2017-2018学年重庆市高二(下)期末数学试卷(文科)Word版含解析
2017-2018学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A． P B． Q C． {﹣1，1} D． [0，1]2．若点（t，27）在函数y=x3的图象上，则tan的值为（）A． 0 B． 1 C．D．3．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]4．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数5．已知“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，则k的取值范围是（）A． [2，+∞）B． [1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]6．设α为第二象限角，若tanα=﹣，则cos（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．7．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（）A．B．C．D．8．函数f（x）=，g（x）=3x﹣1则使不等式f（g（x））≥0成立的区间为（）A． [1，+∞）B． [1n3，+∞）C． [1，ln3] D． [﹣1，ln3）9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个长度单位10．若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．﹣l B． 0 C． 1 D． 211．己知a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°，b=，lnc=4﹣c2则a，b，c的大小关系为（）A． a＜b＜c B． b＜c＜a C． a＜c＜b D． c＜a＜b12．已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则=（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=sinx﹣cosx+1的值域为．14．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围为．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且f（）=1，当sinα=时，则f（4cos2α）= ．16．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为．三、解答题：共5小题，每小题12分，共60分．17．已知f（x）=（1）若tanx=，计算f（x）的值；（2）若f（x）＞1，求tanx的范围．18．已知函数f（x）=x3+bx2+（b+3）x，在x=1处取极值；（1）求b及f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．19．△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．（1）求角A；（2）若f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A），求f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=1﹣f（x）•f′（x）．（1）求g（x）的最小正周期和对称轴；（2）若不等式|g（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．21．已知f（x）=xlnx+ax，g（x）=﹣x2﹣2，（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值和最大值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞﹣成立．四、选做题：10分．请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22、已知在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρ=；（1）曲线C1，C2是否有公共点，为什么？（2）将曲线C1向右移动m个单位，使得C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，求m的值．选修4-5：不等式选讲23、已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2017-2018学年重庆市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A． P B． Q C． {﹣1，1} D． [0，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先依据余弦函数的值域化简集合B，再利用交集的定义求两个集合的公共元素即得P∩Q．解答：解：∵Q={y|y=cosx，x∈R}，∴Q={y|﹣1≤y≤1}，又∵P={﹣1，0，1}，∴P∩Q={﹣1，0，1}．故选A．点评：本小题主要交集及其运算、三角函数的值域等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．2．若点（t，27）在函数y=x3的图象上，则tan的值为（）A． 0 B． 1 C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据点（t，27）在函数y=3x的图象上，代入函数解析式并解之得t=3，从而得到tan即为所求，不难得到正确选项．解答：解：∵点（t，27）在函数y=3x的图象上，∴3t=27，解之得t=3，因此，tan=tan=，故选：D．点评：本题给出指数函数图象上点的坐标，叫我们根据该点的横坐标求三角函数的值，着重考查了指数式的意义和特殊三角函数的值等知识，属于基础题．3．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．解答：解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．点评：本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．4．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数考点：正弦函数的奇偶性；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数的解析式为 2cos2x，再根据余弦函数的周期性性和奇偶性得出结论．解答：解：∵函数=2cos2x，∴此函数为偶函数，且最小正周期为=π，故选B．点评：本题主要考查诱导公式的应用，余弦函数的周期性性和奇偶性，属于中档题．5．已知“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，则k的取值范围是（）A． [2，+∞）B． [1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：解不等式＜0求出x的范围，结合充分必要条件的定义，从而求出k的范围．解答：解：＜0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜1，或x＞2，∵“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，∴k≥2，∴则k的取值范围是[2，+∞），故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．6．设α为第二象限角，若tanα=﹣，则cos（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（α+）的值．解答：解：∵α为第二象限角，tanα==﹣，sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=﹣，则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）﹣×=﹣，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．7．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（）A．B．C．D．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．解答：解：∵△ABC中∴根据正弦定理得∴故选B；点评：本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用8．函数f（x）=，g（x）=3x﹣1则使不等式f（g（x））≥0成立的区间为（）A． [1，+∞）B． [1n3，+∞）C． [1，ln3] D． [﹣1，ln3）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先求出f（x）≥0的解集，进而结合指数函数的图象和性质，可得使不等式f（g（x））≥0成立的区间．解答：解：∵函数f（x）=，令f（x）≥0，则x≥2，或x≤﹣2，又∵g（x）=3x﹣1＞﹣1，故不等式f（g（x））≥0成立时，g（x）=3x﹣1≥2，即x≥1，即使不等式f（g（x））≥0成立的区间为[1，+∞），故选：A点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的图象和性质，一次函数和二次函数的图象和性质，难度不大，属于中档题．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，函数f（x）=sin（2x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得函数g（x）=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．﹣l B． 0 C． 1 D． 2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于a，b的方程，解方程可得答案．解答：解：∵f（x）=acosx+sinx，g（x）=x2+bx+1∴f′（x）=﹣a•sinx+cosx，g′（x）=2x+b∵曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1且f′（0）=1=g′（0）=b即a=1，b=1，∴a+b=2故选D．点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知分析出f（0）=g（0）且f′（0）=g′（x）是解答的关键．11．己知a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°，b=，lnc=4﹣c2则a，b，c的大小关系为（）A． a＜b＜c B． b＜c＜a C． a＜c＜b D． c＜a＜b考点：两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正弦函数的单调性求得a＜，再根据正切函数的单调性可得btan80°＞tan75°=2+＞2，根据函数y=lnx和 y=4﹣x2的图象可得2＞c＞1，从而得到a、b、c的大小关系．解答：解：∵a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°=cos（46°﹣14°）=cos32°＜，b==tan（45°+35°）=tan80°＞tan75°=tan（45°+30°）==2+＞2，根据函数y=lnx和 y=4﹣x2的图象可得c＞1，再根据ln＜4﹣，可得x=时，函数y=lnx的图象在 y=4﹣x2的图象的下方，故c＞．再根据c＜2，可得b＞c＞a，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的三角公式，三角函数的单调性，属于基础题．12．已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则=（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由+=，两边同乘以x2+y2得到=；把=代入上式得=，再将四个答案逐一代入判断，可得答案．解答：解：∵θ∈（，），∴tanθ＞1，∵=，∴==tanθ＞1，故可排除A，C，又由+=，两边同乘以x2+y2得到=；把=代入上式得=，当==tanθ=时，sinθ=，cosθ=，代入=满足条件，故B正确，D错误；故选：B．点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系，难度较大，属于难题．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=sinx﹣cosx+1的值域为[﹣2，2] ．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正弦公式求得函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得f（x）的值域．解答：解：函数y=sinx﹣cosx+1=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），故函数的值域为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．14．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围为（0，）．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，求导可得，导函数在（0，1）内至少有一个实数根，分a＞0、a=0、a＜0三种情况，求得实数a的取值范围．解答：解：对于函数y=x3﹣2ax+a，求导可得y′=3x2﹣2a，∵函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，∴y′=3x2﹣2a=0，则其有一根在（0，1）内，当a＞0时，3x2﹣2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．当a=0时，3x2﹣2a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．当a＜0时，3x2﹣2a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜，故答案为：（0，）．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且f（）=1，当sinα=时，则f（4cos2α）= ﹣1 ．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=﹣f（x）得函数f（x）为奇函数，由f（1+x）=f（1﹣x）得函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性的性质进行转化即可．解答：解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，∵f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），∴f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=f（x），函数的周期为4，∵sinα=，∴4cos2α=4（1﹣2sin2α）=4×（1﹣2×）=，则f（4cos2α）=f（）=f（﹣4）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性以及周期性，结合三角函数的倍角公式进行求值是解决本题的关键．综合考查函数的性质．16．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：构造函数g（x），由已知条件，判断g（x）是单调递减，且g（1）=0，得x2＞1，求得不等式的解集．解答：解：令t=x2，f（x2）＜，即⇔，令，∴＜0，∴g（x）在R上单调递减，又∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣=0，∴⇒t＞1，即x2＞1，得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）点评：本题考查了，不等式求解，函数的单调性，导数，运用了等价转换和构造思想．属于基础题．三、解答题：共5小题，每小题12分，共60分．17．已知f（x）=（1）若tanx=，计算f（x）的值；（2）若f（x）＞1，求tanx的范围．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和的自习室以及诱导公式化简已知条件，通过正切函数值求解．（2）利用函数的函数的表达式，通过分式不等式求解即可．解答：解：（1）tanx=，∴f（x）=====．（2）f（x）=，f（x）＞1，可得，即，即解得tanx∈（﹣，0）．点评：本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，分式不等式的解法，考查计算能力．18．已知函数f（x）=x3+bx2+（b+3）x，在x=1处取极值；（1）求b及f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数f（x）的导数，通过f′（1）=0，求出b的值即可；（2）问题转化为m≥3x2﹣4x+1在[﹣2，2]恒成立，令h（x）=3x2﹣4x+1，x∈[﹣2，2]，利用二次函数的性质，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2bx+b+3，∵函数f（x）在x=1处取极值，∴f′（1）=3+2b+b+3=0，解得：b=﹣2，∴f（x）=x3﹣2x2+x，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴函数f（x）在[﹣1，）递增，在（，1]递减，∴f（x）的最小值是f（﹣1）或f（1），而f（﹣1）=﹣4，f（1）=0，∴函数f（x）的最小值是﹣4；（2）g（x）=f（x）﹣mx=x3﹣2x2+x﹣mx，∴g′（x）=3x2﹣4x+1﹣m，若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，则：g′（x）≤0在[﹣2，2]上恒成立，即：m≥3x2﹣4x+1在[﹣2，2]恒成立，令h（x）=3x2﹣4x+1，x∈[﹣2，2]，对称轴x=，∴h（x）在[﹣2，）递减，在（，2]递增，∴h（x）的最大值是：f（﹣2）=21，∴m≥21．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．19．△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．（1）求角A；（2）若f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A），求f（x）的单调递增区间．考点：余弦函数的单调性；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由，得，即a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理，得，可得A 的值．（2）化简f（x）=，由 2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），求得f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）由，得，即a2=b2+c2﹣bc，又由余弦定理可知a2=b2+c2﹣2bccosA，，得，∴．（2）f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A）===．由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得，故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，利用余弦函数的单调性，求出角A的值，是解题的关键．20．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=1﹣f（x）•f′（x）．（1）求g（x）的最小正周期和对称轴；（2）若不等式|g（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，图象的对称性求得g（x）的最小正周期和对称轴．（2）由题意可得g（x）﹣2＜m＜g（x）+2横成立．再根据x∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，从而得到m的范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），g（x）=1﹣（ sinx+cosx ）（cosx﹣sinx ）=1﹣（sinxcosx﹣sin2x+cos2x﹣3sinxcosx）=1﹣（cos2x﹣sin2x）=1﹣2sin（﹣2x）=1+2sin（2x﹣），故g（x）的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，可得函数g（x）的图象的对称轴为 x=+，k∈z．