悬臂梁式压电振子的弯曲振动微分方程
泰克思达
悬臂梁式压电振子的弯曲振动微分方程
直梁是指横剖面尺寸远小于其纵长尺寸的平直细长弹性体。它承受垂直于中心线的横向载荷作用并发生弯曲变形。
图2.9中的直梁在xy平面内做横向振动。假设梁的各截面的中心主惯性轴在同一Oxy 内，外载荷也作用在该平面，且略去剪切变形的影响及在面绕中性轴转动惯量的影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧拉一伯努力梁的模型。
对于压电振子悬臂梁结构，结构示意图如图2.10所示。
泰克思达
悬臂梁式压电振子的基振频率
对于悬臂梁式双晶片压电振子，此处不做推导，直接给出其主要动态参数一基振频率关的理论公式[57〕:、
悬臂梁固有频率的计算
悬臂梁固有频率的计算 试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。 解：法一：欧拉-伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ??=??； 悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l dw w w w x x dx x x x ==???======???，； 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到 1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中2 4 A EI ρωβ= 将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得 12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得 12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要 求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即 (cos cosh ) (sin sinh ) =0(sin sinh )(cos cosh ) l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+ 所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-； 该方程的根n l β表示振动系统的固有频率：12 2 4 ()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各 n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，； 若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n n n n l l C C l l ββββ+=-+；
悬臂梁应变测量
悬臂梁应变测量 摘要：在航空、机械及材料研究领域中，零件的强度是一个很重要问题。研究强度问题的途径之一便是实验应力分析。本课程设计便是利用实验应力分析中的电测法来测定弹性元件等强度悬臂梁在力的作用下产生的应变。具体方法是通过在悬臂梁上粘贴三个应变片，它们均分布在悬臂梁的上表面上，其中一应变片位于纵向轴的中心线上，其余两个应变片分别位于轴中心线的两侧等距离处，且靠近变动端；然后通过增减砝码的个数改变所加的力，利用数字万用表记录、读取数据。为了减小实验误差，本实验采用多次测量求平均值的方法，并对实验数据利用Excel进行了拟合，作出了应变片的电阻变化值与载荷之间的关系图，再根据有关公式，最终得出在弹性限度内悬臂梁的应变与它所受到的外力大小成线性关系。 关键词：电测法；应变片；悬臂梁；数字万用表
引言 研究强度问题可以有两种途径，即理论分析和实验应力分析。实验应力分析是用实验方法来分析和确定受力构件的应力、应变状态的一门科学，通过实验应力分析可以检验和提高设计质量、工程结构的安全性和可靠性，并且可以达到减少材料消耗、降低生产成本和节约能源的要求。实验应力分析的方法很多，有电测法、光测法、机械测量方法等。本实验主要是利用电测法。电测法有电阻、电容、电感测试等多种方法，其中以电阻应变测量方法应用较为普遍。电阻应变测量方法是用电阻应变片测定构件表面的应变，再根据应变--应力关系确定构件表面应力状态。工程中常用此方法来测量模型或实物表面不同点的应力，它具有较高的灵敏度和精度。由于输出的是电信号，易于实现测量数字化和自动化，并可进行遥测。电阻应变测量可以在高温、高压、高速旋转、强磁场、液下等特殊条件下进行，此外还可以对动态应力进行测量。由于电阻应变片具有体积小、质量轻、价格便宜等优点，且电阻应变测试方法具有实时性、现场性，因此它已成为实验应力分析中应用最广的一种方法。它的主要缺点就是，一个电阻应变片只能测量构件表面一个点在某一个方向的应变，不能进行全域性的测量]1[。 本实验为悬臂梁的应变测量，所谓的悬臂梁，即一端固定，另一端可以动的弹性元件。应变是描述一点处变形程度的力学量，它是由载荷、温度、湿度等因素引起的物体局部的相对变形，主要有线应变和切应变两类。电阻应变片是一种将机械构件上应变的变化转换为电阻变化的传感元件。 本实验使用的方法为电测法，通过逐级加减载荷改变悬臂梁所受的力，使之发生不同的形变，用电阻应变片作为传感器，将微小的形变这个非电学量转换成电学量电阻的变化来测量悬臂梁的主应变。在该实验中电阻的变化量是通过数字万用表直接读数处理得到的，之后通过应力与应变之间的关系得出悬臂梁所受的正应力，利用Excel制作出拟合曲线进行分析。本实验主要目的在于了解悬臂梁、电阻应变片的结构及工作原理，掌握数字万用表测电阻的方法及原理，理解灵敏度对测量结果的影响，最终利用数
悬臂梁地振动模态实验报告材料
实验 等截面悬臂梁模态测试实验 一、 实验目的 1. 熟悉模态分析原理； 2. 掌握悬臂梁的测试过程。 二、 实验原理 1. 模态分析基本原理 理论上，连续弹性体梁有无限多个自由度，因此需要无限多个连续模型才能描述，但是在实际操作中可以将连续弹性体梁分为n 个集中质量来研究。简化之后的模型中有n 个集中质量，一般就有n 个自由度，系统的运动方程是n 个二阶互相耦合（联立）的常微分方程。这就是说梁可以用一种“模态模型”来描述其动态响应。 模态分析的实质，是一种坐标转换。其目的在于把原在物理坐标系统中描述的响应向量，放到所谓“模态坐标系统”中来描述。这一坐标系统的每一个基向量恰是振动系统的一个特征向量。也就是说在这个坐标下，振动方程是一组互无耦合的方程，分别描述振动系统的各阶振动形式，每个坐标均可单独求解，得到系统的某阶结构参数。 多次锤击各点，通过仪器记录传感器与力锤的信号，计算得到第ｉ个激励点与定响应点（例如点2）之间的传递函数 ω ，从而得到频率响应函数矩阵中的一行 频响函数的任一行包含所有模态参数，而该行的r 阶模态的频响函数 的比值，即为r 阶模态的振型。 2. 激励方法 为进行模态分析，首先要测得激振力及相应的响应信号，进行传递函数分析。传递函数分析实质上就是机械导纳，i 和j 两点之间的传递函数表示 [] ∑==N r iN r i r i r H H H 1 21 ... [] Nr r r N r r r r ir k c j m ???ωω? (2112) ∑ =++-=[]{}[] T r ir N r r iN i i Y H H H ??∑==1 21 ...
