梁横向振动的近似解法
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验的原理是:
1. 将梁的两端固定,使其形成简支梁。
2. 在梁的中部施加一个短时的冲击力,使梁产生横向弯曲振动。
3. 根据牛顿第二定律,力的冲击会使梁发生位移和振动。
4. 梁的振动属于强迫谐振,振动周期取决于其本身的质量和刚度分布。
5. 通过测量梁的振动周期,可以计算出其横向振动的固有频率。
6. 调节激励力的参数,可以获得梁在不同激励下的响应规律。
7. 使用传感器测量梁的位移、应变等,结合信号分析,可以确定梁的动态特性和模态参数。
8. 控制梁的边界条件,使其接近理想的简支状态。
9. 进行多次试验取平均,可以提高结果准确性。
10. 试验符合梁横向弯曲振动的工程动力学理论。
通过该试验可以研究梁的动力学行为,获得其横向弯曲振动的动态特性。
任意跨弹性支承直梁横向自振的一个新解法
任意跨弹性支承直梁横向自振的一个新解法
周叮
【期刊名称】《工程力学》
【年(卷),期】1991(8)4
【摘要】本文给出了任意跨弹性支承(包括扭转弹性支承)直梁横向自由振动的一个新解析解法,将弹性支承反力看作是作用于梁上的未知外力,求得了直梁横向受迫振动响应的解析解,由边界条件确定待定的积分常数,利用支承处支承反力与梁位移间的线性关系导出频率方程,频率方程是以阶数等于弹性支承个数的行列式表示的,振型函数则以统一的解析式表示,刚性支承是本文特例。
本文具体导出了几种常见边界条件下的频率方程,最后给出了一个算例。
【总页数】15页(P111-125)
【关键词】梁;振动;直梁;弹性支座
【作者】周叮
【作者单位】华东工学院
【正文语种】中文
【中图分类】O327
【相关文献】
1.考虑支承质量时弹性支承连续梁的固有横振 [J], 吴晓;郭作杰
2.弹性支承连续梁法在斜梁桥葆载横向分布计算中的应用 [J], 黄平明;夏淦
3.用弹性支承连续梁法求桥跨结构横向分布系数的研究——弹性支承连续梁修正法
[J], 梁忠滨
4.弹性支承连续梁法在斜梁桥荷载横向分布计算中的应用 [J], 黄平明;夏淦;邵容光
5.受任意个同心弹性环支圆板横向自由振动的一个新的解析解法 [J], 周叮
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振动理论及工程应用_天津大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
振动理论及工程应用_天津大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.振动问题属于动力学问题中的第二类问题，即已知主动力求（）。
答案:运动2.振动是指物体在平衡位置附近所做的（）。
答案:往复运动3.弹簧串联、等效刚度（），弹簧并联，等效刚度（）。
答案:减小增加4.在建立单自由度弹簧—质量系统的运动微分方程时，当选择物块的静平衡位置为坐标原点，假设x轴正方向垂直向下，则物块的位移、速度和加速度的正方向如何确定（）。
答案:都垂直向下5.质点或质点系的运动相互影响的现象叫做（）。
答案:耦联6.激振力与受迫振动的位移相位差为（）时，振动系统达到共振状态。
答案:90°7.小车重P在斜面自高度h处滑下与缓冲器相撞，斜面倾角为α，缓冲弹簧刚度系数为k。
如缓冲质量不计，斜面摩擦不计，小车碰撞后，系统的自由振动周期为（）。
答案:8.在图示振动系统中，已知重为P的AB杆对O轴的回转半径为ρ，物块重为Q，两个弹簧的刚度系数均为k，当系统静止时，杆处于水平。
则此系统微振动的圆频率为：（）答案:9.关于主振型的正交性，下列说法错误的是（）答案:零固有圆频率对应的主振型不与系统的其他主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交10.关于主振型矩阵和正则振型矩阵的关系是（）。
答案:将主振型矩阵的各列除以其对应主质量矩阵元素的平方根，得到的振型就是正则振型11.关于主振型矩阵和正则振型矩阵下列说法错误的是（）。
答案:将主振型矩阵的各列除以其对应主刚度的平方根，得到的振型就是正则振型12.瑞利第一商用（）方程求解，瑞利第二商用（）方程求解。
答案:作用力位移13.瑞利法估算基频的结果是精确值的（），邓克莱法估算基频的结果是精确值的（）答案:上限下限14.子空间迭代法是将（）与（）结合起来的计算方法，它对自由度数较大系统的前若干阶固有频率及主振型非常有效。
