第十一章全等三角形
八年级数学上册知识点总结第十一章
第十一章全等三角形
一、全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
二、全等三角形
１．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
)
２．全等三角形的符号表示、读法：△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。
(两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角）。
３．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
二、三角形全等的判定：
1．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“ＳＳＳ”。
2．两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”。
3．两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ＡＳＡ”。
4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“Ａ
ＡＳ”。
5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”。
(ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。
)
三、角的平分线的性质
1.性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。
2．逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。
3.三角形的内心：利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。
人教版数学八年级上第十一章“全等三角形”简介
第十一章“全等三角形”简介课程教材研究所薛彬宋莉莉“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的判定方法，并利用三角形全等进行证明，最后学习角的平分线的性质及相关证明。
本章教学时间约需11课时，具体分配如下（仅供参考）：11．1 全等三角形1课时11．2 三角形全等的判定6课时11．3 角的平分线的性质2课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。
本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。
第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。
在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。
通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。
全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。
从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。
这既是本章的重点，也是教学的难点。
教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。
在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。
“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
第十一章 全等三角形小结与复习教案 新人教版
第十一章 全等三角形 全等三角形小结与复习考点呈现考点一 全等三角形的概念和性质例1 下列命题：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的对应边相等，对应角相等；④经过平移得到的三角形与原图形是全等形.其中正确的命题有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个解析：全等三角形是指两个完全重合的三角形，不仅形状相同，大小也相同，两者缺一不可.互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角，平移、翻折、旋转不改变图形的大小与形状，所以③④正确.故选B.点评：本题主要考查了全等三角形的概念和性质，注意把一个图形平移、旋转、折叠后得到的图形与原来的图形全等.例2 如图1，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若︒=∠64CDE ，则ADP ∠等于 （ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°解析：由题意知△C DE ≌△PDE ，所以︒=∠=∠64CDE PDE ,则︒=︒-︒-︒=∠-∠︒=∠526464180-180PDE CDE ADP .故选C.点评：本题以折叠为背景，主要考查全等三角形的性质，运用全等三角形的对应角相等结合平角的概念解决问题.考点二 三角形全等的判定例3 （2010年四川巴中）如图2，AB = AC ，要说明△ADC ≌△AEB ，需添加的条件 不能是 （ ）A ．∠B ＝∠C B. AD = AE C ．∠ADC ＝∠AEB D. DC = BE解析：已知AB =AC ，还有一个公共角∠A ，具备了一边一角的条件，可根据“SAS ”添加AD =AE ；可根据“ASA ”添加∠B =∠C ；可根据“AAS ”添加∠ADC =∠AEB ；若添加ＤC ＝ＢE ，则是 “ＳＳＡ”不能判定两个三角形全等.故选D. 点评：本题目是一道条件开放型问题，判定三角形全等的方法有“SSS 、SAS 、AAS 、ASA ”，要根据已知条件添加一条边或一个角满足以上四个判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成“SSA ”的形式. 例4 （2010年四川凉山州）如图3，已知∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝ ∠C ，AE ＝AF .有下列结论：①EM ＝FN ；②CD ＝DN ；③∠FAN ＝ ∠EAM ；④△ACN ≌△ABM .其中正确的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：因为∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，所以△AEB ≌△AFC .所以AC ＝AB, ∠EAB ＝∠FAC .在△ACN 和△ABM 中，∠C ＝∠B ，AC ＝AB ，∠CAB ＝∠BAC ，所以△ACN ≌△ABM ，④正确；因为∠EAB ＝∠FAC ，所以∠EAB －∠CAB ＝∠FAC －∠CAB ，即∠EAM ＝∠FAN ，③正确；在△EAM 和△FAN 中，∠EAM ＝∠FAN ，AE ＝AF ，∠E ＝∠F ＝90°，所以△EAM ≌△FAN . 所以A EF B CD M NEM ＝FN ，①正确；由已知条件不能判断出CD ＝DN .故正确的有3个，应选C.点评：本题主要考查三角形全等的判定，求解时应同时从题设条件和图形出发，寻求三角形全等的条件，准确判定.考点三 运用三角形全等证明线段（或角）相等例5 (2010年呼和浩特)如图4，点A ，E ，F ，C 在同一条直线上，AD ∥BC ，AD =CB ，AE =CF .求证BE =DF .分析：要证明的两条线段BE 和 DF 分别为△CBE 和△ADF 中的边，可以考虑通过证明△ADF ≌△CBE 来解决.证明：∵ AD ∥BC ，∴ ∠A ＝∠C .