实验四 悬臂梁弯曲实验汇总
实验四悬臂梁弯曲实验 一、电阻应变仪 各种不同规格及各种品种的电阻应变计现在有二万多种，测量仪器也有数百余种，但按其作用原理，电阻应变测量系统可看成由电阻应变计、电阻应变仪及记录器三部分组成。其中电阻应变计可将构件的应变转换为电阻变化。电阻应变仪将此电阻变化转换为电压（或电流）的变化，并进行放大，然后转换成应变数值。 其中电阻变化转换成电压（或电流）信号主要是通过应变电桥(惠斯顿电桥)来实现的，下面简要介绍电桥原理。 1、应变电桥 应变电桥一般分为直流电桥和交流电桥两种，本篇只介绍直流电桥。
电桥原理图所示，它由电阻R1、R2、R3、R4组成四个桥臂，AC两点接供桥电压U。图中U BD是电桥的输出电压，下面讨论输出电压与电阻间的关系。 通过ABC的电流为：I1=U/(R2+ R1) 通过ADC的电流为：I2=U/(R3+ R4) BD二点的电位差 U BD= I1R2-I2R3=（R2R4-R1R3）U /(R2+ R1)(R3+ R4) 当U BD=0,即电桥平衡。由此得到电桥平衡条件为： R1 R3 =R2R4 如果R1 =R2 =R3 =R4 =R，而其中一个R有电阻增 量， 式中2ΔR 与4R相比为高阶微量，可略去，上式化为 如果R1 =R2 =R3 =R4为电阻应变计并受力变形后产生的电阻增量为 、、、代入式中，计算中略去高阶微量，可得
将式代入上式可得 电桥可把应变计感受到的应变转变成电压（或电流）信号，但是 这一信号非常微弱，所以要进行放大，然后把放大了的信号再用应变 表示出来，这就是电阻应变仪的工作原理。电阻应变仪按测量应变的 频率可分为：静态电阻应变仪、静动态电阻应变仪、动态电阻应变仪 和超动态电阻应变仪，下面我们简要介绍常用的静态电阻应变仪中的 一种应变仪--数字电阻应变仪。 二、测量电桥的接法 各种应变计和传感器通常需采用某种测量电路接入测量仪表，测 量其输出信号。对于电阻应变计或者电阻应变计式传感器，通常采用 电桥测量电路，将应变计引起电阻变化转换为电压信号或电流信号。 电桥的测量电路由电阻应变计及电阻组成桥臂，电桥的应变计接桥方 式分为半桥和全桥。 在实际测量中，可以利用电桥的基本特性，采用各种电阻应变计在电桥中不同 的连接方法达到不同的测量目的：
悬臂梁的横向扭转屈曲例题汇总
7.6 横向扭转屈曲分析实例(GUI方式) 可以用BEAM188 和BEAM189 单元来模拟直梁的弯曲和剪切，也可以模拟梁的横向扭转屈曲。为了建立这一模型，需要建立足够密的梁单元网格。典型地，需要用一系列的梁单元来模拟一根直梁。如图7-4 所示。 图7-4 悬臂梁的横向扭转屈曲 悬臂梁的横向扭转屈曲，用60个BEAM188 单元模拟(通过/ESHAPE显 示) 《ANSYS Structural Analysis Guide》§7 详细叙述了屈曲分析。本例分析悬臂梁在末端承受横向载荷时的行为。 7.6.1 问题描述 一根直的细长悬臂梁，一端固定一端自由。在自由端施加载荷。本模型做特征值屈曲分析，并进行非线性载荷和变形研究。研究目标为确定梁发生支点失稳(标志为侧向的大位移)的临界载荷。参见图7-5。 7.6.2 问题特性参数
材料特性：杨氏模量=1.0X10e4 psi；泊松比=0.0。几何特性：L=100 in；H=5 in；B=2 in。载荷为：P=1 lb。 7.6.3 草图 图7-5 梁的变形 7.6.4 特征值屈曲和非线性破坏分析 特征值屈曲分析是线性分析，通常仅适用于弹性结构。通常在小于特征值屈曲分析得到的临界载荷之前发生材料屈服。这种分析比完全非线性屈曲分析所需的求解时间要少。 用户还可以用弧长法做非线性载荷-位移研究，这时用弧长法确定临界载荷。对于更一般的情况，需要进行破坏分析。 模型有缺陷时，必须做非线性破坏分析，因为完美模型不会表现出显著的屈曲。可以通过使用特征值分析得到的特征向量，来加入缺陷。求得的特征向量是对实际屈曲模态最接近的预测。添加的缺陷与梁的典型厚度相比，应为小量。缺陷删除了载荷-位移曲线的突变部分。通常情况下，缺陷最大值为梁厚度的1%～10%。UPGEOM命令在前一步分析的基础上添加位移，并把几何形状更新到变形后的形状。 7.6.5 设置分析名称和定义模型的几何实体 1、选择菜单“Utility Menu>File>Change Title”。
(整理)工程力学第六章答案梁的变形
第五章 梁的变形 测试练习 1. 判断改错题 5-1-1 梁上弯矩最大的截面,挠度也最大,弯矩为零的截面,转角亦为零. （ ） 5-1-2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （ ） 5-1-3 悬臂梁受力如图所示，若A 点上作用的集中力P 在A B 段上作等效平移，则A 截面的转角及挠度都不变。 （ ） 5-1-4 图示均质等直杆（总重量为W ），放置在水平刚性平面上，若A 端有一集中力P 作用，使A C 部分被提起，C B 部分仍与刚性平面贴合，则在截面C 上剪力和弯矩均为零。 （ ） 5-1-5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。 （ ） 5-1-6 等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。 （ ） 5-1-7两简支梁的抗刚度E I 及跨长2a 均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。 （ ） 5-1-8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C 产生挠度和转角，若在跨中截面C 又加上一 个集中力偶M 0作用，则梁的截面C 的挠度要改变，而转角不变。 ( ) 5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。 （ ） 5-1-10 图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。 （ ） 题5-1-3图 题5-1-4图 题5-1-8图 题5-1-7图 题5-1-9图