答案:里兹法矩阵迭代法15.一维单元应变位移关系矩阵B为：（）答案:16.在杆的纵向振动中，要考虑的边界条件是（）答案:位移和轴向力17.以下不属于梁横向振动的近似解法的是（）答案:传递矩阵法18.下列哪些是主动控制的特点（）。
非均匀弹性地基上梁横向振动的渐近解法
非均匀弹性地基上梁横向振动的渐近解法
周叮
【期刊名称】《强度与环境》
【年(卷),期】1994(000)001
【摘要】研究非均匀弹性地基上梁的横向振动，提供了一种既能保证较高精度、计算又非常简单的固有频率的渐近解法，作为算例，给出了非均匀弹性地基上悬臂梁固有频率的一级近似计算公式并将计算结果与连续质量有限元素法的计算结果作了比较。
【总页数】5页(P8-12)
【作者】周叮
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TU323.301
【相关文献】
1.非均质变截面弹性直杆横向振动自主频率的渐近解法 [J], 周叮
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5.非均匀温度场中弹性直杆横向、纵向及扭转振动固有频率的渐近解法 [J], 周叮因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
梁的双向横振动
考虑到边界上变分，
对于 位移边界条件 等于
又对于 力边界条件 是任意的，0同时由于 域内
是任意的
得到梁双向振动微分方程
由于Jyz的存在，导致方程是耦合的
只有各个截面的 主惯性轴 相互平行，选取两个主惯性平面 为xoy 和xoz面，使各截面的Jyz=0，方程解耦。的轴线]和[简化到轴线的外载荷] 在同一个平面, 载荷和梁的主惯性轴一个平面
不在一个平面？？分解到两个主方向上—---------两个平面内
如图所示，以变形前的轴线作为x轴，建立空间坐标系xyz 弹性线上各点的位移将有沿 y ，z 上的两个分量
V=v(x,t) W=w(x,t)
梁上任意一点a的位移，在三个方向上的 分量上分别为
得到a点的轴向应力及应变为 动能和势能的表达式为
Z轴的惯性矩 Y轴惯性矩
关于yz轴的惯 性积
考虑作用在梁上的分布载荷Fy(x，t)和Fz(x，t),以及作用于两 端的弯矩和剪力Qy0, Qz0, My0, 等，得到主动力的虚功为：
将动能 势能 虚功带入变分式
梁横向振动的近似解法
梁横向振动的近似解法弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。
从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近似解容易。
精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。
一方程的建立假设：梁的各截面中心主惯性轴在同一平面，外载也在同一平面，梁在该平面内的横向振动引起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。
∂2∂x 2 EJ ∂2y ∂x 2 +ρA ∂2y ∂t 2=p x,t −∂∂xm x,t (1) p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。
假设：y(x,t)=Y(x)bsin(ωt +ϕ)代入(1)式的齐次形式，有：(EJY ′′)′′−ω2ρAY =0 (2)上式改写成：(EJY ′′i )′′=ω2ρAY i上式两边同时乘以Y i 并在全梁上积分，i ，j 互换得到两个式子并相减等于0可以得到主振型的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率p378。
固有频率的变分式命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值ω2及相应的特征函数Y(x) 等价于下列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件P389。
ω2=st EJ(Y ′′)2dx l 0ρAY 2dx l 0 (3)证明：1，(3)式各驻值及相应的函数Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。
驻值时，一阶变分等于0，δ(ω2)=0展开后，得到三个item 相加得0：EJY ′′ ′′−ω2ρAY δYdx − EJY ′′ ′l0δY ︱0l +EJY ′′δY ‘︱0l=0 (∗) 由δY 的任意性，第一个item 等于0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到Y(x)的边界条件。
