第六章 KMV模型

在风险中性下，欧式看涨期权在任意t时刻的价格可以表示为：
c St ,t St N d1 KerTtN d2
d1
ln
St K
r T
2 2 t
T
t
d2 d1
T t
其中，St 为标的资产在t时刻的价格， 为标的资产价格的波动率，K
为期权合约的执行价格，T为合约到期日，r为无风险利率，N() 为标
次年，铁矿石期货价下跌至1550美元/吨， 低于执行价格。A此时可以行使权利——A 有权按1605美元/吨的价格向B卖出铁矿石 期货；B必须予以满足，此时，A可以以 1550美元/吨的市场价格买入铁矿石期货， 再以1605美元/吨的价格卖给B，即可获利 50美元/吨（1605-1550-5），B则相应地损 失50美元/吨（1550-1605+5）。
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假设公司资产价值为A、股东权益为E，负债为OB，如图5-1
所示。若负债到期时，资产价值OA 大于或等于负债OB ，
此时股东一定会选择去清偿负债而取得公司资产的剩余部分
即OA-OB。若负债到期时，资产价值OA 小于负债OB 时，
则公司不会去选择偿还负债，因此公司就会破产，公司进行
次年，铁矿石期货价上涨至1605美元/吨， 高于执行价格。A此时可以行使权利，即A 有权按1550美元/吨的价格从B手中买入铁 矿石期货；B在A提出这个行使期权的要求 后，必须予以满足，因此A可以以1605美 元/吨的市价在期货市场上抛出，获利50美 元/吨（1605-1550-5），B则损失50美元/ 吨（1550-1605+5）。
期权定价的数值方法，是在无法得到期权价值解析解的情况 下，对期权进行定价的方法，主要包括二叉树方法，蒙特卡 洛模拟和有限差分方法。
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第二节 KMV模型建模的基本思想
KMV公司所发展的违约风险衡量模型（Credit Monitor Model 是以期权定价理论（The Option Price Theory）为基础建立 起来的。该模型利用财务报表及资本市场相关资料，最终得 出预期违约概率（EDF）来度量信用风险。
准正态累积分布函数。
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一、KMV模型的理论框架——期权定价理论
C
图6-5 KMV模型基本思想
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在时间T后，如果该公司的资产价值大于OB，则该买权得到 执行，债务人（持有人）所得收益为OA-OB；否则不行权， 期权价值为0，这说明了可将公司的股权看作是以公司资产 为标的、执行价格为公司债务的欧式看涨期权。
对于债权人而言，可将其视为欧式看涨期权出售方，如果该 公司的资产价值大于OB，其最大获益是OC，如果该公司的 资产价值小于OB，则损失为OA-OB。
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理论违约概率 的计算
修正违约概率 的计算
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第一节 期权理论
一、期权的定义及构成要素
期权（Option）是一种选择权。现代金融市场上，期权是一 种合约，它规定合约的持有人在未来的确定时间，按确定价 格，有权向该合约的出售方购买（或出售）一定数量和质量 的原生资产，但该持有人不承担必须履行该合约的义务。
另外一种常见的分类为欧式期权与美式期权。欧式期权是指 期权的持有人只有在期权合约规定的到期日方可行使权利， 而在合约到期日之前不能行使权利。美式期权是指在期权合 约规定的有效期内期权的持有人在任何时候都可以行使权利 。但是，无论是欧式期权还是美式期权，期权到期后，没有 任何价值。
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KMV模型的基本思想是：将公司的股东权益看作是对公司资 产的看涨期权，该公司的股价为期权价格，公司资产为标的 资产，将公司的举债视为股东向债权人买入期权，期权的到 期执行价格是公司负债的账面价值。
到期时，若公司资产的市场价值低于负债价值，即标的资产 价值低于执行价格，股东将不会从债权人手中买回公司资产 ，也就是说公司将发生违约的风险。
在计算公司预期违约概率（EDF）时，公司的资产价值及其 波动性成为了最重要的因素。但由于公司资产价值及其波动 性是一个抽象的概念，无法直接取得，因此KMV模型借助期 权定价公式解决这个问题，反向导出公司资产及其波动性。
〈延伸阅读〉KMV模型在我国商业银行中信用风险管理中的 应用前景
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若记欧式期权敲定价格为K，到期日为T，标的资产在t时刻的
价格为St，合约在t时刻的价值为Vt ，则到期日欧式看跌期权
的价值为：
VT max K ST , 0
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三、期权交易盈亏分析
（二）看跌期权持有人与出售方
假设现在为1月1日，有一份标的物是铁矿 石期货，执行价格为1605美元/吨，次年1 月1日到期的欧式看跌期权。A买入期权付 出5美元；B卖出期权收入5美元。