2．填空题 5-2-1 挠曲线近似微分方程EI x M x y ) ()(" - = 的近似性表现在 和 。 5-2-2 已知图示二梁的抗弯度E I 相同，若使二者自由端的挠度相等，则 =2 1 P P 。 5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。 5-2-4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。 5-2-5 用积分法求图示的外伸梁（B D 为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是 ，连续条件是 。 5-2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是 ，连续条件是 。 5-2-7 图示结构为 次超静定梁。 5-2-8 纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M 的关系为 ，其变形曲线为 曲线。 5-2-9 两根E I 值相同、跨度之比为1：2的简支梁，当承受相同的均布荷载q 作用时，它们的挠度之比为 。 5-2-10 当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x 的 次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x 的 次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x 的 次方程。 5-2-11 图示外伸梁，若A B 段作用有均布荷载，B C 段上无荷载，则A B 段挠曲线方程是x 的 次方程；B C 段挠曲线方程是x 的 次方程。 5-2-12 减小梁变形的主要途径有： ， ， 。 题5-2-2图 题5-2-7图 题5-2-6图 x C 题5-2-11图
悬臂梁固有频率的计算电子版本
悬臂梁固有频率的计 算
悬臂梁固有频率的计算 试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。 解：法一：欧拉-伯努利梁理论 悬臂梁的运动微分方程为：4242(,)(,)+0w x t w x t EI A x t ρ??=??； 悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l dw w w w x x dx x x x ==???======???，； 该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中2 4A EI ρωβ= 将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即 (cos cosh ) (sin sinh )=0(sin sinh )(cos cosh ) l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+ 所以得到频率方程为：cos()cosh()1n n l l ββ=-；该方程的根 n l β表示振动系统的固有频率：1224 ()(),1,2,...n n EI w l n Al βρ==满足上式中的各n l β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372l l l l l βββββ=====，，，，；
悬臂梁 弹性力学
《弹性理论及其工程应用》课程三级项目说明书 学生姓名：李志鹏 专业班级： 10级工设一班 指导教师：周庆田 得分：
一、设计任务 使用matlab 软件对端部受集中载荷的悬臂梁进行数值分析 具体内容 1. 对悬臂梁进行应力及位移分析，并以云图形式给出结果。 2. 由图形结果确定梁最易折断部分。 1.首先讨论梁内应力分布。 其边界条件为: (σx )0x ==0; (τxy )h ±=y =0; (σy )h ±=y =0; F= -? +-h h dy xy τ σx = 2 f 2y ???= xy c 1 (a) (f ?为应力函数） 双调和方程为：4 4x f ???+ 2 2 2 4y x f ????+ 4 4y f ???=0 （b ） 通过对（a ）、（b ）两式积分可得： )(2)(673622 2c y c x c y c x f y +++=??= ?σ （c ） 4322212232 1c x c x c y c y x f xy ----=???-=?τ （d ）
