分类讨论思想
分类讨论思想总结
分类讨论思想总结讨论分类思想总结分类思想是一种认知方式，通过将事物和现象按照一定的标准分成不同的类别，从而使得人们可以更加系统和有序地理解和处理复杂的世界。
分类思想贯穿于人类的各个领域和学科，如自然科学、社会科学、哲学等，具有重要的理论价值和实践意义。
分类思想的基本原则是以内涵和外延两个维度来确定类别，内涵是指所类别的核心特征，外延是指符合该特征的各种具体事物和现象。
在分类思想中，内涵和外延具有不可分割的关系，相互作用，对整个分类体系的合理性和有效性起着至关重要的作用。
分类思想的实质就是通过概念的界定来建构概念体系。
在概念的界定中，需要考虑两个方面的问题：一是确定概念的内涵，即概念的核心特征和基本属性；二是确定概念的外延，即该概念所包含的具体事物和现象。
在分类思想的实践中，内涵的确定依靠于抽象和理论的构建，外延的确定则依赖于实证和经验的支持。
分类思想在自然科学领域中有着广泛的运用。
例如，在生物学中，通过对不同生物进行分类，可以形成生物分类体系，帮助科学家们更好地理解和研究生物的进化和发展规律。
在化学中，通过对元素进行分类，形成了元素周期表，帮助科学家们更好地理解和研究化学元素的性质和规律。
在物理学中，通过对物质进行分类，帮助科学家们更好地理解和研究物质的构成和变化规律。
分类思想在社会科学领域中也有着重要的作用。
例如，在经济学中，通过对不同行业、不同市场和不同消费群体进行分类，可以形成经济学的分类体系，帮助经济学家们更好地理解和研究经济现象的规律。
在政治学中，通过对不同政治制度、不同政党和不同政府进行分类，形成了政治学的分类体系，帮助政治学家们更好地理解和研究政治现象的规律。
分类思想在哲学领域中也发挥着重要的作用。
例如，在形而上学中，通过对实在事物的分类，揭示了事物的根本性质和基本规律。
在认识论中，通过对认识对象的分类，揭示了认识的边界和局限性。
在逻辑学中，通过对命题和命题关系的分类，揭示了命题逻辑和谓词逻辑的结构和规则。
分类讨论思想
分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答;实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略;二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等;2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等;3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零,偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等;4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等;5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法;有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集,还是既不取交集也不取并集只是分条列出;五、分类讨论解题的步骤1.确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论;2.对所讨论的对象进行合理的分类;3.逐类讨论：即对各类问题详细讨论,逐步解决;4.归纳总结：将各类情况总结归纳;六、常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等;七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象;即确定需要分类的目标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标;第二步：根据公式、定理确定分类标准;运用公式、定理对分类对象进行区分; 第三步：分类解决“分目标”问题;对分类出来的“分目标”分别进行处理; 第四步：汇总“分目标”;将“分目标”问题进行汇总,并作进一步处理;。
分类讨论思想工作总结报告
分类讨论思想工作总结报告思想工作总结报告一、思想工作的重要性思想工作是指通过教育、引导、激励等手段，对个体或集体内部的思想、意识和价值观进行管理和指导，以达到充分发挥个体潜力、保持集体团结、促进社会和谐发展的目标。
思想工作的重要性主要体现在以下几个方面：1. 价值引领：思想工作能够引导个体正确的价值观和人生观，使其形成正确的思想认知，确立正确的人生目标，从而推动个人的全面发展和社会的健康发展。
2. 统一思想：通过思想工作，能够使整个集体形成共同的思想理念和目标，加强内部凝聚力和向心力，提高工作效率和工作质量。
3. 心理健康：思想工作能够关注个体的心理健康，预防和化解心理问题，提高员工的工作积极性和工作热情，推动工作的顺利进行。
4. 促进和谐：思想工作能够提倡和倡导团队协作、和谐相处的价值观念，消除内部矛盾和冲突，营造一个积极向上、团结友爱的工作氛围。
二、分类讨论思想工作针对不同的工作场景和对象，思想工作可以进行分类讨论，以下以教育思想工作和企业思想工作为例进行分类讨论。
1. 教育思想工作教育思想工作是指在教育机构内对学生进行思想教育、价值观培养及心理健康指导的工作。
教育思想工作的主要任务包括：（1）价值观引领：通过课堂教育、校园文化建设等手段，引导学生形成正确的价值观念，培养学生的责任感、奉献精神和公民意识。
（2）心理辅导：关注学生的心理健康，开展心理辅导和心理疏导工作，帮助学生解决学习、人际关系等方面的问题。
（3）个性发展：尊重学生的个性差异，鼓励学生发展自己的特长，提供适宜的发展环境和机会，促进学生全面成长。
2. 企业思想工作企业思想工作是指在企业内部对员工进行思想教育、团队建设和职业发展指导的工作。
企业思想工作的主要任务包括：（1）价值观塑造：通过企业文化建设、内部培训等方式，塑造企业员工正确的价值观念，提高员工的职业道德和责任心。
（2）团队建设：加强内部沟通和协作，促进团队合作和团队精神的形成，凝聚员工凝聚力，共同推动企业的发展。
分类讨论思想
已知函数
f (x )= x
+ 4 x − 5, x ∈ [t , t + 2] ,此函数
备考者要细细体会这“ 例一变” 备考者要细细体会这“一 例一变”的相似与相异之 处.当被解决的问题出现两种或两种以上情况时，为 当被解决的问题出现两种或两种以上情况时， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理， 叙述方便，使问题表述有层次、有条理，需作讨论 分别叙述. 分别叙述.
