空间中的位置关系1：平面及公理

平面在《西游记》中，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”．结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？1．平面通常把水平的平面画成一个__平行四边形__，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的__2__倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用__虚线__画出来，如图2所示(1)用一个__希腊字母__α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α[归纳总结]习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．2．点、线、面的位置关系的表示A是点，l，m是直线，α，β是平面.或[归纳总结]从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．公理1A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒__l⊂α__ 4．公理2A，B，C三点__不共线__⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α[归纳总结](1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形惟一，强调的是存在和惟一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和惟一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．5．公理3P∈α∩β⇒α∩β＝l且__P∈l__论是“两面共一线，且线过点，线唯一”．公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．预习自测1．下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(A)A．1B．2C．3D．4[解析]因为平面是无限延展的，故(1)错；平面是无厚度的，故(2)错；平面是无限延展的，不可度量，故(3)错；平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确．2．(2018·永春一中高一期末)下列说法正确的是(D)A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．共点的三条直线确定一个平面D．梯形一定是平面图形[解析]A中三点共线时为直线，故A错误；B中四边形可为空间四边形，故B错误；C中共点的三条直线可能共面，也可能确定三个平面，故选D．3．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则(D)A．P∉α，Q∈αB．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉αD．Q∈α[解析]∵Q∈m，m⊂α，∴Q∈α．∵P∉m，∴有可能P∈α，也可能有P∉α．4．空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定__7__个平面.[解析]可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．命题方向1⇨文字、图形、符号三种语言的转化典例1 用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于P A，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BCD交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC．[解析](1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC．图形表示：如图1所示．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC．图形表示：如图2所示．『规律方法』学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别．〔跟踪练习1〕(1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为__M∈a，a⊂α，M ∈α__；(2)根据右图，填入相应的符号：A__∈__平面ABC，A__∉__平面BCD，BD__⊄__平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝__AC__；(3)根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，B∉MN，C∈β，C∉MN．[解析]如图所示命题方向2⇨点共线问题典例2 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线.[思路分析](1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？[解析]证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α．又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．证法二：∵AP∩AR＝A∴直线AP与直线AR确定平面APR．又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R∴平面APR∩平面α＝PR．∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR．又∵Q∈面APR，Q∈α∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．『规律方法』证明多点共线的方法：(一)选择两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上；(二)证明这些点都在两个平面内，而两平面相交，因此这些点都在两平面的交线上．〔跟踪练习2〕如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线．[解析]由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C．∵A1C⊂平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C．又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D．∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上．又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C．又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．命题方向3⇨点线共面问题典例3 求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面.[解析]已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求证：直线a、b、c和l共面．证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确定一个平面，设为α．因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l⊂α．因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β．因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．『规律方法』(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2．(2)证明点线共面的常用方法①纳入平面法：先由公理2或其推论确定一个平面，再由公理1证明有关点线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．〔跟踪练习3〕已知E 、F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点．求证：A 1、C 1、E 、F 四点共面．[证明] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1綊CC 1，∴四边形ACC 1A 1为平行四边形 ∴A 1C 1∥AC ．∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF ∥AC ． ∴A 1C 1∥EF ．∴直线A 1C 1与EF 确定一个平面α ∴A 1、C 1、E 、F 四点共面于平面α． 命题方向4 ⇨线共点问题典例4 已知：如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，G 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DG ∶GA ＝1∶2．求证：直线EF 、BD 、HG 交于一点.[思路分析] 先证EF 、HG 一定相交于一点，再证这一点在直线BD 上． [解析] 连接EH 、AC 、FG ．∵E 、H 分别为BC 、AB 的中点，∴EH 綊12AC ．∵DF ∶FC ＝1∶2，DG ∶GA ＝1∶2∴FG ∥AC ，FG ＝13AC ，∴EH ∥FG 且EH ≠FG∴E 、F 、G ，H 四点共面且EF ∥\ GH .∴EF 与GH 相交． 设EF ∩GH ＝O ，则O ∈GH ，O ∈EF ．∵GH ⊂平面ABD ，EF ⊂平面BCD ，∴O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD ． ∵平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴O ∈BD ，即直线EF 、BD 、HG 交于一点．『规律方法』 证明三线共点时，首先证明两条直线相交于一点，再证这一点在另一条直线上．要证这一点在另一条直线上，可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上．〔跟踪练习4〕三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c ，β∩γ＝a ，γ∩α＝b ，已知直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．[解析]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ∵a、b不平行∴a、b必相交，设a∩b＝P∵P∈a，a⊂β∴P∈β，同理P∈α而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P即a、b、c三条直线过同一点．易错系列对于条件所给的点的位置关系考虑不全面典例5 已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？[错解]因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面．