2.系数的确定 由上述边界条件及（c ）、（d ）可得： 07632 ====c c c c ; 2 14 21h c c -= ; I F h F c -=-=3123δ ( 3 3 2h I δ=为截面对中性轴的截面二次矩【惯性矩】) 至此，所有常数均已求出，于是可得应力场： I Fxy x - =σ 0=y σ )(222 y h I F xy --=τ 3.然后讨论梁内位移分布 （1）应用应变位移关系及胡克定律，由应力场方程可得出： )](2[)1(222x y h I F E G x v y u EI Fxy E y v EI Fxy E x u xy xy y y x --+===??+??=-==??-===??ντγννσεσε 通过对上式积分得到位移表达式：
微纳悬臂梁力学传感器弯曲振动模式的光学测量
微纳悬臂梁力学传感器弯曲振动模式的光学测量微纳悬臂梁机械振子体积小质量低是检测微小环境变化的良好传感器,是包括原子力显微镜和磁力显微镜在内很多扫描探针显微镜的核心器件。自从原子力显微镜发明以来,微纳悬臂梁机械振子在基础研究和应用方面都取得了巨大的进展。在磁共振力显微镜的研究中,微纳悬臂梁也是一个重要的组成部分,用于跨学科的研究,如有关分子吸附和纳米机电系统的生物物理学。最近的一些发展表明利用微纳悬臂梁弯曲的多个振动模式参与传感过程,可以获得更多环境检测能力和灵敏度,如质量谱成像和两维矢量力场的实验探测。 其中关于微纳悬臂梁测量的一个挑战是测量和确定其弯曲振动模式。在弯曲振动模式的参数中,振动方向,即机械振子振动方向相对光轴或测量方向的角度,是影响整个测量系统后续分析的重要因素之一。矢量力显微是一种特别适合表征样品形貌以及微小探针-样品间力信号的普适技术,通过监测在扫描样品表面时振动模式的频率改变和振动方向可以得到二维矢量力场图以此提供更多的信息。针对研制的微透镜光纤干涉仪,分析了微纳悬臂梁机械振子光学测量中光干涉和光散射两种物理效应。 研究分为以下三个部分:1.我们发现,结合光在光纤端面和悬臂梁上两个反射所形成干涉效应和光在微纳悬臂梁上的背向散射效应,可以实现对微纳悬臂梁在聚焦光平面内和聚焦光平面外的位移测量。特别的,对于微纳悬臂梁聚焦光平面内的位移测量,我们研制的微透镜光纤干涉仪与传统的光散射仪器相比,不需要四象限光电探测器,极大的降低了光路复杂性,需要准直的光学器件由3个降为2个,便于其应用于极低温系统中。2.理论分析了使用微透镜光纤干涉仪测量机械振子任意方向振动最佳工作点的优化,并通过实验测量沿不同方向振动的悬臂梁,证实了我们的分析。基于以上研究结果,我们测量了两个微米线悬臂梁的热振动,分析其振动方向。 我们的研究结果为机械振子弯曲振动模式提供了新的实验研究手段,为其在矢量力测量中的应用夯实了基础。3.提出了一个实验确定微纳悬臂梁弯曲振动模式振动方向的方法。该方法不需要对微纳悬臂梁有先验知识,也不需要同时测量一对近简并的弯曲振动模式。利用我们的微透镜光纤干涉仪,通过选择不同的工作点,即选择两个不同的振动投影方向,我们实验确定了一个微米线悬臂梁前3
悬臂梁振动参数测试实验
报告四报告四 悬臂梁振动参数测试试验 一 实验目的实验目的 1.了解机械振动测试的基本原理 方法 技能 2.掌握自由共振法确定系统的固有频率和阻尼比的方法 3.了解机械振动数据处理方法 二 要仪器设备 要仪器设备 1.悬臂梁—被测 象 2.DASP 数据采集 分析系统 该系统集成 信号发生器示波器 信号分析仪 和 频响函数测试仪 种仪器， 有多通道同 采集 能，并 采集到的信号实 时域 频域多种分析 能， 有 被测振动系统的频响函数测试的 能 3.电荷放大器—前置放大器 4. 速度计 自由共振法自由共振法 1.1.时域法测梁的振动频率和阻时域法测梁的振动频率和阻时域法测梁的振动频率和阻尼尼 本实验中，圆频率 d ωω=当ξ很小时，有 d d ,2/n T ωωωπ≈= 中，正由测量得到 所示，当ξ很小时，有 1 定d n ωω≈ 2 确定ξ ξ= ln i n i n M M δ+= 2.2.频域法测梁的振动频率 阻尼频域法测梁的振动频率 阻尼频域法测梁的振动频率 阻尼 因 d ωω=当ξ很小时，有 r n ωω≈ 1 由()A ω减掉ω 的共振峰来确定n ω
2 212n ωωξω?= ，12(1)(1)n n ωξωωξω=?=+ 12()()A A ωω≈≈ 四 按理论 式计算按理论 式计算 梁的固有频率梁的固有频率 已知 ()n f HZ = 式中 E ——梁的弹性模量 0I ——梁横截面惯性矩 L ——悬臂梁长度 S ——梁的横截面积 A ——振型常数 3.52A = 一阶 ρ——梁材料单位体积质量 五 悬臂梁振动参数的测试悬臂梁振动参数的测试 图1 实验测试悬臂梁
悬臂梁模态分析实验报告.doc
精品资料 悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验 一、实验目的 1、用共振法确定悬臂梁横向振动时的前五阶固有频率； 2、熟悉和了解悬臂梁振动的规律和特点； 3、观察和测试悬臂梁振动的各阶主振型，分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。 二、仪器和设备 悬臂梁固定支座；脉冲锤1个；圆形截面悬臂钢梁标准件一个；加速度传感器一个；LMS振动噪声测试系统。 三、实验基本原理 瞬态信号可以用三种方式产生,分述如下： 一是快速正弦扫频法.将正弦信号发生器产生的正弦信号,在幅值保持不变的条件下,由低频很快地连续变化到高频.从频谱上看,该情况下,信号的频谱已不具备单一正弦信号的特性,而是在一定的频率范围内接近随机信号. 二是脉冲激励.用脉冲锤敲击试件,产生近似于半正弦的脉冲信号.信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ,τ越小则频率范围越大. 三是阶跃激励.在拟定的激振点处,用一根刚度大、重量轻的弦经过力传感器对待测结构施加张力,使其产生初始变形,然后突然切断张力弦,相当于给该结构施加一个负的阶跃激振力. 用脉冲锤进行脉冲激振是一种用得较多的瞬态激振方法,它所需要的设备较
