC⊥平面BDE；(Ⅱ)证明：取DE的中点G，连结OG，FG，∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点．则OG // BE，且OG=12BE．由已知AF // BE，且AF=12BE，则AF // OG且AF=OG，∴四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，即AC // FG．∵AC平面DEF，FG⊂平面DEF，∴AC // 平面DEF；(Ⅲ)∵平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴BE⊥AD∴AD⊥平面BEF．∴V D−BEF=13×S△BEF×AD=13×12×BE×AB×AD=43．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)由四边形ABCD是正方形，可得AC⊥BD．再由已知结合面面垂直的性质可得BE⊥平面ABCD，则BE⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BDE；(Ⅱ)取DE的中点G，连结OG，FG，可证明四边形AOGF为平行四边形，则AO // FG，再由线面平行的判定可得AC // 平面DEF；(Ⅲ)由平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，可得AD // BC，AD⊥AB．由(Ⅰ)知，BE⊥平面ABCD，则BE⊥AD，即有AD⊥平面BEF，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AB⊥BE，BE⊂平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD．又∵AC⊂平面ABCD．∴BE⊥AC，又BE∩BD=B，∴ AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)证明：取DE 的中点G ，连结OG ，FG ，∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ O 为BD 的中点． 则OG // BE ，且OG =12BE ．由已知AF // BE ，且AF =12BE ，则AF // OG 且AF =OG ， ∴ 四边形AOGF 为平行四边形，则AO // FG ， 即AC // FG ．∵ AC 平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， ∴ AC // 平面DEF ；(Ⅲ)∵ 平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形， 平面ABEF ∩平面ABCD =AB ， ∴ AD // BC ，AD ⊥AB ．由(Ⅰ)知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴ BE ⊥AD∴ AD ⊥平面BEF ．∴ V D−BEF =13×S △BEF ×AD =13×12×BE ×AB ×AD =43．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的经过点(0, 1)，且离心率为√22．( I)求椭圆E 的标准方程；( II)过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点M(0, m)，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0， 由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2，所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k 2, −k1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k 1+2k 2=−1k(x −2k 21+2k 2)，令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立． 同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)由题意可知：b =1，根据椭圆的离心率公式，即可求得a 的值，即可求得椭圆方程；(II)分类讨论，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标求得AB 中点C 坐标，求得MC 的方程，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得实数m 的取值范围． 【解答】（1）由题意，得b =1，椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得 {a =√2b =1．所以椭圆E 的标准方程：x 22+y 2=1．——————-（2）（1）当直线AB ⊥x 轴时，m =0符合题意．（2）当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 由{y =k(x −1)x 2+2y 2−2=0 ，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2(k 2−1)=0， 由△=(−4k 2)2−8(1+2k 2)(k 2−1)>0，得k ∈R ． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1⋅x 2=2(k 2−1)1+2k 2．所以y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+2k 2， 所以线段AB 中点C 的坐标为(2k 21+2k2, −k 1+2k 2)．由题意可知，k ≠0，故直线MC 的方程为y +k1+2k 2=−1k (x −2k 21+2k 2)， 令x =0，y =k 1+2k 2，即m =k1+2k 2 当k >0时，得0<m =k 1+2k 2=11k+2k ≤√24，当且仅当k =√22时“=”成立． 同理，当 k <0时，0>m =k1+2k 2=11k+2k ≥−√24，当且仅当k=−√22时“=”成立． 综上所述，实数m 的取值范围为[−√24,√24]．——————–设函数f(x)=x 3+c ，g(x)=8x 2−20x ，方程f(x)=g(x)有三个不同实根x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)．(I)求曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程； (II)求c 的取值范围；(III)求证：x 1+x 2>4． 