（2）由不等式|g（x）﹣m|＜2 横成立，可得﹣2＜m﹣g（x）＜2横成立，即 g（x）﹣2＜m＜g（x）+2横成立．再根据x∈[，]，可得2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，g（x）∈[2，3]，∴0＜m＜5．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性、定义域和值域，属于中档题．21．已知f（x）=xlnx+ax，g（x）=﹣x2﹣2，（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值和最大值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞﹣成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥﹣x2﹣2恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）当a=1时，f（x）=xlnx+x，由导数的运算法则可得：f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，可得x=．对m分类讨论：当时，及当时，分别研究其单调性极值与最值即可得出．（3）问题等价于证明，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，当且仅当时取得，设G（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性极值与最大值，只要证明：f min（x）＞G max（x）即可．解答：解：（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥﹣x2﹣2恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+，则==，在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F min（x）=F（x）=3，∴﹣a≤3，∴a≥﹣3．（2）当a=1时，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，解得x=．①当时，在x∈上f′（x）＜0；在x∈上f′（x）＞0．因此，f（x）在处取得极小值，也是最小值．f min（x）=﹣．由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0．因此，f max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．②当，f′（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，∴f min（x）=f（m）=m（lnm+1），f max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．（3）证明：问题等价于证明，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，当且仅当时取得，设G（x）=，x∈（0，+∞），则，易知，当且仅当x=1时取到，但，从而可知对一切x∈（0，+∞），都有成立．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．四、选做题：10分．请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-4：坐标系与参数方程22、已知在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρ=；（1）曲线C1，C2是否有公共点，为什么？（2）将曲线C1向右移动m个单位，使得C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，求m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）把曲线C1的参数方程、曲线C2的极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线l的距离d与半径r的关系，判断曲线C1，C2的公共点数；（2）曲线C1向右移动m个单位，得到圆的方程，由圆心到直线的距离，求出m的值．解答：解：（1）把曲线C1的参数方程（α为参数）化为普通方程是x2+y2=1；又曲线C2的极坐标方程ρ=可化为ρ•（sinθ+cosθ）=1，化为普通方程是y+x=1，化简得x+y﹣=0；所以圆心O（0，0）到直线l的距离为d==1=r，∴直线l与圆O相切，即曲线C1，C2有一个公共点；（2）将曲线C1向右移动m个单位，得圆的方程为（x+m）2+y2=1C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，∴圆心（﹣m，0）到直线x+y﹣=0的距离为d==，解得m=﹣±1．点评：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了参数方程与极坐标的应用问题，是基础题目．选修4-5：不等式选讲23、已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的图象与图象变化．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0，即|x﹣2|＞+1，即x﹣2＞+1 或x﹣2＜﹣（+1 ），由此求得它的解集．（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，画出图形，数形结合求得m的范围．解答：解：（1）关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0，即|x﹣2|＞+1，∴x﹣2＞+1 或x﹣2＜﹣（+1 ）．求得 x＞4或 x＜，故不等式的解集为{x|x＞4或 x＜ }．（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，如图所示：故有m＜5．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．。
重庆市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试卷Word版含解析
重庆市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合R={0，1，2}，B={x|＞0，x∈R}，则A∩∁U B=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，1，2}2．已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x0∈R，2x02+1＞0C．∃x0∈R，2x02+1＜0 D．∃x0∈R，2x02+1≤03．函数y=的定义域是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，+∞） D． [2，+∞）4．设a=logπ3，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． b＞a＞c D． a＞c＞b5．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A． y=ln（x+1） B． y=﹣ C． y=（）x D． y=x+6．已知x、y的取值如下表从所得的散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A． 2.1 B． 2.2 C． 2.4 D． 2.67．已知a为实数，则|a|≥1是关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a有解的（（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．若函数f（x）=log a（）有最小值1，则a等于（）A． B． C． 2 D． 49．函数f（x）=x2﹣bx+a的图象如图所示，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）10．定义在R上函数f（x）满足：f（x）=f（﹣x），f（2+x）=f（2﹣x），若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0，则y=f（x）在x=2015的切线方程为（）A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣2013=0 C． x﹣y﹣2015=0 D． x﹣y+2017=011．点P（x0，y0）是曲线C：x=e﹣|x|（x≠0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，则△AOB面积的最大值为（）A． B． C． D． 212．已知偶函数f（x）：Z Z，且f（x）满足：f（1）=1，f（2015）≠1，对任意整数a，b都有f（a+b）≤max{f（a），f（b）}，其中max（x，y）=，则f（2016）的值为（） A． 0 B． 1 C． 2015 D． 2016二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．设随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+3），则实数a的值为．14．若函数f（x）=x3﹣a的图象不经过第二象限，则实数a的取值范围是．15．已知函数f（x）=|1﹣x2|，在[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，则满足f（a）≤f（b）的概率为．16．己知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为．三．解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知命题p：（）＜9，q：|2a﹣1|＜4，若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）某校小卖部根据以往某种商品的销售记录，绘制了如下的日销售量频率分布直方图．若以日销售量的频率为概率，假设每天的销售量是相互独立的．结合直方图相关数据，以此来估计未来连续3天日销售量．（Ⅰ）求在未来3天里，恰好只有连续2天的日销售量都高于100个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣x2﹣ax+3，其中a∈R．（Ⅰ）设曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[，e]上单调递减，求a的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=kx+log2（4x+1）（k∈R）是偶函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设函数g（x）=log2（a•2x﹣4a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=ax+b，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=﹣1，函数y=在（0，+∞）上有意义，求b的取值范围；（Ⅱ）若0≤2a≤b≤1，求证：当x≥0时，+≥1．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C1的方程为ρ=2cos θ+2sinθ，直线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）将C1的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）P为C1上一动点，求P到直线C2的距离的最大值和最小值．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣a（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．重庆市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试卷参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合R={0，1，2}，B={x|＞0，x∈R}，则A∩∁U B=（）A． {0} B． {0，1} C． {1，2} D． {0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B中的不等式的解集，确定出集合B，根据全集U=R，找出集合B的补集，然后找出集合B 补集与集合A的公共元素，即可求出所求的集合解答：解：由集合B中的不等式＞0，解得：x＞1∴B=（1，+∞），又全集U=R，∴C U B=（﹣∞，1]，又A={0，1，2}，∴A∩C U B={0，1}．故选：B．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，是一道基本题型，求集合补集时注意全集的范围．2．已知命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x0∈R，2x02+1＞0C．∃x0∈R，2x02+1＜0 D．∃x0∈R，2x02+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是：∃x0∈R，2x02+1≤0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系．3．函数y=的定义域是（）A．（1，2） B．（2，+∞） C．（1，+∞） D． [2，+∞）考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，解答即可．解答：解：要使原函数有意义，则lg（x﹣1）≥0，即x﹣1≥1，解得：x≥2．所以函数y=的定义域是[2，+∞）．故选D．点评：本题考查对数函数的定义域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．4．设a=logπ3，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系为（）A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． b＞a＞c D． a＞c＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得到．解答：解：∵0＜a=logπ3＜1，b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故选：C．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A． y=ln（x+1） B． y=﹣ C． y=（）x D． y=x+考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数，对勾函数和复合函数单调性，逐一分析四个答案中函数的单调性，可得答案．解答：解：A中，函数y=ln（x+1）在区间（0，+∞）上为增函数，B中，y=﹣在区间（0，+∞）上为减函数，C中，y=（）x在区间（0，+∞）上为减函数，D中，y=x+在区间（0，1）上为减函数，在（1，+∞）为增函数，故选：A点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数，一次函数，对勾函数和复合函数单调性，是解答的关键．6．已知x、y的取值如下表从所得的散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（）x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A． 2.1 B． 2.2 C． 2.4 D． 2.6考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出，再将点的坐标代入回归直线方程，即可求出对应的a值．解答：解：点在回归直线上，计算得；代入得a=2.6；故选D．点评：统计也是高考新增的考点，回归直线方程的求法，又是统计中的一个重要知识点，其系数公式及性质要求大家要熟练掌握并应用．7．已知a为实数，则|a|≥1是关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a有解的（（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由已知中的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a，我们可以构造绝对值函数，根据绝对值的几何意义，我们易求出对应函数y=|x﹣3|+|x﹣4|的值域，进而得到实数a的取值范围，再根据充分条件和必要条件去判断即可．解答：解：令y=|x﹣3|+|x﹣4|，则函数y=|x﹣3|+|x﹣4|的值域为[1，+∞）若不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a有解集则a≥1，∴|a|≥1是关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤a有解必要不充分条件．故选：B．点评：本题考查了绝对值的几何意义以及必要不充分条件的判断，属于中档题．8．若函数f（x）=log a（）有最小值1，则a等于（）A． B． C． 2 D． 4考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：函数的性质及应用．分析：运用基本不等式可得=x+≥2，当且仅当x=取得最小值．再由对数函数的单调性可得log a2=1，解方程可得a=4．解答：解：由于x＞0，a＞0，则=x+≥2，当且仅当x=取得最小值．由题意结合对数函数的单调性可得a＞1，由最小值为1，可得log a2=1，即为a=2，解得a=4．故选：D．点评：本题考查对数函数的单调性的运用，同时考查基本不等式的运用，属于中档题．9．函数f（x）=x2﹣bx+a的图象如图所示，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；压轴题；数形结合．分析：由二次函数图象的对称轴确定b的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间．解答：解：∵二次函数f（x）图象的对称轴 x=∈（，1），∴1＜b＜2，g（x）=lnx+2x﹣b在定义域内单调递增，g（）=ln +1﹣b＜0，g（1）=ln1+2﹣b=2﹣b＞0，∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）；故选B．点评：此题是个中档题．题考查导数的运算、函数零点的判断以及识图能力，体现了数形结合的思想，考查了学生应用知识分析解决问题的能力．10．定义在R上函数f（x）满足：f（x）=f（﹣x），f（2+x）=f（2﹣x），若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0，则y=f（x）在x=2015的切线方程为（）A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣2013=0 C． x﹣y﹣2015=0 D． x﹣y+2017=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；直线与圆．分析：由f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（2﹣x），可令x为x+2，可得f（x）为周期为4的函数，再由x=1处的切线方程为x+y﹣3=0，可得f（1），f（2015），再通过求导，可得导函数为奇函数且为周期函数，即可求得f′（2015），由点斜式方程，即可得到所求切线方程．解答：解：由f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（2﹣x），即有f（x+4）=f（2﹣（x+2））=f（﹣x）=f（x），则f（x）为周期为4的函数，若曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0，则f（1）=2，f′（1）=﹣1，即有f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1）=2，对f（﹣x）=f（x），两边求导，可得﹣f′（﹣x）=f′（x），由f（x+4）=f（x），可得f′（x+4）=f′（x），即有f′（2015）=f′（3）=f′（﹣1）=1，则该曲线在x=2015处的切线方程为y﹣2=x﹣2015，即为x﹣y﹣2013=0．故选：B．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性和周期性的运用，属于中档题．11．点P（x0，y0）是曲线C：x=e﹣|x|（x≠0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点，则△AOB面积的最大值为（）A． B． C． D． 2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：由函数为偶函数，可设y=e﹣x（x＞0），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，令x=0，y=0可得y．