高中数学选修22人教A版 .2反证法PPT
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
栏 目 链 接
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
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自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
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自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明复习小结优质课件
现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思
路时，类比法往往能指明前进的方向．”
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
特别提醒： (1) 归纳推理是由部分到整体，个体到一般
的推理，其结论正确与否，有待于严格证明．
(2) 进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱 比，要对两类对象的共同特点进行对比．
[ 思维点击 ] 归纳猜想 ――→ fn推理与证明
栏目导引
1 [规范解答] 因为 an＝ 2， n＋1 f(n)＝(1－a1)(1－a2)„(1－an) 1 3 所以 f(1)＝1－a1＝1－4＝4，
1 1－ f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)· 9
推理与证明章末小结
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事
实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后 提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体， 个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理 是由一般到特殊的推理．
推出结论的线索不够清晰； (2) 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨 论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
工具
人教A版数学选修2-2 第二章 推理与证明
栏目导引
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是
论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必 须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传 递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不 可，第二步中证明“当n ＝k ＋1 时结论正确”的过程中，必
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
高中数学课件- 反证法
反证法的思维方法：正难则反
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
Байду номын сангаас
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
▪ 1.用反证法证明命题：“若整系数一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根， 那么a，b，c中存在偶数”时，否定 结论应为( )
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍.一天， 他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋 友一哄而上去摘李子，独有王戎没动.有人问 王戎为什么？
4 在用反证法证明“已知：p3＋q3＝2， 求证p＋q≤2”时的假设为__________， 得出的矛盾为__________．
▪ 解析：假设p＋q>2，则p>2－q. ▪ ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
▪ 将p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<0， ▪ ∴(q－1)2<0，显然不成立．∴p＋q≤2. ▪ 答案：p＋q>2 (q－1)2<0
c＝z2－2x＋π.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 6
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c ＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
Байду номын сангаас
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
▪ 1.用反证法证明命题：“若整系数一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根， 那么a，b，c中存在偶数”时，否定 结论应为( )
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍.一天， 他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋 友一哄而上去摘李子，独有王戎没动.有人问 王戎为什么？
4 在用反证法证明“已知：p3＋q3＝2， 求证p＋q≤2”时的假设为__________， 得出的矛盾为__________．
▪ 解析：假设p＋q>2，则p>2－q. ▪ ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
▪ 将p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<0， ▪ ∴(q－1)2<0，显然不成立．∴p＋q≤2. ▪ 答案：p＋q>2 (q－1)2<0
c＝z2－2x＋π.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 6
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c ＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
高中数学2.2.2《反证法》优秀课件
< 1 +2× 1 + 1 =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。 2 22
解：略。说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。那么C必定是在撒谎， 为什么？
分析:假设C没有撒谎, 那么C真. - - 那么A假且B假;
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
例2 a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个 根．
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2 则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2 ∴ax1-ax2 =0 ∴ a（ x1-x2） =0 ∵ x 1≠ x 2 ， x 1-x 2 ≠ 0 ∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
练习: 1.已知 f ( x) x2 px q ， 求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 1 。
2
1.已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少
解：略。说明：“至少”型命题常用反证法，由于其反面情况 也只有一种可能，所以属于归谬反证法。
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。那么C必定是在撒谎， 为什么？
分析:假设C没有撒谎, 那么C真. - - 那么A假且B假;
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
例2 a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个 根．
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2 则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2 ∴ax1-ax2 =0 ∴ a（ x1-x2） =0 ∵ x 1≠ x 2 ， x 1-x 2 ≠ 0 ∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
练习: 1.已知 f ( x) x2 px q ， 求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 1 。
2
1.已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修2-2
(2)用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不 是反证法.用反证法证题时,如果欲证明命题的反面情况只有 一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况 有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成
立.
(3)证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在
性和唯一性.
类型二
用反证法证明存在性命题
【典例2】 (1)(2014·西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两 个钝角”的否定是 .
(2)(2014·石家庄高二检测)已知a,b,c均为实数,且a= x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大
2 3 6
于0.
【微思考】
(1)用反证法证明命题“若p,则q”时,为什么 q假,q就真?
提示:在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,
二者必居其一,所以命题结论q的反面 q错误时,q就一定正确.
(2)反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有
关吗?
提示:有关.反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假
(2)已知三个正整数a,b,c成等比数列,但不成等差数列, 求证: a, b, c 不成等差数列.
【解题探究】1.题(1)中所要证明的命题的结论是什么?
2.题(2)中
a, b, c 不成等差数列的反设是什么?
【探究提示】1.所要证明的命题的结论是“方程没有整数根”.
2.假设 a, b, c 成等差数列.
2.2.2 反 证 法
问题 1.反证法的定义是什么?有什么特点? 引航 2.利用反证法证题的关键是什么?步骤是什么?
