中科大《结晶化学导论》-文档资料
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10结晶化学导论
在向第一层上加第二层球时，如要形
成最紧密堆积，必须把球放在三角形空
隙上，由于空隙数目是球数目的二倍所
以仅半数的三角形空隙上放了球，另一
半空隙上方是第二层的空隙，这样的二
层堆积仍10结能晶化透学导过论 光（图7-3）。
3
在放第三层时，就会有不同的办法：①把第三层 放在与第一层一样的位置，即在第二层半数未被 球占有的三角形空隙的下方是第一层，上方是第 三层，然后再把第四层放得和第二层一样，第五 层放得和第一层一样，直至无限。显然这祥的堆 积仍能透光。因为从中可选出一个六方单位来， 这种堆积叫做六方最密堆积（图７–４）。
10结晶化学导论
4
②把第三层放在堵住头二层透光的三角形空隙上，
这样第三层位置与前两层都不一样。然后第四层
再与第一层、第五层再与第二层一样无限堆积下
去。这样的密堆积不能透光。由于能从中取出一
立方面心单位来，故称为立方最密堆积（图７–
５）。习惯上我们称立方最密堆积为A1型，六方最 密堆积为Ａ3型。立方体心密堆积不是最紧密堆积， 所以称为“密堆积”。它的空间利用率为68.02%，
有8个四面体空隙，6个八面体空隙，其分布如图7-10所示。
因为4个球构成一个四面体空隙，每个球有
1 4
个，每个球
周围有8个四面体空隙，这样每个球就有8× 1 =2个四面体
空隙。6个球构成一个八面体空隙，每个球有4 球周围有6个八面体空隙,因此每个球就有6×
1 6
1 6
个，每个
＝1个八面
体空隙。
在球的最密堆
积中四面体空
隙数目为球的
数目的2倍，
八面体空
隙数目与球
子、离子或分子都堆积得十分紧密。尤其
第7章 结晶化学导论
有8个四面体空隙，6个八面体空隙，其分布如图7-10所示。
因为4个球构成一个四面体空隙
，每个球有
1 4
个，每个球
周围有8个四面体空隙，这样每个球就有8× 1 =2个四面体
空隙。6个球构成一个八面体空隙，每个球有4 球周围有6个八面体空隙,因此每个球就有6×
1616＝个1，个每八个面
体空隙。
在球的最密堆 积中四面体空 隙数目为球的 数目的2倍， 八面体空 隙数目与球 的数目一样。
在放第三层时，就会有不同的办法：①把第三层 放在与第一层一样的位置，即在第二层半数未被 球占有的三角形空隙的下方是第一层，上方是第 三层，然后再把第四层放得和第二层一样，第五 层放得和第一层一样，直至无限。显然这祥的堆 积仍能透光。因为从中可选出一 个六方单位来，这 种堆积叫做六方最 密堆积（图7-4）。
②把第三层放在堵住头二层透光的三角形空隙上， 这样第三层位置与前两层都不一样。然后第四层 再与第一层、第五层再与第二层一样无限堆积下 去。这样的密堆积不能透光。由于能从中取出一 立方面心单位来，故称为立方最密堆积（图7-5）。
习惯上我们称立方最密堆积为A1型，六方最密堆 积为Ａ 型。立方体心密堆积不是最紧密堆积，所
2
这样负离子构成的空隙 内能容纳的正离子半径 为:
r 3 a 2 a, 22
3 a 2 a
而r / r (四面体) 2
2
3
2 0.225
2
2
2
从八面体空隙的剖面图（图7-13）可知，正方形的对角线：
2r 2r = 2 2r
r r 2r 1
r / r 2 1 0.414 1
轴率：3
2
3
正四面体
设r为圆球半径，则六方单位体积为：