x轴的截距，再由三角形的面积公式，再求导数，求得单调区间，可得x0=1处取得极大值，也为最大值，可得结论．解答：解：可设y=e﹣x（x＞0），y′=﹣e﹣x，曲线C在点P处的切线斜率为k=﹣，即有曲线C在点P处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣x0），可令y=0，则x=x0+1，令x=0，可得y=（x0+1），即有△AOB面积S==（x0+1）2，S′=[2（x0+1）﹣（x0+1）2]=（1+x0）（1﹣x0），当0＜x0＜1时，S′＞0，当x0＞1时，S′＜0，即有x0=1处取得极大值，也为最大值．则△AOB面积的最大值为．故选：A．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查三角形的面积的最值，考查运算能力，属于中档题．12．已知偶函数f（x）：Z Z，且f（x）满足：f（1）=1，f（2015）≠1，对任意整数a，b都有f（a+b）≤max{f（a），f（b）}，其中max（x，y）=，则f（2016）的值为（） A． 0 B． 1 C． 2015 D． 2016考点：进行简单的演绎推理；函数奇偶性的性质．专题：推理和证明．分析：先根据已知条件求出f（2），f（3），f（4）…找到其规律即可得到答案．解答：证明：∵f（1）=1，f（a+b）≤max{f（a），f（b）}f（2）=f（1+1）≤max{f（1），f（1）}=1，即f（2）≤1，f（3）=f（1+2）≤max{f（1），f（2）}=1，即f（3）≤1，f（4）=f（1+3）≤max{f（1），f（3）}=1，即f（4）≤1，…，f（2015）≤max{f（1），f（2014）}=1，即f（2015）≤1．因为 f（2015）≠1，所以f（2015）＜1，从而 f（2016）≤max{f（1），f（2015）}=1，即f（2016）≤1．假设 f（2016）＜1，因为 f（x）为偶函数，所以f（﹣2015）=f（2015）．于是 f（1）=f（2016﹣2015）≤max{f（2016，f（﹣2015）}=max{f（2016），f（2015）}＜1，即 f（1）＜1．这与f（1）=1矛盾．所以f（2016）＜1不成立，从而只有f（2016）=1．故选：B点评：本题主要考查函数的值．解决本题的关键利用合情推理进行一步步向前推，找到其最基本的地方即可．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．13．设随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+3），则实数a的值为 2 ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+3），∴2a﹣3与a+3关于x=3对称，∴2a﹣3+a+3=6，∴3a=6，∴a=2，故答案为：2．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．14．若函数f（x）=x3﹣a的图象不经过第二象限，则实数a的取值范围是[0，+∞）．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的图象和性质即可得到结论解答：解：∵函数f（x）单调递增，∴要使f（x）=f（x）=x3﹣a的图象不经过第二象限，则f（0）≤0，即可，即f（0）=﹣a≤0，解得a≥0，故a的取值范围为[0，+∞）故答案为：[0，+∞）．点评：本题主要考查幂数函数的图象和性质，比较基础．15．已知函数f（x）=|1﹣x2|，在[0，1]上任取一数a，在[1，2]上任取一数b，则满足f（a）≤f（b）的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意化简f（a）≤f（b）可得，或，而a∈[0，1]，b∈[1，2]，作出图形由几何概型可得．解答：解：由题意可得f（a）≤f（b）即|1﹣a2|≤|1﹣b2|，平方化简可得（a2﹣b2）（a2+b2﹣2）≤0即，或，对应的区域如图阴影部分而a∈[0，1]，b∈[1，2]，图形AEB的面积s=﹣×1×1=，正方形ABCD的面积为1×1=1，故可得所求概率为P=1﹣=；故答案为：．点评：本题考查几何概型，得出f（a）≤f（b）的区域是解决问题的关键，属中档题．16．己知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．考点：分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：根据题意，分析可得如果f（f（x））=0有且只有一个实数解，则f（x）=1和f（x）=lna（a＞0）中只能有1个方程有解，且只有1解，即函数f（x）的图象与y=1或y=lna（a＞0）的图象有且只能有一个交点，进而作出函数g（x）=的图象，分析其图象与函数f（x）的图象的位置关系，即可得答案．解答：解：根据题意，假设f（t）=0，则当t≤0时，有e t﹣a=0，则t=lna，（a＞0）当t＞0时，有t﹣=1，解可得t=1，如果f（f（x））=0有且只有一个实数解，则f（x）=1和f（x）=lna（a＞0）中只能有1个方程有解，且只有1解，即函数f（x）的图象与y=1或y=lna（a＞0）的图象有且只能有一个交点，作出函数g（x）=的图象，将其图象x≤0的部分向上或向下平移|a|个单位可得函数f（x）的图象，分析可得，函数f（x）的图象只可能与y=1有且只有一个交点，且a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的零点和方程的根的关系，运用分类讨论的思想和函数的值域是解题的关键．三．解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015春•重庆校级期末）已知命题p：（）＜9，q：|2a﹣1|＜4，若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；推理和证明．分析：先根据指数函数的单调性、绝对值不等式的解的情况，求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p ∨q为真，p∧q为假，得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围并求并集即可．解答：解：若命题p：（）＜9=（）﹣2为真命题，则a﹣a2＞﹣2，解得：a∈（﹣1，2），若命题q：|2a﹣1|＜4为真命题，则﹣4＜|2a﹣1|＜4，解得a∈（﹣，），∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则p，q一真一假；当p真q假时，a∈（﹣1，2），且a∉（﹣，），不存在满足条件的a值；当p假q真时，a∉（﹣1，2），且a∈（﹣，），则a∈（﹣，﹣1]∪[2，）．点评：考查指数函数的单调性，绝对值不等式解的情况和判别式△的关系，以及p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．18．（12分）（2015春•重庆校级期末）某校小卖部根据以往某种商品的销售记录，绘制了如下的日销售量频率分布直方图．若以日销售量的频率为概率，假设每天的销售量是相互独立的．结合直方图相关数据，以此来估计未来连续3天日销售量．（Ⅰ）求在未来3天里，恰好只有连续2天的日销售量都高于100个的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．专题：概率与统计．分析：根据二项分布与独立重复实验的定义即可．解答：解：（1）用A表示事件“日销售量高于100个”，用B表示事件“在未来3天里恰有连续2天日销售量高于100个”，则：P（A）=0.3+0.2+0.1=0.6，∴P（B）=0.6×0.6×0.4×2=0.288．（2）依题意：X的可能取值为0，1，2，3且X～B（3，0.6），P（X=0）=×（1﹣0.6）3=0.064，P（X=1）=×0.6×（1﹣0.6）2=0.288，P（X=2）=×0.62×0.4=0.432，P（X=3）=×0.63=0.216．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.216∴E（X）=3×0.6=1.8．点评：本题主要考查的是二项分布的分布列及均值．19．（12分）（2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=2lnx﹣x2﹣ax+3，其中a∈R．（Ⅰ）设曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x﹣y+1=0平行，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[，e]上单调递减，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，根据切线的斜率是2，求出a的值即可；（Ⅱ）问题转化为a≥2lnx+2﹣2x，先求出函数g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，进而求出a 的范围．解答：解：f′（x）=2lnx+2﹣2x﹣a（x＞0），（Ⅰ）由f′（1）=﹣a=2，解得：a=﹣2，；（Ⅱ）由题意得：f′（x）≤0在x∈[，e]恒成立，即：a≥2lnx+2﹣2x，令g（x）=2lnx+2﹣2x，则：g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，∴g（x）在[，1）递增，在（1，e]递减，∴g（x）max=g（1）=0，∴a≥0．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，是一道中档题．20．（12分）（2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=kx+log2（4x+1）（k∈R）是偶函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）设函数g（x）=log2（a•2x﹣4a），其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）是R上的偶函数，利用f（﹣1）=f（1），求出k的值；（Ⅱ）a＞0时，函数g（x）的定义域是（2，+∞），转化为方程f（x）=g（x）在（2，+∞）上有且只有一解，构造函数，讨论a的取值，求出满足条件a的取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=kx+log2（4x+1）是R上的偶函数，∴f（﹣1）=f（1），即﹣k+log2（4﹣1+1）=k+log2（4+1），∴﹣2k=log25﹣log2=2，解得k=﹣1；（Ⅱ）当a＞0时，函数g（x）=log2（a•2x﹣4a）的定义域是（2，+∞），由题意知，﹣x+log2（4x+1）=log2（a•2x﹣4a）在（2，+∞）上有且只有一解，即方程=a•2x﹣4a在（2，+∞）内只有一解；令2x=t，则t＞4，因而等价于关于t的方程（a﹣1）t2﹣4at﹣1=0在（4，+∞）上只有一解；设h（t）=（a﹣1）t2﹣4at﹣1，当a=1时，解得t=﹣∉（4，+∞），不合题意；当0＜a＜1时，h（t）的对称轴t=＜0，故h（t）在（0，+∞）上单调递减，而h（0）=﹣1，∴方程（a﹣1）t2﹣4at﹣1=0在（4，+∞）上无解；当a＞1时，h（t）的对称轴t=＞0，故只需h（4）＜0，即16（a﹣1）﹣16a﹣1＜0，此不等式恒成立；综上，a的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了分类讨论思想以及转化思想的应用问题，是综合性题目．21．（12分）（2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=e x，g（x）=ax+b，其中a，b∈R．（Ⅰ）若a=﹣1，函数y=在（0，+∞）上有意义，求b的取值范围；（Ⅱ）若0≤2a≤b≤1，求证：当x≥0时，+≥1．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）若a=﹣1，函数y=在（0，+∞）上有意义，等价为f（x）+g（x）≠0在（0，+∞）上恒成立，构造函数求出函数的导数，即可求b的取值范围；（Ⅱ）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性进行证明即可．解答：解：（Ⅰ）若a=﹣1，g（x）=﹣x+b，令h（x）=f（x）+g（x）=e x﹣x+b，若函数y=在（0，+∞）上有意义，则等价为h（x）=e x﹣x+b≠0在（0，+∞）上恒成立，函数的导数h′（x）=e x﹣1，当x＞0是，h′（x）＞0，即h（x）为增函数，则只需要h（0）=1+b≥0即可，即b≥﹣1，即b的取值范围[﹣1，+∞）；（Ⅱ）当0≤2a≤b≤1，x≥0，ax+b＞0，则不等式，+≥1等价为e﹣x﹣1+0，（e﹣x﹣1）（ax+b）+x≥0，即故只需要证明：（e﹣x﹣1）（ax+b）+x≥0，令φ（x）=（e﹣x﹣1）（ax+b）+x，则函数的导数φ′（x）=e﹣x（a﹣b﹣ax）+1﹣a，由（Ⅰ）知e x≥x+1，从而﹣x≥1﹣e x，∴φ′（x）=e﹣x（a﹣b﹣ax）+1﹣a≥e﹣x[a﹣b+a（1﹣e x）]+1﹣a=e﹣x（2a﹣b）+1﹣2a，∵0≤2a≤b≤1，∴φ′（x）≥e﹣x（2a﹣1）+1﹣2a=（1﹣2a）（1﹣e﹣x）≥0，∴φ（x）在[0，+∞）上为增函数，∵φ（0）=0，∴φ（x）≥0，即原不等式成立．点评：本题主要考查函数单调性的判断以及函数与不等式的综合应用，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程22．（2015春•重庆校级期末）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C1的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）将C1的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）P为C1上一动点，求P到直线C2的距离的最大值和最小值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由ρ=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y，将曲线C1的方程：ρ=2cosθ+2sinθ化为直角坐标方程；（Ⅱ）将直线C2的参数方程消去t化为直角坐标方程，利用点到直线的距离求出圆心C1（1，1）到直线C2的距离d，判断出直线与圆的位置关系，即可求出答案．解答：解：（Ⅰ）因为曲线C1的方程为ρ=2cosθ+2sinθ，则ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，所以C1的直角坐标方程是x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）因为直线C2的参数方程为（t为参数）所以直线C2的直角坐标方程为x+y+2=0，因为圆心C1（1，1）到直线C2的距离d==2，则直线与圆相离，所以求P到直线C2的距离的最大值是3，最小值．点评：本题考查极坐标方程及参数方程化为直角坐标方程，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2015春•重庆校级期末）设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣a（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用绝对值不等式的性质，可得|x+2|﹣|x﹣3|≤|（x+2）﹣（x﹣3）|=5，即可得到f（x）的最大值；（Ⅱ）f（x）≤对任意x∈R恒成立，即为f（x）max=5﹣a≤，解不等式可得a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+2|﹣|x﹣3|﹣1，由|x+2|﹣|x﹣3|≤|（x+2）﹣（x﹣3）|=5，故f（x）≤4，所以，当x≥3时，f（x）取得最大值，且为4；（Ⅱ）f（x）≤对任意x∈R恒成立，即为f（x）max=5﹣a≤，即为即有，即为a≥4或0＜a≤1．即有a的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）．点评：本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题的解法，同时考查运算能力，属于中档题．。
2017-2018年重庆市部分区县高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2017-2018学年重庆市部分区县高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）圆心为（﹣1，1），半径为的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=1B．（x﹣1）2+（y+1）2=1C．（x+1）2+（y﹣1）2=2D．（x﹣1）2+（y+1）2=22．（5分）已知抛物线的方程为y2=4x，则此抛物线的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（0，1）3．（5分）“x＜2”是“1＜x＜2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤05．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．4πD．8π7．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣2”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣2B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣2C．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣2D．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣2 8．（5分）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．410．（5分）函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2）B．（0，3）C．（1，4）D．（2，+∞）11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若0＜x1＜x2＜1，则（）A．﹣＞lnx2﹣lnx1B．﹣＜lnx2﹣lnx1C．x2＞x1D．x2＜x1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市云阳县等2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2018年春高二(下)期末测试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：化简等式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，从而可得结果.详解：由因为，所以故选B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：解一元二次不等式可得集合A、B，再由交集的定义求得结论．详解：由题意，，∴．故选D．点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，从而确定集合中的元素，然后再根据集合的运算定义求解．3. 命题，若是成立的充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出命题为真时的的范围，然后由充分条件与集合的关系得出参数的不等关系．详解：由题意命题，命题，因为是成立的充分条件，∴，即．故选B．点睛：设命题对应的集合为，命题对应的集合为，则充分必要条件与集合的包含关系为：是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件．4. 已知函数，它的导函数记为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由正弦函数与余弦函数的导数公式求出导函数，再计算．详解：，∴．故选A．点睛：本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式是解题关键．，，，，，，等等．5. 有人用三段论进行推理：“函数的导函数的零点即为函数的极值点，函数的导函数的零点为，所以是函数的极值点”，上面的推理错误的是（）A. 大前提B. 小前提C. 推理形式D. 以上都是【答案】A【解析】分析：根据极值的定义，“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”不正确，从而可得结果.详解：大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题，对于可导函数，如果，且满足当附近的可导函数值异号时，那么是函数的极值点，大前提错误，故选A.点睛：本题考查三段论的定义，属于简单题. 在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误.6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：程序本身是求数列的前项和，可用裂项相消法求和．