【答案】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2； （2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20， 令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0， 故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)， 使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0， 由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)， 所以x 1+x 2>(4) 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线 的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；(Ⅱ)设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，求得导数和单调区间、极值，即可得到所求范围； (III)由ℎ(x)的单调性，x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，求得导数和单调性，即可得证． 【解答】（1）f ′(x)=3x 2，f′(1)=3，又f(1)=c +1，则曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为：y =3x +c −2； （2）设ℎ(x)=x 3−8x 2+20x +c ，ℎ′(x)=3x 2−16x +20， 令f′(x)=0，则x =2，或x =103，当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表：所以，当c +16>0，且c +40027<0时，因为ℎ(0)=c <0，ℎ(4)=16+c >0， 故存在x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，x 3∈(103,4)， 使得ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=ℎ(x 3)=0， 由ℎ(x)的单调性知，当且仅当c ∈(−16,−40027)时，函数ℎ(x)有三个不同的零点，即当且仅当c ∈(−16,−40027)时，方程f(x)=g(x)有三个不同实根．（3）证明：由(Ⅱ)知x 1∈(0, 2)，x 2∈(2,103)，4−x 2∈(23,2)⊆(0,2)， ℎ(x)在(0, 2)上单调递增，则x 1+x 2>4⇔4−x 2<x 1⇔ℎ(4−x 2)<ℎ(x 1)=ℎ(x 2)=0 ⇔u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)>0，x 2∈(2,103)，由ℎ(4−x 2)=(4−x 2)3−8(4−x 2)2+20(4−x 2)+c =−x 23+4x 22−4x 2+c +16，u(x 2)=ℎ(x 2)−ℎ(4−x 2)=(x 23−8x 22+20x 2+c)−(−x 23+4x 22−4x 2+c +16) =2(x 23−6x 22+12x 2−8)，设u(x)=2x 3−12x 2+24x −16，则u ′(x)=6(x −2)2所以当x ∈(2,103)时，u ′(x)>0，即u(x)在(2,103)上单调递增，而u(2)=0 所以当x ∈(2,103)时，u(x)>u(2)=0，所以u(x 2)>0，x 2∈(2,103)， 所以x 1+x 2>(4)。
2018-2019学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若集合A＝{x|x2+2x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．已知数列{a n}，a2＝1，，则a1+a3的值为（）A．4B．5C．6D．83．若x，y满足，则2x+y的最小值为（）A．8B．C．2D．﹣14．如图是一个算法流程图，则输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．55．已知a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知向量，满足||＝1，||＝2，||＝，那么与的夹角为（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛8．现有A1，A2，…，A5这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为：A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝．10．已知抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为．11．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为．12．在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝3．若△ABC的面积为，则∠A＝；BC＝．13．能说明“若点M（a，b）与点N（5，5）在直线x+y﹣2＝0的同侧，则a+b＞4”是假命题的一个点M的坐标为．14．已知函数其中a＞0，且a≠1．（i）当a＝2时，若f（x）＜4，则实数x的取值范围是；（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）设{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＝1，a2+a3＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求lna1+lna2+…+lna n．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为﹣2，求m的最大值．17．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．（Ⅰ）从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率；（Ⅲ）汽车公司拟改变投资策略，这将导致不同型号汽车的满意率发生变化．假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化，那么哪种型号汽车的满意率增加0.1，哪种型号汽车的满意率减少0.1，使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大？（只需写出结论）18．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：CD∥&平面ABFE；（Ⅱ）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由．19．