悬臂梁式压电振子的弯曲振动微分方程
压电梁弯曲振动方程及等效体力的计算
压电梁弯曲振动方程及等效体力的计算
贾玉斌;孙雨南;秦秉坤;印平
【期刊名称】《北京理工大学学报》
【年(卷),期】1999(19)5
【摘要】目的为研究石英音叉型角速率传感器提供设计参数方法根据压电理论和弹性力学理论,讨论石英晶体振梁不同方向(光轴z和电轴x)振动的弹性柔顺常数存在的差别,导出压电梁弯曲振动的微分方程,并利用有限差分方法对几种典型的电极图形进行数值计算结果与结论提出等效体力概念,给出了压电梁等效体力计算的一般公式,优选了振梁型传感器的电极图形。
【总页数】5页(P599-603)
【关键词】等效体力;振梁型传感器;压电梁振动;弯曲振动
【作者】贾玉斌;孙雨南;秦秉坤;印平
【作者单位】北京理工大学光电工程系;北京联合大学专业基础部
【正文语种】中文
【中图分类】TN384;TP212
【相关文献】
1.梁端带粘性阻尼器的弯曲振动梁的复模态与等效阻尼常数的求解方法 [J], 邓龙龙;邓志坚;邓燕华
2.圆盘形弯曲振动压电变压器等效电路及特性研究 [J], 黄以华;施俊;周康源
3.用精确电场法和等效电路法计算压电双晶片梁的等效电容 [J], 江山;廉紫阳;戴隆
翔;胡洪平
4.用精确电场法和等效电路法计算压电双晶片梁的等效电容 [J], 江山;廉紫阳;戴隆翔;胡洪平;
5.压电梁弯曲振动电极的位置效率和等效电路(英文) [J], 贾玉斌;孙雨南;秦秉坤因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
哈密顿原理推导悬臂梁的横向自由振动微分方程
一、概述悬臂梁是工程中常见的结构，其横向自由振动微分方程的推导是理解结构动力学的重要环节。
哈密顿原理是一个物理学上的基本原理，能够提供系统的最小作用量原理。
本文将利用哈密顿原理来推导悬臂梁的横向自由振动微分方程，旨在深入探讨结构动力学中的基本原理，为工程研究提供理论支持。
二、背景知识1. 悬臂梁悬臂梁是一种常见的结构形式，其特点是其中一端固定，另一端悬挂。
悬臂梁在工程中广泛应用，如桥梁、建筑、机械等领域。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一个基本原理，它描述了系统的最小作用量原理。
哈密顿原理是拉格朗日原理的推广，它通过最小化系统的作用量来描述系统的运动方程。
三、悬臂梁的横向自由振动悬臂梁的横向自由振动是指在无外界力的情况下，悬臂梁自身由于外界扰动而产生的振动。
我们可以利用哈密顿原理来推导悬臂梁的横向自由振动微分方程。
四、哈密顿原理推导1. 系统的广义坐标我们需要确定系统的广义坐标。
悬臂梁的横向自由振动可以使用横向位移作为广义坐标来描述。
假设悬臂梁的长度为L，质量为m，弹性系数为k，则系统的横向位移可以用函数y(x, t)来表示。
2. 系统的作用量系统的作用量S可以表示为积分形式，即S = ∫L dt其中L为拉氏量，表示系统的动能T和势能V的差值。
在悬臂梁的横向自由振动中，系统的动能可以用动能函数T表示，系统的势能可以用势能函数V表示。
则拉氏量可以表示为L = T - V其中动能函数T可以表示为T = ∫0L 1/2 * m * (∂y/∂t)^2 * dx势能函数V可以表示为V = ∫0L 1/2 * k * y^2 * dx3. 哈密顿原理的应用根据哈密顿原理，系统的作用量S在运动的路径上取极值。
我们可以通过变分法来求解作用量S的极值问题。
假设横向位移y(x, t)在固定边界条件下使得作用量S取得极值，则可以得到横向位移函数y(x, t)满足的运动方程。
五、悬臂梁的横向自由振动微分方程通过哈密顿原理的推导，我们可以得到悬臂梁的横向自由振动微分方程。
悬臂压电叠层复合梁的弯曲振动固有频率
（ 石河 子大学 机械 电气工程 学院 ）（ 石河子大 学 水利建 筑工程学 院 ， 石河子 ８ ２ ０ ） ３ ０ ３
