S 16＝S 15＋a 16
2(a 1＋a 15)＝15a 8<0，D 错误；S 13＝132
(a 1＋a 13)＝13a 7>0．故C
正确．
10．(2018·福建漳州调研)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”
其意思：“共有五头鹿，人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )
A ．一鹿、三分鹿之一
B ．一鹿
C ．三分鹿之二
D ．三分鹿之一 答案 B
解析 由题意可知，五人按等差数列分五鹿，设大夫得的鹿数为首项a 1，且a 1＝1＋2
3＝
53，公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝5，解得d ＝－13，所以a 3＝a 1＋2d ＝53＋2×－13＝1，所以簪裹得一鹿，故选B ．
11．(2018·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
(1)构造数列1，12，13，14，…，1
n
；①
(2)将数列①的各项乘以n
2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ．
则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A ．n 2
4 B ．(n －1)
2
4
C ．
n (n －1)
4
D ．
n (n ＋1)
4
答案 C
解析 依题意可得新数列为n 2，n 4，n
6，…，1n ×n 2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 2
411×2＋
12×3＋…＋1(n －1)n ＝n 2
41－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 2
4·n －1n ＝n (n －1)
4
．故选C ． 12．(2018·河南六市第一次联考)若正项递增等比数列{a n }满足1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－
a 5)＝0(λ∈R )，则a 6＋λa 7的最小值为( )
A ．－2
B ．－4
C ．2
D ．4 答案 D
解析 ∵{a n }是正项递增的等比数列，∴a 1>0，q >1，由1＋(a 2－a 4)＋λ(a 3－a 5)＝0，得1＋(a 2－a 4)＋λq (a 2－a 4)＝0，∴1＋λq ＝1a 4－a 2，∴a 6＋λa 7＝a 6(1＋λq )＝a 6a 4－a 2＝q 4
q 2
－1＝[(q 2
－1)＋1]2
q 2
－1＝(q 2
－1)＋2＋1q 2－1
≥2(q 2
－1)·
1q 2
－1
＋2＝4(q 2
－1>0)，当且仅当q ＝2时取等号，∴a 6＋λa 7的最小值为4．故选D ．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2
＝________． 答案
15
2
解析 S 4a 2＝a 1·1－q 4
1－q a 1q ＝1－q 4q (1－q )＝1－24
2×(1－2)＝15
2
．
14．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *
)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝
________．
答案 6
解析 由a n ＋a n ＋1＝1
2＝a n ＋1＋a n ＋2，得a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…
＝a 20，所以S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×1
2
＝6．
15．(2018·江西吉安一中、九江一中等八所重点中学4月联考)若{a n }，{b n }满足a n b n
＝1，a n ＝n 2
＋3n ＋2，则{b n }的前2018项和为________．
答案
1009
2020
解析 ∵a n b n ＝1，且a n ＝n 2
＋3n ＋2，∴b n ＝
1n 2
＋3n ＋2＝1(n ＋2)(n ＋1)＝1n ＋1－1
n ＋2
，∴
{b n }的前2018项和为12－13＋13－14＋14－15＋…＋12019－12020＝12－12020＝1010－12020＝1009
2020
．
16．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －
a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________．
答案 2
n ＋2
＋n (n ＋1)－4
解析 由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1
－2，又S n ＋T n ＝2
n ＋1
＋n
2
－2，所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2
n ＋2
＋n (n ＋1)－4．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(2018·云南统测)(本小题满分10分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＋a 3
＝26，S 6＝728．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S 2
n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n
．
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3，∴q ≠1．
由已知得?????
S 3＝a 1(1－q 3)1－q
＝26，
S 6
＝a 1
(1－q 6
)
1－q
＝728.解得???
??
a 1＝2，q ＝3.
