数学试题 Word

高一数学

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设复数()12z i i =-（i 为虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.若向量()1,2a =r ，()0,1b =r ，ka b -r r 与2a b +r r 共线，则实数k 的值为（）

A.-1

B.12-

C.1

D.2

3.已知正三角形ABC ，那么ABC △的直观图A B C '''△的面积为（）

4.在ABC △中，a =12b =，6A π=

，则此三角形（） A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定

5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）

A. B.(8π+ C. D.(10π+ 6.在平行四边形ABCD 中，点N 为对角线AC 上靠近A 点的三等分点，连结BN 并延长交AD 于M ，则MN =u u u u r （） A.1136AB AD -+u u u r u u u r B.1344AB AD -u u u r u u u r C.1136AB AD -u u u r u u u r D.3144

AB AD -u u u r u u u r 7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（）

A.17斛

B.25斛

C.41斛

D.58斛

8.如图，为了测量B ，C 两点间的距离，选取同一平面上A ，D 两点，已知90ADC ∠=?，60A ∠=?，2AB =，

BD =DC =BC 的长为（）

A. B.5 C. D.7

二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.在复平面内，下列说法正确的是（）

A.若复数11i z i

+=-（i 为虚数单位），则301z =- B.若复数z 满足2 z ∈R ，则 z ∈R

C.若复数(),z a bi a b =+∈R ，则z 为纯虚数的充要条件是0a =

D.若复数z 满足1z =，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆

10.下列叙述错误的是（）

A.已知直线1和平面α，若点A l ∈，点B l ∈且A α∈，B α∈，则l α?

B.若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面

C.若直线1不平行于平面α，且l α?，则α内的所有直线与1都不相交

D.若直线1l 和2l 不平行，且1l α?，2l β?，l αβ=I

，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交

11.下列结论正确的是（）

A.在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >

B.在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立

C.在ABC △中，若4C π

=，22

a c bc -=，则ABC △为等腰直角三角形

D.在ABC △中，若3b =，60A =?，三角形面积S =3

12.在ABC △中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（）

A.0AB AC AD +-=u u u r u u u r u u u r r

B.0DA EB FC ++=u u u r u u u r u u u r r

C.若||||||

AB AC AB AC AD +=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ，则BD uuu r 是BA u u u r 在BC uuu r 的投影向量 D.若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ的最大值为18

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数31i z i

+（i 为虚数单位），则z =______

14.已知向量a r ，b r 夹角为30°，2a =r ，b =r 2a b =+r r ______ 15.在4BC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若()()3a b c a b c ab +++-=，且2a bc =，则sin b

a A

的值为______

16.的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为______，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点.

（1）求证：E ，F ，B ，D 四点共面；

（2）若AC BD P =I ，11A C EF Q =I ，1AC 与平面EFBD 交于点R ，求证：P ，Q ，R 三点共线.

18.（12）

已知复数()()

220lg 4432z a a a a i =-++-+（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，0z 和b 是关于x 的方程()23260x i x i -++=的两个根.

（1）求a ，b 的值；

（2）若复数z 满足1z a bi ≤≤+，说明在复平面内z 对应的点Z 的集合是什么图形？并求该图形的面积

19.（12分）

已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c ab +-=.

（1）求C ；

（2）若cos sin a B b A c +=，c =a .

20.（12分）

如图，在三棱锥S ABC -中，SC 是高，3SC =，AC BC ⊥，2AC BC ==.

（1）求三棱锥S ABC -的体积；

（2）求三棱锥S ABC -的表面积.

21.（12分）

如图，四边形ABCD 中，2AD BC =u u u r u u u r .

（1）用AB uuu r ，AD u u u r 表示DC u u u r ；

（2）若90A ∠=?，点E 在AB 上，2AE EB =u u u r u u u r ，点P 在DE 上，2DP PE =u u u r u u u r ，1EB BC ==u u u r u u u r ，求cos CDP ∠.

22.（12分）

如图，在平面四边形ABCD ，AD CD ⊥，AB AC ⊥，AB =

（1）若30ABC ∠=?

，CD =，求BD 的长；

（2）若2AC =，30ADB ∠=?，求sin CAD ∠.