少,信号发生器、功率放大器、激振器等都可以不要,并且可以在更接近于实际工作的条件下来测定试件的机械阻抗. 四、实验结果记录 前五阶固有频率表 阶数固有频率（Hz） 1 8.491 2 54.216 3 154.607 4 304.354 5 494.691 实验测得的前五阶振型图如下： 1阶振型图
2阶振型图 3阶振型图 4阶振型图
5阶振型图 五、理论计算悬臂梁固有频率 圆截面悬臂钢梁有关参数可取：Pa E 11101.2?=,7850=ρkg/3 m 。用直尺测 量悬臂梁的梁长L=1000mm 、梁直径D=12mm 。计算简支梁一、二、三、四阶固有频率和相应的振型，并将理论计算结果填入表。 悬臂梁的振动属于连续弹性体的振动，它具有无限多自由度及其相应的固有频率和主振型，其振动可表示为无穷多个主振型的叠加。对于梁体振动时，仅考虑弯曲引起的变形，而不计剪切引起的变形及其转动惯量的影响，这种力学分析 模型称为欧拉-伯努利梁。 运用分离变量法，结合悬臂梁一端固定一端自由的边界条件，通过分析可求得均质、等截面悬臂梁的频率方程 1 L Lch cos -=ββ （5-1） 式中：L ——悬臂梁的长度。 梁各阶固有频率为 4 2 2(Al EI l f i i ρπ β）= （5-2） 悬臂梁固有圆频率及主振型函数
轴向载荷周期结构梁的弯曲振动带隙特性
振动与冲击 第２９卷第３期ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＶＩＢＲＡＴＩＯＮＡＮＤＳＨＯＣＫＶ０１．２９Ｎｏ．３２０１０轴向载荷周期结构梁的弯曲振动带隙特性 郁殿龙，温激鸿，陈圣兵，方剑宇，温熙森 （国防科技大学机电工程研究所，长沙４１００７３） 摘要：各种载荷广泛存在于结构振动中，影响结构的振动特性。利用传递矩阵法，建立了轴向载荷周期结构梁弯曲振动特性理论模型，能够计算轴向载荷周期结构梁弯曲振动的能带结构和传输特性。研究表明，轴向载荷周期结构梁弯曲振动存在带隙，并分析了轴向载荷对带隙频率范围和衰减的影响。通过调节载荷条件，可以实现了超低频带隙特性。通过调节轴向载荷的大小和方向可以提高带隙的适应性。 关键词：周期结构；声子晶体；轴向载荷 中图分类号：０３２１；ＴＨｌｌ３；０４８文献标识码：Ａ 轴向载荷广泛存在于各种结构振动中，它不仅在理论上有重要研究价值，而且有广泛的工程背景。比如在火箭导弹的飞行过程中，存在着很大的轴向压缩载荷，这个轴压载荷对导弹横向振动特性存在不同程度的影响…。 目前轴向载荷对结构振动特性的影响已经得到国内外高度关注，主要体现在轴向载荷对薄壁梁弯扭耦合动力响应【２１以及稳定性分析旧１；而Ｊ．Ｒ．Ｂａｎｅｒｊｅｅ等人Ｍ１利用动态刚度矩阵法研究了轴向载荷对复合材料梁弯扭耦合振动特性的影响。 研究发现当弹性波在周期性复合材料或结构中传播时，弹性波经过周期性调制，在特定的频率范围内不能传播。人们将该频率范嗣称为带隙，而这种具有弹性波带隙的周期性复合材料或结构则称为声子晶体［５山】。由于声子晶体的带隙特性可以有效控制弹性波的传播，并且带隙频率范围可人为设计，因而声子晶体在声学器件以及减振降噪方面具有广泛的应用前景。 本文作者等人将声子晶体周期性的思想引入到工程中常见的结构，得到了相应的周期结构，并分析了其振动带隙特性［７。】，进一步促进了声子晶体在减振降噪中的应用探索。但是研究仅陷于结构的自由振动，没有考虑载荷、边界等条件对带隙的影响。而且带隙频率与结构振动频率相比还是偏高，这在一定程度上也影响了带隙特性在工程中的应用。 本文利用传递矩阵法研究了轴向载荷对周期结构梁弯曲振动带隙特性，分析了轴向载荷对带隙特性的影响，特别是发现了一定压力载荷下可以实现超低频带隙。 基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０８７５２５５） 收稿日期：２００９一Ｏｌ—１５修改稿收到日期：２００９一０２一ｌＯ 第一作者郁殿龙男，博士，讲师，１９７５年９月生１轴向载荷梁弯曲振动方程与传递矩阵法 体的基本特征是具有周期性，将声子晶体的思想引八到梁结构设计中，可以将梁设计成周期结构。图１所示为一维周期结构梁示意图，由梁Ａ及梁Ｂ沿戈轴交替排列而成。梁Ａ和梁Ｂ可以由不同的材料参数构成，也可以由不同的几何参数构成。设梁Ａ的长度为ａ，，梁Ｂ的长度为口：，则单个周期的梁长度（即晶格常数）为ａ＝ａ．＋口：。同时梁上施加轴向载荷Ｆ，如果Ｆ＞０，则表示为拉力，如果Ｆ＜０，则表示为压力。 ｝—ｊＬ—÷ｌ Ｌ生酗●ＢＵＪＢＩＩＡｌｌＢ 山Ｉｔ旦２，Ｉ 图ｌ轴向载荷周期结构梁示意图 假设在梁的两端施加力ｊ’后，梁作微幅振动且梁在振动过程中梁截面上的力，保持不变，此时梁弯曲振动的微分方程为［１０，１１］： 王ａｘｚｆＦ，幺ａｘ】一，雾＋ｐｓ雾＝。（１）其中Ｅ为弹性模量，，为截面二次矩，Ｐ为梁的密度，Ｓ为梁的截面面积，Ｙ表示梁的弯曲位移。 设位移ｙ（ｘ，ｔ）＝ｒ（ｘ）ｅｘｐ（／ｔｏｔ），则式（１）的解可以写成： Ｙ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（Ａｌｚ）＋Ｂｃｏｓ（Ａ１戈）＋ Ｃｓｉｎｈ（Ａ２聋）＋Ｄｃｏｓｈ（Ａ２ｘ）（２）其中： Ａ。＝√－Ｔ“２＋，７ｄ４＋１尹 Ａ－＝√“，胁尹 厂■——Ｆ亍＝ 入２＝＿％＋ｑ％＋矽 这里ａ２面Ｆ，矿＝∞２笆Ｅ１。 万方数据