2，(3)式加(2)式后反过来可以得到δ(ω2)=0。
从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。
另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。
03-3 梁的横向振动
上式简化为
2 y Q x A x 2 f x, t t x
忽略截面转动的影响，微段的 转动方程为
M M dx M Q Q dx dx f ( x, t )dx dx 0 x x 2 M 略去dx的二次项，上式简化为 Q x 2 2 y M x A x 2 f x, t 代入运动微分方程得 2
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶
3.4 梁的弯曲振动
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★细长杆作垂直于轴线方向的振动时，其主要变形形式 是梁的弯曲变形，通常称为横向振动或弯曲振动。
★ 以 y(x ， t) 表示梁的横向位
移，它是截面位置 x 和时间 t 的二元函数；以 f(x,t) 表示作 用于梁上的单位长度的横向 力。
★对位移和转角的限制属于几何边界条件； 对剪力和弯矩的限制属于力的边界条件。 其它边界条件：如端点有弹簧支承或有集中质量等等。
用振型函数表示的边界条件
y x, t Y x F t 将方程 边界条件可以用振型函数表示。
振动力学(梁的横向振动)
火箭的助推梁在发射过程中受到推力的作用会产生横向振动，影响火箭的稳定性和安全性。研究梁的 横向振动有助于优化火箭的结构设计，提高其稳定性和安全性。
06
未来研究方向和展望
理论研究的发展
精确建模
深入研究梁的横向振动特性，建 立更为精确的数学模型，以描述 更为复杂的振动行为。
非线性动力学
研究梁在强振动或接近失稳状态 下的非线性动力学行为，揭示更 为丰富的振动特性。
高层建筑
高层建筑的楼面梁在风、地震等外部激励下会产生横向振动 ，影响楼面设备和人员的安全。研究梁的横向振动有助于优 化高层建筑的结构设计，提高其抗风、抗震性能。
机械系统
机械装备
机械装备中的传动梁、支撑梁等部件在运转过程中会产生横向振动，影响设备的正常运 行和寿命。研究梁的横向振动有助于优化机械设备的结构设计，提高其稳定性和可靠性。
梁的横向振动的重要性
梁的横向振动对结构的稳定性、安全 性和疲劳寿命等都有重要影响，因此 对梁的横向振动的研究具有重要的理 论价值。
随着科学技术的发展，对梁的横向振 动的深入研究可以为新型结构的设计 和优化提供理论支持，促进工程技术 的进步和创新。
02
梁的横向振动的基本理论
线性振动的定义
线性振动
数值模拟与实验验
证
发展更为高效的数值模拟方法， 并加强实验验证，以提高理论模 型的可靠性和实用性。
控制方法的改进
智能控制
利用现代控制理论和方法， 结合智能材料和传感器， 开发更为高效和智能的振 动控制策略。
主动控制
研究和发展更为先进的主 动控制方法，以实现对梁 振动的高效抑制和优化。
混合控制
结合被动控制和主动控制 的优势，开发混合控制策 略，以提高控制效果和降 低能耗。
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ρAψi ψj dx dx
，mij =
0
EJψi ′′ ψj ′′ dx
4、 求解常微分方程(5)，得到广义坐标。代入(4)可得挠度。
Galerkin 法
瑞利里兹法由泛函表达式出发，伽辽金法由泛函的变分式(*)出发。并且认为由于近似 的主振型导致第一项不等于 0 等价于梁上存在某种分布载荷， 且这种载荷在全梁上作的 虚功等于 0。伽辽金法中，Y(x)假设为：
l 0
EJY ′′
′′
− 2 ρAY Ydx − EJY ′′
′
Y︱0 + EJY ′′ Y ‘ ︱0 = 0 (∗)
l
l
由 Y 的任意性，第一个 item 等于 0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到 Y(x)的边 界条件。 2，(3)式加(2)式后反过来可以得到 (ω2 )=0。 从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。 另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。并且(3)式化成非分母形式时，说明的正式 机械能守恒。即第 i 阶振型的最大动能等于最大势能。
