导数的应用 函数的最大值和最小值
高等数学导数的应用
高等数学导数的应用高等数学中的导数是一个非常重要的概念，它不仅仅是一个数值上的表示，更是一种函数变化率的度量。
在实际生活和工程中，导数的应用非常广泛，以下将介绍一些高等数学导数的应用。
1. 切线和法线在曲线的某一点上，通过该点的曲线的切线是指与曲线在该点的切点相切的直线。
切线的斜率等于在该点处的导数。
因此，我们可以使用导数来确定曲线在任意点上的切线。
法线是与曲线在某一点相切且垂直于切线的直线。
法线的斜率等于切线的斜率的负倒数，即导数的倒数。
因此，导数还可以用于确定曲线在任意点上的法线。
应用导数来计算曲线上各点的切线和法线可以在物理学、工程学中的很多领域得到应用，比如建筑设计中的曲线道路的设计和医学中的曲线血管的研究等。
2. 极值问题在数学中，极值是函数在给定范围内取得的最大值或最小值。
通过导数可以确定函数的极值点。
具体来说，一个函数在极值点处的导数为零。
通过求导可以找到函数的每个极点，并通过对导数的符号进行分析，判断这些极点是极大值还是极小值。
极值问题在实际生活中的应用非常广泛，例如在经济学中，极值问题可以用于确定某个经济模型的最大利润或最小成本。
3. 凹凸性和拐点通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性和拐点。
具体来说，如果一个函数在某一区间上的二阶导数大于零，则该函数是凸的；如果二阶导数小于零，则该函数是凹的。
在工程学和物理学中，例如在材料力学中，通过判断曲线的凹凸性，可以确定材料的变形状态，以及判断结构的强度和稳定性。
拐点是指函数曲线由凸向凹（或由凹向凸）转变的位置。
通过导数的二阶导数和零点可以确定曲线的拐点。
拐点在物理学、经济学和工程学等领域中广泛应用，如经济学中的边际效益递减和工程学中的挠曲分析等。
4. 泰勒级数展开泰勒级数展开是利用函数的导数来逼近函数的方法。
通过泰勒级数展开，我们可以将一个复杂的函数表示成若干个简单函数之和，从而方便计算和分析。
泰勒级数展开在近似计算和数值计算中非常重要。
3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
导数的应用--函数的最大值与最小值
L 1 q 21
令
L
，0 即
4
1 4
q
21
，0 求得唯一的极值点
q 84
答：产量为84时，利润L最大。
课堂练习
1．下列说法正确的是( D )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2. 函 数 y=f(x) 在 区 间 ［ a,b ］ 上 的 最 大 值 是 M ， 最 小 值 是 m,若
(3)检查f ′(x)在方程f ′(x)=0的根的左右的符号，
并根据符号确定极大值与极小值. 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
3、f x
=
0是可导函数
f
(x)在x
=
x
处取极值的必
0
要而不充分条件。
4、f x
在x
0两侧的导数异号是x
为极值点的充要条件。
0
新课讲授
1.函数的最大值和最小值
值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而 这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径 应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得
S(R)= 2πR V
h
V ，则 R2 2V
y
f (x)
a
x1
O x2
x3
bx
例题讲解
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的最大值 和最小值 法一 (利用二次函数单调性)、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，结合二次函数图像来解决。
三角函数与导数的关系解析与应用
三角函数与导数的关系解析与应用在数学中，三角函数是研究三角形及其内部角度的一种重要工具。
与之相对应的导数是研究函数的变化率以及曲线的切线方程的重要概念。
本文将探讨三角函数与导数之间的关系，并介绍一些相关的应用。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）等。
以角度为自变量，取值范围在0到360度之间。
它们的定义如下：1. 正弦函数：由一个直角三角形的对边长度除以斜边长度得到。
2. 余弦函数：由一个直角三角形的邻边长度除以斜边长度得到。
3. 正切函数：由一个直角三角形的对边长度除以邻边长度得到。
二、三角函数的导数三角函数的导数是指对三角函数进行微分运算得到的结果。
通过求导可以得到三角函数在不同点上的斜率，进而研究其变化规律。
具体来说：1. 正弦函数的导数：cos(x)，即正弦函数的导数等于其对应的余弦函数。
2. 余弦函数的导数：-sin(x)，即余弦函数的导数等于其对应的负正弦函数。
3. 正切函数的导数：sec^2(x)，即正切函数的导数等于其对应的余割函数的平方。
在求导过程中，我们可以利用基本的导数公式和三角恒等式来简化计算。
三、三角函数与导数的关系三角函数与导数之间有一些重要的关系存在。
这些关系在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
1. 函数的最大值与最小值：通过求导得到函数的导函数，可以找出函数的极值点。
在三角函数中，最大值和最小值可以通过导数为零的点来确定，例如在正弦函数中，最大值和最小值都是在导数等于零的点上取得。
2. 驻点与拐点：驻点是函数的导数为零的点，拐点是函数的导数发生变化的点。
在三角函数中，通过求导可以确定驻点和拐点的位置，这对于研究函数的变化趋势和曲线的形状非常重要。
3. 同一函数的不同变化情况：以正弦函数为例，当自变量增加时，正弦函数在0到90度之间逐渐增加；而在90到180度之间，正弦函数逐渐减小。
这种变化规律可以通过导数来解释，导数的正负与函数的递增和递减有关。
高中数学第3章导数及其应用3.33.3.3函数的最大(小)值与导数1数学教案