堆取料机悬臂梁的振动特性思考
堆取料机悬臂梁的振动特性思考 在推动我国经济建设的过程之中，建筑领域在我国实现了快速的发展。不可否认，作为我国国民经济中的重要组成部分，建筑业对实现我国的稳定建设有着关键的作用和价值，与其他的行业相比，建筑业的整个运作模式更为复杂涉及许多不同的设备和工艺，堆取料机是各类工程施工之中的重要设备，作为应用相对比较广泛的散料装卸设备，堆取料机的操作非常的简单，同时工作效率比较高，能够保障操作的安全性和可靠性，因此许多国家以及地区在推动经济建设的过程之中，不断的将其运用于现有的工程建设中。文章以堆取料机悬臂梁的振动特性为切入点，对这一特点进行进一步的分析以及研究，一起为发挥堆取料机应有的作用提供一定的借鉴。 标签：堆取料机；悬臂梁；振动特性 Abstract：In the process of promoting China’s economic construction，the rapid development of the field of architecture in our country. Undeniably，as an important part of our national economy，the construction industry has a key role and value to achieve the stability of the construction of our country. Compared with other industries，the construction industry has a key role and value. The whole operation mode of construction industry is more complicated，which involves many different equipments and processes. The stacker and reclaimer is important equipment in all kinds of engineering construction. As a widely used bulk loading and unloading equipment，the operation of stacker and reclaimer is very simple. Work efficiency is relatively high enough to ensure the safety and reliability of the operation，so many countries and regions，in the process of promoting economic construction，continue to apply it to the existing project construction. Based on the vibration characteristics of the cantilever beam of the stacker-reclaimer，this paper makes further analysis and research on this characteristic，and provides some references for giving full play to the function of the stacker-reclaimer. Keywords：stacker and reclaimer；cantilever beam；vibration characteristics 引言 隨着我国城镇化进程的不断加快，现代工业技术在我国实现了快速的发展，在一些大型工程建设的过程之中，堆取料机的使用尤为普遍，同时在建材，冶金，矿山，交通，电力等不同的部门和领域之中，堆取料机的应用备受社会各界的广泛关注。与其他的设备和工艺相比，堆取料机在整个操作的过程之中需要以较为熟练的操作技巧为切入点，结合工程建设的实施情况充分的发挥堆取料机的作用和价值，促进生产效率的提升，更好的保障堆取料机结构的优化升级，提高使用寿命和安全性，积极的降低设备的重量。 1 堆取料机
悬臂梁模态分析实验报告
悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验 一、实验目的 1、用共振法确定悬臂梁横向振动时的前五阶固有频率； 2、熟悉和了解悬臂梁振动的规律和特点； 3、观察和测试悬臂梁振动的各阶主振型，分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。 二、仪器和设备 悬臂梁固定支座；脉冲锤1个；圆形截面悬臂钢梁标准件一个；加速度传感器一个；LMS振动噪声测试系统。 三、实验基本原理 瞬态信号可以用三种方式产生,分述如下： 一是快速正弦扫频法.将正弦信号发生器产生的正弦信号,在幅值保持不变的条件下,由低频很快地连续变化到高频.从频谱上看,该情况下,信号的频谱已不具备单一正弦信号的特性,而是在一定的频率范围内接近随机信号. 二是脉冲激励.用脉冲锤敲击试件,产生近似于半正弦的脉冲信号.信号的有效频率取决于脉冲持续时间τ,τ越小则频率范围越大. 三是阶跃激励.在拟定的激振点处,用一根刚度大、重量轻的弦经过力传感器对待测结构施加张力,使其产生初始变形,然后突然切断张力弦,相当于给该结构施加一个负的阶跃激振力. 用脉冲锤进行脉冲激振是一种用得较多的瞬态激振方法,它所需要的设备较少,信号发生器、功率放大器、激振器等都可以不要,并且可以在更接近于实际工作的条件下来测定试件的机械阻抗. 四、实验结果记录