第7章结晶化学导论概论
3
以称为“密堆积”。它的空间利用率为68.02%， 配位数为8，习惯上称为A2型。-铁就采用此结构。
7.1.2 空间利用率
构成晶体的原子、离子、或分子在整个晶体空间
中占有的体积百分比叫做空间利用率。这个概念
可表示原子、离子、分子在晶体结构中堆积的紧
密程度。下面以六方最密堆积为例说明这个问题。
②把第三层放在堵住头二层透光的三角形空隙上， 这样第三层位置与前两层都不一样。然后第四层 再与第一层、第五层再与第二层一样无限堆积下 去。这样的密堆积不能透光。由于能从中取出一 立方面心单位来，故称为立方最密堆积（图7-5）。
习惯上我们称立方最密堆积为A1型，六方最密堆 积为Ａ 型。立方体心密堆积不是最紧密堆积，所
这种情况还是一个科学之谜。
冠柱状雪花
这些晶体首先长成短而粗的柱，之后 被膨胀成盘状似的云，结果是二个盘 状晶体长在一个冰柱头上。
罕见的12条枝杈雪花
这确实是二朵雪花连在一起，一朵雪花相 对另一朵雪花旋转了30度。这种雪花非常 罕见。
三角晶状雪花
霜晶状雪花
在温度接近零下2摄氏度时，当晶体盘 云是由无数水珠组成的，有时这些水珠 长成去了角的三角形时，三角形晶体 相互碰撞，粘在雪花晶体上。冻结的水 雪花就形成了。这些晶体也非常罕见。 表叫霜。
在六方最密堆积中选出的六方单位中，每个单位
有两个球，球心的坐标是（000）,（32
1 3
12）。
从图7–6可见a=2r,
边长为a的正四面
体的高可以从
图7-7中求出。
由图可知，立方体边长为a′,立方体体对角线长为
四面3 a体′,的体高对为角立线方为体（对111角）线平的面一，2分即为三，所以正
c=2× 2 3a′,但a′= a ,2这样c= 3 2a,6
以称为“密堆积”。它的空间利用率为68.02%， 配位数为8，习惯上称为A2型。-铁就采用此结构。
7.1.2 空间利用率
构成晶体的原子、离子、或分子在整个晶体空间
中占有的体积百分比叫做空间利用率。这个概念
可表示原子、离子、分子在晶体结构中堆积的紧
密程度。下面以六方最密堆积为例说明这个问题。
②把第三层放在堵住头二层透光的三角形空隙上， 这样第三层位置与前两层都不一样。然后第四层 再与第一层、第五层再与第二层一样无限堆积下 去。这样的密堆积不能透光。由于能从中取出一 立方面心单位来，故称为立方最密堆积（图7-5）。
习惯上我们称立方最密堆积为A1型，六方最密堆 积为Ａ 型。立方体心密堆积不是最紧密堆积，所
这种情况还是一个科学之谜。
冠柱状雪花
这些晶体首先长成短而粗的柱，之后 被膨胀成盘状似的云，结果是二个盘 状晶体长在一个冰柱头上。
罕见的12条枝杈雪花
这确实是二朵雪花连在一起，一朵雪花相 对另一朵雪花旋转了30度。这种雪花非常 罕见。
三角晶状雪花
霜晶状雪花
在温度接近零下2摄氏度时，当晶体盘 云是由无数水珠组成的，有时这些水珠 长成去了角的三角形时，三角形晶体 相互碰撞，粘在雪花晶体上。冻结的水 雪花就形成了。这些晶体也非常罕见。 表叫霜。
在六方最密堆积中选出的六方单位中，每个单位
有两个球，球心的坐标是（000）,（32
1 3
12）。
从图7–6可见a=2r,
边长为a的正四面
体的高可以从
图7-7中求出。
由图可知，立方体边长为a′,立方体体对角线长为
四面3 a体′,的体高对为角立线方为体（对111角）线平的面一，2分即为三，所以正
c=2× 2 3a′,但a′= a ,2这样c= 3 2a,6
结晶化学0.