分类讨论思想
1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想” 1.分类讨论思想又称“逻辑化分思想”，它是把所 分类讨论思想又称 要研究的数学对象划分为若干不同的情形， 要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后 再分别进行研究和求解的一种数学思想. 再分别进行研究和求解的一种数学思想.分类讨论 思想在高考中占有十分重要的地位， 思想在高考中占有十分重要的地位，相关的习题 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点，难 具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点， 度有易，有中，也有难. 度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题 型，知识领域方面，可以“无孔不入”地渗透到 知识领域方面，可以“无孔不入” 每个数学知识领域. 每个数学知识领域.
探究拓展
某些学生一见到有“二次”出现， 某些学生一见到有“二次”出现，往
往认识为“二次函数” 往认识为“二次函数”或“二次方程”，这是由 二次方程” 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“ 定式思维引起的，备考者务必树立强烈的“确认 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇. 身份”意识，否则，分析问题有失偏颇.如本例 中，未表明不等式的次数，且高次项系数含可变 未表明不等式的次数， 参数，我们称之为“准二次不等式” 参数，我们称之为“准二次不等式”，解题时要 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 分情况讨论,确认不等式“二次项”系数是否为零. 变式训练1 已知m 求函数f )=(4变式训练1 已知m∈R，求函数f(x)=(4-3m)x22x+m在区间［0，1］上的最大值. 在区间［ 上的最大值. 分析 求 最大值的方法不同，所以对m 最大值的方法不同，所以对m可先分成两种情况去 讨论. 讨论. 当4-3m=0时f(x)是一次函数，4-3m≠0时 =0时 是一次函数， ≠0时 f(x)是二次函数，由于二次函数开口向上和向下 是二次函数，
分类讨论思想
分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。
二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。
3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。
4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。
5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。
6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。
三、高中数学中相关的知识点1.绝对值的定义；1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等。
七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象。
即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。
第二步：根据公式、定理确定分类标准。
运用公式、定理对分类对象进行区分。
第三步：分类解决“分目标”问题。
对分类出来的“分目标”分别进行处理。
第四步：汇总“分目标”。
分类讨论思想
• 对收集到的素材进行筛选、整理和分类 • 建立素材数据库，便于后续分析讨论
运用分类讨论方法进行分析讨论
运用分类讨论方法
• 根据已确定的分类标准对素材进行分析讨论 • 注意多角度和多层次的分析讨论
得出结论和建议
• 根据分析讨论的结果，得出结论和建议 • 评估结论和建议的可行性和有效性
02
分类讨论思想的实施步骤与方法
确定讨论主题与分类标准
确定讨论主题
• 选择具有代表性和针对性的问题 • 确保问题具有可操作性和可解决性
确定分类标准
• 根据问题的性质和特点制定分类标准 • 分类标准应简洁明了，便于实际操作
收集与整理分类讨论素材
收集分类讨论素材
• 通过文献检索、实地调查、访谈等方式收集素材 • 确保素材的真实性和可靠性
• 可以追溯到古代哲学家亚里士多 德 • 在文艺复兴时期得到进一步发展 -近现代广泛应用于科学、工程、社 会科学等领域
• 东方文化中的“分而治之”策略 • 西方文化中的“案例分析”方法
分类讨论思想在解决问题中的应用
分类讨论思想在问题解决过程中的应用
• 首先，确定问题的主题和分类标准 • 然后，收集和整理相关的分类讨论素材 • 最后，运用分类讨论方法进行分析讨论
分类讨论思想在未来可能的发展机遇
• 如何利用新技术和新方法提高分类讨论的效果 • 如何拓展应用领域和应用场景，发挥分类讨论思想的潜 力
如何应对分类讨论思想未来的挑战
应对分类讨论思想未来的挑战
• 培养信息素养和创新能力 • 提高团队协作和沟通能力
发挥分类讨论思想在未来发展的优势
• 为决策者提供有价值和有深度的信息支持 • 为解决复杂问题和应对不确定性提供新思路和方法
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2．分类讨论的常见类型
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，
引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的， 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数
学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，
如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结 果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
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(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用
题中，特别是排列、组合中的计数问题． 3．分类讨论解题的步骤 (1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分 类讨论．
[答案] C
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本题的分类讨论是由于点P的位置变化而引起的.一
般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数
对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图像 形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由 焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；立体 几何中点、线、面的位置变化等.