（13分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若0＜a＜e，判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．20．（14分）已知椭圆过点，且离心率为．设A，B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP，BP分别与直线l：x＝4相交于M，N 两点，且直线MB与椭圆C交于另一点H．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：直线AP与BP的斜率之积为定值；（Ⅲ）判断三点A，H，N是否共线，并证明你的结论．2018-2019学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．若集合A＝{x|x2+2x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2≤x≤0}；∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0}．故选：D．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2．已知数列{a n}，a2＝1，，则a1+a3的值为（）A．4B．5C．6D．8【分析】利用递推关系式，转化求解即可．【解答】解：数列{a n}，a2＝1，，可得a1+a2＝2，a2+a3＝4，解得a1＝1，a3＝3，a1+a3＝4．故选：A．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．3．若x，y满足，则2x+y的最小值为（）A．8B．C．2D．﹣1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z作出x，y满足，对应的平面区域如图：由图象可知当直线y＝﹣2x+z过点A时，直线y＝﹣2x+z的在y轴的截距最小，此时z最小，由，得A（0，2），此时z＝2×0+2＝2，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．如图是一个算法流程图，则输出的k的值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝1，k＝1S＝2，不满足条件S＞10，k＝2，S＝6不满足条件S＞10，k＝3，S＝15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故选：B．【点评】本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题．5．已知a，b∈R，则“a＜b”是“log2a＜log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵log2a＜log2b，∴0＜a＜b，∴“a＜b”是“log2a＜log2b”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用对数的基本运算性质是解决本题的关键，比较基础．6．已知向量，满足||＝1，||＝2，||＝，那么与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】由向量的模的运算得：2+2+2＝3，由向量的夹角公式得：2+2||||cosθ+2＝3，即cosθ＝﹣，又θ∈[0，π]，所以θ＝，得解．【解答】解：由||＝，得：2+2+2＝3，即2+2||||cosθ+2＝3，又||＝1，||＝2，所以cosθ＝﹣，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选：C．【点评】本题考查了向量的模的运算及向量的夹角，属简单题7．《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）A．21斛B．34斛C．55斛D．63斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5＝，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈21，故选：A．【点评】本题主要考查锥体的体积的计算，比较基础．8．现有A1，A2，…，A5这5个球队进行单循环比赛（全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场）．当比赛进行到一定阶段时，统计A1，A2，A3，A4这4个球队已经赛过的场数分别为：A1队4场，A2队3场，A3队2场，A4队1场，则A5队比赛过的场数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意，分析可得A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，进而可得A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又由A4队只赛过一场，分析可得A2队必须和A3、A5各赛1场，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，A1，A2，A3，A4，A5五支球队进行单循环比赛，已知A1队赛过4场，所以A1队必须和A2，A3，A4，A5这四个球队各赛一场，已知A2队赛过3场，A2队已和A1队赛过1场，那么A2队只能和A3，A4，A5中的两个队比赛，又知A4队只赛过一场（也就是和A1队赛过的一场），所以A2队必须和A3、A5各赛1场，这样满足A3队赛过2场，从而推断A5队赛过2场．故选：B．【点评】此题主要考合情推理的应用，利用A1队比赛场数得出A2队、A4队比赛过的对应球队是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共轭复数＝﹣1﹣i．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵＝，∴．故答案为：﹣1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．已知抛物线y2＝4x上一点M到其焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为4．【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标（1，0），抛物线y2＝4x上的一点M到该抛物线的焦点F 的距离|MF|＝5，则M到准线的距离为5，则点M到y轴的距离为：4．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．11．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为900．【分析】求出a的值，根据[70，80）的概率求出在此区间的人数即可．