n
Y x =
i=1
ai ψi (x)
由于伽辽金法基于(*)第一项的处理，要求基础函数同时满足位移边界条件和力边界条 件。瑞利里兹法中的基础函数仅要求满足位移边界条件。 经过一系列步骤。可以得到矩阵特征值问题： R − ω2 ������ ������ = 0 可得主振型和固有频率 伽辽金法直接有振动微分方程出发，不仅适用于保守系统，还适用于非保守系统。
假设模态法：
瑞利-里兹法将振型函数展开，而假设模态法将挠度展开：
n
y x，t =
i=1
ψi (x)ηi (t)
(4)
ψi (x)为假设模态，ηi (t)为相应的广义坐标。 假设没有集中质量及弹性支承的情况下，先求动能、势能、广义力。再代入拉格朗日方 程。将弹性体的强迫振动转换为 n 自由度系统的强迫振动问题。 ������η + ������η = ������ t (5) 此常微分方程的特征值问题与瑞利里兹法的一致。 应用： 1、 确定假设模态，假设得来，或其他途径，比如 ANSYS 2、 求广义力，Qi t =
+ ρA
(1)
p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。 假设： y(x, t) = Y(x)bsin(t + ) 代入(1)式的齐次形式，有： (EJY ′′ )′′ − 2 ρAY = 0 上式改写成： (EJY ′′ i )′′ = 2 ρAYi 上式两边同时乘以Yi 并在全梁上积分，i，j 互换得到两个式子并相减等于 0 可以得到主振型 的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率 p378。 (2)
l p(x, t)ψi (x)dx 0
。此处在数值实现时，用到离散点上的数
值积分技术。 3、 计算刚度、质量矩阵的 ij 分量，组装矩阵。当由附加质量或弹性支承时，从动 Umax = EJ(Y ′′ )2 dx ，kij = EJψi ′′ ψj ′′ dx 2 0 0 Tmax = ω2 2
梁横向振动的近似解法
弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。 从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近 似解容易。精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。 一方程的建立 假设： 梁的各截面中心主惯性轴在同一平面， 外载也在同一平面， 梁在该平面内的横向振动引 起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。 ∂2 ∂2 y EJ ∂x 2 ∂x 2 ∂2 y ∂ = p x, t − m x, t 2 ∂t ∂x
瑞利里兹法
对于横向位移： y(x, t) = Y(x)bsin(t + ) 假设振型函数 Y(x)为一系列(n 个)基础函数的线性组合：
n
Y x =
i=1
ai ψi (x)
(4)
代入(3)式，并取变分等于 0。得到 ������ − ω2 ������ ������ = 0 (5) 将无限多自由度系统转换为 n 自由度系统。由(4)式的的矩阵特征值问题可以解出 n 个特征 值及相应的特征向量������������ ，由 n 个特征向量，每个向量有 n 个分量。每一个特征向量中的 n 各分量代入(5)式可以确定一个主振型。 应用： 1、 确定基础函数，假设得来，或其他途径。 2、 计算刚度、质量矩阵的 ij 分量，组装矩阵。当由附加质量或弹性支承时，从动 能及势能角度理解 kij，mij 的计算公式，往其中添加附加项。 3、 计算(5)式。先后得到频率和特征向量。 4、 特征向量代入(4)式计算主振型。
固有频率的变分式
命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值 2 及相应的特征函数 Y(x) 等价于下 列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件 P389。 ω = st
2 l EJ(Y′′ )2 dx 0 l ρAY 2 dx 0
(3)
证明： 1，(3)式各驻值及相应的函数 Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。 驻值时，一阶变分等于 0，(ω2 )=0 展开后，得到三个 item 相加得 0：