5
第一章 晶体和空间点阵
1.1 晶体定义 1.2 晶体的特性 1.3 晶体的周期性结构和点阵 1.4 面角守恒定律
6
1.1 晶体定义
晶体是指由原子、离子或分子在空间按一定规 律周期性地重复排列构成的、具有一定宏观尺寸的 固体物质，其外形具有一定对称性。 非晶体：微粒作无规则排列所构成的固体。 (如玻璃、沥青、石蜡、橡胶、塑料等)
结晶化学
《结晶化学》研究内容
1.研究固态晶体中原子级水平的结构原理及
规律。 2.讨论晶体的组成、晶体内部结构与其性能 三者之间的关系。
2
学习方法
讨论的是物质内部原子级水平粒子规律，因此 肉眼看不到，手摸不着，要树立空间概念，建立 空间想象能力，想象空间模型。
3
课程安排
40学时, 其中38学 时讲课， 2学时为 模型实习 课。 第一章 晶体和空间点阵 第二章 几何结晶学 晶体定义，等同点，空间点阵，面角 守恒定律。 几何结晶学的基本定律，晶体内部原 子排列规律，晶体宏观外形特征及对 称性。
17
2.1晶体的宏观对称性
对称性现象在自然界和日常生活中经常遇到，例如： 房屋、树叶、昆虫、人体镜象、左右手，几何图形等。
晶体对称性是由内部结构对称在其外部的反 映，因此要充分认识到晶体的对称性是晶体所特 有的性质。
18
2.1 晶体的宏观对称性
1. 基本概念
(1) 对称性：物体或物体各部分借助一定的操作而有 规律地重复。
7
1.2 晶体的特性
(1)对称性：外形有一定的对称外形，内部？ (2)均匀性：任一部位（单元）物性都是一样的。 (3)各向异性：在不同方向表现性质不同。 (4)锐熔点：有一定很窄范围的熔点。 (5)衍射效应：晶体能够对X射线产生衍射效应。 (6)自范性：晶体在理想生长环境中能自发地形成规则的凸 多面体外形，满足欧拉定理： F（晶面数）+ V（顶点数）= E（晶棱数）+ 2
中科大《结晶化学导论》第6章——唐凯斌2015
CdI2：I为A3密堆积，Cd填充一半的八面体空隙， 堆积方式为：AcB AcB AcB AcB…..
配位多面体的形状
第三节 分子的堆积
一、 8-N法则与非金属晶体的结构
•8-N法则（格里姆•索末菲法则） 当非金属原子互相以共价单键结合时，周围会配置8-N
个原子，N是该元素在周期表中的族次。非金属间化合物 配位也如此。
c = 13.964Å
aH = 21/2aC, cH = 2 • 31/2 aC
21/2ac
• 有序-无序（密堆积） ZnSnAs2的有序-无序变体
立方ZnSnAs2 a = 5.851Å
四方ZnSnAs2 a = 5.846Å c = 11.703Å
-Ag2HgI4
-Ag2HgI4
• 堆积方式发生变化
Bb Aa Bb…..
NaCl：Cl离子形成A1最密堆积，Na离子填在所有的 八面体空隙。沿[111]方向的堆积方式为：
Ac Ba Cb Ac Ba Cb….
NiAs：As为A3最密堆积，Ni填在所有的八面体空隙，堆 积方式沿[001]方向：Ac Bc Ac Bc……。
CaF2：Ca为A1最密堆积，F填在所有的四面体空隙。
一些堆积类型的空间利用率：
A2
68.02%
A3 多层最密堆积
74.05% 74.05%
• 密堆积与金属结构
• 密堆积的其它类型
金刚石型堆积，空间群 Fd3m，空间占有率34.01%, 晶胞中点的坐标为(0,0,0),
(1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2),
(0,1/2,1/2), (1/4,1/4,1/4),
aH aC / 21/2,
c2H (2/3)•31/2aC c8H (8/3)•31/2aC c10H (10/3)•31/2aC
中科大《结晶化学导论》第5章——唐凯斌2015
1、晶粒择优取向生长
2、非单相
无明显取向晶粒 衍射峰相对强度的变化 与PDF卡数据基本一致。
（100）晶面的多级衍射增强。
六方ZnO hkl I 100 57 002 44 101 100 102 23 110 32 103 29 200 4 112 23 201 11
第三节 粉末衍射指标化
• 立方晶系指标化
• 粉末衍射图指标化示例
取立方晶系： a = 3.899Å 100 3.899 110 2.763 111 2.253 200 1.956 201 1.747 211 1.598 220 1.383
取四方晶系: at = 21/2 a = 5.514Å ct = 2a = 7.798Å
电子衍射 210
• 空间群判断示例
GdPS4的指标化结果：四方I格子，a = 1.072, c = 1.9096nm
考虑特殊衍射类型： 1、c方向：
hk0型衍射为200、 220、400、420、440、 620、640等，垂直c方 向可能存在a，b滑移 面。对于I格子，a、b 共存，垂直c方向的滑 移面为a。
00l型衍射只出现004、 008，对于四方晶系， 对应41螺旋轴，可初步 判断c方向对称元素为 41/a。
样品竖直测角仪
、连动
样品水平型测角仪
粉末衍射要求样品是十分细小的粉末颗粒，使试样在 受光照的区域中有足够多数目的晶粒，且试样受光照区域 中晶粒的取向是随机的，以得到强度相对准确的衍射峰。
粉末衍射要求样品表面是尽可能平整的平面，制样过程 中，样品应尽可能地与样品板参考面平齐，以得到位置相对 准确的衍射峰。如样品高于参考面，测得的值比真实值大， 衍射峰d值变小；反之d值变大。