（中国科学技术大学精密机械与精密仪器系， ３ ． 合肥 ２ ０２ ） ３０７
Ｎａ ｕ ａ ｒ ｑ ｅ ｃ ｆ ｌｘ ｒ Ｉ ｉ ｒ ｔ ｎ ｏ ａ ｔｅ ｅ ｉｚ ｅｅ ｔｉ ｍ ｉａ ｅ ｏ ｏ ｉ ｅ ｍ ｔ ｒ Ｉ ｅ ｕ ｎ ｙ ０ ｅ ｕ ａ ｂ ａ ｉ ｆ ｎ ｉ ｖ ｒ ｅ ｏ ｌｃ ｒ Ｉ ｎ ｔ ｄｃ ｍｐ ｓｔ ｂ ａ ｆ ｆ ｖ ｏ ｃ ｌ ｐ ｃａ ｅ Ｇ Ｎ ｉｊ ｏ， Ｎ ｕ ｓａ Ｏ Ｇ Ｌ－ｉ ＷＡ Ｇ Ｙ －ｈ ｎ ａ （ ｏｌ ｅ ｆ ｃ ｉｅ ｎ ｌｃ ｉ ｌ ｎ ｉｅ ｒ ｇ Ｓ ｉｅｉ ｎｖｒｉ ， ｈｎ ） ｌ ｇ ｈｎ ｒ ａ ｄＥｅ ｔｃ ｇ ｅｉ ，ｈｈ ｚ Ｕ ｉｅｓｙ Ｃ ｉａ Ｃ ｅ ｏ Ｍａ ｙ ｒａＥ ｎ ｎ ｔ
（Ｃ ｌ ｇ ｆ ｔｒＣ ｎ ｅｖ ｎ ｙ＆ Ａ ｃ ｉ ｃｕ ａ ｇｎ ｅｉｇ Ｓ ｉｅ ｉ ｉｅｓ ｙ Ｓ ｉｅ ｉ ３ ０ ３ Ｃ ｉａ ｏｌ ｅｏ ｅ ｏ ｓ ｒａ ｃ ｅ Ｗａ ｒ ｈｔ ｔｒｌ ｅ Ｅｎ ｉｅ ｒ ， ｈｈ ｚ Ｕｎｖ ｒｉ ， ｈｈ ｚ ８ ２ ０ ， ｈｎ ） ｎ ｔ
● ． ●一 ＾ ｔ一 ’ ，、 ’、 ＾ ｔ斤 ’ ● ’ ● ＾ ● ’ ｔ一 十 ’ ｔ ＾ § 、 卜 ｔ斤 ｔ一 － 、 ●一 、 ｌ， 、 ｔ、 ” ｔ 曼十 十’、 ｌ ＾ ｅ 十 § ● ｅ １曼 、 、 ． ／卜 ｔ 、 ＂、 §斤 斗 曼 Ｈ 、 ＾ １ ， § ” 、 ’ ． ｌ ＾ｔ
第 ３期 ２１ ０ ２年 ３月
文章编号 ：０ １ ３ ９ （０ ２）３ ０ ２ — ３ １０ — ９７ ２ １ ０ — ２ １ ０
悬臂梁的弯曲振动
∂4 y ∂2 y EI 4 = − ρ 2 ∂x ∂t
E——弹性模量；I——截面惯量矩； ρ——密度；M——x截动力工程学院
Shanghai Jiao Tong University
二、悬臂梁弯曲振动固有频率和振型函数
悬臂梁边界条件： X (0) = X ′(0) = 0 特征方程为： 固有频率为：
Preprocessor Element Type Add
制造技术与装备自动化研究所 机械与动力工程学院
Shanghai Jiao Tong University
四、悬臂梁弯曲振动有限元模态分析（ANSYS）
2） 定义实常数：
Preprocessor Real Constants
3）定义截面属性
Preprocessor Sections Common Sections Beam
制造技术与装备自动化研究所 机械与动力工程学院
1 25
2
3
156.7 438.75
前三阶振型
Shanghai Jiao Tong University
四、悬臂梁弯曲振动有限元模态分析（ANSYS）
1
模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术
2 模态分析是所有动力学分析的基础 3
通过模态分析可以确定结构的固有频率和振型
一阶弯曲 二阶弯曲
第一阶振型
第二阶振型
三阶弯曲
第三阶振型
悬臂梁前三阶振型理论与数值结果基本一致
制造技术与装备自动化研究所 机械与动力工程学院
Shanghai Jiao Tong University
五、风力发电机有限元振动分析
（1）风力发电机整体模型
完成网格划分后的风力发电机有 限元模型如左图所示； 所建有限元模型的单元总数为 606,101个，总节点数为 1,114,442个。
悬臂梁抗弯刚度为ei挠曲线的近似微分方程
悬臂梁抗弯刚度为ei挠曲线的近似微分方程
悬臂梁抗弯刚度为ei的微分方程可以表示为：
d²y/dx² = -M(x)/ei
其中，y是梁的挠曲度，x是梁的自变量，M(x)是梁上的弯矩。
这个微分方程描述了梁在受到外力时的弯曲情况。