若期货市价低于执行价格1550元/吨，A不 行权损失5美元权利金，B则净赚5美元。
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图6-1 欧式看涨期权持有人与 出售方到期收益图 9
三、期权交易盈亏分析
（一）看涨期权持有人与出售方
若记初始权利金为V0 ，欧式看涨 期权持有人和出售方到期盈余分 别表示如图6-2。
对欧式看涨期权的持有人而言， 到期最多损失购买期权花费的权 利金V0 ，而可能的盈利则无限。
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图6-4 欧式看跌期权持有人与出售方 到期盈余图
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四、期权的定价
期权的定价方法主要分为期权解析定价方法和期权数值定价 方法两大类。
期权解析定价方法始于1973年，美国芝加哥大学教授费雪· 布莱克（Fisher Black）和梅隆·舒尔斯（Myron Scholes） 发表了《期权与公司负债定价》一文，提出了著名的布莱克 -舒尔斯定价公式，用于计算股票期权价格，在学术界产生 巨大影响。随后，罗伯特·默顿（Robert Merton）独立地提 出了一个相似却更为一般化的模型，后来人们便把这种定价 方法称为BSM模型。1997年，舒尔斯和默顿由此获得了当 年的诺贝尔经济学奖。
有在合约到期日才能选择是否执行期权，美式期权则规定在合约
到期日之前的任何一个交易日，持有人均可选择是否执行期权。
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二、期权发展历史简介
期权交易起始于十八世纪后期的美国和欧洲市场，但由于 制度的原因期权市场发展一直受限，无法迅速吸引更多的 参与者。
1973年4月6日，由芝加哥期权交易所（CBOE）开始将标 准化的期权合约挂牌交易，而且美国商品期货交易委员会 逐步放松了对期权交易的限制，此后，期权发展的障碍才 彻底被扫清，迎来了繁荣发展的时代。
跌期权持有人最大盈利为执行价格减去期权费之差。若标的 资产未跌至执行价格，则交易者可放弃行权，最大损失为起 初投入的权利金。
交易者卖出看跌期权，若标的资产未跌至执行价格之下，看 跌期权持有人会放弃行权，看跌期权出售方会取得权利金作 为收入。反之，看跌期权被执行，看跌期权出售方将支付执 行价格与市场价格的差额。
若期货市价高于执行价格1605元/吨，A放 弃行权损失5美元权利金，B则净赚5美元。
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图6-3 欧式看跌期权持有人与 出售方到期收益图 12
三、期权交易盈亏分析
（二）看跌期权持有人与出售方 若记初始权利金为V0 ，欧式看跌
期权持有人和出售方到期盈余分 别表示如图6-4。 对欧式看跌期权的持有人而言， 到期最多损失购买期权花费的权 利金V0 ，而可能的最大盈利是 K V0 对欧式看跌期权的出售方而言， 到期最多赢利是持有人买期权花 费的权利金 V0 ，而其潜在的最大 损失为 K V0 。
（二）执行价格
执行价格是指合约规定的期权持有人行使权利时的买卖价格。执 行价格确定后，在期权合约规定的期限内，无论价格怎样波动， 只要期权的持有人要求执行该期权，期权的出售方就必须以此价 格履行义务。执行价格通常用K表示。
（三）合约到期日
合约到期日是指期权合约可以履行的最后日期，其中欧式期权只
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一、期权的定义及构成要素
看跌期权（Put Options）是指在期权合约的有效期内，期权 的持有人按事先约定的价格向期权出售方卖出一定数量的特 定商品的权利，但不承担必须卖出的义务。而期权出售方有 义务在期权规定的有效期内，在期权持有人行权的前提下， 以期权合约事先规定的价格买入特定商品。
一、期权的定义及构成要素
期权合约主要有三要素：权利金、执行价格和合约到期日。
（一）权利金
权利金（Premium）又称作期权费、期权金，是期权的价格，是 期权的持有人为获得期权所赋予的权利（买权或卖权）而向期权 的出售方所支付的费用。欧式看涨、看跌期权的权利金分别用c、 p表示，对应的美式看涨看跌期权用C、P表示。
三、期权交易盈亏分析
（一）看涨期权持有人与出售方
交易者买进看涨期权，若标的资产市场价格上涨，且升至执行价格 之上，则持有人方可执行期权从而获利。从理论上说，价格可以无 限上涨，所以买入看涨期权的盈利理论上是无限大。若标的资产未 升至执行价格之上，则持有人方可放弃行权，其最大损失是起初投 入的权利金。
破产清算后并将剩余资产转手给债权人处理。由于现代公司
制度规定下，股东具有有限责任，股东的损失不会超过期初
投入的权利金OC。 股
对比之前的期权损 权
益图，可以发现公
价 值
司的股权收益状况
和欧式看涨期权持
有人的损益状况一
C
盈利= 股权价值
致，此时该看涨期
O
权执行价格为B。
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B
D
资产价值 A
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信用风险度量
第六章 KMV模型
期权理论 KMV模型建模的基本思想 KMV模型的理论框架及计算步骤

KMV 模型
知识结构图
期权理论