CsCl Pm3m -Fe Im3m Cu Fm3m
2、非单相
无明显取向晶粒 衍射峰相对强度的变化 与PDF卡数据基本一致。
（100）晶面的多级衍射增强。
六方ZnO hkl I 100 57 002 44 101 100 102 23 110 32 103 29 200 4 112 23 201 11
第三节 粉末衍射指标化
• 立方晶系指标化
• 粉末衍射图指标化示例
取立方晶系： a = 3.899Å 100 3.899 110 2.763 111 2.253 200 1.956 201 1.747 211 1.598 220 1.383
取四方晶系: at = 21/2 a = 5.514Å ct = 2a = 7.798Å
电子衍射 210
• 空间群判断示例
GdPS4的指标化结果：四方I格子，a = 1.072, c = 1.9096nm
考虑特殊衍射类型： 1、c方向：
hk0型衍射为200、 220、400、420、440、 620、640等，垂直c方 向可能存在a，b滑移 面。对于I格子，a、b 共存，垂直c方向的滑 移面为a。
00l型衍射只出现004、 008，对于四方晶系， 对应41螺旋轴，可初步 判断c方向对称元素为 41/a。
样品竖直测角仪
、连动
样品水平型测角仪
粉末衍射要求样品是十分细小的粉末颗粒，使试样在 受光照的区域中有足够多数目的晶粒，且试样受光照区域 中晶粒的取向是随机的，以得到强度相对准确的衍射峰。
粉末衍射要求样品表面是尽可能平整的平面，制样过程 中，样品应尽可能地与样品板参考面平齐，以得到位置相对 准确的衍射峰。如样品高于参考面，测得的值比真实值大， 衍射峰d值变小；反之d值变大。
CsCl Pm3m -Fe Im3m Cu Fm3m
《结晶化学导论》钱逸泰读书笔记
《结晶化学导论》钱逸泰读书笔记【最新版】目录1.钱逸泰的《结晶化学导论》概述2.结晶化学的基本概念与理论3.结晶化学的实际应用4.读书笔记的心得体会正文一、钱逸泰的《结晶化学导论》概述《结晶化学导论》是著名化学家钱逸泰所著的一部关于结晶化学的经典教材。
本书系统地阐述了结晶化学的基本概念、理论和方法，以及其在实际应用中的重要性。
书中所涉及的内容广泛且深入，适合化学及相关专业的本科生、研究生及科研人员阅读和参考。
二、结晶化学的基本概念与理论1.结晶化学的定义：结晶化学是研究晶体结构、性质、形成和变化的化学分支。
2.晶体与非晶体：晶体是具有高度有序排列的原子、离子或分子的固态材料，与之相对的是非晶体，其原子、离子或分子排列相对无序。
3.晶体结构：晶体结构是指晶体内部原子、离子或分子的空间排列方式。
常见的晶体结构有离子晶体、共价晶体、金属晶体和分子晶体等。
4.结晶化学的基本原理：包括晶体生长、晶体形态、晶体结构测定、晶体学点阵、空间群等。
三、结晶化学的实际应用1.材料科学：结晶化学在材料科学中具有重要应用，如研究材料的晶体结构与性能关系、相图与相变行为等。
2.药物研究：药物的晶体形态和晶体结构与其生物活性、稳定性和可溶性密切相关，因此结晶化学在药物研究和开发中具有重要作用。
3.矿产资源：结晶化学在矿产资源的勘探、开发和利用中具有关键地位，如通过矿物的晶体学特征来鉴定和研究矿产资源。
4.环境保护：结晶化学在环境污染物的去除和治理中也发挥着作用，如有机污染物的吸附和固定等。
四、读书笔记的心得体会阅读《结晶化学导论》一书，让我对结晶化学有了更加全面和深入的认识。
钱逸泰先生在书中运用通俗易懂的语言，系统地阐述了结晶化学的基本概念和理论，以及实际应用。
通过学习本书，我对晶体的结构、性质和形成等方面有了更加清晰的理解，为今后的学习和研究奠定了坚实的基础。
中科大《结晶化学导论》第6章——唐凯斌精品PPT课件
ABABAC chhhch
• 等径球的密堆积
A2密堆积(bcp) 晶胞中的原子坐标为(0,0,0), (1 /2, 1 /2, 1 /2) 空间群为Im3m，代表性晶体为-Fe，碱 金属等
• 密堆积的空间利用率
以A1为例：4r = 21/2a VS = 4•(4/3)r3 VC = a3 = (4r/21/2)3 VS/VC = /(3•21/2) = 74.05%
一些堆积类型的空间利用率：
A2
68.02%
A3 多层最密堆积
74.05% 74.05%
• 密堆积与金属结构
• 密堆积的其它类型
金刚石型堆积，空间群 Fd3m，空间占有率34.01%, 晶胞中点的坐标为(0,0,0),
(1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2),
(0,1/2,1/2), (1/4,1/4,1/4),
(3/4,3/4,1/4), (1/4,3/4,3/4), (3/4,3/4,1/4)。通常为共价 型晶体，代表性晶体有C， Si，Ge，-Sn等
白锡型结构，空间群为
I41/amd，晶胞中点的坐标 为(0,0,0), (1/2,1/2,1/2), (0,1/2,1/4), (1/2,0,3/4)。代表 性晶体为-Sn。
对每一层可看其上下两层的情况，如果上下两层一样，则
中间这一层用h(hexagonal)来表示；如果上下两层不一样， 则中间一层用c(cubic)来表示。
如六层堆积的情况：
（1）…ABCACB ABCACB
…hcchcc
hcchcc