根据这个微分方程，我们可以推导出悬臂梁的挠曲线。
假设悬臂梁长度为L，在x=0处支撑，梁的一端没有支撑，假定梁端
的挠度和弯矩为0。
在这种情况下，由于没有支撑，梁受到的弯矩只有悬挂处的重力产生的弯矩。
因此，可以将弯矩表示为M(x) = mgx，其中m是梁的质量，g是重
力加速度。
将这个弯矩代入微分方程，得到：
d²y/dx² = -mgx/ei
这是一个关于x的二阶线性微分方程，可以通过求解得到悬臂梁的挠
曲线。
解微分方程需要先求出相应的特征方程，特征方程为：
λ² + (mg/ei) = 0
解出特征方程的根为：
λ = ±√(-mg/ei)
根据这个根，可以得到悬臂梁的挠曲线：
y = A*cos(√(-mg/ei)*x) + B*sin(√(-mg/ei)*x)
其中，A和B是常数，根据悬臂梁的边界条件可以求解。
悬臂梁的挠曲线是一个正弦曲线，这是因为悬挂在一端的梁的自重使得其在这个点上弯曲。
可以根据这个挠曲线来计算悬臂梁的最大挠度和最大应力等参数，用于设计工程中的悬臂梁。
总之，悬臂梁抗弯刚度为ei的微分方程是描述悬臂梁在受外力作用下弯曲情况的数学模型。
通过求解微分方程可以得到悬臂梁的挠曲线，为工程设计提供了基础支持。
悬臂梁的微分方程以及边界条件
悬臂梁的微分方程以及边界条件
悬臂梁是一种常见的结构，它由一端固定支撑，另一端悬空。
在工程领域中，我们经常使用微分方程来描述悬臂梁的运动行为。
微分方程可以帮助我们理解悬臂梁在受力作用下的弯曲程度，以及如何选择适当的边界条件来求解问题。
悬臂梁的微分方程通常可以表示为弯曲曲线的方程。
这个方程描述了悬臂梁上任意一点的弯曲程度和受力状态。
通过求解微分方程，我们可以得到悬臂梁在不同位置的弯曲情况。
为了求解悬臂梁的微分方程，我们需要给出边界条件。
边界条件是指在悬臂梁的两个端点处所施加的限制条件。
这些条件可以是悬臂梁在两个端点处的位移、转角或力的大小等。
通过给出适当的边界条件，我们可以确定悬臂梁的弯曲行为。
例如，我们可以假设悬臂梁的一端固定支撑，另一端受到垂直向下的力。
这个边界条件可以表示为悬臂梁在一端的位移为零，另一端的弯曲角度为零。
通过这个边界条件和微分方程，我们可以求解出悬臂梁在不同位置的位移和弯曲角度。
悬臂梁的微分方程和边界条件在工程领域中有广泛的应用。
它们可以帮助我们设计和分析悬臂梁的结构，了解不同受力条件下的弯曲情况，从而确保悬臂梁的安全性和稳定性。
悬臂梁的微分方程和边界条件是描述和求解该结构行为的重要工具。
通过合理选择悬臂梁的边界条件，并利用微分方程进行求解，我们可以深入了解悬臂梁的弯曲行为，为工程实践提供科学依据。
悬臂梁动力学方程
悬臂梁动力学方程
悬臂梁动力学方程是描述悬臂梁振动的基本方程，它的推导过程涉及到牛顿第二定律和杆件理论等知识。
首先，我们假设悬臂梁的长度为L，质量为m，弹性模量为E，惯性矩为I，横向位移为y(x,t)，横向力为F(x,t)。
根据牛顿第二定律，可以得到悬臂梁的运动方程：
m∂²y/∂t²+ EI∂⁴y/∂x⁴= F(x,t)
其中，∂²y/∂t²表示横向加速度，∂⁴y/∂x⁴表示曲率，F(x,t)表示作用在悬臂梁上的外力。
为了求解上述方程，需要对其进行边界条件的约束。
悬臂梁的边界条件为：
y(0,t) = 0 悬臂端点位移为0
∂y/∂x(0,t) = 0 悬臂端点的切线力为0
∂²y/∂x²(L,t) = 0 悬臂梁的弯曲角度为0
EI∂³y/∂x³(L,t) = M(t) 悬臂梁的弯矩为M(t)
其中，M(t)表示作用在悬臂梁上的弯矩。
通过对运动方程和边界条件进行求解，可以得到悬臂梁的振动模态和振动频率。
具体求解方法包括分离变量法、拉普拉斯变换法、有限元法等。
总之，悬臂梁动力学方程是描述悬臂梁振动的基本方程，它的推导过程需要涉及到牛顿第二定律和杆件理论等知识，求解方法包括分离变量法、拉普拉斯变换法、有限元法等。