详解：由程序框图知，本程序是求数列的和：，时，，时，，此时有，故输出．故选D．点睛：模拟程序运行，观察变量的变化规律，弄懂程序的数学实质是解题的关键．7. 已知命题，有下列命题：①；②；③；④，其中真命题是（）A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④【答案】A【解析】分析：先求出命题的真假，然后根据复合命题的真值表进行判断．详解：∵，∴命题为真，∵是减函数，是增函数，∴它们的图象在第一象限有交点，从而有解，命题为真，∴①②均为真，③④均为假．故答案为①②．点睛：本题考查复合命题的真假判断，解题关键是掌握复合命题的真值表：8. 设（为自然对数的底数），则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据对数函数与指数函数的性质可借助中间数比较．详解：，，，∴．故选D．点睛：比较大小时，能用一个函数的，可根据函数的单调性进行比较，不能归到一个函数的可借助于中间数比较，如0，1，2等等．9. 已知函数，则（）A. 无极值点B. 有极小值点C. 有极大值点D. 既有极大值点又有极小值点【答案】D【解析】分析：由得，由得或，可得在处有极小值，在处有极大值，从而可得结果.详解：，，由得，由得或，在处有极小值，在处有极大值，故既有极大值点又有极小值点，故选D.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. 10. 关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由二次方程实根分布定理求解或由二次函数性质求解．详解：设，由题意，解得．故选C．点睛：本题考查二次方程根的分布，解题时可结合二次函数图象得出符合题意的条件．二次方程根的分布有以下情形：（1）一根大于，另一根小于；（2）两根都大于，（3）两都小于，（4）两根都在区间上；（5）两根中一根小于，另一根大于．11. 甲乙两人均知道丙从集合中取出了一点，丙分别告诉了甲点的横坐标，告诉了乙点的纵坐标，然后甲先说：“我无法确定点的坐标”，乙听后接着说：“我本来也无法确定点的坐标，但我现在可以确定了”，那么，点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由横坐标为或或的点唯一且甲知道横坐标且不能确定点，可确定横坐标不是或或，再根据乙知道的点纵坐标进行排除，即可得结果.详解：横坐标为或或的点唯一且甲知道横坐标且不能确定点，横坐标不是或或，乙得知甲不能确定点，乙可确定点横坐标不是或或，若乙知道的点纵坐标为、或；分别有两个坐标，乙都无法排除确定，只有乙知道点纵坐标为时有两种，乙可排除，可得点坐标为，故选C.点睛：本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.12. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，记其导函数为，若对任意成立，当时，，则关于的方程的实根的个数为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】分析：由已知得函数为奇函数，构造新函数，由已知可得在上是增函数，从而得出在上是增函数．详解：∵，∴是奇函数，设，则也是奇函数，，∵，∴，∴在上是增函数，又定义域为，且的图象也是连续不断的曲线，∴是上的增函数，于是函数的图象与直线的交点个数为1或0．即方程的解的个数为0或1．故选D．点睛：本题考查方程根的分布问题，解题时方程根的个数深深转化为函数图象与直线交点个数．奇函数在上单调递增，则必在让也递增，但不能直接得出在上单调递增，只有加上条件的图象是连续不断的曲线时，可得其在上单调递增．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】分析：求得曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程.详解：的导数为，在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线的方程为，即为，故答案为.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14. 已知，复数的虚部为，则的最小值为__________．【答案】4【解析】分析：化简，根据其虚部为，可得，利用基本不等式可得结果.详解：，复数的虚部为，，即，，，当且仅当时等号成立，的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.15. 已知函数，则__________．【答案】4【解析】分析：直接代入，利用对数的运算法则计算可得．详解：．故答案为4．点睛：本题考查对数的运算法则，解题关键是掌握对数运算法则，进行正确运算．本题也可以是考查函数的奇偶性，为此可构造函数，可以证明它是奇函数，则，从而可计算出结论．16. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示，若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第件工艺品所用的宝石数为__________颗（结果用表示）．【答案】【解析】设第一件宝石数a1=6，第n-1件工艺品所用的宝石数a n-1，第n件工艺品所用的宝石数a n，则a n-a n-1=5+4（n-1），∴a n-1-a n-2=5+4（n-2），…,a3-a2=5+4×2,a2-a1=5+4×1,则：a n-a1=5×（n-1）+4[1+2+…+（n-1）]=2n2+3n-5,又∵a1=6，∴a n=2n2+3n+1.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）当且时，求函数的值域.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）由中判别式可得；（2）可化函数式为，由“勾函数”的性质或基本不等式可得其取值范围．详解：（1）（2），由双勾函数知其值域为点睛：对勾函数的性质：它是奇函数，在上递减，在上递增，因此时，在时，取得最小值．18. 某研究型学习小组调查研究高中生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下：（1）根据以上统计数据，你是否有的把握认为使用智能手机对学习有影响？（2）为进一步了解学生对智能手机的使用习惯，现从全校使用智能手机的高中生中（人数很多）随机抽取人，求抽取的学生中学习成绩优秀的与不优秀的都有的概率.附：【答案】(1)有的把握认为二者有关；(2).【解析】分析：（1）利用公式求得，与临界值比较即可得结果；（2）由古典概型概率公式可得抽到优秀学生的概率为，利用独立事件概率公式以及对立事件概率公式，可得抽取的学生中学习成绩优秀的与不优秀的都有的概率.详解：（1），所以有的把握认为二者有关；（2）抽到优秀学生的概率为，抽到不优秀学生的概率为，人全为优秀学生的概率为，人全为不优秀学生的概率为，所以，抽到学生中既有优秀又有不优秀学生的概率为点睛：本题主要考查古典概型概率公式、独立事件概率公式、对立事件的概率，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.19. 已知函数在时取得极值，且在点处的切线的斜率为.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值与最小值.【答案】(1);(2)，.【解析】分析：（1）由，解方程组即可得结果；（2）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得在区间上的最大值与最小值.详解：（1）；（2）或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.20. 某班主任从本班名男生，名女生中随机抽取一个容量为的样本，对他们的数学及物理成绩进行分析，这名同学的数学及物理成绩（单位：分数）对应如下表：学生序号数学成绩物理成绩（1）根据以上数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数均精确到），并预测班上某位数学成绩为分的同学的物理成绩（保留到整数）；（2）从物理成绩不低于分的样本学生中随机抽取人，求抽到的人数学成绩也不低于分的概率.参考公式：已经计算出：【答案】(1);95;(2).【解析】分析：（1）根据已知回归直线方程的系数公式求出系数，得回归方程；（2）物理不低于分的有人，分别为学生，用列举法写出任取2人的所有事件，其中数学不低于分的是4，6，7，计数后可概率．详解：（1）故；代入x=96得,y=95.（2）物理不低于分的有人，分别为学生，随机抽取人的可能为，其中数学也不低于分的可能为，则有：.点睛：本题考查线性回归直线方程，考查古典概型概率计算，解题时只需按公式计算方程的系数即可．简单的古典概型概率问题一般是用列举法写出所有基本事件，然后计数．21. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2).【解析】分析：（1）求出导函数，按的正负可分类讨论的正负得单调性；（2）把已知不等式变形为，只要求得的最小值即得的取值范围．详解：（1）,①当时, ,故在单调递增;②当时, ,故在单调递减,在单调递增;（2）,可得,令,,则h(x)在(0,e-1)上单调递减,在上单调递增, .点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，用导数研究不等式恒成立求参数取值范围问题，此类问题关键是转化，可用分离参数法转化为求函数的最值，从而用导数解决问题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于不同的两点.（1）求实数的取值范围；（2）已知，设点，若成等比数列，求的值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）直线的方程为：，直线的方程为：，联立，利用判别式大于零即可的结果；（2）将直线的参数方程代入可得，由韦达定理，根据直线参数方程中参数的几何意义，结合列方程可求得的值.详解：（1）直线的方程为：，直线的方程为：；由题知；（2）设分别对应，则有：，由题知，由韦达定理有：点睛：本题考查直线的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的几何意义，属于中档题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2），等价于，只需，即可的结果.详解：（1），;利用；；,可得；（2），所以，或.点睛：绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学(文)试题(Word版)
2017-2018学年重庆市第一中学高二下学期期末考试数学试题卷（文科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2log 0A x x =<，1|33xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|0}x x >D ．R2.复数2431i i i i++=-（ ）A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i + 3.已知等差数列{}n a 的通项公式为n a ，且满足11a =，121n n a a n ++=+，则10S =（ ） A ．45 B ．95 C ．110 D ．55 4.已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则()0f x <的解集为（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-⋃B ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞C ．(1,1)-D ．(1,0)(1,)-⋃+∞5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，焦点到渐近线的距离为22，则此双曲线的焦距等于（ ）A ．3B ．32C ．2D ．6 6.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．32643π-B ．648π-C ．16643π-D ．8643π- 7.如图程序中，输入ln 2x =，3log 2y =，lg 10z =，则输出的结果为（ ）A ．xB ．yC ．zD ．无法确定 8.函数()cos f x x x =的导函数'()f x 在区间[,]ππ-上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 9.已知函数()1x f x x =-. 命题1p ：()f x 的值域是()(),11,-∞⋃+∞；命题2p ：()f x 在()(),11,-∞⋃+∞单调递减. 则在命题1q ：12p p ∨；2q ：()()12p p ⌝∧⌝；3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．1q ，3qB ．1q ，4qC ．2q ，3qD ．2q ，4q10.对任意实数x 都有(4)()2(2)f x f x f ++=，若(2)f x -的图象关于(2,0)成中心对称，(1)3f =，则(2017)(2018)f f +=（ ）A ．0B ．3C ．6D ．3- 11.对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若22am bm >，则a b >；②若a b >，则aa bb >；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+；④若0a b >>且ln ln a b =，则2a b +的最小值是22，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12.已知函数()ln a f x x x x =+，32()5g x x x =-++，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()0f x g x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],24ln2-∞-B ．(],1-∞C ．1124ln 2,ln 224⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦D ．11,ln 224⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则(2)f = ． 14.已知曲线ln y x x =的一条切线为2y x b =+，则实数b 的值为 ． 15.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线.若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[)24,36，[)36,48，…，[]84,96分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a 的取整等于不超过a 的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为 ．（结果用小数表示）16.已知定义在R 上的函数22,()2,x x af x x x a⎧-≥=⎨+<⎩，若()(20182)x g x f a =+-有零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且s i n s i n ()s i n a A b B c b c=+-.（1）求A 的大小；（2） 若sin 2sin B C =，23a =，求ABC ∆的面积.18.近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2012年年初至2018年年初，该地区绿化面积y （单位：平方公里）的数据如下表：年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018年份代号t 1 2 34 56 7绿化面积y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年年初的绿化面积.（附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-.其中71134.4i i i x y ==∑）19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，60BAD ∠=︒，2AB AD =，AP BD ⊥.（1）证明：平面ABD ⊥平面PAD ；（2）若PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，1AD =，PA PD =，求点C 到平面PAB 的距离.20.已知动点M 到定点1(0,)2F 的距离与M 到定直线12y =-的距离相等. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）直线l 交C 于A ，B 两点，2OA OB k k ⋅=-且OAB ∆的面积为16，求l 的方程. 21.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值.选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()24πρθ+=.（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B 、P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a a =++，a R ∈.（1）若对于任意x R ∈，()f x 都满足()(3)f x f x =-，求a 的值；（2）若存在x R ∈，使得()21f x x a ≤--+成立，求实数a 的取值范围.2018年重庆一中高2019级高二下期期末考试数学参考答案（文科）一、选择题1-5: BCDBD 6-10: CAABB 11、12：CA二、填空题13. 0 14. e - 15. 0.82 16. ()4,+∞三、解答题17.3A π=，4b =，2c =，23S =.18.（1）4t =， 4.3y =，0.5b =， 2.3a =， 线性回归方程为0.5 2.3y t =+.（2）将2022年年号11代入，预测绿化面积为7.8平方公里.19.解：（1）证明：在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠，∵60BAD ∠=︒，2AB AD =，∴222422cos60BD AD AD AD AD =+-⋅⋅︒23AD =，∴222AB AD BD =+，即BD AD ⊥.又∵AP BD ⊥，AD AP A =，∴BD ⊥平面PAD . ∵BD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面PAD .（2）解：取AD 的中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA PD =，∴PO AD ⊥.由（1）知平面ABD ⊥平面PAD ，交线为AD ，∴PO ⊥平面ABD ， 由1AD =，得2AB =，3BD =，132OB =， ∵PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，∴60PAO ∠=︒，得32OP =，∴2PB =，1PA =. ∵//AB CD ，∴//CD 平面PAB ，故点C 到平面PAB 的距离即为点D 到平面PAB 的距离d ，在三棱锥P ABD -中，D PAB P ABD V V --=， 即2211112()322d ⨯⨯⨯-⨯11313322=⨯⨯⨯⨯，求得155d =，∴点C 到平面PAB 的距离为155.20.解：（1）由抛物线定义可知，M 的轨迹方程是：22x y =.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l ：y kx b =+，211(,)2x A x ，222(,)2x B x ， 由22y kx bx y=+⎧⎨=⎩得：2220x kx b --=，122x x k +=，122x x b =-，由121212242OA OB y y x x b k k x x ⋅=⋅==-=-，∴4b =， ∴直线方程为：4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)R ， ∴121162AOB S OR x x ∆=⨯⨯-=，∴128x x -=， 即21212()464x x x x +-=，∴243264k +=，28k =，22k =±，所以直线方程为：224y =±+.21.解：（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，所以'(1)1f =-， 又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=. （2）因为111()ln1f a a a =-+，设函数()ln 1g x x x =-+，则11'()1x g x x x-=-=， 令'()0g x =，得1x =，列表如下：x (0,1)1(1,)+∞'()g x + 0 - ()g x极大值所以()g x 的极大值为(1)0g =.所以111()ln10f a a a=-+≤. （3）2121'()2ax ax f x ax a x x--=-+=-，0x >，令'()0f x >，得228844a a a a a a x a a -+++<<，因为2804a a aa -+<，所以()f x 在28(0,)4a a a a ++上单调增，在28(,)4a a aa +++∞上单调减.所以28()()4a a af x f a++≤.设2084a a a x a++=，因为函数()f x 只有1个零点，而(1)0f =，所以1是函数()f x 的唯一零点.当01x =时，()(1)0f x f ≤=，()f x 有且只有1个零点，此时2814a a a a++=，解得1a =.下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一.若01x >，则0()(1)0f x f >=，此时2814a a aa++>，即01a <<，则11a >.由（2）知，1()0f a <，又函数()f x 在以0x 和1a为端点的闭区间上的图象不间断， 所以在0x 和1a之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意； 若01x <，则0()(1)0f x f >=，此时2814a a aa++<，即1a >，则101a <<.同理可得，在1a和0x 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意. 因此01x =，所以a 的值为1.22.解：（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点(2,0)A ，点(0,2)B .设点(,)P x y ，则(2,)(,2)PA PB x y x y ⋅=--⋅--22222412x y x y x y =+--=+-.由（1）知2cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则4sin 2cos 4PA PB θθ⋅=++25sin()4θϕ=++.因为R θ∈，所以425425PA PB -≤⋅≤+.23.解：（1）因为()(3)f x f x =-，x R ∈，所以()f x 的图象关于32x =对称. 又()222af x x a =++的图象关于2a x =-对称，所以322a -=，所以3a =-.（2）()21f x x a ≤--+等价于2210x a x a ++-+≤.设()221g x x a x a =++-+，则min ()(2)(21)g x x a x a =+--+1a a =++. 由题意min ()0g x ≤，即10a a ++≤. 当1a ≥-时，10a a ++≤，12a ≤-，所以112a -≤≤-； 当1a <-时，(1)0a a -++≤，10-≤，所以1a <-，综上12a ≤-.。