（2）…ABABAC ABABAC
…chhhch
chhhch
ABCACB… hcchcc
2 layers
• 等径球的密堆积
A2密堆积(bcp) 晶胞中的原子坐标为(0,0,0), (1 /2, 1 /2, 1 /2) 空间群为Im3m，代表性晶体为-Fe，碱 金属等
• 密堆积的空间利用率
以A1为例：4r = 21/2a VS = 4•(4/3)r3 VC = a3 = (4r/21/2)3 VS/VC = /(3•21/2) = 74.05%
一些堆积类型的空间利用率：
A2
68.02%
A3 多层最密堆积
74.05% 74.05%
• 密堆积与金属结构
• 密堆积的其它类型
金刚石型堆积，空间群 Fd3m，空间占有率34.01%, 晶胞中点的坐标为(0,0,0),
(1/2,1/2,0), (1/2,0,1/2),
(0,1/2,1/2), (1/4,1/4,1/4),
(3/4,3/4,1/4), (1/4,3/4,3/4), (3/4,3/4,1/4)。通常为共价 型晶体，代表性晶体有C， Si，Ge，-Sn等
白锡型结构，空间群为
I41/amd，晶胞中点的坐标 为(0,0,0), (1/2,1/2,1/2), (0,1/2,1/4), (1/2,0,3/4)。代表 性晶体为-Sn。
对每一层可看其上下两层的情况，如果上下两层一样，则
中间这一层用h(hexagonal)来表示；如果上下两层不一样， 则中间一层用c(cubic)来表示。
如六层堆积的情况：
（1）…ABCACB ABCACB
…hcchcc
hcchcc
（2）…ABABAC ABABAC
…chhhch
chhhch
ABCACB… hcchcc
2 layers
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对称元素（要素）– 对称动作所借助的几何元素（点、 线、面等）。
阶 – 物体或图形通过全部对称操作得到的相同部分的 数目。
3
晶体的平移周期性是晶体对称性的一种，它表现为晶体 的结构基元在三维晶体空间的平移复原（对称操作为平 移）。结构基元/晶胞中原子排列的几何规律导致晶体 的对称性也包含非（完全）平移的对称操作，使得宏观 晶体具有不同的外观及形状特征。
= 0(360), 180, 120, 90, 60; n = 1, 2, 3, 4, 6
14
惯用符号：L1 L2 L3 L4 L6 国际符号：1 2 3 4 6 圣佛里斯符号: C1 C2 C3 C4 C6
15
旋转轴的极射赤面投影
16
立方体中的旋转轴
三个四次轴，四个三次轴，六个二次轴
17
三个二次轴，四个三次轴
任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有： 360/ = n n正整数
n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分 重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。
13
晶体的对称性定律：晶体只能出现1，2，3，4，6 次旋转轴。
m’a = ma + 2acos = ma + 2acos(2/n) cos(2/n) = (m’-m)/2 = M/2 M = 0, 1, 2, -1, -2
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
1
点阵(格子)
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
2
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现的 动作。
4(2’)
3(1’)
先旋转后反演
先反演后旋转
19
三个四次反轴 四个三次轴
三个二次轴 四个三次轴
20
反轴类型及其极射赤面投影
2=m
3=3+i
4=4•i
6 = 3 + m21
复合对称操作和对称元素的组合的区别
✓复合对称操作：两个（以上）的对称操作连续进行， 对称图形中不一定具有这些对称操作相应的对称元素， 复合对称操作通常用点乘符号表示。如四次轴的旋转 和对称中心的反演的连续操作表示为：4 • i。 ✓对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。 ✓显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
旋转轴
对称中 反映面 心
12346
1
2
反轴 346
惯用符号 L1 L2 L3 L4 L6
圣佛里斯 符号
国际符号
C1 C2 C3 C4 C6
12346
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
Cs
C3i S4 C3h
m
346
图示
双线或 粗线
24
第三节 宏观对称元素组合原理
• 反映面之间的组合 • 反映面与旋转轴的组合 • 旋转轴的组合
晶体外形的对称性为宏观对称性，晶体内部结构原子或 离子排列反映的对称性为微观对称性。前者是有限大小 宏观晶体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对 称性。两者本质上是统一的，微观对称性是晶体的本征 性质，宏观对称性是微观对称性的外在表现。晶体的对 称必须满足晶体对称性定律。