【解答】解：由1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1＝0.3，故a＝0.03，故阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：0.3×3000＝900，故答案为：900．【点评】本题考查了直方图问题，考查概率问题，是一道常规题．12．在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝3．若△ABC的面积为，则∠A＝60°；BC＝．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求sin A，结合A为锐角可求A的值，根据余弦定理可求BC 的值．【解答】解：∵AB＝2，AC＝3．若△ABC的面积为＝AB•AC•sin A＝，∴解得：sin A＝，∵A为锐角，∴A＝60°，∴BC＝＝＝．故答案为：60°，．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．13．能说明“若点M（a，b）与点N（5，5）在直线x+y﹣2＝0的同侧，则a+b＞4”是假命题的一个点M的坐标为（2，1）[或（1，2），（0，3），（3，0）]（答案不唯一）．【分析】由题意知（a+b﹣2）（5+5﹣2）＞0，举例说明a+b＞2且a+b≤4即可．【解答】解：点M（a，b）与点N（5，5）在直线x+y﹣2＝0的同侧，则（a+b﹣2）（5+5﹣2）＞0，∴a+b＞2，不能得出a+b＞4，当点M的坐标为（2，1）时，a+b＞4是假命题．故答案为：（2，1）[或（1，2），（0，3），（3，0）]（答案不唯一）．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，是开放性题目．14．已知函数其中a＞0，且a≠1．（i）当a＝2时，若f（x）＜4，则实数x的取值范围是（﹣∞，2）；（ii）若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则实数a的取值范围是（0，1）∪（1，2）．【分析】（i）由分段函数或，解得即可，（ii）分类讨论，结合图象，利用函数单调性即可求出．【解答】解：（i）当a＝2时，或，解得x＜2，故f（x）＜4，则实数x的取值范围是（﹣∞，2）；（ii）当0＜a＜1时，函数f（x）的大致图象为：当x＞1时，函数f（x）＝a x为减函数，则0＜f（x）＜f（1）＝a，当x≤1时，函数f（x）＝x+为增函数，则f（x）＜f（1）＝1+，此时存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，当a＞1时，当x＞1时，函数f（x）＝a x为增函数，则f（x）＞f（1）＝a，当x≤1时，函数f（x）＝x+为增函数，则f（x）＜f（1）＝1+，如图所示：若存在实数m使得方程f（x）﹣m＝0有两个实根，则需要满足1+＞a，解得1＜a＜2，综上所述a的取值范围为（0，1）∪（1，2）故答案为：（﹣∞，2），（0，1）∪（1，2）【点评】本题考查不等式的解法，方程的根的个数，考查数形结合的思想方法，注意转化思想，转化为函数的图象的交点个数问题，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）设{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＝1，a2+a3＝6．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求lna1+lna2+…+lna n．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，利用通项公式，然后求解即可．（Ⅱ）由（I）知，lna1＝0，通过lna1+lna2+…+lna n＝．转化求解即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，因为a2+a3＝6，所以，又a1＝1，所以q2+q＝6．即q＝2或q＝﹣3（舍）．所以．……（Ⅱ）由（I）知，lna1＝0，因为，所以{lna n}是以0为首项，公差为ln2的等差数列．所以lna1+lna2+…+lna n＝．所以（n∈N*）．……（13分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为﹣2，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）＝＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）．由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得．所以f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ）在区间上，∴2x+∈[2m+，]．要使得f（x）在区间上的最小值为﹣2，2sin（2x+）在区间上的最小值为﹣1，∴2m+≤﹣，∴m≤﹣，即m的最大值为﹣．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，定义域和值域，属于中档题．17．（13分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．（Ⅰ）从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为0.4；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率；（Ⅲ）汽车公司拟改变投资策略，这将导致不同型号汽车的满意率发生变化．假设表格中只有两种型号汽车的满意率数据发生变化，那么哪种型号汽车的满意率增加0.1，哪种型号汽车的满意率减少0.1，使得获得满意的客户人数与样本中的客户总人数的比值达到最大？（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，利用对立事件概率计算公式能求出这个客户不满意的概率．（Ⅱ）先求出样本中的回访客户的总数和样本中满意的客户人数，由此能估计这个客户满意的概率．（Ⅲ）增加IV型号汽车的满意率，减少II型号汽车的满意率．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从III型号汽车的回访客户中随机选取1人，则这个客户不满意的概率为p＝1﹣0.6＝0.4．故答案为：0.4．……（3分）（Ⅱ）由题意知，样本中的回访客户的总数是：250+100+200+700+350＝1600，样本中满意的客户人数是：250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2＝125+30+120+210+70＝555，所以样本中客户的满意率为．所以从所有的客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率为．……（11分）（Ⅲ）增加IV型号汽车的满意率，减少II型号汽车的满意率．