重庆八中2017-2018学年高二下学期段考数学试卷(文科)(八) Word版含解析
2017-2018学年重庆八中高二（下）段考数学试卷（文科）（八）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i2．集合M={x∈N|x（x+2）≤0}的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知p，q，那么“p∧q为真”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）5．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）7．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞08．相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s，已知声速340m/s，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为（）A．B．C．D．19．一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为（）A．5和2 B．5和3 C．5和4 D．4和310．若f（x）是奇函数，且x0是y=f（x）+e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（﹣x）e x﹣1 B．y=f（﹣x）e﹣x+1 C．y=e x f（x）﹣1 D．y=e x f（x）+111．假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上6：00﹣7：00之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上6：30﹣7：30之间，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（）A．B．C．D．12．已知关于x的不等式2x2﹣2mx+m＜0的解集为A，其中m＞0，若集合A中恰好有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（，）B．（，]C．（，）D．（，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共60分，将答案填在答题纸上13．2log510+log50.25=．14．已知a=2，b=3，c=25，则a，b，c按从小到大的顺序排列为．15．已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣），则f（6）=．16．f（x）=2sinπx﹣x+1的零点个数为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．（1）确定a的值；（2）讨论函数g（x）=f（x）•e x的单调性．18．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩小于14秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中优秀的人数；（Ⅱ）请估计本年级这800人中第三组的人数；（Ⅲ）若样本第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取一名学生组成一个实验组，求在被抽出的2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．20．已知椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．21．已知函数f（x）=e x﹣alnx．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；（2）证明：当a＞0时，f（x）≥a（2﹣lna）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD•BE=BA•BF．求证：（1）EF⊥FB；（2）∠DFB+∠DBC=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年重庆八中高二（下）段考数学试卷（文科）（八）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选C．2．集合M={x∈N|x（x+2）≤0}的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】子集与真子集．【分析】根据题意，用列举法表示集合A，可得集合A中元素的个数，进而由集合的元素数目与子集数目的关系，计算可得答案．【解答】解：M={x∈N|x（x+2）≤0}=M={x∈N|﹣2≤x≤0}={0}，则集合M={x∈N|x（x+2）≤0}的子集为{0}或∅，故选：B．3．已知p，q，那么“p∧q为真”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合的真假．【分析】根据p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系便可判断由“p∧q为真”能得到“p∨q为真”，而“p∨q为真”得不到“p∧q为真”，从而得出正确选项为A．【解答】解：若p∧q为真，则p，q都为真，∴p∨q为真；若p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，而如果p，q中只有一个为真，则得不到p∧q为真；∴“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件．故选：A．4．已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，4）D．（4，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0，∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C5．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】茎叶图；循环结构．【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个故选D6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故选：C．7．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b﹣1）（b﹣a）＞0【考点】不等关系与不等式．【分析】根据对数的运算性质，结合a＞1或0＜a＜1进行判断即可．【解答】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，故选：D．8．相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸的时间相差3s，已知声速340m/s，则炮弹爆炸点所在曲线的离心率为（）A．B．C．D．1【考点】双曲线的应用．【分析】设A（﹣700，0）、B、M（x，y）为曲线上任一点，根据|MA|﹣|MB|为常数，推断M点轨迹为双曲线，根据题意可知a和c的值，可得炮弹爆炸点所在曲线的离心率．【解答】解：设A（﹣700，0）、B、M（x，y）为曲线上任一点，则||MA|﹣|MB||=340×3=1020＜1400．∴M点轨迹为双曲线，且a=510，c=700．∴e==．故选：B．9．一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的面数及这些面中直角三角形的个数分别为（）A．5和2 B．5和3 C．5和4 D．4和3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】观察多面体的三视图，确定出多面体的面数与这些面中直角三角形个数即可．【解答】解：根据多面体的三视图可得几何体O﹣ABCD，如图所示，则这个多面体的面数5，分别为面OAD，面OAB，面OBC，面OCD，面ABCD；这些面中直角三角形的个数3，根据三视图得：Rt△OAD，边长分别为2，4，2；Rt△OAB，边长分别为2，2，2；Rt△OBC，边长分别为2，2，2．故选：B．10．若 f （x ）是奇函数，且x 0是y=f （x ）+e x 的一个零点，则﹣x 0一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．y=f （﹣x ）e x ﹣1B ．y=f （﹣x ）e ﹣x +1C ．y=e x f （x ）﹣1D ．y=e x f （x ）+1 【考点】函数的零点．【分析】根据f （x ）是奇函数可得f （﹣x ）=﹣f （x ），因为x 0是y=f （x ）+e x 的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一判断； 【解答】解：f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ）且x 0是y=f （x ）+e x 的一个零点，∴f （x 0）+=0，∴f （x 0）=﹣，把﹣x 0分别代入下面四个选项，A 、y=f （x 0）﹣1=﹣﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故A 错误；B 、y=f （x 0）+1=﹣（）2+1≠0，故B 错误；C 、y=e ﹣x0f （﹣x 0）﹣1=﹣e ﹣x0f （x 0）﹣1=e ﹣x0﹣1=1﹣1=0，故C 正确；D 、y=f （﹣x 0）+1=1+1=2，故D 错误；故选C ；11．假设你家订了一份牛奶，送奶工人在早上6：00﹣7：00之间把牛奶送到你家，你离开家去上学的时间在早上6：30﹣7：30之间，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x ，此人离家的时间为y ，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系，作图求面积之比即可 【解答】解：设送奶人到达的时间为x ，此人离家的时间为y ， 以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间， 建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示∴所求概率P=1﹣=；故选：D ．12．已知关于x的不等式2x2﹣2mx+m＜0的解集为A，其中m＞0，若集合A中恰好有两个整数，则实数m的取值范围是（）A．（，）B．（，]C．（，）D．（，]【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由判别式大于0求得m＞2，再由A中恰有两个整数，得≤3，得到对称轴的范围，结合二次函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由题意可得，判别式△=4m2﹣8m＞0，解得m＜0（舍），或m＞2．设A=（a，b），由于集合A中恰有两个整数则有|b﹣a|≤3，即||=≤3，即m2﹣2m≤9，解得2＜m≤1+．故有对称轴1＜≤，令f（x）=2x2﹣2mx+m，而f（4）=32﹣7m＞0，f（0）=m＞0，f（1）=2﹣m＜0，故A中的两个整数为1和2，∴f（2）＜0，f（3）≥0．即，解得．∴实数m的取值范围是（，]．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共60分，将答案填在答题纸上13．2log510+log50.25=2．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数运算法则nlog a b=log a b n和log a M+log a N=log a（MN）进行求解可直接得到答案．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故答案为：2．14．已知a=2，b=3，c=25，则a ，b ，c 按从小到大的顺序排列为 b ＜a ＜c ．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】直接由分数指数幂化为根式进行比较大小即可．【解答】解：∵a=2=，b=3=，c=25=，∴b ＜a ＜c ．故答案为：b ＜a ＜c ．15．已知函数f （x ）的定义域为R ，当x ＜0时，f （x ）=x 3﹣1；当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ）；当x ＞时，f （x +）=f （x ﹣），则f （6）= 2 ．【考点】函数的值．【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ），得到f （1）=﹣f （﹣1），当x ＜0时，f （x ）=x 3﹣1，得到f （﹣1）=﹣2，即可得出结论．【解答】解：∵当x ＞时，f （x +）=f （x ﹣），∴当x ＞时，f （x +1）=f （x ），即周期为1． ∴f （6）=f （1），∵当﹣1≤x ≤1时，f （﹣x ）=﹣f （x ）， ∴f （1）=﹣f （﹣1）， ∵当x ＜0时，f （x ）=x 3﹣1， ∴f （﹣1）=﹣2，∴f （1）=﹣f （﹣1）=2， ∴f （6）=2； 故答案为：216．f （x ）=2sin πx ﹣x +1的零点个数为 5 ． 【考点】函数零点的判定定理．【分析】f （x ）=2sin πx ﹣x +1的零点个数可化为函数y=2sin πx 与y=x ﹣1的图象的交点的个数，作函数y=2sin πx 与y=x ﹣1的图象求解．【解答】解：f （x ）=2sin πx ﹣x +1的零点个数可化为 函数y=2sin πx 与y=x ﹣1的图象的交点的个数； 作函数y=2sin πx 与y=x ﹣1的图象如下，结合图象可得，f（x）=2sinπx﹣x+1的零点个数为5；故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值．（1）确定a的值；（2）讨论函数g（x）=f（x）•e x的单调性．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）e x，利用导数的正负可得g（x）的单调性．【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）e x，∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）为增函数．18．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）…第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）若成绩小于14秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中优秀的人数；（Ⅱ）请估计本年级这800人中第三组的人数；（Ⅲ）若样本第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取一名学生组成一个实验组，求在被抽出的2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图先求出成绩小于14秒的频率，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．（2）先求出样本成绩属于第三组的频率，由此能求出本年级800名学生中成绩属于第三组的人数．（3）由题可知第一组中有一女二男，第五组一男三女，利用列举法能求出在被抽出的2名学生中恰好为一名男生和一名女生的概率．【解答】（本题满分12分）解：（1）由频率分布直方图可知成绩小于14秒的频率为0.06所以该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为50×0.06=3（人）．…（2）样本成绩属于第三组的频率为0.38，故本年级800名学生中成绩属于第三组的人数为800×0.38=304（人）．…（3）由题可知第一组中有一女二男，第五组一男三女，设第一组学生为x，1，2，第五组学生为a，b，c，3，（用字母表示女生，用数字表示男生），则所有的抽取结果为：xa，xb，xc，x3，1a，1b，1c，13，2a，2b，2c，23共12种，其中仅有x3，1a，1b，1c，2a，2b，2c表示一男一女共7种．所以所求事件的概率为．…19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM 是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC 至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，∴BE=BC=AM=2，∴四边形ABEM是平行四边形，∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF==2，又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC=MG=3，又∵ME=3，EC=CG=2，∴△MEG的高h=，===2，∴S△BCM===．∴四面体N﹣BCM的体积V N﹣BCM20．已知椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点．（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．【解答】（1）解：∵椭圆C： +=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．∴==﹣===．∴四边形ABNM的面积为定值2．21．已知函数f（x）=e x﹣alnx．（1）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；（2）证明：当a＞0时，f（x）≥a（2﹣lna）．【考点】导数的运算；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出f（x）的定义域，以及f（x）的导函数，导函数零点的个数即为两函数交点个数，分类讨论a的范围确定出零点个数即可；（2）由a＞0时，导函数有零点，存在唯一x0使f′（x0）=0，分类讨论x的范围确定出导函数的增减性，求出f（x）最小值，即可得证．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣alnx，得到x＞0，∴f（x）定义域为（0，+∞），∴f′（x）=e x﹣的零点个数⇔y=e x与y=的交点个数，①a=0时，显然无；②a＞0时，有1个；③a＜0时，无零点；（2）由（1）a＞0时，存在唯一x0使f′（x0）=0，即e=，且x∈（0，x0）时，f′（x0）＜0，f（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，f′（x0）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（x0）=e﹣alnx0=﹣aln=+ax0﹣alna≥2a﹣alna=a（2﹣lna），得证．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD•BE=BA•BF．求证：（1）EF⊥FB；（2）∠DFB+∠DBC=90°．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（1）利用BD•BE=BA•BF，可得，从而可知△ADB∽△EFB，可得∠EFB=∠ADB，利用AB是⊙O的直径，即可得到结论；（2）先证明E、F、A、D四点共圆，从而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直径，可证结论成立．【解答】（1）证明：连接AD，则∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°在△ADB和△EFB中，∵BD•BE=BA•BF，∴…．．又∠DBA=∠EBF，∴△ADB∽△EFB…．．则∠EFB=∠ADB=90°，∴EF⊥FB…．．（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°又∠EFB=90°∴E、F、A、D四点共圆；…∴∠DFB=∠AEB…．．又AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心、半径，由于直线l过点（1，﹣1），求出该点到圆心的距离，与半径半径即可判断出位置关系；（II）利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2=5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|=2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1=0，圆心到直线l的距离=，解得k=±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，由此求得x的范围．（2）由题意可得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得m的范围．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥=1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．2016年10月23日。