前五阶固有频率表 阶数固有频率（Hz） 1 8.491 2 54.216 3 154.607 4 304.354 5 494.691 实验测得的前五阶振型图如下： 1阶振型图 2阶振型图
3阶振型图 4阶振型图 5阶振型图
五、理论计算悬臂梁固有频率 圆截面悬臂钢梁有关参数可取：Pa E 11101.2?=,7850=ρkg/3 m 。用直尺测 量悬臂梁的梁长L=1000mm 、梁直径D=12mm 。计算简支梁一、二、三、四阶固有频率和相应的振型，并将理论计算结果填入表。 悬臂梁的振动属于连续弹性体的振动，它具有无限多自由度及其相应的固有频率和主振型，其振动可表示为无穷多个主振型的叠加。对于梁体振动时，仅考虑弯曲引起的变形，而不计剪切引起的变形及其转动惯量的影响，这种力学分析 模型称为欧拉-伯努利梁。 运用分离变量法，结合悬臂梁一端固定一端自由的边界条件，通过分析可求得均质、等截面悬臂梁的频率方程 1 L Lch cos -=ββ （5-1） 式中：L ——悬臂梁的长度。 梁各阶固有频率为 4 2 2(Al EI l f i i ρπ β）= （5-2） 悬臂梁固有圆频率及主振型函数 频率方程 A EI f L Lch ρπββ211 cos *= -= i 固有圆频率i n f 主振型函数 )(x X i 1 * 21 1 f f β= 2 *2 22f f β= 3 *2 33f f β= 4 *2 44f f β= 5 *2 55f f β=
悬臂梁实验
悬臂梁弯曲正应力测定实验 一、实验目的 测定悬臂梁承受纯弯曲时的应力，并与理论计算结果进行比较，以验证应力公式。掌握用电阻应变片测量应力的原理及其方法。 二、实验仪器 应变传感器实验模块、托盘、砝码、数显电压表、±15V 、+10V 电源、万用表（自备）。 三、实验原理 金属箔式应变片就是通过光刻、腐蚀等工艺制成的应变敏感组件，为了测量构件上某点沿某一方向的应变，在构件未受力前，将应变片贴在测点处，使应变片的长度L 沿着指定的方向。构件受力变形后，粘贴在构件上的应变片随测点处的材料一起变形，应变片的原来电阻R 改变为R+△R （若为拉应变，电阻丝长度伸长，横截面面积减小，电阻增加）。由实验得知，单位电阻的改变量△R/R 与应变ε成正比，即 =R S R ε? S 称为应变片的灵敏系数，它和电阻丝的材料及丝的绕制形式有关。S 值在应变片出厂时由厂方标出，一般S 值为2左右。 图1 实验平台示意图 本实验平台如图1所示，四个金属箔应变片分别贴在弹性体的上下两侧，弹性体受到压力发生形变，应变片随弹性体形变被拉伸，或被压缩。这些应变片将应变变化转换为电阻的变化，将应变片接入直流电桥中，通过电桥将电阻变化转换为电压变化，进而可以通过测量电压的变化测量应变。应变片在电桥中有3中基本线路连接，单臂连接（一个应变片）、半桥连接（两个臂为应变片）、全桥连接（四个全是应变片）。电桥一般采用等臂连接，即应变片不受力时，电桥中的电阻值相同，电桥平衡。不同的连接方式灵敏度不同，输出电压与电阻变化及应变之间的关系为： 单臂：011=44 I I R U U U S R ε?=
半桥：14014111=422 I I I R R R U U U U S R R R ε?????=-= ??? 全桥：3124012341=4I I I R R R R R U U U U S R R R R R ε???????= -+-= ??? 由上述可知，全桥灵敏度最高，并且可以补偿非待测载荷应力的干扰及温度补偿的作用。本实验中采取全桥连接方式。在实验中，合适调整放大倍数，即可将应变值显示。本实验中，应变片灵敏度S 为2。 图2 电桥原理示意图 图3 应变处理电路模块及接线示意图 四、实验内容与步骤 1．应变传感器已安装在应变传感器实验模块上。
悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验
实验五 悬臂梁各阶固有频率及主振形的测定试验 一、实验目的 1、用共振法确定悬臂梁横向振动时的各阶固有频率。 2、熟悉和了解悬臂梁振动的规律和特点。 3、观察和测试悬臂梁振动的各阶主振型。分析各阶固有频率及其主振型的实测值与理论计算值的误差。 二、基本原理 悬臂梁的振动属于连续弹性体的振动，它具有无限多自由度及其相应的固有频率和主振型，其振动可表示为无穷多个主振型的叠加。对于梁体振动时，仅考虑弯曲引起的变形，而不计剪切引起的变形及其转动惯量的影响，这种力学分析模型称为欧拉-伯努利梁。 运用分离变量法，结合悬臂梁一端固定一端自由的边界条件，通过分析可求得均质、等截面悬臂梁的频率方程 1 L Lch cos -=ββ （5-1） 式中：L ——悬臂梁的长度。 梁各阶固有园频率为 A EI i i n 2 ρβω= （5-2） 对应i 阶固有频率的主振型函数为 ) ,3,2,1() sin (sin cos cos )( =-++- -=i x x sh L L sh L L ch x x ch x X i i i i i i i i i ββββββββ （5-3） 对于（5-1）式中的β，不能用解析法求解，用数值计算方法求得的一阶至四阶固有园频率和主振型的结果列于表5-1。 