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x2 y2 3．设 F1、F2 为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知 |PF1| P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.求|PF |
a 当－2≥－1，即0＜a≤2时， 函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间 1 (－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－4a2.
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a a 当－2＜－1，且－6≥－1，即2＜a≤6时， 函数h(x)在区间
a － ，－1 2 a －∞，－ 2
分类讨论思想
分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.” ●难点磁场1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23+-+-=x ax x a x f 在其定义域内有极值点，则a 的取值为 .2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x –a ｜+1，x ∈R. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)求函数f(x)的最小值. ●案例探究［例1］已知{an}是首项为2，公比为21的等比数列，Sn 为它的前n 项和.（1）用Sn 表示Sn+1;（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c S cS k k 成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出k k S c S <<-223.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c 轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn =4(1–n 21），得221)211(411+=-=++n n n S S ，(n ∈N*)（2）要使21>--+c S c S k k ，只要0)223(<---kk S c S c因为4)211(4<-=k k S所以0212)223(>-=--k k k S S S ，(k ∈N*) 故只要23Sk –2＜c ＜Sk ，（k ∈N*）因为Sk+1＞Sk ，(k ∈N*) ①所以23Sk –2≥23S1–2=1.又Sk ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立.当k ≥2时，因为cS >=-252232，由Sk ＜Sk+1(k ∈N*)得 23Sk –2＜23Sk+1–2故当k ≥2时，23Sk –2＞c ，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c ＜Sk 不成立，从而①不成立因为cS >=-4132233，又23Sk –2＜23Sk+1–2 所以当k ≥3时，23Sk –2＞c ，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使21>--+c S cS k k 成立.［例2］给出定点A （a,0)（a ＞0）和直线l ：x=–1，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C.求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点. 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质. 解法一：依题意，记B （–1，b)，(b ∈R ），则直线OA 和OB 的方程分别为y=0和y=–bx. 设点C(x,y)，则有0≤x ＜a ，由OC 平分∠AOB ，知点C 到OA 、OB 距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y ｜=21||b bx y ++ ① 依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x a by -+-=由x –a ≠0，得a x ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0 若y ≠0，则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C 的坐标为（0，0）满足上式. 综上，得点C 的轨迹方程为（1–a ）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a )(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x ＜1) ③ 此时方程③表示抛物线弧段； (ii)当a ≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222a x a a y a a a a x <≤=-+---④所以当0＜a ＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a ＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D 是l 与x 轴的交点，过点C 作CE ⊥x 轴，E 是垂足.（i ）当｜BD ｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x ＜a ，y ≠0由CE ∥BD ，得)1(||||||||||a x a y EA DA CE BD +-=⋅=.∵∠COA=∠COB=∠COD –∠BOD=π–∠COA –∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴COA COA COA 2tan 1tan 2)2tan(-=∠BOD BOD tan )tan(-=∠-π∵x y COA ||tan =)1(||||||tan a x a y OD BD BOD +-==∴)1(||1||22a x a y x y x y +--=-⋅整理，得 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x ＜a)(ii)当｜BD ｜=0时，∠BOA=π，则点C 的坐标为(0,0)，满足上式. 综合(i)、(ii)，得点C 的轨迹方程为 (1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x ＜a) 以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(–1,b)，则BO 的方程为y=–bx ，直线AB 的方程为)(1a x a by -+-=∵当b ≠0时，OC 平分∠AOB ，设∠AOC=θ,∴直线OC 的斜率为k=tan θ,OC 的方程为y=kx 于是2212tan 1tan 22tan k k-=-=θθθ又tan2θ=–b∴–b=212k k - ①∵C 点在AB 上∴)(1a x a bkx -+-= ②由①、②消去b ，得)(12)1(2a x k kkx a --=+ ③又x yk =，代入③，有)(12)1(22a x x y x yx x y a --⋅⋅⋅+整理，得(a –1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④当b=0时，即B 点在x 轴上时，C(0,0)满足上式：a ≠1时，④式变为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x当0＜a ＜1时，④表示椭圆弧段；当a ＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段. ●锦囊妙计分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n 项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论. 