2017-2018学年重庆市部分区县高二(下)期末数学试卷及答案(文科)
2017-2018学年重庆市部分区县高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）若i为虚数单位，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣12．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）C．（0，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，+∞）3．（5分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的4．（5分）设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．＝0.4x+2.3B．＝2x﹣2.4C．＝﹣2x+9.5D．＝﹣0.3x+4.46．（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为（）A．26B．35C．40D．577．（5分）设f（x）＝e x+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．（5分）函数y＝2﹣|x|的大致图象是（）A．B．C．D．9．（5分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x＝1处有极值，则ab的最大值（）A．2B．3C．6D．910．（5分）已知m∈N，函数f（x）＝x3m﹣7关于y轴对称且在（0，+∞）上单调递减，则m ＝（）A．0B．1C．2D．311．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣10＝0的实根个数是（）A．3B．2C．1D．012．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x ）＜，则f（x ）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1}二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡的相应位置上. 13．（5分）计算：log29•log38＝．14．（5分）已知函数f（x ）＝，则f[f （）]＝．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f （﹣）＝．16．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是．三、解答题:本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知集合M＝{x∈R|x﹣a≤0}，N＝{x|x2+x﹣6≤0}．（Ⅰ）若a＝1，求M∩N；（Ⅱ）若N⊆M，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝x3+bx2在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣1＝0．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间．19．（12分）2018年4月2日，比亚迪e5正式上市，预售价格14﹣16万元．该车以三元锂电池组为动力，搭载一台最大功率160千瓦、峰值扭矩310牛米的电动机，综合工况续航里程400公里．作为中国电动车领域的领跑者和全球充电电池产业的领先者，比亚迪从未停止过进取的脚步，为了研制效能更高的电池组，研发团队开展了四次电池组重量x （百千克）与续航里程y（百公里）的试验，得到数据如下：若电池组重量（百千克）与续航里程（百公里）成线性关系（Ⅰ）请求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（Ⅱ）根据（I）的结果预测，如果你是研发团队的一名设计师，想设计出续航里程达到595公里的汽车，电池组重量最少会达到多少千克？（参考公式：＝，＝）20．（12分）今年“五一”假期，记者通过随机询问某景区55名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：（1）从这25名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中对景区的服务满意与不满意的女游客各有多少名？（Ⅱ）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）临界值表：21．（12分）已知f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝．（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程和直线l的倾斜角；（2）设点P（0，1），若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年重庆市部分区县高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即x＞﹣1且x≠0，即函数的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件进行转化是解决本题的关键．3．【考点】F5：演绎推理．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选：A．【点评】本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．4．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力．5．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数＝3，＝3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．6．【考点】E7：循环结构．【解答】解：第一次循环：T＝3i﹣1＝2，S＝S+T＝2，i＝i+1＝2，不满足条件，再次循环；第二次循环：T＝3i﹣1＝5，S＝S+T＝7，i＝i+1＝3，不满足条件，再次循环；第三次循环：T＝3i﹣1＝8，S＝S+T＝15，i＝i+1＝4，不满足条件，再次循环；第四次循环：T＝3i﹣1＝11，S＝S+T＝26，i＝i+1＝5，不满足条件，再次循环；第五次循环：T＝3i﹣1＝14，S＝S+T＝40，i＝i+1＝6，满足条件，输出S的值为40．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，利用模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．7．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：∵f（x）＝e x+x﹣4，∴f（1）＜0，f（2）＞0，故函数f（x）的零点位于区间（1，2）内，故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．8．【考点】49：指数函数的图象与性质．【解答】解：函数y＝2﹣|x＝∵2＞1，且图象关于y轴对称∴函数图象在y轴右侧为减函数，y≤1左侧为增函数，y≤1故选：C．【点评】本题主要考查由指数函数进行的绝对值变换，一般地，通过去绝对值转化为分段函数，每段用基本函数研究，对称区间上的图象，则由奇偶性或对称性研究．9．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）＝12x2﹣2ax﹣2b，由于函数f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x＝1处有极值，则有f′（1）＝0，即有a+b＝6，（a，b＞0），由于a+b≥2，即有ab≤（）2＝9，当且仅当a＝b＝3取最大值9．故选：D．【点评】本题考查导数的运用：求极值，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．10．【考点】4V：幂函数的图象；4X：幂函数的性质．【解答】解：∵函数f（x）＝x3m﹣7关于y轴对称且在（0，+∞）上单调递减，∴3m﹣7＜0且为偶数，∴m＜，又m∈N，∴m＝0，1或2，又3m﹣7为偶数，∴m＝1．故选：B．【点评】本题考查幂函数的性质，突出考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题．11．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【解答】解：令f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣10，则f'（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），∵f（1）＝﹣6，f（3）＝﹣10，则f（x）＝x3﹣6x2+9x﹣10的简图如下：故选：C．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，属于基础题．12．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：，则，∴φ（x）在R上是减函数．，∴的解集为{x|x＞1}．故选：D．【点评】此题考查了导数的运算，函数单调性的应用，以及利用导数研究函数的增减性．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡的相应位置上. 13．【考点】4H：对数的运算性质．【解答】解：log29•log38＝．故答案为6．【点评】本题考查了对数的换底公式，考查了对数的运算性质，是基础题．14．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝ln＝﹣1，∴f[f（）]＝f（﹣1）＝e﹣1＝．故答案为：．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．15．【考点】3P：抽象函数及其应用．【解答】解：根据题意，函数f（x）是周期为2的周期函数，则f（﹣）＝f（﹣），又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣）＝﹣f（），又由当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（）＝＝2，则有f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（）＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，属于基础题．16．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故答案为乙．【点评】此题解答时应结合题意，进行分析，进而找出解决本题的突破口，然后进行推理，得出结论．三、解答题:本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题；1E：交集及其运算．【解答】（Ⅰ）M＝{x∈R|x≤1}，N＝{x|﹣3≤x≤2}，M∩N═{x|﹣3≤x≤1}，（Ⅱ）M＝{x∈R|x≤a}，N＝{x|﹣3≤x≤2}，若N⊆M则a≥2【点评】此题考查了交集及其运算和子集的定义，熟练掌握交集子集的定义是解本题的关键．18．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝x3+bx2的导数为f′（x）＝3x2+2bx，可得切线的斜率为3+2b，且f（1）＝1+b，由切线方程3x+y﹣1＝0，可得1+b＝﹣2，3+2b＝﹣3，解得b＝﹣3；（Ⅱ）函数f（x）＝x3﹣3x2的导数为f′（x）＝3x2﹣6x，由3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，可得f（x）的减区间为（0，2）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，＝×（2+3+4+5）＝3.5，＝×（2.5+3+4+4.5）＝3.5，＝＝＝0.7，＝＝3.5﹣0.7×3.5＝1.05，∴线性回归方程是y＝0.7x+1.05，（Ⅱ）根据线性回归方程，令y＝5.95，得0.7x+1.05＝5.95，解得x＝7，即想设计出续航里程达到595公里的汽车，电池组重量最少会达到7千克．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．20．【考点】B3：分层抽样方法；BL：独立性检验．【解答】解：（1）由题意知，样本中满意的女游客为×5＝1（名），不满意的女游客为×5＝4（名）．（2）根据题目中列联表得：k2＝≈11.978．由P（k2≥10.828）＝0.001可知：有99.9%的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关【点评】本题考查了分层抽样，及独立性检验，考查计算能力，属于中档题21．【考点】3R：函数恒成立问题；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）∵f（x）＝xlnx，∴x＞0，f′（x）＝lnx+1，由f′（x）＞0，得x＞，∴f（x）在（，+∞）上单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上单调递减，∴f（x）在x＝处取最小值，∴f（x）min＝f（）＝ln＝﹣．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3恒成立，等价于a≤x+2lnx+恒成立，记h（x）＝x+2lnx+，则h′（x）＝＝，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增，∴h（x）min＝h（1）＝4，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．【点评】本题考查函数值的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程为．由直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝，展开化为：ρ（sinθ﹣cosθ）＝，可得：直线l的普通方程为x﹣y+1＝0，斜率k＝1，∴直线l的倾斜角为．（2）显然点P（0，1）在直线l：x﹣y+1＝0上．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得．此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t A，t B，∴t A+t B＝．∴|P A|+|PB|＝|t A|+|t B|＝|t A+t B|＝．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣2时，f（x）＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1，由f（x）≥5解得x≤﹣3；当﹣2≤x＜1时，f（x）＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3≥5不成立；当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）+x+2＝2x+1≥5解得x≥2，综上有f（x）≥5的解集是（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）；（2）因为|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，所以f（x）的最小值为3，要使得关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对任意的x∈R恒成立，只需a2﹣2a＜3解得﹣1＜a＜3，故a的取值范围是（﹣1，3）．【点评】本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2017-2018学年重庆市江津中学、合川中学等七校高二下学期期末考试数学(文)试题-解析版