…………（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD，．（Ⅰ）求证：CD∥&平面ABFE；（Ⅱ）求证：平面ABFE⊥平面CDEF；（Ⅲ）在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD．由此能证明CD∥平面ABFE．（Ⅱ）推导出AE⊥DE，AB⊥AD，从而AB⊥平面ADE，进而AB⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABFE，从而平面ABFE⊥平面CDEF．（Ⅲ）取CD的中点N，连接FN，推导出四边形EDNF是平行四边形，从而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能证明FN⊥平面ABFE．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD．因为CD⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，所以CD∥平面ABFE．……（4分）（Ⅱ）因为，AD＝2，所以AE2+DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，即AE⊥DE．因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面ADE．因为DE⊂平面ADE，所以AB⊥DE．因为AB∩AE＝A，所以DE⊥平面ABFE．因为DE⊂平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF．……（9分）（Ⅲ）在线段CD上存在点N，使得FN⊥平面ABFE．证明如下：取CD的中点N，连接FN．由（Ⅰ）知，CD∥&平面ABFE，又CD⊂平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF．因为，所以EF＝DN．所以四边形EDNF是平行四边形．所以FN∥DE．由（Ⅱ）知，DE⊥平面ABFE，所以FN⊥平面ABFE．………………………（14分）【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查满足线面垂直的点是不存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（13分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若a＝，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若0＜a＜e，判断函数f（x）的零点个数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）把a＝分别代入原函数及导函数解析式，求得f′（1）及f（1），利用直线方程的点斜式求解；（Ⅱ）求出导函数的零点，列关于x，f′（x），f（x）变化情况表，求得函数最小值f（a）．然后分f（a）＞0，f（a）＝0，f（a）＜0三类分析原函数的零点．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）＝．（Ⅰ）若a＝，则f′（1）＝3，且f（1）＝2，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣1＝0；（Ⅱ）令f′（x）＝0，得x＝a，或x＝﹣a（舍）．x，f′（x），f（x）变化情况如下表：f（x）min＝f（a）＝a﹣2alna＝a（1﹣2lna）．①当f（a）＞0，即时，f（x）无零点．②当f（a）＝0，即时，f（x）只有一个零点．③当f（a）＜0，即时，∵f（1）＝＞0，f（a）＜0，且f（x）在（0，a）上单调递减，∴f（x）在（1，a）上存在唯一零点；在（a，+∞）上，e2＞a，．∵a＜e，∴e2﹣2a＞e2﹣2e＝e（e﹣2）＞0，即f（e2）＞0．又f（a）＜0，且f（x）在（a，+∞）上单调递增，∴f（x）在（a，e2）上存在唯一零点．∴当时，f（x）有两个零点．综上：时，f（x）无零点；时，f（x）只有一个零点；时，f（x）有两个零点．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．20．（14分）已知椭圆过点，且离心率为．设A，B为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP，BP分别与直线l：x＝4相交于M，N 两点，且直线MB与椭圆C交于另一点H．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求证：直线AP与BP的斜率之积为定值；（Ⅲ）判断三点A，H，N是否共线，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）根据已知条件列有关a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，可得出椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，y0），将点P的坐标代入椭圆C的方程可得出x0与y0之间的等量关系，然后利用斜率公式，结合等量关系可证出结论；（Ⅲ）设直线AP的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），可得出直线BP的方程，与直线x＝2联立，可分别求出点M、N的坐标，然后求出直线MN的斜率，写出直线HM的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理可求出点H的坐标，再计算AH和AN的斜率，利用这两直线斜率相等来证明结论成立．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可知解得所以椭圆C的方程；（Ⅱ）根据题意，直线AP，BP的斜率都存在且不为零．A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则（﹣2＜x0＜2）．则，因为点P在椭圆上，则，所以，，所以，所以直线AP与BP的斜率之积为定值；（III）三点A、H、N共线．证明如下：设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0），则直线BP的方程为，所以，M（4，6k），，，设直线HM：y＝3k（x﹣2），联立方程组，消去y整理得，（1+12k2）x2﹣48k2x+48k2﹣4＝0．设H（x1，y1），则，所以，．所以，因A（﹣2，0）、，，，所k AN＝k AH，所以三点A，H，N共线．【点评】本题考查椭圆的性质，考查韦达定理在椭圆综合的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题．。
最新-北京昌平区2018年高三数学第二学期统一练习(二)