4
第二节 晶体的宏观对称元素
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
6
反映面的极射赤面投影
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
7
立方体中的反映面
九个反映面
8
六个反映面
三个反映面
9Leabharlann 对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
22
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
一次镜转轴为反映面 二次镜转轴为对称中心 三次镜转轴为三次轴和反映面的组合（六次反轴） 四次镜转轴为四次反轴 六次镜转轴为三次轴和对称中心的组合（三次反轴）
23
对称元素
宏观对称元素
对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：Ci
10
对称中心的极射赤面投影
11
立方体中的对称中心
有
无
有
12
旋转轴(rotation axis)：物体或图形中存在一直线，当图形 围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线 即为旋转轴。相应的对称操作为旋转。
在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角 称为该对称轴的基转角（）。
18
反轴(inversion/rotainversion axis)：物体或图形中存在 一直线，当图形绕直线旋转一定角度后，再继之以对 此直线上的一个定点进行反演，其最后结果可使图形 相同部分重合。相应的对称操作为旋转和反演的复合 对称操作。
1(2’)
2(3’)
1(3’)
2(4’)
4(1’)
3(4’)
• 宏观对称元素(symmetry element)和对称操作 (symmetry operation)
对称动作类型
简单 复合
对称元素
反映面 对称中心 旋转轴
反轴
对称操作
反映 反演 旋转 旋转反演
5
反映面(reflection/mirror plane)：对称物体或图形中，存在一 平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距 离两端上必定可以找到对应的点。这一平面即为反映面。相 应的对称操作为反映。
25
定理一：两个反映面相交，交线必为旋转轴，其基 转角为反映面交角的二倍。
Ln A1
A3
A2
m1
m2
26
推论：基转角为2的旋转轴可以分解为两个夹角 为的反映面的连续操作。 P1 • P2 = Ln
27
定理二：如果有一反映面穿过一n次旋转轴，则必同时 有n个反映面穿过此旋转轴。
Ln + P/ = Ln nP/ P• Ln = P • P1 • P2 = I • P2 = P2
28
29
定理三：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称 中心。
L2n + P = L2n PC L2 • P = C
30
推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
阶 – 物体或图形通过全部对称操作得到的相同部分的 数目。
3
晶体的平移周期性是晶体对称性的一种，它表现为晶体 的结构基元在三维晶体空间的平移复原（对称操作为平 移）。结构基元/晶胞中原子排列的几何规律导致晶体 的对称性也包含非（完全）平移的对称操作，使得宏观 晶体具有不同的外观及形状特征。
= 0(360), 180, 120, 90, 60; n = 1, 2, 3, 4, 6
14
惯用符号：L1 L2 L3 L4 L6 国际符号：1 2 3 4 6 圣佛里斯符号: C1 C2 C3 C4 C6
15
旋转轴的极射赤面投影
16
立方体中的旋转轴
三个四次轴，四个三次轴，六个二次轴
17
三个二次轴，四个三次轴
任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有： 360/ = n n正整数
n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分 重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。
13
晶体的对称性定律：晶体只能出现1，2，3，4，6 次旋转轴。
m’a = ma + 2acos = ma + 2acos(2/n) cos(2/n) = (m’-m)/2 = M/2 M = 0, 1, 2, -1, -2
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
1
点阵(格子)
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
2
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现的 动作。
4(2’)
3(1’)
先旋转后反演
先反演后旋转
19
三个四次反轴 四个三次轴