[错因分析]错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B、C、D三点还可能共线．[正解](1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面．(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面．转化思想在立体几何中的应用文字语言、符号语言、图形语言三种语言的相互转换是立体几何学习中需逐步培养的重要基本功．这项基本功扎实，就为立体几何学习打下了坚实的基础．例如：下面是一些文字语言与符号语言的转换：A∈l，“点A在直线l上”，“直线l经过点A”a⊂α，“直线a在平面α内”，“平面α经过直线a”；a⊄α，“直线a在平面α外”．α∩β＝l，“两平面α与β相交于直线l”，“l是平面α与β的交线”；a∩b＝P，“两直线a，b相交于点P”，“P是直线a与直线b的交点”；A∈α，“点A在平面α内”，“平面α经过点A”．学习过程中要训练用准确规范的语言描述几何图形的位置关系．典例6 已知：a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线．求证：a、b、c、d共面. [解析](1)有三线共点的情况，如图．设b、c、d三线相交于点K与a分别交于N、P、M且K∉a．∵K∉a∴K和a确定一个平面，设为α．∵N∈a，a⊂α，∴N∈α∴NK⊂α，即b⊂α．同理，c⊂α，d⊂α，∴a、b、c、d共面．(2)无三线共点情况，如图．设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S．∵a∩d＝M，∴a，d可确定一个平面α．∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α．∴NQ⊂α，即b⊂α．同理，c⊂α，∴a、b、c、d共面．由(1)(2)可知，a、b、c、d共面．课堂检测1．如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(A)A．平面MN B．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ[解析]MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN．2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(B)A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α3．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)：(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；(2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；(3)∵A∉α，a⊂α，∴A∉a；(4)∵A∈a，a⊄α，∴A∉α．其中命题和叙述方法都正确的个数是(B)A．0B．1C．2D．3[解析](3)正确．(1)错，其中的AB∈α应为AB⊂α.(2)错，其中α，β应该交于一条过A 点的直线．(4)错，因为点A可能是直线a与平面α的交点．4．看图填空：(1)AC∩BD＝__O__；(2)平面AB1∩平面A1C1＝__A1B1__；(3)平面A1C1CA∩平面AC＝__AC__；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝__OO1__．A级基础巩固一、选择题1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是(A)[解析]选项B、C、D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．2．如图所示，下列符号表示错误的是(A)A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α．其中表述方式和推理都正确的命题的序号是(C)A．①④B．②③C．④D．③[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A ∈α；④推理与表述都正确．4．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为(D)A．0 B．1C．0或1 D．1或3[解析]当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．5．下列命题中，正确的是(B)A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面[解析]因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．6．如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于(C)A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上都不对[解析]由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR．二、填空题7．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有__5__条.[解析]如图由图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是__(2)(3)(4)__(填序号).(1)直线AC1在平面CC1B1B内．(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D 的交线为OO1．(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1．(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．[解析](1)错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B．(2)正确．如图所示．因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1所以四边形AB1C1D是平行四边形所以A，B1，C1，D共面．三、解答题9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，求证：(1)E 、C 、D 1、F 、四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点． [解析](1)分别连接EF 、A 1B 、D 1C ∵E 、F 分别是AB 和AA 1的中点 ∴EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B ．又∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形 ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1． EF 与CD 1确定一个平面． ∴E 、F 、D 1、C 四点共面．(2)∵EF 綊12CD 1∴直线D 1F 和CE 必相交．设D 1F ∩CE ＝P∵D 1F ⊂平面AA 1D 1D ，P ∈D 1F ，∴P ∈平面AA 1D 1D ． 又CE ⊂平面ABCD ，P ∈EC ，∴P ∈平面ABCD 即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点． 而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝直线AD∴P ∈直线AD (公理3)，∴直线CE 、D 1F 、DA 三线共点．B 级 素养提升一、选择题1．空间中四点可确定的平面有( D ) A ．1个 B ．3个C ．4个D ．1个或4个或无数个[解析] 当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D．2．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是(D)①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．3．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(D)A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D[解析]A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．4．下列各图均是正六棱柱，P、O、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(D)[解析]在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥OR，即在此三个图形中P、O、R、S共面，故选D．二、填空题5．若直线l与平面α相交于点O、A、B∈l、C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是__共线__.[解析]∵AC∥BD∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD．∵l∩α＝O，∴O∈α．又∵O∈AB⊂β∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线．6．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α、n⊂β、m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__P∈l__.[解析]因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∈β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l．C级能力拔高1．如图，在四面体A－BCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于点M，RQ、DB 的延长线交于点N，RP、DC的延长线交于点K.求证：M、N、K三点共线．[解析]∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQRM ∈BC ，直线BC ⊂平面BCD∴M 是平面PQR 与平面BCD 的一个公共点 ∴M 在平面PQR 与平面BCD 的交线上．同理可证，N 、K 也在平面PQR 与平面BCD 的交线上． ∴M 、N 、K 三点共线．2．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AA 1，D 1C 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l 的位置；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求线段PB 1的长．[解析] (1)延长DM 交D 1A 1的延长线于E ，连接NE ，则NE 即为直线l 的位置．(2)∵M 为AA 1的中点，AD ∥ED 1 ∴AD ＝A 1E ＝A 1D 1＝a ． ∵A 1P ∥D 1N ，且D 1N ＝12a∴A 1P ＝12D 1N ＝14a于是PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a ．。