昌平区2018-2018学年第二学期高三年级第二次统一练习数学（文科）试卷考生注意事项：1、本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟。
2、答题前，考生务必将学校、姓名、考试编号填写清楚。
答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
3、修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液。
请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上作任何标记。
4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．已知集合{}{}3,1,2,3,4A x x B =≥=，则A B =A ．{4}B ．{3，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．设条件0:2>+a a p , 条件0:>a q ; 那么q p 是的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足13n n a a +=+，且38a =，则10S 等于 A ．155B ． 160C ．172D ．2404. 若b a b a >是任意实数，且、,则下列不等式成立的是 A ．22b a > B ．1<ab C ．0)lg(>-b a D ．b a )31()31(<5.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm )，可得这个几何体的体积是 A ．πcm 3B ．34πcm 3C ．35πcm 3 D ．2π cm 3俯视图6. 已知3log ,2321==b a ,则输出的值为A.22B.2C. 212- D. 212+7、已知ABC ∆中，,10,4,3===BC AC AB 则∙等于 A ．596- B. 215- C. 215 D. 2968、如图AB 是长度为定值的平面α的斜线段，点A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是A.圆B.椭圆 C 一条直线 D 两条平行线第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9.i-12= 10.一个正方形的内切圆半径为2，向该正方形内随机投一点P,点P 恰好落在圆内的概率是__________11.《中华人民共和国道路交通安全法》 规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含80）以上时，属醉酒驾车。
2018北京市昌平区高三(上)期末数学(文)
2018北京市昌平区高三（上）期末数 学(文) 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合{|21}A x x =-<<，{|(3)0}B x x x =->，则AB =A. {|13}x x x <>或B. {|21}x x -<<C.{|203}x x x -<<>或D. {|20}x x -<<2． 1+i||i= A. 2- B. 2 C. 1- D. 13. 若,x y 满足1,1,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值为A ．4 B. 2 C. 1 D. 2-4．已知,a b 是实数，则“0a <，且0b <”是“()0ab a b ->”的 A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 直线2y kx =+被圆2240x y y +-=所截得的弦长是A ．2 B. 4 C. 26 D. 6 6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 67. 《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”则可求得该女子第2天所织布的尺数为A.4031 B. 2031 C. 1031 D. 5318. 已知点A （-2,0），B （2,0）,00P x y （,）是直线4y x =+上任意一点，以A B ，为焦点的椭圆过点P ，记椭圆离心率e 关于0x 的函数为0()e x ，那么下列结论正确的是A. e 与0x 一一对应B. 函数0()e x 是增函数C ．函数0()e x 无最小值，有最大值 D. 函数0()e x 有最小值，无最大值2 主视图左视图俯视图1 1 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从 两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是 .10. 执行如图所示的程序框图， 输出的S 值为 .11. 已知函数()sin cos f x x x =,那么()f x 的最小正周期是 ．12. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为抛物线212y x =-的焦点，双曲线的渐近线方程为2y x =±，则实数a = .13.已知Rt ABC ∆，1AB AC ==,点E 是AB 边上的动点，则CE AC ⋅uur uuu r的值为 ；CE CB ⋅uur uu r的最大值为 .14．若函数4,3,()log ,3a x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩ （0a >且1a ≠），函数()()g x f x k =-.① 若13a =，函数()g x 无零点，则实数k 的取值范围是 ； ② 若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的公差d 为1，且134,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列52n a n b n+=+，求数列{}n b 的前n 项和n S .开始 否是1,18S n ==输出S S S n =+ 6n n =-0n >结束分钟/天m2m 3m 5m 6m 4m 6050403020频率/组距10O在ABC ∆中，3sin cos a C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3ABC S ∆=，223b c +=+，求a 的值．17. （本小题满分13分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，在该校随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :学习时间 t (分钟/天) 20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷(Ⅰ) 求m 的值；(Ⅱ) 从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好”中华诗词的概率；(Ⅲ) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间．