反证法的定义及证题的关键
2019年高中数学 2.2.2反证法教案 新人教A版选修2-2
2.2.2反证法教学建议1.教材分析本节主要内容是反证法的概念及应用反证法进行证明的一般步骤,通过学习本节内容,对培养学生的逆向思维是非常有利的,反证法是间接证明的一种基本方法.重点:了解反证法的含义及思维过程和特点,并能简单应用.难点:应用反证法解决问题.2.主要问题及教学建议(1)方法的选择.建议教师要求学生总结何时采用反证法证明更好.当问题涉及否定性,唯一性,至多,至少等字眼或问题很显然从正面无法下手时可以考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展示学生的证明过程,有针对性地改正以下错误现象:不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设(若不用反设就不是反证法了),对推出矛盾没有预见性或推不出矛盾,引导学生学会制造矛盾.备选习题1.如图,设SA,SB是圆锥SO的两条母线,O是底面圆的圆心,C是SB上一点.求证:AC与平面SOB不垂直.证明:如图,连接AB,OB,假设AC⊥平面SOB.∵直线SO在平面SOB内,∴AC⊥SO.∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.又AB∩AC=A,∴SO⊥平面ABC,∴平面ABC∥底面圆O.这显然与AB⊂底面圆O矛盾,∴假设不成立.故AC与平面SOB不垂直.2.设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和.(1)求证:数列{S n}不是等比数列;(2)数列{S n}是等差数列吗?为什么?(1)证明:反证法:假设{S n}是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即q=0,与q≠0矛盾,∴{S n}不是等比数列.(2)解:当q=1时,{S n}是等差数列.当q≠1时,{S n}不是等差数列.假设q≠1时,{S n}是等差数列,则S1,S2,S3成等差数列,即2S2=S1+S3.∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2,q=q2.∵q≠1,∴q=0,与q≠0矛盾.∴当q≠1时,{S n}不是等差数列.。
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O
H
a
CF B
求证： | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有一个不小于 1 。 2
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
1.直 线 PO 与平面 相交 于 O ，过点 O 在平 面 内引直 高中数学选修22人教A版.2反证法【公开课课件】 线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . P
∴ m = 2n ∴m2 =2n2
∴ m 2 是 偶 数 ， 从 而 m 必 是 偶 数 ， 故 设 m = 2 k （ k ∈ N ）
从 而 有 4 k 2= 2 n 2 ， 即 n 2= 2 k 2 ∴n2也是偶数，这 与 m ， n 互 质 矛 盾 ！
所 以 假 设 不 成 立 ， 2 是 有 理 数 成 立 。
例3:用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦
不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且
AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分. A
证明：假设弦AB、CD被P平分，
O
D
由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径
定理的推论，有OP⊥AB，OP⊥CD，
P C
即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾。
你能举出一个类似故事《路边苦李》中的推理 的例子吗？
“昨晚下雨了……”
下面的计算结果是否正确：
123456789 999999999 123456789876543211
当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要 改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难 解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的 间接解法中的一种——反证法. (又比如课本的思考)
什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，
最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命
题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法).
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根．
证 ： 假 设 方 程 a x + b = 0 ( a ≠ 0 ) 至 少 存 在 两 个 根 ，
不 妨 设 其 中 的 两 根 分 别 为 x 1 ， x 2 且 x 1 ≠ x 2 则 ax1=b， ax2=b∴ax1 =ax2 ∴ax1-ax2 =0 ∴ a（ x1-x2） =0 ∵ x 1≠ x 2 ， x 1-x 2 ≠ 0 ∴a = 0 与 已 知 a≠ 0矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 ， 结 论 成 立 。
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
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说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
正面 词语
等于 大于（>） 小于 (<)
小于或 不等于 等于（≤
）
至多有 至少有 一个 一个
大于或 等于（≥ ）
任意的
是 不是 所有的
都是
不都是 至多有n
个
任意 两个
至少有 一个也 否定 两个 没有
某个
某些 至少有n 某两个 ＋1个
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
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求证： 2 是无理数.
证 ： 假 设2是 有 理 数 ，
则 存 在 互 质 的 整 数 m ， n 使 得 2=m， n
B
所以，弦AB、CD不被P平分。
反 证法是一 种重要的 数学思想 方法， 对于那些 含有否 定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜。牛
顿说：“反证法是数学上最精良的武器之一.” 这就充分肯
定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位。
数学上很多有名的结论都是用反证法得证的.比如说,
素数有无穷多个, 2 是无理数的证明等.
高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
选做作业: 高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】
1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内
引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC .
求证： PO .
P
A E
2.已知 f ( x) x2 px q ，
2.2.2 反证法
反证法
阅读下面的故事,体会其中的推理: 《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7 岁那年的某一天和 小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得 把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王 戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙 伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。小伙伴问王 戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的 啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李 子早就没 了！李子现在还那么多 ,所以啊,肯定李 子是苦的，不好吃!”
求证： PO .
方法小结: 高中数学选修22人教A版 .2反证法【公开课课件】 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 由⑵因分导析果法:─(已─知转)化A尝试B(1执果索因,B妙n 在转 B (化结!论) )
执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
). 3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b
证 ： 假 设 a >b 不 成 立 ， 则 a ≤ b 若a= b， 则 a=b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
若a< b， 则 a<b,与 已 知 a>b矛 盾 ,
故 假 设 不 成 立 ， 结 论 a >b 成 立 。
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与
假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多----,” ,“ 至少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问题;(4)结论 的反面比原结论更具体更容易研究的命题。