3.3.3 函数的最大(小)值与导数如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．下列说法正确的是( )A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值D[极值有可能是最值，但最值未必是极值，故选D．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是()A ．π－1B ．π2－1C ．πD ．π＋1C[y ′＝1－cos x >0，故函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π是增函数，因此当x ＝π时，函数有最大值，且y max ＝π－sin π＝π.]3．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2D ．4C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.]求函数的最值(1)f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5，x ∈[－2,1]； (2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]．[解] (1)f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0得x ＝－1或x ＝2，又x ∈[－2,1]，故x ＝－1，且f (－1)＝12. 又因为f (－2)＝1，f (1)＝－8，所以，当x ＝－1时，f (x )取最大值12； 当x ＝1时，f (x )取最小值－8. (2)∵f (x )＝3e x－e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e xx ) ＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x(x ＋3)(x －1)．∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)＜0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.求函数在闭区间上最值的步骤 1求f ′x ，解方程f ′x ＝0；2确定在闭区间上方程f ′x ＝0的根； 3求极值、端点值，确定最值.[跟进训练]1．求函数f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]上的最大值和最小值．[解] f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，且x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 0 ⎝⎛⎭⎫0，2π32π3 ⎝⎛⎭⎫2π3，4π3 4π3 ⎝⎛⎭⎫4π3，2π 2π f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗ππ3＋322π3－32∴当x＝0时，f(x)有最小值，为f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值，为f(2π)＝π.由函数的最值求参数值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，且x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 已知函数最值求参数值范围的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值范围是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.[跟进训练]2．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求a ，b 的值．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0) 0 (0，a ) a (a,1) 1 f ′(x )＋－0 ＋f (x )－1－32a ＋b ↗b↘－a 32 ＋b↗1－32a ＋b由表可知，f (x )的极大值为f (0)＝b ，极小值为f (a )＝b －a 32，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，a ＝63.所以a ＝63，b ＝1.与最值有关的恒成立问题1．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若f (x )≥c 或f (x )≤c 恒成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )min 或c ≥f (x )max .2．对于函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]，若存在x 0∈[a ，b ]，使得f (x )≥c 或f (x )≤c 成立，则c 满足的条件是什么？提示：c ≤f (x )max 或c ≥f (x )min .【例3】 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t >0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． [思路点拨] (1)利用配方法，即可求出二次函数f (x )的最小值h (t )；(2)构造函数g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )，只需使g (t )在(0,2)上的最大值小于零即可求得m 的取值范围．[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2))<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，等价于g (t )的最小值g (2)<0.∴－3－m <0， ∴m >－3，所以实数m 的取值范围为(－3，＋∞)． 