MPEDCBA 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形， 且侧面P AB ⊥底面ABCD . E ，M 分别为线段AB ，PD 的中点. （I ）求证：PE ⊥平面ABCD ； （II ）求证：PB //平面ACM ； （III ）在棱CD 上是否存在点G ， 使平面GAM ⊥平面ABCD ，请说明理由．19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：2221(1)x y a a+=>，(,0),(0,1)A a B ，圆O ：221x y +=的圆心到直线AB 的距离为32.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与圆O 相切，且与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最大值.20.(本小题满分13分)已知函数2()e (2)x f x x =+，()ex g x =.（Ⅰ）求曲线y =()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-在区间[2,0]-上的最大值和最小值.数学试题答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBBDBACC二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分．)9. 7 10. 37 11. π 12. 3 13. 1- ; 2 14. [1,1)- ；(1,3]三、解答题(共6小题，共80分.) 15.（共13分）解：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，因为134,,a a a 成等比数列，所以 2314a a a =， 即 22111+2)3a d a a d =+（，解得2140a d d +=.因为1,d =所以14,a =-所以数列{}n a 的通项公式5n a n =-. ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知5n a n =-,所以522n a n n b n n +=+=+. 得123231(2222)(123)2(12)(1)=122(1)222n nn n n S b b b b n n n n n +=++++=+++++++++-++-+=+-……………13分16. （共13分）解：（I ）因为3sin cos a C c A =，所以cos 0A ≠，由正弦定理a b c==，得3sin sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 (0,)C ∈π，sin 0C ≠，所以 3tan 3A =． 又因为 (0,)A ∈π， 所以 6A π=． …………… 6分 （II ）由11sin 324ABCS bc A bc ∆===，得43bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-， 即222()23()8312a b c bc bc b c =+--=+--，因为223b c +=+， 解得 24a =.因为 0a >，所以 2a =. ……………13分17. （共13分）解：(Ⅰ) 由图知，(23426)101+++⨯+⨯=m m m m m ，得0.005=m . ……3分(Ⅱ) 由图知，该大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)1065%++⨯=， 所以从该大学中随机选出一人，“爱好”中华诗词的概率为0.65. ……………6分(Ⅲ) 由该大学学习“中华诗词”时间的频率分布直方图及题意，得该大学选取的40名学生学习“中华诗词”时间的数据分组与频率分布表：组号 1 2 3 4 5 6 分组 [0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]频率0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05由题意可得，100.1200.2300.3400.2500.15600.0532.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）故估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间为32.5分钟. ………13分18. （共14分）（I ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB ，又因为面P AB ⊥面ABCD ，面P AB ∩面ABCD=AB ，PE ⊂平面P AB.GMPE DCBA OG MPED CBA 所以PE ⊥平面ABCD . …………… 4分（II ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以MH // BP .又因为 BP ⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM . 所以 PB // 平面ACM . ……………8分（III ）在棱CD 上存在点G ，G 为CD 的中点时，平面GAM ⊥平面ABCD ．…… 9分证明：（法一）连接EC ．由（Ⅰ）得，PE ⊥平面ABCD ， 所以PE ⊥CD ，因为ABCD 是菱形，∠ ABC ＝60°，E 为AB 的中点， 所以ABC ∆是正三角形，EC ⊥AB . 因为CD // AB ， 所以EC ⊥CD ． 因为PE ∩EC=E ， 所以CD ⊥平面PEC ， 所以CD ⊥PC ．因为M ，G 分别为PD ，CD 的中点， 所以MG //PC ， 所以CD ⊥MG ．因为ABCD 是菱形，∠ADC ＝60°， 所以ADC ∆是正三角形. 又因为G 为CD 的中点，所以CD ⊥AG ， 因为MG ∩AG=G ， 所以CD ⊥平面MAG ， 因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面MAG ⊥平面ABCD ． ……………14分（法二）：连接ED ，AG 交于点O . 连接EG , MO . 因为E ，G 分别为AB ，CD 边的中点. 所以//AE DG 且AE DG =，即四边形AEGD 为平行四边形，O 为ED 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以//MO PE .由（I ）知PE ⊥平面ABCD . HMPEDCBA又因为MO ⊂平面GAM ，所以 平面GAM ⊥平面ABCD ……………14分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，直线AB 的方程为:1,0xy x ay a a+=+-=即：. 