绝密★启用前重庆市江津中学、合川中学等七校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，则下列关系式中，正确的是（）A. B. C. D.2．已知函数在处的切线与直线垂直，则（）A. 2B. 0C. 1D. －13．设为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.4．以复平面的原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则在极坐标系下的点在复平面内对应的复数为（）A. B. C. D.5．已知，则下列命题中，正确的是（）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6．某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队的获奖结果预测如下:小张说:“甲或乙团队获得一等奖”；小王说:“丁团队获得一等奖”；小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7．现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表：附：，．根据表中的数据，下列说法中，正确的是（）A. 没有95% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B. 有99% 以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C. 可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D. 可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”8．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该书完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该书中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输入的a值为5，则输出的值为（）A. 19B. 35C. 67D. 1989．函数在其定义域内有极值点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10．函数（）的大致图象为（）A. B.C. D.11．若正实数满足，则的最小值为（）A. 2B. 1C.D. 212．函数是定义在上的可导函数，且，则对任意正实数，下列式子恒成立的是（）A. B.C. D.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知命题“：”，则为__________．14．设i是虚数单位，若复数满足，则______．15．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，…．按照以上规律，若具有“穿墙术”，则_______．16．若存在实数满足不等式，则实数的取值范围是________．三、解答题17．已知集合，，求：（1）；（2）．18．已知命题：“”是“”的充分不必要条件；命题：关于的函数在上是增函数．若是真命题，且为假命题，求实数的取值范围．19．某小区新开了一家“重庆小面”面馆，店主统计了开业后五天中每天的营业额（单位：百元），得到下表中的数据，分析后可知与x之间具有线性相关关系．（1）求营业额关于天数x的线性回归方程；（2）试估计这家面馆第6天的营业额．附：回归直线方程中，，．20．已知函数．（1）若函数在处取得极值，求的单调递增区间；（2）当时，函数在区间上的最小值为1，求在该区间上的最大值．21．已知函数（为常数）．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，不等式在区间上恒成立，求的取值范围．22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若与交于点，求线段的长．23．（1）求关于的不等式的解集；（2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．参考答案1．C【解析】分析：根据选项由元素与集合关系即可求解.详解:由题可知：元素与集合只有属于与不属于关系，集合与集合之间有包含关系，所以可得正确，故选C.点睛：考查集合与元素，集合与集合之间的关系，属于基础题.2．C【解析】分析：根据切线方程和直线垂直的结论即可.详解：由题可知：函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为-1，故=-1得1，故选C.点睛：考查切线的斜率求法和直线垂直时的斜率关系的结论，属于基础题.3．B【解析】分析：根据复数的四则运算，即可求解答案．详解：由题意，复数满足，故选B．点睛：本题主要考查了复数的四则运算问题，其中熟记复数的四则运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．A【解析】分析：根据极坐标与直角坐标的互化公式，求得点对应的直角坐标，再利用复数的表示，即可得到答案．详解：由题意，根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得在极坐标下点所对应的直角坐标为，所以点在复平面内对应的复数为，故选A．点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及复数的表示，其中熟记极坐标与直角坐标的互化公式和复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．5．C【解析】分析：根据不等式性质逐一排除即可.详解：A. 若，则,当c取负值时就不成立，故错误；B. 若，，则，例如a=3，b=1，c=2，d=-2显然此时,故错误；D，若，，则，例如a=3，c=-1，b=-1，d=-2，此时,故错误，所以综合得选C.点睛：考查不等式的简单性质，此类题型举例子排除法比较适合，属于基础题.6．D【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.7．D【解析】分析：根据中列联表的数据，利用公式求得的值，即可得到结论．详解：由题意，根据中列联表的数据，利用公式求得，又由，所以可以在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，故选D．点睛：本题主要考查了独立性检验的应用，其中熟记独立性检验的思想和利用公式准确计算的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．8．C【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．详解：模拟程序的运行，可得:此时否则输出结果为67故选C.点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．D【解析】分析：由题意，求得，令，因为函数在定义域内有极值点，转化为方程在定义域有解，设，利用导数求解的值域，即可求解答案．详解：由题意，函数，则，令，因为函数在定义域内有极值点，所以在定义域内有解，即在定义域有解，即在定义域有解，设，则，所以函数为单调递增函数，所以，即，所以，故选D．点睛：本题主要考查了函数的极点与导数在函数中的应用，其中把函数在定义域内有极值点转化为方程在定义域内有解，利用导数求解函数的最值是解答的关键，着重考查了转化思想方法和分析问题、解答问题的能力，试题属于中档试题．10．A【解析】分析：由函数的解析式，求解函数函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项；再由时，，排除C，即可得到答案．详解：由函数，则满足，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B、D项；由当时，，排除C，故选A．点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．11．D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可．详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2，∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2，当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号．故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．12．A【解析】分析：构造函数然后研究其单调性即可得出结论.详解：由题得：构造函数且定义在上的可导函数，即)->，，故在上单调递减，因为正实数，故，故选A.点睛：考查导数的应用，能根据条件正确构造函数是解题关键，此题需要一定的经验累积，属于中档题.13．【解析】分析：根据命题的否定改写规则即可.详解：由命题的否定定义得：：，则为点睛：考查全称命题的否定，属于基础题.14．【解析】分析：先求出z的标准形式，然后根据模长公式求解即可.详解：由题可得：z=3-2i，故，故答案为点睛：考查复数的加减运算和模长计算，属于基础题.15．120【解析】分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决．详解：，，，，…．则按照以上规律可得n=故答案为120.点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是发现规律，属于基础题．16．【解析】分析：通过原式变形求出的最小值即可.详解：由题可得：故答案为点睛：本题考查了绝对值不等式问题，考查三角不等式最值的应用，转化思想，是一道中档题．17．（1）；（2）【解析】分析：求出集合A,B的解集再结合交、并、补的定义运算即可.详解：（1）（2）点睛: 此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，补集的运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．18．（1）；（2）；（3）【解析】分析：根据题意先由命题：“”是“”的充分不必要条件；则可得a的取值范围，然后解出q命题，，在结合或，且，非命题求解即可.详解：（1）若为真，则即；若为真，则即（3）为真且为假一真一假①若真假，则②若假真，则综上所述，或点睛:考查或，且，非命题的求解，正确求解原命题解集，然后根据或且非的真假命题判断列不等式求解是解题关键，属于中档题.19．（1）；（2）（百元）【解析】分析：（1）利用最小二乘法，求得，，即看得到回归直线的方程；（2）由（1）代入时，求得的值，即可作出合理预测．详解：（1），，，，所以回归直线为．（2）当时，，即第6天的营业额预计为（百元）．点睛：本题主要考查了回归直线的方程的求解及应用，其中利用最小二乘法，准确求解的值是解得关键，着重考查了推理与运算能力．20．（1）；（2）【解析】分析：（1）由函数在处取得极值，可得方程组求解a，b再求导根据导函数大于零的解集即可求得单调增区间；（2）当时，，．求出函数的单调区间求出最小值解得b值在求解最大值即可.详解：（1）．由已知，得由∴ 函数的单调递增区间为（0，2）（2）当时，，．时，；时，∴在[1，2]单增，在[2，3]单减∴又，，；∴∴∴∴函数在区间[1，3]上的最大值为点睛：考查导函数的极值点，极值的定义，以及导函数研究最值的应用，对基本原理和应用得理解是解题关键，属于基础题.21．（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）当时，．求导分解因式根据根的大小进行讨论即可得出单调性；（2）将原式分离参数得，此时只需求出在所给区间上的新函数的最小值即可得出m的取值范围.详解：（1）当时，．；令，解得或．∴当，即时，增区间为，减区间为；当，即时，增区间为，无减区间；当，即时，增区间为，减区间为．（2）当时，不等式化为；即在区间上恒成立．令，则．令，则在区间上恒成立．所以．∴ 当时，，单减；当时，，单增；∴．∴．点睛：考查函数单调性的讨论，导函数求最值的应用，对出第二问中的所应用的参数分离法是经常做此类的一个套路，值得好好研究，推敲，属于中档题.22．（1），；（2）【解析】分析：（1）消去参数，即可得到曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线的直角坐标方程；（2）由（1）得圆的圆心为，半径为，利用圆的弦长公式，即可求解．详解：（1），．（2）圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为．所以．点睛：本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，其中熟记参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．23．（1）；（2）【解析】分析：（1）分类讨论，转化为三个不等式组，即可求解不等式的解集；（2）由题意，令，则不等式恒成立，即为，分类讨论即可求解实数的取值范围．详解：（1）原不等式化为：①或②或③．解得或或．∴ 原不等式的解集为（2）令，则只须即可．①当时，（时取等）；②当时，（时取等）．∴．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的求解及其应用，其中合理分类讨论，转化为等价不等式组进行求解是解答绝对值问题的关键，着重考查了推理与运算能力．。
2017-2018学年度第二学期期末高二文科试卷(答案)
2017—2018学年度第二学期期末教学质量监测高二（文科）数学试卷 参考答案12、D 【解析】由题意定义在)1,(e上的函数1ln )(+=x x x f ，又由a x x x a x x f x g --+=--=211ln 21)()(有两个零点，即方程0211ln =--+a x x x 在)1,1(e 上有两个不同的实数解，即函数x x x x h 211ln )(-+=和a y =的图象在)1,1(e上有两个不同的交点，又由21ln )(+='x x h ，所以当),1(21-∈e e x 时，0)(<'x h ，所以)(x h 单调递减，当)1,(21-∈ex 时，0)(>'x h ，所以)(x h 单调递增，所以)(x h 的最小值为21212121211211ln )(------=⨯-+=e e eee h ，又由21)1(23112111ln 1)1(=>-=⨯-+=h e e e e e h ， 所以实数a 的取值范围是)231,1(21ee ---，故选D ． 二、填空题：本题共4题，每题5分，共20分13．5 14．5- 15．16．3三、解答题 ：本大题共7小题，考生只需解答6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =．所以 ()111321,2,n n n a a q n --=⋅=⋅=L L ． ---------2分设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得()()44111644413a b a b d +-+-===-．---------------------------------------------------------3分所以 ()()1114n n a b a b n d n +=++-=．-----------------------------------------------------4分 从而 ()14321,2,n n b n n -=-⋅=L． ---------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()14321,2,n n b n n -=-⋅=L ．数列{}4n 的前n 项和为：n n n n n n 22)1(22)44(2+=+=+------------------------------7分 数列{}132n -⋅的前n 项和为：32321)21(13-⨯=--⨯⨯n n -------------------------------9分 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． -------------------------------12分18．（本小题满分12分）40204812)124368(6022⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k -----------------------------------------------------------------3分635.65.7>= ---------------------------------------------------------------------------------------4分所以有%99的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗。
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二下学期期末考试数学(文)试题word版含答案
2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二下学期期末考试数学（文）试题一、选择题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =， {}2,4B =，则()U C A B ⋃=（ ） A. {}1,3,4,5 B. {}1,4 C. {}1,2,4 D. {}3,5 【答案】D 【解析】全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}{}1,2,2,4,1,2,4A B A B ==∴⋃=， (){}3,5U C A B ⋃=，故选D.2．复数z 满足12i z i ⋅=-，则z =（ ）A. 2i +B. 2i -+C. 2i --D. 2i - 【答案】C 【解析】()i?12i,i?i?=i 12i ,2i z z z =-∴---∴=--,故选C.3．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是（ ）A. 3y x = B. y C. 1y x = D. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C【解析】试题分析： 1y x=的单调区间是()(),0,0,-∞+∞，单调区间分开，故在定义域上不是单调函数. 【考点】函数的单调性.4．已知抛物线22y px = ()0p >的准线经过点()1,4-，过抛物线的焦点F 且与x 轴垂直的直线交该抛物线于M 、N 两点，则MN =（ ）A. 4B. 【答案】A【解析】由点()1,4A -在抛物线2:2C y px =的准线上，则12p -=-，则2p =，则抛物线方程为24y x =，焦点()1,0F ，当1x =时， 2y =±，则()()1,2,1,2M N -， ∴线段MN 的长4MN =，故选A. 5．设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析： ()200a b a a b -<⇒-<，即，若，则()20a b a -=，即由不一定能推出()20a b a -<，故选A 。
重庆一中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}2．已知向量=（3，1），=（sinα，cosα），且∥，则tanα=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=32，则a3=（）A．B．2 C． D．4．已知x=log2，y=log0.5π，z=0.9﹣1.1，则（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x5．已知p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣2x﹣3≥0，则p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．将函数f（x）=2sin2x的图象向右移动φ（0＜φ＜）个单位长度，所得的部分图象如图所示，则φ的值为（）A．B．C．D．7．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣8．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．139．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，且PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为﹣1，则|PF|等于（）A．2 B．4 C．8 D．1210．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．11．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，则cosC 的最小值等于（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）二.填空题（每小题5分，共20分）13．复数z满足，那么z=______．14．若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=______．15．已知x，y满足不等式，则z=3x+y的最大值是______．16．已知函数f（x）=x3+18x+17sinx，若对任意的θ∈R，不等式f（asinθ+2）+f（1+2cos2θ）≥0恒成立，则a的取值范围是______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=2x﹣k，当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为A，B，若A∪B=A，求实数k的值．18．随着电子商务的发展，人们的购物习惯正在改变，基本上所有的需求都可以通过网络购物解决．小韩是位网购达人，每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价．现对200（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中（K2=，其中n=a+b+c+d）19．已知等差数列{a n}，满足a1=3，a5=15，数列{b n}满足b1=4，b5=31，设c n=b n﹣a n，且数列{c n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式．（2）求数列{b n}的前n项和．20．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣e x lnx（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，且b=1，求a；（2）若b=﹣a，且函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．21．已知椭圆方程+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与y轴的交点为A（点A不在椭圆外），且与椭圆交于两个不同的点P，Q，PQ的中垂线恰好经过椭圆的下端点B，且与线段PQ交于点C，求△ABC 面积的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC中∠A=90°，D，E分别为边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（1）证明：C、B、D、E四点共圆；（2）若m=4，n=6，求C、B、D、E所在圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）在曲线C上求一点P，使得它到直线l的距离最大，并求出最大距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2017-2018学年重庆一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣2＜x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，再计算A∩B．