各阶固有园频率之比 1f ﹕1f ﹕1f ﹕1f ﹕… = 1﹕6.269﹕17.56﹕34.41﹕… （5-4） A B x 图5-1 悬臂梁振动模型 表（5-1）给出了悬臂梁自由振动时i =1～4阶固有园频率及其相应主振型函数。除了悬臂梁固定端点边界位移始终为零外，对于二阶以上主振型而言，梁上还存在一些点在振动过程中位移始终为零的振型节点。i 阶振型节点个数等于i -1，即振型节点个数比其振型的阶数小1。 实验测试对象为矩形截面悬臂梁（见图5-2所示）。在实验测试时，给梁体施加一个大小适当的激扰作用力，其频率正好等于梁体的某阶固有频率，则梁体便会产生共振，这时梁体变形即为该阶固有频率所对应的主振型，其它各阶振型的影响很小可忽略不计。用共振法确定悬臂梁的各阶固有频率及振型，我们只要连续调节激扰力，当悬臂梁出现某阶主振型且振动幅值最大即悬臂梁产生共振时，这时激扰力的频率就可以认为是悬臂梁的这一阶振动的固有频率。在工程实践中，最重要是确定振动系统最低的几阶固有频率及其主振型。本实验主要运用共振法测定悬臂梁一、二、三、四阶固有频率及其相应的主振型。
计及结构阻尼的等截面梁纯弯曲振动的非线性分析
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 振!动!与!冲!击 第"#卷第$期 %&’()*+&,-./(*0.&)*)123&45 -678"#)68$"99:! 计及结构阻尼的等截面梁纯弯曲振动的非线性分析 基金项目!湖南省自然科研基金项目"项目编号!9=%%<99>9)湖南省杰出中青年基金项目"项目编号!9"%%n /99? 收稿日期!"99#;9<;"9!修改稿收到日期!"99#;9:;9:第一作者高永毅男"博士"教授">?=@年生高永毅>"!陈安华""!唐!果$ #>8湖南科技大学物理学院"湘潭!<>>"9>) "8湖南科技大学机电工程学院"湘潭!<>>"9>)$8湖南科技大学数学学院"湘潭!<>>"9>$ !!摘!要!针对考虑挠度微分方程中高阶项所引起的几何非线性及材料阻尼所引起的阻尼非线性的梁"建立了梁纯 弯曲振动时的非线性运动方程%利用非线性理论对该非线性问题进行了研究"得到了周期解稳定和不稳定区域的分界线方程和频率响应方程"得到忽略梁非线性因素的条件"得到了梁挠度微分方程中高阶项所引起的几何非线性项具有软特性效应等四点结论% 关键词!等截面梁"纯弯曲振动"几何非线性"结构阻尼中图分类号!&$""!!!!!!文献标识码!* !!梁是工程中一种常见和大量使用的结构构件"在 工程中得到广泛应用"在结构振动和机械振动中"梁的振动是最常见的工程振动"因而关于梁振动的研究引起了学者的广泛关注%0Q ]6F YM PV6等人&>’总结了梁的线性振动理论并给出了求解各种支承的梁的响应方法"目前"梁线性振动理论已比较成熟%然而"随着科学技术的飞速发展"高强度材料的使用"重大工程机械系统越来越复杂"精密仪器的防振要求等等"都使梁的非线性振动问题日益突出"因此"梁的非线性振动问题就成了非线性振动理论研究的前沿课题之一%许多学者对梁的非线性振动作了深入探讨与分析%c 6Q P6d F IR 5O Q M N M O 用椭圆积分法对不可移动边简支梁的问题作了 分析&"’ %g h M ]M P 用摄动法对不同边界条件下简支梁的几何非线性振动进行了求解&$’%2O Q PQ h L F L P 利用伽辽金法得到了不可移动简支梁和板的几何非线性自由 振动响应解&<’%28 (8(8W Q 77L Q 等人利用谐振子假设得到了时域解(伽辽金解和谐波平衡解&=’%g 83816d M 77等人对有关支承处具有摩擦的梁的非线性振动进行了研究&#;>9’%本文作者在参考文献&>>’中"对梁的挠度微分方程中高阶项所引起的几何非线性问题进行了研究%以上研究都是将梁在变形时对应的阻尼视为线性阻尼"但是在参考文献&>"’和&>$’指出!弹性材料的梁在变形时对应的阻尼是非线性材料阻尼"对于梁的非线性振动问题"材料阻尼所引起非线性振动问题也是一个值得认真研究和不可忽视的问题%本文试图对既考虑梁的挠度微分方程中的高阶项所引起的几何非线性"又考虑材料阻尼所引起的阻尼非线性的梁纯弯曲振动问题进行析% !"运动方程 图>!梁的挠度分析图!’!"梁的几何非线性 建立如图>所示的坐标"坐标轴S 沿梁的轴线%设!梁在纯弯曲振动时"挠曲线表示为! +8+#*", $#>$并假设梁为理想弹性体"振 动是微幅振动"梁的长度;与截面高度之比相当大#大 于>9$%梁上作用有均布简谐激扰动)A )9b 6F #),C ’ $%根据材料力学可知"梁的挠度微分方程为!!!$8W B #"+# *">:#+#()*[] "9$1"#"$ 因为在工程问题中梁的挠度一般都远小于跨度"挠曲线是一非常平坦的曲线"转角/也是一个非常小的角度"如图>所示%由此在参考文献&>>’中已给出梁的挠度微分方程为! !!$8W B #"+#*()">9$"#+#()*[]"#$$ !!$"8W "B "#"+# *()" ">9$#+#()*[] "#<$式中!W 是弹性模量"B 是截面惯量矩%图"!材料阻尼!’#"梁的阻尼非线性 参考文献&>"’和&>$’指出!弹性材料"特别是金属材料在弹性范围内变形时"因材料内部相互摩擦而耗散能量"力和变形之间产生相位滞后"在一次加载循环中形成滞后环"其力和变形之间的关系如图"所示%这种阻尼称为材料阻尼"是一种结构阻尼%所以"弹性 万方数据