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭难点训练 一、选择题1.（★★★★）已知122lim =+-∞→nn n n n a a 其中a ∈R ，则a 的取值范围是( )A.a ＜0B.a ＜2或a ≠–2C.–2＜a ＜2D.a ＜–2或a ＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 二、填空题3.（★★★★）已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为 .4.（★★★★★）已知集合A={x ｜x2–3x+2=0},B={x ｜x2–ax+(a –1)=0}，C={x ｜x2–mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，则a 的值为 ，m 的取值范围为 . 三、解答题5.（★★★★）已知集合A={x ｜x2+px+q=0}，B={x ｜qx2+px+1=0},A,B 同时满足： ①A ∩B ≠∅,②A ∩B={–2}.求p 、q 的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：x2+y2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n ≤y ≤n+1(n=0,1,2,…)时，该图象是斜率为bn 的线段（其中正常数b ≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.（1）求x1、x 2和xn 的表达式； （2）计算∞→n limxn ；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a ＞0时，函数f(x)=ax –bx2（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明a ≤2b;（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b ；（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.参 考 答 案●难点磁场1.解析：即f(x)=(a –1)x2+ax –41=0有解.当a –1=0时，满足.当a –1≠0时，只需Δ=a2–(a –1)＞0.答案：252252+-<<--a 或a=12.解：(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x ｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a ｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a) 此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f(x)=x2–x +a+1=(x –21)2+a+43若a ≤21，则函数f(x)在(–∞,a ］上单调递减.从而函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(a)=a2+1若a ＞21，则函数f(x)在（–∞,a ]上的最小值为f(21)=43+a ，且f(21)≤f(a). ②当x ≥a 时，函数f(x)=x2+x –a+1=(x+21)2–a+43若a ≤–21，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–21)=43–a ，且f(–21)≤f(a)； 若a ＞–21，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a ≤–21时，函数f(x)的最小值为43–a ； 当–21＜a ≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a ＞21时，函数f(x)的最小值是a+43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a=2、｜a ｜＞2和｜a ｜＜2三种情况分别验证. 答案：C2.解析：任取4个点共C 410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB 两端点在平面同侧和异侧两种情况解决. 答案：1或24.解析：A={1,2},B={x ｜(x –1)(x –1+a)=0}, 由A ∪B=A 可得1–a=1或1–a=2； 由A ∩C=C ，可知C={1}或∅.答案：2或3 3或（–22，22） 三、5.解：设x0∈A ，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={–21}.此时A ∩B=∅与已知矛盾，故x0≠0. 将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得01)1()1(20=++x p x q .即01x 满足B 中的方程，故01x ∈B.∵A ∩B ={–2},则–2∈A,且–2∈B .设A={–2,x0}，则B={01,21x -}，且x 0≠2（否则A ∩B=∅）.若x0=–21，则01x –2∈B,与–2∉B 矛盾. 又由A ∩B ≠∅,∴x0=01x ，即x0=±1.即A={–2,1}或A={–2,–1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴⎩⎨⎧=-⋅-==---=⎩⎨⎧-=⨯-==+--=2)1()2(3)12(21)2(1)12(q p q p 或6.解：如图，设MN 切圆C 于N ，则动点M 组成的集合是P={M ｜｜MN ｜=λ｜MQ ｜,λ＞0}. ∵ON ⊥MN,｜ON ｜=1,∴｜MN ｜2=｜MO ｜2–｜ON ｜2=｜MO ｜2–1 设动点M 的坐标为(x,y)， 则2222)2(1y x y x +-=-+λ即（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P ，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=45，它是垂直于x 轴且与x 轴相交于点（45，0）的直线；（2）当λ≠1时，方程化为：2222222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 它是以)0,12(22-λλ为圆心，|1|3122-+λλ为半径的圆. 7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y ≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由10)0()(11=--x f x f∴x1=1又由f(x2)=2，当1≤y ≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b 的线段，故由bx x x f x f =--1212)()( 即x2–x1=b 1∴x2=1+b 1记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n 段线段的斜率为bn –1，故得111)()(---=--n n n n n b x x x f x f又由f(xn)=n,f(xn –1)=n –1∴xn –xn –1=(b 1)n –1,n=1,2,……由此知数列{xn –xn –1}为等比数列，其首项为1，公比为b 1.因b ≠1，得∑==nk n x 1(xk –xk –1)=1+b 1+…+1)1(111--=--b b b b n n 即xn=1)1(1---b bb n（2）由（1）知，当b ＞1时，11)1(lim lim 1-=--=-∞→∞→b b b b b x n n n n 当0＜b ＜1，n →∞, xn 也趋于无穷大.∞→n limxn 不存在.