【解答】解：集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|x2﹣2x≤0}={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，A∩B={x|0≤x＜1}．故选：B．2．已知向量=（3，1），=（sinα，cosα），且∥，则tanα=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件列出方程，然后利用同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】解：向量=（3，1），=（sinα，cosα），且∥，可得sinα=3cosα，所以tanα=3．故选：A．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=32，则a3=（）A．B．2 C． D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质，S5=5a3，即可得出．【解答】解：根据等差数列的性质，S5=5a3，∴．故选：A．4．已知x=log2，y=log0.5π，z=0.9﹣1.1，则（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数和指数幂的大小即可得到结论．【解答】解：0＜log2＜1，log0.5π＜0，z=0.9﹣1.1＞1，即0＜x＜1，y＜0，z＞1，则y＜x＜z，5．已知p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣2x﹣3≥0，则p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的解法分别解出p，q，进而得到￢q，利用充分必要条件的判定方法即可判断出结论．【解答】解：p：|x﹣1|≤1，化为﹣1≤x﹣1≤1，解得0≤x≤2．q：x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1，∴￢q：﹣1＜x＜3．则p是￢q的充分非必要条件．故选：A．6．将函数f（x）=2sin2x的图象向右移动φ（0＜φ＜）个单位长度，所得的部分图象如图所示，则φ的值为（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得所得函数的解析式，再根据五点法作图求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2sin2x的图象向右移动φ（0＜φ＜）个单位长度，可得y=2sin2（x﹣φ）=2sin（2x﹣2φ）的图象，根据所得的部分图象，可得2•﹣2φ=，∴φ=，故选：A．7．直线l：8x﹣6y﹣3=0被圆O：x2+y2﹣2x+a=0所截得弦的长度为，则实数a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1﹣【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式求得a的值．【解答】解：圆O：x2+y2﹣2x+a=0，即（x﹣1）2+y2+a=1﹣a，∴a＜1，圆心（1，0）、半径为．又弦心距d==，∴+=r2=1﹣a，求得a=0，8．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】程序框图．【分析】先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．【解答】解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88此时m=121，n=88，m除以n的余数是33此时m=88，n=33，m除以n的余数是22此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，此时m=11，n=0，退出程序，输出结果为11，故选：B．9．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，且PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为﹣1，则|PF|等于（）A．2 B．4 C．8 D．12【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，∴焦点F（2，0），准线l方程为x=﹣2，∵直线AF的斜率为﹣1，直线AF的方程为y=﹣x+2，由，可得A点坐标为（﹣2，4）∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（2，4），∴|PF|=|PA|=2﹣（﹣2）=4．故选：B．10．若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由条件可得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．【解答】解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选B．11．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，且sinA+sinB=2sinC，则cosC 的最小值等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理的应用．【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值即可．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：a+b=2c，两边平方得：（a+b）2=4c2，即a2+2ab+2b2=4c2，∴4a2+4b2﹣4c2=3a2+2b2﹣2ab，即a2+b2﹣c2=，∴cosC==（+﹣2）≥（当且仅当=，即a=b 时取等号），则cosC的最小值为．故选：A．12．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据条件判断函数的周期性，求出函数在一个周期内的图象，将方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数转化为g（x）=|x+1|有3个交点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，∴g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣g（x﹣2），则g（x+2）=﹣g（x），即g（x+4）=﹣g（x+2）=﹣（﹣g（x））=g（x），则函数g（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）=的定义域为[﹣1，1]，若1≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤﹣1，则0≤2﹣x≤1，此时g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣，当﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，则g（x）=g（﹣x）=﹣，则由g2（x）=a（x+1）2得，当﹣2≤x≤﹣1时，1﹣（x+2）2=a（x+1）2，作出函数g（x）的图象如图：若方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则当a≤0时，不满足条件．则当a＞0时，方程等价为g（x）=±=|x+1|，则当x=﹣1时，方程g（x）=|x+1|恒成立，此时恒有一解，当直线y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）相切时，此时方程g（x）=|x+1|有6个交点，不满足条件．当y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）不相切时，满足方程g（x）=|x+1|有三个交点，此时直线方程为x+y+=0，满足圆心（﹣4，0）到直线x+y+=0，的距离d=＞1，即＞1，即3＞，平方得9a＞a+1，得8a＞1，则a＞，故选：A二.填空题（每小题5分，共20分）13．复数z满足，那么z=z=2+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的除法，求出=2﹣i，再根据共轭附属的定义求出z的值．【解答】解：∵，∴====2﹣i，∴z=2+i，故答案为：2+i．14．若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．15．已知x，y满足不等式，则z=3x+y的最大值是11．【考点】简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=3x+y过点（4，﹣1）时，z最大值即可．【解答】解：根据约束条件画出可行域，由，可得x=4，y=﹣1平移直线3x+y=0，∴当直线z=3x+y过点（4，﹣1）时，z最大值为11．故答案为：11．16．已知函数f（x）=x3+18x+17sinx，若对任意的θ∈R，不等式f（asinθ+2）+f（1+2cos2θ）≥0恒成立，则a的取值范围是﹣1≤a≤1．【考点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数的关系．【分析】通过求导数便可判断f（x）在R上单调递增，并且容易判断为奇函数，利用换元法并且借助于恒成立问题的解决方法得到答案．【解答】易知函数f（x）=x3+18x+17sinx为奇函数∵f′（x）=3x2+18+17cosx＞0∴f（x）单调递增．∵f（asinθ+2）+f（1+2cos2θ）≥0恒成立∴f（asinθ+2））≥﹣f（1+2cos2θ）f（asinθ+2）≥f（﹣1﹣2cos2θ）asinθ+2≥﹣1﹣2cos2θ恒成立即4sin2θ﹣asinθ﹣5≤0，设t=sinθ，t∈[﹣1，1]；g（t）=4t2﹣at﹣5≤0，g（﹣1）≤0且g（1）≤0故答案为：﹣1≤a≤1三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），若f（﹣1）=f（2），且函数y=f（x）﹣x的值域为[0，+∞）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=2x﹣k，当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为A，B，若A∪B=A，求实数k的值．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由f（﹣1）=f（2），可得对称轴方程，解b的方程可得b=﹣1，求得y=f（x）﹣x的解析式，配方可得最小值，即可得到c的值，进而得到所求f（x）的解析式；（2）运用f（x）在[1，2]递增，可得值域A；由g（x）在[1，2]递增，可得值域B．由A∪B=A，有B⊆A，可得k的不等式，解得k即可．【解答】解：（1）因为f（﹣1）=f（2），可得对称轴为x=，即﹣=，解得b=﹣1；因为函数y=f（x）﹣x=x2﹣2x+c=（x﹣1）2+c﹣1的值域为[0，+∞），所以c﹣1=0⇒c=1．所以f（x）=x2﹣x+1；（2）当x∈[1，2]时，f（x）=x2﹣x+1递增，可得最小值为1，最大值为3，即有A=[1，3]；g（x）=2x﹣k，当x∈[1，2]时，g（x）递增，可得最小值为2﹣k，最大值为4﹣k，即有B=[2﹣k，4﹣k]，由A∪B=A，有B⊆A，所以，即，可得k=1．18．随着电子商务的发展，人们的购物习惯正在改变，基本上所有的需求都可以通过网络购物解决．小韩是位网购达人，每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价．现对（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中（K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】独立性检验．【分析】（1）根据列联表计算K2，对照观测值表即可得出结论；（2）利用分层抽样法抽取5次交易，计算好评的交易次数与不满意的次数，用列举法计算对应的概率值即可．【解答】解：（1）根据列联表计算，对照观测指表得：有99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关；（2）由表格可知对商品的好评率为，若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为A，B，C，不满意的交易a，b，从5次交易中，取出2次的所有取法为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（B，C），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（a，b），共计10种情况，其中只有一次好评的情况是：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），共计6种情况．因此，只有一次好评的概率为P=．19．已知等差数列{a n}，满足a1=3，a5=15，数列{b n}满足b1=4，b5=31，设c n=b n﹣a n，且数列{c n}为等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式．（2）求数列{b n}的前n项和．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，满足a1=3，a5=15，可得15=3+4d，解得d可得a n．由数列{b n}满足b1=4，b5=31，设c n=b n﹣a n，且数列{c n}为等比数列（可设公比为q）．可得c1=1，c5=16，利用16=1×q4，可得q，即可得出．（2）对q分类讨论，利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，满足a1=3，a5=15，∴15=3+4d，解得d=3．∴a n=3+3（n﹣1）=3n．∵数列{b n}满足b1=4，b5=31，设c n=b n﹣a n，且数列{c n}为等比数列（可设公比为q）．∴c1=4﹣3=1，c5=31﹣15=16，∴16=1×q4，解得q=±2，∴．∴b n=a n+c n=3n+（±2）n﹣1．（2）当q=2时，数列{b n}的前n项和=+=+2n﹣1．当q=﹣2时，数列{b n}的前n项和=+=﹣．20．已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣e x lnx（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，且b=1，求a；（2）若b=﹣a，且函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值即可；（2）求出f（x）的导数，问题转化为a≥+在[1，+∞）恒成立即可，令g（x）=+，（x≥1），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）b=1时，f（x）=e x（ax+1）﹣e x lnx，f′（x）=e x（ax﹣lnx+a﹣），f′（1）=e（a+a﹣1）=0，解得：a=；（2）若b=﹣a，则f（x）=e x（ax﹣a）﹣e x lnx，f′（x）=e x（ax﹣lnx﹣），若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，只需ax﹣lnx﹣≥0在[1，+∞）恒成立，即a≥+在[1，+∞）恒成立即可，令g（x）=+，（x≥1），g′（x）=，令h（x）=x﹣xlnx﹣2，（x≥1），则h′（x）=1﹣（lnx+1）=﹣lnx＜0，∴h（x）在[1，+∞）递减，∴h（x）＜h（1）=﹣1＜0，即x≥1时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，+∞）递减，∴g（x）≤g（1）=1，∴a≥1．21．已知椭圆方程+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与y轴的交点为A（点A不在椭圆外），且与椭圆交于两个不同的点P，Q，PQ的中垂线恰好经过椭圆的下端点B，且与线段PQ交于点C，求△ABC 面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）利用椭圆方程+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，求出a，b，即可求椭圆的标准方程；（2）求出PQ的中点坐标为（﹣k，），表示出△ABC面积，利用直线l：y=kx+m（k≠0）与y轴的交点为A（点A不在椭圆外），求出0≤k2≤，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆方程+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴=，b=1，∴a=，∴椭圆的标准方程为=1；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=kx+m（k≠0）代入=1，整理可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴PQ的中点坐标为（﹣，），∵PQ的中垂线恰好经过椭圆的下端点B，∴﹣=，∴m=+k2，∴PQ的中点坐标为（﹣k，），∵l：y=kx+m（k≠0）与y轴的交点为A（点A不在椭圆外），∴﹣1≤+k2≤1，∴0≤k2≤，∴△ABC面积S=（m+1）=（1+k2）≤，当且仅当k2=，△ABC面积的最大值为．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC中∠A=90°，D，E分别为边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（1）证明：C、B、D、E四点共圆；（2）若m=4，n=6，求C、B、D、E所在圆的半径．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（2）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】（1）证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即=，又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB．因此∠ADE=∠ACB，所以C，B，D，E四点共圆．（2）解：m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12，故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH．因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC，从而．故C，B，D，E四点所在圆的半径为．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为是（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）在曲线C上求一点P，使得它到直线l的距离最大，并求出最大距离．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把直线l参数方程化为普通方程，曲线C极坐标方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，与r比较大小即可作出判断；（2）圆上一点P到直线l距离最大为d+r，求出过圆心与直线l垂直的直线方程，与圆方程联立确定出此时P的坐标即可．【解答】解：（1）根据题意得：直线l的方程为x﹣y﹣1=0，曲线C的方程为x2+（y﹣2）2=4，即圆心C（0，2），半径r=2，∵圆心C到直线l的距离d==＞2=r，∴直线l与曲线C相离；（2）根据题意得：点P到直线l的最大距离为d+r=+2，过圆心且垂直于直线l的直线方程为y=﹣x+2，联立得：，消去y得：x2=4，解得：x=﹣（正值不合题意，舍去），则在曲线C上存在一点P（﹣，2+），使得它到直线l的距离最大为+2．[选修4-5：不等式选讲]24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|的解析式，从而求得f（x）＜0的解集M．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜，b2＜．化简|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，当﹣2＜x＜1时，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0，解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．2018年9月26日。