∴a n ＝2×3
n －1
．
(2)证明：由(1)可得S n ＝2×(1－3n
)1－3＝3n
－1．
∴S n ＋1＝3
n ＋1
－1，S n ＋2＝3
n ＋2
－1．
∴S 2
n ＋1－S n S n ＋2＝(3n ＋1
－1)2
－(3n
－1)(3
n ＋2
－1)＝4×3n
．
18．(2018·南昌一模)(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 4
＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1．
(1)求{a n }的通项公式； (2)记b n ＝log 2
16
S n ＋1
，求b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值． 解 (1)设{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4，得 2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3
＝2，所以q ＝2．
又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1， 所以a 1＝1．所以a n ＝2
n －1
．
(2)由(1)知，S n ＝1－2n 1－2＝2n
－1，
所以b n ＝log 2
16S n ＋1
＝2log 224－n
＝8－2n ，b n ＋1－b n ＝－2，b 1＝8－2＝6，所以数列{b n }是首项为6，公差为－2的等差数列，所以b 2＝4，b 3＝2，b 4＝0，当n >5时b n <0，所以当n ＝3或n ＝4时，b 1＋b 2＋…＋b n 的最大值为12．
19．(2018·湖南长沙模拟)(本小题满分12分)设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，
S n ＝2－2a n ＋1．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(－1)n
log 12a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
解 (1)∵S n ＝2－2a n ＋1，a 1＝1， ∴当n ＝1时，S 1＝2－2a 2，得
a 2＝1－S 12
＝1－a 12
＝1
2
；
当n ≥2时，S n －1＝2－2a n ，
∴当n ≥2时，a n ＝2a n －2a n ＋1，即a n ＋1＝1
2
a n ，
2
∴{a n }是以1为首项，1
2为公比的等比数列．
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝1
2n －1．
(2)由(1)知b n ＝(－1)n
(n －1)， ∴T n ＝0＋1－2＋3－…＋(－1)n
(n －1)，
当n 为偶数时，T n ＝(－0＋1)＋(－2＋3)＋…＋[－(n －2)＋n －1]＝n
2；
当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝n ＋1
2－n ＝1－n
2
， ∴T n
＝?????
1－n 2，n 为奇数，n
2，n 为偶数.
20．(2018·太原三模)(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n
2a n ＋1．
(1)求证：数列1
a n
是等差数列，并求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b n ＝1
2n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．
解 (1)证明：因为a n ＋1＝a n
2a n ＋1
， 且可知a n ≠0，所以
1
a n ＋1－1
a n
＝2，
所以数列1
a n
是等差数列．
所以1a n ＝1a 1＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝12n ．
(2)因为b n ＝2n 2n ＝n 2
n －1，
所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n
2n －1，
则12S n ＝12＋222＋323＋…＋n
2n ，两式相减得 12S n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2
n
22所以S n ＝4－
n ＋2
2
n －1
．
21．(2018·东北三校联考)(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n
＋1
－b n )(n ∈N *
)．
(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 1＝6，b n ＝2n
(n ∈N *
)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *
恒成立，求实数λ的取值
范围．
解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6， 即a n ＝6n －5．
(2)因为b n ＝2n
，所以a n ＋1－a n ＝2(2
n ＋1
－2n )＝2
n ＋1
．
当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n
＋2
n －1
＋…＋22＋6＝2
n
＋1
＋2；
当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2
n ＋1
＋2．
由λa n >2n
＋n ＋2λ，得λ>2n
＋n 2n ＋1＝12＋n
2
n ＋1．
又n ＋12n ＋2－n
2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0，所以当n ＝1,2时，2n
＋n 2n ＋1取得最大值3
4
，故λ的取值范围为? ??
??34，＋∞．
22．(2018·河北唐山一模)(本小题满分12分)已知数列{a n }为单调递增数列，S n 为其前n 项和，2S n ＝a 2
n ＋n ．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1，T n 为数列{b n }的前n 项和，证明：T n <1
2
．
解 (1)当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 2
1＋1， 所以(a 1－1)2
＝0，即a 1＝1， 又{a n }为单调递增数列，所以a n ≥1． 由2S n ＝a 2
n ＋n 得2S n ＋1＝a 2
n ＋1＋n ＋1， 所以2S n ＋1－2S n ＝a 2
n ＋1－a 2
n ＋1，
则2a n ＋1＝a 2
n ＋1－a 2
n ＋1，所以a 2
n ＝(a n ＋1－1)2
． 所以a n ＝a n ＋1－1，即a n ＋1－a n ＝1，
所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以a n ＝n ．
(2)证明：b n ＝a n ＋22n ＋1·a n ·a n ＋1＝n ＋2
2n ＋1·n ·(n ＋1)
＝
1n ·2n －
1
(n ＋1)·2n ＋1
， 所以T n ＝11×21－12×22＋12×22－13×23
＋…＋1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1＝12－1(n ＋1)·2n ＋1<1
2．