分离参数求解不等式恒成立问题1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． 1．判断正误(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝ln x x的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103A [函数y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)．y ′＝1－ln x x 2，由1－ln x x2＝0得x ＝e ， 当0<x <e 时，y ′>0， 当x >e 时，y ′<0.因此当x ＝e 时，函数y ＝ln x x 有最大值，且y max ＝1e ＝e －1.]3．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为( )A ．2B ．4C ．18D ．20D [f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0得x ＝±1. 当0≤x <1时，f ′(x )<0； 当1<x ≤3时，f ′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，f (3)>f (0)，所以最大值为f (3)，即M ＝f (3)， N ＝f (1)，所以M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]4．设函数f (x )＝12x 2e x，x ∈[－2,2]，若f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x e x＋12x2e x＝e x2x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：当x＝0时，min要使f(x)>m对x∈[－2,2]恒成立，只需m<f(x)min，∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)．。
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专题四 函数的最大值和最小值
一、选择题
1.若连续函数在闭区间内有唯一极大值和极小值，则有（ ）
A.极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值
B.极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值
C.极大值不一定是最大值，且极小值也不一定是最小值
D.极大值必大于极小值
2.函数()()133<-=x x x x f （ ）
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，也无最小值
D.无最大值，但有最小值
3.已知()m x x x f +-=2362（m 为常数），在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为 （ ） A.-37 B.-29 C.-5 D.-11
4.函数()x x x f cos 3sin 3+=的值域为（ ）
[]4,4.-A []3,3.-B ()4,4.-C ()3,3.-D
5．函数x x y ln =
的最大值为（ ） A ．1-e
B ．e
C ．2e
D ．3
10 二、填空题
6.函数()1sin sin sin 23+--=x x x x f 的最大值是_______________.
7.面积为S 的一切矩形中，其周长C 最小值是__________.
8．函数2cos y x x =+在区间[0,
]2π上的最大值是 。
9．若()d cx bx ax x f +++=23在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。
三、解答题
10.求函数()x x x x f --++=4325的值域.
11.已知a 是实数，函数()()a x x x f -=2
. （1）若()31'
=f ，求a 的值及曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求()x f 在区间[]2,0上的最大值.
12.已知函数()()6342
3-+--+=n mx x m x x f 对于定义域内的任意x 恒有()()x f x f -=-. （1）求n m ,的值；
（2）求证：()x f 在区间()2,2-上具有单调性；
（3）当22≤≤-x 时，()a a n m m log log -的值不大于()x f 的最小值，求实数a 的取值范围.
13.已知函数()c bx ax x x f +++=23，曲线()x f y =在1=x 处的切线l 不过第四象限且斜率为3，且坐标原点到切线l 的距离为
1010，当32=x 时，()x f y =有极值. （1）求c b a ,,的值；
（2）求()x f y =在[]1,3-上的最大值和最小值.
14.已知函数()123+++=cx bx x x f 在区间(]2,-∞-上单调递增，在区间[]2,2-上单调递减，且.0≥b 求()x f 的表达式.
15.设函数()ax x x f -+=
12，其中.0>a 求a 的取值范围，使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数.
16.已知不等式02224>+-+a ax x 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.
17.设().22
13123ax x x x f ++-= （1）若()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
（2）当20<<a 时，()x f 在[]4,1上的最小值为316-
，求()x f 在该区间的最大值.
18.设函数()x f 定义在()+∞,0上，().01=f 导函数()()()x f x f x g x
x f '',1)(+==. （1）求()x g 的单调区间和最小值；
（2）讨论()x g 与⎪⎭
⎫ ⎝⎛x g 1的大小关系.。