（3）由（1）知，当0≤y ≤1时，y=x ，即当0≤x ≤1时，f(x)=x;当n ≤y ≤n+1，即xn ≤x ≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x –xn)(n=1,2,…),由（2）知当b ＞1时，y=f(x)的定义域为［0,1-b b);当0＜b ＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞). 8.(1)证明：依设，对任意x ∈R ，都有f(x)≤1∵b a b a x b x f 4)2()(22+--= ∴b a ba f 4)2(2=≤1 ∵a ＞0,b ＞0 ∴a ≤2b .（2）证明：必要性：对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒–1≤f(x ），据此可以推出–1≤f(1)即a –b ≥–1，∴a ≥b –1对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1⇒f(x)≤1.因为b ＞1，可以推出f(b 1)≤1即a ·b 1–1≤1，∴a ≤2b ,∴b –1≤a ≤2b充分性：因为b ＞1，a ≥b –1，对任意x ∈［0,1］. 可以推出ax –bx2≥b(x –x2)–x ≥–x ≥–1 即ax –bx2≥–1因为b ＞1,a ≤2b ,对任意x ∈［0,1］，可以推出ax –bx2≤2b x –bx2≤1 即ax –bx2≤1,∴–1≤f(x)≤1综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b –1≤a ≤2b . (3)解：∵a ＞0，0＜b ≤1∴x ∈［0,1］,f(x)=ax –bx2≥–b ≥–1 即f(x)≥–1f(x)≤1⇒f(1)≤1⇒a –b ≤1 即a ≤b+1a ≤b+1⇒f(x)≤(b+1)x –bx2≤1 即f(x)≤1所以当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是a ≤b+1.。
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分类讨论思想
1. 分类讨论思想的概念。
人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准实行分类并逐类实行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。
其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。
其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象实行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级实行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。
分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适合于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。
2. 分类讨论思想的重要意义。
课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。
所以，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。
无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。
从知识的角度来说，把知识从宏观到微观持续地分类学习，既能够把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。
分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。
另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。
3. 分类讨论思想的具体应用。
分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面来说，小学数学能够分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。
从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数的理解范围实际上是在有理数范围内，有理数能够分为整数和分数，整数又能够分为正整数、零和负整数，整数根据它的整除性又能够分为偶数和奇数。
正整数又能够分为1、素数和合数。
小学数学中分类讨论思想的应用如下表。
4．分类讨论思想的教学。
如前所述，分类讨论思想在小学数学中占有比较重要的地位，而且应用比较广泛。
在教学中应注意以下几点。
第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想，一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的理解和运算等。
同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就能够看作一个集合。
第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。
第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概
率的计算、抽屉原理等问题经常使用分类讨论思想解决。
第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。
现实生活中的数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据实行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。
第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。
如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法实行分类，是为了更深入地研究问题、理解知识、优化解决问题的方法。
第六，注意相关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。
也就是说，有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不一定成立；而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。
如在小学里经常有争议的判断题：如果5a＝2b，那么a：b＝2：5；有人认为是对的，有人认为是错的。
严格来说，这道题是错的，因为这里并没有规定a和b不等于0。
之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成文的约定：在讨论整数的性质时，一般情况下不包括0。
这种约定是为了避免麻烦，有一定道理；但是这样就造成了在解决相关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学生进入初中后的学习中，经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。
案例1：下图中共有多少个长方形？
分析：此题可分类计数，分以下几步：
单一的长方形：3×3＝9；
由两个单一长方形组成的长方形：横数2×3＝6，竖数2×3＝6，6+6=12；
由三个单一长方形组成的长方形：横数1×3＝3，竖数1×3＝3，3+3=6；
由四个单一长方形组成的长方形：4；
由六个单一长方形组成的长方形：4；
由九个单一长方形组成的长方形：1。
共计 9+12+6+4+4+1=36（个）。
案例2：任意给出4个两两不等的整数，请说明：其中必有两个数的差是3的倍数。
分析：任意一个整数除以3，余数只有三种可能：0，1和2。
使用分类思想，构造这样的三个抽屉：除以3余数分别是0，1和2的整数。
根据抽屉原理，必有一个抽屉里至少放了两个数，这两个数除以3的余数相等，设这两个数分别为3m+r和3n+r(m、n都是整数)，它们的差是3(m-n)，必是3的倍数。