绝对值知识点及练习

绝对值知识点及练习1、定义：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作｜a｜,读作“绝对值a”。

（2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.实数a的绝对值是：|a|①a为正数时，|a|=a(不变)②a为0时，|a|=0③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值)任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。

2、实数的绝对值具有以下性质：(1)|a|大于等于0(实数的绝对值是非负实数);(2)|-a|=|a|(互为相反数的两实数绝对值相等);(3)-|a|小于等于a小于等于|a|;(4)|a|>b可以推出a<-b或a>b，a<-b或a>b可以推出|a|>b;(5)|a·b|=|a|·|b|;(6)|a|/|b|=|a/b|(b≠0);(7)|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当a、b同号时，等式成立;(8)|a-b|大于等于||a|-|b||，当且仅当a、b同号时，等式成立;(9)a属于R时，|a|的平方等于|a|的平方。

特别提醒：（1）绝对值具有非负性，即|a|≥0；（2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数；（3）0是绝对值最小的有理数。

3、利用绝对值比较大小(1)利用绝对值比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小．比较的具体步骤：①先求两个负数的绝对值；②比较绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．(2)几个有理数的大小比较①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．4、利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：(1)判断物体或产品质量的好坏可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法：①求每个数的绝对值；②比较所求绝对值的大小；③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．(2)利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．方法：①求每个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．5、去绝对值符号的几种常用方法：（1）利用定义法去掉绝对值符号根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |<c (0)(0)c x c c c -<<>⎧⇔⎨∅≤⎩；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或（2）利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化|x |<c 或|x |>c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|<c 可化为－c <ax +b <c ，再由此求出原不等式的解集。

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

（3）利用平方法去掉绝对值符号对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

(4)利用零点分段法去掉绝对值符号所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。

零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

(5)利用数形结合去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。

数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于||||x a x b m-+->或||||x a x b m-+-<(m为正常数)类型不等式。

对||||ax b cx d m+++>(或<m)，当|a|≠|c|时一般不用。

1、对于形如︱a︱的一类问题只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a (性质1，正数的绝对值是它本身) ；当a=0 时︱a︱=0 (性质2，0的绝对值是0) ；当a<0 时；︱a︱=–a (性质3，负数的绝对值是它的相反数) 。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题我们只要把a+b看作是一个整体，判断出a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号，正确进行化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=a +b(性质1，正数的绝对值是它本身) ；当a+b=0 时，︱a+b︱=0 (性质2，0的绝对值是0) ；当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3，负数的绝对值是它的相反数)3、对于形如︱a-b︱的一类问题同样，按上面的方法，我们仍然把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号。

但在去括号时最容易出现错误。

如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可。

因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b.请记住口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，根据3的口诀来化简，更快捷有效。

如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边，便可得到︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b。

5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。

练习一、选择1、绝对值为4的有理数是（）A. ±4 B. 4 C. -4 D. 22、两个数的绝对值相等，那么（）A.这两个数一定是互为相反数；B.这两个数一定相等；C.这两个数一定是互为相反数或相等；D.这两个数没有一定的关系3、绝对值小于4的整数有（）A.3个 B.5个 C.7个 D.8个4、绝对值与相反数都是它的本身（）A.1个 B.2个 C.3个 D.不存在5、若m为有理数，且那么m是（） A.非整数 B.非负数 C.负数 D.不为零的数6、下列说法中，错误的是（）A、一个数的绝对值一定是正数B、互为相反数的两个数的绝对值相等C、绝对值最小的数是0D、绝对值等于它本身的数是非负数7、下列结论中，正确的有（）①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数，绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数.A、2个B、3个C、4个D、5个8、一个数的绝对值是它本身，那么这个数是（）（A）正数（B）正数或零（C）零（D）有理数9、如果一个数的绝对值是5.2，那么这个数是（）（A）5.2 （B）－5.2 （C）5.2或－5.2 （D）以上都不对10、任何有理数的绝对值都是（）（A）正数（B）负数（C）有理数（D）正数或零11、在－（－8），|－1|，－|0|，－0 .0001这四个有理数中，负数共有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个12、在数轴上和表示－3的点的距离等于5的点所表示的数是（）（A）－8 （B）2 （C）－8和2 （D）113、9与－1 3的绝对值的和是（）（A）22 （B）－4 （C）4 （D）－2214、数－|－3 |的相反数是（）（A）－3 （B）（C）3 （D）315、设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a + b + c 等于（）A －1 B 0 C 1 D 2二、填空（1）正数的绝对值是____，负数的绝对值是_____，零的绝对值是_____，绝对值等于1 的有理数是____________．（2）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的_______．（3）49是___ ___的相反数，它是______的绝对值．（4）|－5|的相反数是________．（5）如果一个数的绝对值等于那么这个数是___________．（6）绝对值小于3.14的所有整数是________．（7）-3的绝对值是_______，绝对值是3的数是________.（8）一个数a在数轴上的对应点在原点的左侧，且，则︱a︱=__________.（9）绝对值最小的数是_____；最大的负整数是_____．（10）绝对值小于3的所有自然数是____．（11）一个有理数的相反数小于原数，这个数是____．(12)已知︱x︱－︱y︱=2，且y =－4，则x = ____。

(13)已知︱x︱=2 ，︱y︱=3，则x +y = ____。

(14)已知︱x +1 ︱与︱y －2︱互为相反数，则︱x ︱+︱y︱= ____。

(15)式子︱x +1 ︱的最小值是，这时，x值为____。

三、拓展提高：1．如果a ，b互为相反数，c, d 互为倒数，m 的绝对值为2，求式子a+b+ m－cd 的值。

2、．某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A地出发，（去向东的方向正方向），到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）+10 ，— 5，—15 ，+ 30 ，—20 ，—16 ，+ 14（1）若该车每百公里耗油3 L ，则这车今天共耗油多少升？（2）据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在A地的什么方向？距A地多远？。