三个二次轴 四个三次轴
20
反轴类型及其极射赤面投影
2=m
3=3+i
4=4•i
6 = 3 + m21
复合对称操作和对称元素的组合的区别
✓复合对称操作：两个（以上）的对称操作连续进行， 对称图形中不一定具有这些对称操作相应的对称元素， 复合对称操作通常用点乘符号表示。如四次轴的旋转 和对称中心的反演的连续操作表示为：4 • i。 ✓对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。 ✓显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
旋转轴
对称中 反映面 心
12346
1
2
反轴 346
惯用符号 L1 L2 L3 L4 L6
圣佛里斯 符号
国际符号
C1 C2 C3 C4 C6
12346
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
Cs
C3i S4 C3h
m
346
图示
双线或 粗线
24
第三节 宏观对称元素组合原理
• 反映面之间的组合 • 反映面与旋转轴的组合 • 旋转轴的组合
晶体外形的对称性为宏观对称性，晶体内部结构原子或 离子排列反映的对称性为微观对称性。前者是有限大小 宏观晶体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对 称性。两者本质上是统一的，微观对称性是晶体的本征 性质，宏观对称性是微观对称性的外在表现。晶体的对 称必须满足晶体对称性定律。
4
第二节 晶体的宏观对称元素
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
6
反映面的极射赤面投影
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
7
立方体中的反映面
九个反映面
8
六个反映面
三个反映面
9Leabharlann 对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
22
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
一次镜转轴为反映面 二次镜转轴为对称中心 三次镜转轴为三次轴和反映面的组合（六次反轴） 四次镜转轴为四次反轴 六次镜转轴为三次轴和对称中心的组合（三次反轴）
23
对称元素
宏观对称元素
对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：Ci
10
对称中心的极射赤面投影
11
立方体中的对称中心
有
无
有
12
旋转轴(rotation axis)：物体或图形中存在一直线，当图形 围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线 即为旋转轴。相应的对称操作为旋转。
在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角 称为该对称轴的基转角（）。
18
反轴(inversion/rotainversion axis)：物体或图形中存在 一直线，当图形绕直线旋转一定角度后，再继之以对 此直线上的一个定点进行反演，其最后结果可使图形 相同部分重合。相应的对称操作为旋转和反演的复合 对称操作。
1(2’)
2(3’)
1(3’)
2(4’)
4(1’)
3(4’)
• 宏观对称元素(symmetry element)和对称操作 (symmetry operation)
对称动作类型
简单 复合
对称元素
反映面 对称中心 旋转轴
反轴
对称操作
反映 反演 旋转 旋转反演
5
反映面(reflection/mirror plane)：对称物体或图形中，存在一 平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距 离两端上必定可以找到对应的点。这一平面即为反映面。相 应的对称操作为反映。
25
定理一：两个反映面相交，交线必为旋转轴，其基 转角为反映面交角的二倍。
Ln A1
A3
A2
m1
m2
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推论：基转角为2的旋转轴可以分解为两个夹角 为的反映面的连续操作。 P1 • P2 = Ln
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定理二：如果有一反映面穿过一n次旋转轴，则必同时 有n个反映面穿过此旋转轴。
Ln + P/ = Ln nP/ P• Ln = P • P1 • P2 = I • P2 = P2
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定理三：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称 中心。
L2n + P = L2n PC L2 • P = C
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推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。