基于压电悬臂梁的振动能量获取装置的建模及数值仿真
基于压电悬臂梁的振动能量获取装置的建模及数值仿真周璇;王海;李晗;王战;夏小品【摘要】振动能是自然环境中广泛存在的一种能量，振动式发电机可将其提取并转换为可直接利用的电能。
设计了一种用于收集环境中低频振动能的三质量块压电悬臂梁装置，利用压电薄膜的正压电效应将机械能转化成电能。
建立悬臂梁的数学模型，用ANSYS软件建立悬臂梁的仿真模型，然后对其进行模态分析，耦合分析，谐响应分析并绘制出压电振子的频率-电压曲线图。
研究结果表明该悬臂梁产生的电压可以满足无线传感器节点的使用要求，且优于单质量块悬臂梁。
% Vibration generator can extract and convert vibration energy that exists in the natural environment into electric power. A design proposal of a piezoelectric cantilever beam with three mass blocks makes use of direct piezoelectric effect to extract low-frequency vibration energy. This paper is aimed at establishing the mathematical model of the cantilever beam, using ANSYS software to establish the simulation model of the beam, and then using the modal analysis, coupling analysis, harmonic response analysis and it maps out the curve of frequency-voltage. The results shows that Piezoelectric Cantilever Beam with three mass blocks is superior to only one mass block,and the voltage generated from the cantilever beam can satisfy wireless sensor nodes.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】5页(P98-102)【关键词】振动能;压电悬臂梁;三质量块;ANSYS【作者】周璇;王海;李晗;王战;夏小品【作者单位】安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000【正文语种】中文【中图分类】TK-91 引言现今人们对环境问题格外重视，无线传感器网络的研究正受到越来越多的关注，研究内容分布也非常广泛，涵盖了从理论到实现、从节能到安全等多个方面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泰克思达
悬臂梁式压电振子的弯曲振动微分方程
直梁是指横剖面尺寸远小于其纵长尺寸的平直细长弹性体。
它承受垂直于中心线的横向载荷作用并发生弯曲变形。
图2.9中的直梁在xy平面内做横向振动。
假设梁的各截面的中心主惯性轴在同一Oxy 内，外载荷也作用在该平面，且略去剪切变形的影响及在面绕中性轴转动惯量的影响，因此梁的主要变形是弯曲变形，这即是通常称为欧拉一伯努力梁的模型。
对于压电振子悬臂梁结构，结构示意图如图2.10所示。
泰克思达
悬臂梁式压电振子的基振频率
对于悬臂梁式双晶片压电振子，此处不做推导，直接给出其主要动态参数一基振频率关的理论公式[57〕:、。