高一数学参考答案

一、单选题

ABDBDCCA

二、多选题

9.AD 10.BC 11.ABC 12.BCD

三、填空题

14.

15.3

16.

四、解答题 17.（1）证明：连接11B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1111,C D B C 的中点，

∴EF 是111D C B ?的中位线，11//D B EF ∴，………………2分

又因为BD D B //11，∴BD EF //

∴四边形BDEF 为平行四边形，即F E D B ,,,四点共面.………………4分

（2）在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD P =I ，11A C EF Q =I ， ∴PQ 是平面C C AA 11与平面BDEF 的交线，………………6分

又因为1AC 交平面BDEF 于点R ，

∴R 是平面C C AA 11与平面BDEF 的一个公共点.………………8分

因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，

∴,,P Q R 三点共线.………………10分

18.解：（1）因为()()

220lg 4432i a z a a a =+-++-为纯虚数，

所以()22lg 440320a a a a --?+=??+≠??，即22441320a a a a --?+=??+≠??，

解得3a =，………………3分

此时02i z =，由韦达定理得0032i 6i

z b z b +=+??=?， 3b =.………………6分

（2）复数z 满足1i z a b ≤≤+

，即1z ≤≤………………7分不等式1z ≥的解集是圆1z =的外部（包括边界）所有点组成的集合，

不等式z ≤

z = 所以所求点Z 的集合是以原点为圆心，以1

和.……………10分

22=1]17S ππ-=圆环.………………12分

19.解：（1）因为222+a b c ab -=，所以222+1cos 222

a b c ab C ab ab -===，………………3分因为(0,)C π∈，所以3C π

=；………………5分

（2）因为cos sin a B b A c +=，

由正弦定理可得，sin cos sin sin sin sin()A B B A C A B +==+…………7分故sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A A B B A +=+，

所以sin cos A A =，………………9分

因为(0,)A π∈，所以4A π

=，………………10分

由正弦定理可得，sin sin c A a C ===．………………12分

20.解:（1）因为SC 是高，3SC =，AC BC ⊥，2AC BC ==，所以111122323326

S ABC ABC V S SC AC BC SC -=?=???=???=△；……4分（2）因为SC 是高，3SC =，AC BC ⊥，2AC BC ==，所以1123322SAC SBC S S AC SC ==

?=??=V V ，……………6分 1122222

ABC S AC BC =?=??=V ，………………8分

SAB △是等腰三角形，SA SB ==AB =……………9分

所以12

SAB S =?=△，……………10分

所以三棱锥S ABC -的表面积为分

21.解：（1）因为2AD BC =u u u r u u u r ，所以1122

DC DA AB BC AD AB AD AD AB =++=-++=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；…………4分（2）由已知：1||||,2,2====得：2||,2||== 在ADE △中，2,90===∠AD AE A ο

， ο45=∠=∠∴ADE AED ，22=DE .………………………………………………5分在BCE ?中，1,90===∠BC BE B ο

， ο45=∠=∠∴BEC BCE ，2=CE

ο90=∠∴CEP ………………………………………………7分又2=Θ，3

22||,324||==∴PE DP .……………………………8分在CEP △中，322,2,90===∠PE CE CEP ο，3

26=∴CP …………10分 131323

2cos ==∠∴CPE ……………………………11分 π=∠+∠CPD CPE Θ，13

132cos -=∠∴CPD ……………………………12分 22.解：（1）在Rt ABC △中，tan 2AC AB ABC =?∠=.………………1分

在Rt ACD △中，tan CD CAD AD

∠==，所以60CAD ∠=o ，所以cos 1AD AC CAD =∠=.………………3分

在Rt BCD △中，

22219BD BC CD =+=，

所以BD =………………5分

（2）设CAD θ∠=，因为3090180ABD θ∠+++=o o o ，所以60ABD θ∠=-o ，2cos AD θ=，………………8分

在ABD △中，由正弦定理得()2cos sin 30

sin 60θθ=-o o ，

化简得cos θθ=，………………10分代入22sin cos 1θθ+=，得24

sin 7

θ=，

又θ为锐角，所以sin θ=，

即sin CAD ∠=分