中考数学专题复习之解直角三角形应用中的模型

4. 埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞

机进行搜救.如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A 点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B 点，在B 处测得俯角为60。的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点距离海面的深度（结果保留根号）?【方法10]

解直角三角形应用中的模型

?类型一叠合式

1.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平地面A 处安置测倾

器测得楼房CD 顶部点D 的仰角为45° ,向前走20米到达A'处测得点D 的仰角为67.5° . 已知测倾器AB 的高度为1.6米，则楼房CD 的高度约为（结果精确到0. 1米，护

1.414)()

B. B

A. 34. 14 米

A A r

34. 1 米 C. 35.7 米 D. 35.74 米

C(游船匕

川港口）〃（海警船）

第1题图

第2题图

2. 一艘观光游船从港口 A 以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C 处时发生

了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C 处所需的时间大约为 ______________ 小时（用根号表示）?

3.如图，某小区①号楼与?号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道?号楼的高

度,于是他做了一些测量，他先在B 点测得C 点的仰角为60° ,然后到42米高的楼顶A 处，测

得C 点的仰角为30。，请你帮助李明计算?号楼的高度CD.

B D

海面

亦√ 45：”

5.如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α,其中tana=3p,无人机的飞行高度AH为50(ψ米，桥的长度为1255米.

(1)求点H到桥左端点P的距离；

(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30。，求这架无人机的长度

?类型二背靠式

6.某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况.如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30° ,另一端B处的俯角为45。.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为( )

A. 300 米

B. 150√2 米

C. 900 米

D. (300√3+300)米

第6题图

第7题图

7.如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方

向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行______________ 海里.

8.小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45。,测得对面楼房顶端A的仰角为30。,并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度（结果保留到整数，参考数据：≠^1.4, √≈1.7）?

9.如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地.已知B 地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km, C地位于B地南偏东30°方向.若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长（结果保留整数，参考数据:sin67o

12 O 5 O 12 P . ■亠、亠 -

?両，cos67o≈jξ, tan67o"丁，√3≈1.73）.【方法10】

10.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2#■米处的点C 出发，沿斜面坡度i = l ： *的斜坡CD前进4米到达点D,在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37。，量得仪器的高DE为1.5米.已知A, B, C, D, E在同一平面内，AB

3 4 3

丄BC, AB〃DE,求旗杆AB的高度（参考数据：sin37o≈?, cos37o≈π, tan37o?〒计算

υ□ 4

结果保留根号）?

参考答案与解析

1. C

2.亜解析：如图，过点C作CD丄AB交AB的延长线于D.在阻ACD中，VZADC=90° ,

ZCAD=30o , AC=60 海里，ΛCD=∣AC = 30 海里.在心CBD 中，V ZCDB=90o , ZCBD

=90o -30o =60o , .?.BC = sinZCBD=2°λ归（海里），?：海警船到达事故船C处所需的时间大约为20寸I÷40=*^?（小时）.

A（港口）〃（海警船）

3.解：如图，作AE丄CD. VCD=BD ? tan60o =^BD, CE=BD ? tan30o 3BD, ΛAB

=CD-CE=^BD=42 米，ABD=21√3米，CD=√3BD=63 米.

答：号楼的高度CD为63米.

4.解：如图，过C作CD丄AB于D,交海面于点E.设BD = X米.V ZCBD=60o , Atan

ZCBD=丽=*, ACD=√3x 米.VAB=2000 米，AAD= (x+2000)米.V ZCAD=45° ,

AtanZCAD=^=1, Λ√3x = x+2000, Wx = IOOO Λ∕+1000, ACD= ??f( 1000 ??^+1000)

=(3000+1000^3)(米),：.CE=CD+DE=3000 +1000^3+500= (3500+100(λj3)(米)?答：黑匣子C点距离海面的深度为(3500 + 100Oe 米.

_ E ___ Wffi ............ .

D： 6沖4S÷ : Z y

/Tχ? / /

5.解：⑴在吐AHP 中，VAH=500\^3 米，由tan ZAPH=tan α=器2老可得PH=250米????点H到桥左端点P的距离为250米.

⑵设BC丄HQ 于C.在阻BCQ 中，VBC=AH=500λ^?, ZBQC = 30o , ACQ= = 1500 米.VPQ = I255 米，ΛCP=245 米.VHP=250 米，ΛAB=HC=250-245=5 (米)?

答：这架无人机的长度AB为5米.

6. D

7. 2χ∫2解析：作PC丄AB于点C. T甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，Λ ZPAC=30o, AP=4×2=8（海里），APC=AP×sin30o =8>| =4（海里）?T

乙货船从B港沿西北方向岀发，.?.ZPBC=45° , APB=PC÷sin45o=4÷ 专=4边（海里）, ???乙货船航行的速度为4吃÷2=2^（海里/时）?

=AD+BD=3√3+9≈14（米）?

答：对面楼房AB 的高度约为14米.

9.解：过点B 作BD 丄AC 于点D. VB 地位于A 地北偏东67°方向,距离A 地520km,

ZABD=67° , AAD=AB ? sin67o

≈520×-=480(km), BD=AB ? cos67° ≈520×-= 200(km). TC 地位于 B 地南偏东 30° 方向，AZCBD=30o , ACD=BD ? tan30o

=20OX 平

答：A 地到C 地之间高铁线路的长为595km.

10?解：如图，延长ED 交BC 的延长线于点F,则ZCFD=90o

. VtanZDCF = i =

A ZDCF=30o

. VCD=4 米，??.DF=?CD=2 米，CF=CD ? CoSZDCF=4

BF=BC+CF=2√3+2√3=4√3 (米)?过点 E 作 EG 丄AB 于点 G,则 GE=BF=4√3 米，GB=EF =ED+DF=1. 5+2 = 3. 5(米)?又 V ZAEG=37o , ΛAG=GE ? tanZAEG=4s p ? tan37o

≈ 3羽米，则AB=AG+BG≈ (3/3 + 3. 5)米，故旗杆AB 的高度约为(屮+3. 5)米.

ADC 中, ZACD=30o

, tan ZACD CD=9 米，AAD=CD ? tan ZACD

D=3 3（米）?在心

ggB 中，ZBCD=45° ,

㈠

8.解:在阻 ≈480 + 115=595(km).

(km), ΛAC=AD+CD=480