由1a >, 得点O 到直线AB 的距离为：23,21a a =+ 解得3a = 故椭圆C 的方程为 2213x y +=. ……………5分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =±，代入2213x y +=，得63y =±，此时263PQ =. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 因为直线l 与圆O 相切，所以2||1,1m k =+即221m k =+由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，整理得222(13)63(1)0k x kmx m +++-= 所以22222223612(13)(1)12(13)24,k m k m k m k ∆=-+-=+-=由0,∆>得0k ≠，设点1122(,),(,)P x y Q x y ，则212122263(1),1313km m x x x x k k -+=-=++， 所以222222121222(1)224()()1=231313k k k PQ x x y y k k k+⋅-+-=+⨯⨯++｜｜= 222(1)2223313k k k ++≤⨯=+， 当且仅当2212,k k +=即1k =±时，||PQ 有最大值为3.综上所述，||PQ 的最大值为3. …………… 14分20.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）2()e (22)x f x x x '=++，(0)2f '=，又(0)2f = .故曲线y =()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为22y x =+ . …………… 4分（Ⅱ）2()()()e (2)e x x h x f x g x x =-=+-设21()()e (22)e x p x h x x x '==++-，则22()e (44)=e (2)0x x p x x x x '=+++≥，则p (x )在区间[2,0]-上单调递增，又(1)0p -=， 当[2,1]∈--x 时，()()0p x h x '=<； 当[1,0]∈-x 时，()()0p x h x '=>.所以函数()h x 在区间[2,1]--上单调递减，在区间[1,0]-上单调递增，又因为22262e 2e (2)2(0)e eh h +-=<==，所以min max 4()(1),()(0)2e h x h h x h =-=== . ……………13分 .。
昌平2018高三二模语文试卷及答案
昌平2018高三二模语文试卷及答案2018.5本试卷共10页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共8小题，共25分。
阅读下面的材料，完成1—8题。
材料一汉字是书写汉语的符号，它承载文化。
汉字、汉字文化博大精深，源远流长，是中华民族光辉灿烂文化的重要组成部分。
我们的祖先在创造汉字时，是依据“仰则观象于天，俯则观法于地”“近取诸身，远取诸物”造汉字的，所以“每一个汉字都是一幅内涵深邃的图画”，记录了山川鸟兽、天地万物，以至民俗民风等。
如“婚”字，最初写作“昏”。
古代社会男方娶亲习惯在黄昏或黑夜进行，所以作“昏”。
后来为了与“黄昏”的意义区别，加“女”旁为“婚”，专指结婚。
分析汉字的组合过程，可以研究造字人在主观上对客观世界的认识水平，这是世界上任何一种拼音文字无可比拟的。
汉字注重审美形象，能给人们视觉上的满足。
看到“枫、柏、松”“昏、旦、春”就会想到“树木”或“时间”，因为“木”和“日”这两个偏旁给出这种暗示。
这是汉字造字时所遵循的类似联想机制的理据性，想从其他语种的词汇中找到这种理据很难，而汉字比比皆是。
历经数千年的铸炼和积淀，汉字滋生出了书法、碑刻、诗词、楹联等，形成了自身的文化体系，共筑了丰厚的民族文化底蕴。
汉字是中华文化的根，是人类难以再造的无上瑰宝，本是中国人，当知中国字。
但时至今日国人对汉字优势的认识尚显不足，缺乏一定的自觉性、主动性，不论是汉字本身还是汉字文化，不论是其工具性还是呈现的思想、精神亦或是思维的开发、良好行为的形成，没有完全继承下来，因此要加大宣传的力度。
在学校、社会营造学汉字、写汉字、用汉字的良好氛围，以热爱祖国的方块字为荣，以书写祖国的方块字为荣，以能流利地书写并书写得整齐、端正、美观为荣。
同时，借助媒体的特殊作用，像青歌赛、诵读比赛一样每年都搞全国性的汉字书写大赛，把“书写”这一传统的工具性手段推广到每一个角落，让我们的大中小学生乃至我们每一个华夏儿女都与汉字保持亲密接触。
昌平数学二模高三试卷答案
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)的零点个数。
答案：3个解析：对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。
由于f''(x) = 6x，f''(1) = 6 > 0，f''(-1) = -6 < 0，故x = ±1是f(x)的极值点，因此f'(x)有3个零点。
2. 在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,4)，点C(5,1)，求三角形ABC的外接圆方程。
答案：(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10解析：设三角形ABC的外接圆方程为x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，代入A、B、C三点坐标，解得D = -2，E = -4，F = -1，所以外接圆方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10。
3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n - 1，求数列{an}的前n项和S_n。
答案：S_n = 2^(n+1) - n - 2解析：根据数列的通项公式，S_n = (2^1 - 1) + (2^2 - 1) + ... + (2^n - 1) = 2^(n+1) - n - 2。
4. 已知等差数列{an}的首项a_1 = 3，公差d = 2，求该数列的第10项a_10。
答案：a_10 = 21解析：等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，代入a_1 = 3，d = 2，n = 10，得a_10 = 3 + (10 - 1) 2 = 21。
5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[0,1]上单调递增，且f(0) = 2，f(1) = 3，求a、b、c的值。
答案：a = 1，b = -2，c = 2解析：由f(0) = 2，得c = 2；由f(1) = 3，得a + b + c = 3，结合f(x)在[0,1]上单调递增，得a = 1，b = -2。