∵ AE ＝FC ， ∴ AF ＝CE .在△ADF 和△CBE 中，AD =CB ，∠A ＝∠C ， AF ＝CE ， ∴ △ADF ≌△CBE . ∴ BE ＝DF . 点评：如果要证明的两条线段分别是两个三角形的边时，通常可以尝试通过三角形全等进行证明.例6 （2010年北京，改编）如图5，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，EC =BF ，AB =DC ．求证∠ACE =∠DBF ．分析：要使∠ACE =∠DBF ，只要Rt △EAC ≌Rt △FDB 即可，两个三角形显然满足“HL ”．证明：∵ AB =DC , ∴ AC =DB .∵ EA ⊥AD ，FD ⊥AD ， ∴ ∠A=∠D=90°.在Rt △EAC 和Rt △FDB 中，EC =FB ，AC =DB ， ∴ Rt △EAC ≌Rt △FDB . ∴ ∠ACE =∠DBF ．点评：注意“HL ”只适用于直角三角形，而“SSS 、SAS 、ASA 、AAS ”适用于所有的三角形．考点四 三角形全等的实际应用例7 （2010年广安）某学校花台上有一块形如图6所示的三角形ABC 地砖，现已破损．管理员要对此地砖测量后再去市场加工一块形状和大小与此完全相同的地砖来换，现只有尺子和量角器，请你帮他设计一个测量方案，使其加工的地砖能符合要求，并说明理由.解析：本题是要利用尺子和量角器测量得到的数据作一个三角形与△ABC 全等，根据全等三角形的判定可以有多种测量方案. 如：⑴用量角器分别量出∠A 、∠B 的大小；⑵用尺子量出AB 的长，根据这三个数据，按照原来的位置关系加工地砖.DOBA 点评：本题是一道方案设计问题，主要考查运用三角形全等解决实际问题的能力，具有一定的开放性，主要依据“SAS 、ASA 、AAS 、SSS ”设计测量方案.考点五 角的平分线的性质例8 有下列说法：①角的平分线上任意一点到这个角两边的距离相等；②到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上；③三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等；④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等.其中正确的有 （ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：由角的平分线的性质可知①②④正确.故选C.点评：解题时要注意用角的平分线的性质，不要总是用全等去证明.例9 （2010年曲靖）如图7，在Rt△ABC 中， ∠C ＝90°，若BC ＝10，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且BD ︰CD ＝3︰2，则点D 到线段AB 的距离为_________． 解析：要求点D 到AB 的距离，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，线段DE 长度即为所求. 因为AD 平分∠BAC ，所以DE ＝CD . 因为BD ︰CD ＝3︰2，所以4105252=⨯==BC CD ．故DE ＝CD ＝4． 点评：解决本题的而关键是运用角的平分线的性质把求点D 到线段AB 的距离转化为求线段CD 的长度.误区点拨误区一 对“对应”二字理解不深、不透例1 已知两个直角三角形中，有一锐角相等，又有一边相等，说明这两个三角形是否全等.错解：这两个三角形全等.剖析：对全等三角形判定定理中的“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.正解：这两个三角形不一定全等，如图1，在Rt △ABC 与Rt △EDC 中，CD =AB ，∠1=∠2，∠C =∠C =90°，显然△ABC 与△EDC 不全等.误区二 臆造全等的判定方法例2 如图2，AC 和BD 相交点于O ，且C D ∠=∠， BC AD =.求证△DAB ≌△CBA . 错解：在△DAB 和△CBA 中，AD =BC ，AB =BA ，∠D =∠C ，所以△DAB ≌△CBA .剖析：“SSA ”不能判定三角形全等，属于臆造三角形全等的判定方法导致错误. 正解：在△ODA 和△OCB 中，∠D =∠C ，∠AOD =∠BOC ，AD =BC ，所以△ODA ≌△OCB . 所以OD =OC ,OA =OB .所以OD +OB =OC +OA ，即BD =AC .在△DAB 和△CBA 中，AD =BC ，∠D =∠C ，BD =AC ,所以△DAB ≌△CBA . 误区三 忽视图形的多种情况例3 已知△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，若AD ，A ′D ′分别是BC ，B ′C ′边上的高，且AD ＝A ′D ′.问△ABC 与△A ′B ′C ′是否全等？如果全等，给出证明；如果不全等，请举出反例.错解：这两个三角形全等.证明如下：如图3，在Rt △ABD 和Rt △A ′B ′D ′中，因为E DCBAB DAB ＝A ′B ′，AD ＝A ′D ′，所以Rt △ABD ≌Rt △A ′B ′D ′. 所以BD ＝B ′D ′. 同理可得DC ＝D ′C ′，所以BC ＝B ′C ′.在△ABC 和△A ′B ′C ′中，因为AB ＝A ′B ′，AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C ′，所以△ABC ≌△A ′B ′C ′.剖析：这两个三角形不一定全等.当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等.正解：这两个三角形不一定全等.如图4，虽有BD ＝B ′D ′，DC ＝D ′C ′，但BC ≠B ′C ′，因此这两个三角形不全等.跟踪训练1．如果NMQ ∆∆≌MNP ，且8cm MN =，7cm PN =，6cm PM =，则MQ 的长为 （ ）A ．cm 8B ．cm 7C ．cm 6D ．cm 52．如图1，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△ 的是 （ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠ C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠3．如图2，BOP CPO ∠=∠，PC ∥OA ，4=PD ，则点P 到OB的距离是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5A B CD图1PODCB AA ′B ′C ′D ′ABC D图3A BC D图4A ′B ′D ′4．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是 （ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS5．如果△ABC ≌△DEF ，△DEF 周长是32 cm ，DE=9cm ，EF=13 cm ，∠E=∠B ， 则AC=____ cm.6．如图3，已知AD AB =，DAC BAE ∠=∠，要使ABC △≌ADE △，可补充的条件是 ．（写出一个即可）7．如图4，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着150BAC ∠=，则θ∠的度数是 ．8.如图5，在Rt△ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC =BD ，BC ，AD 相交于点E ．求证A D=BC ．9. 如图6，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，CE BE ⊥，CE AD ⊥，垂足分别为E ，D ，且cm AD 5=，cm DE 3=，求BE 的长度．10. 如图7，正方形网格中有一个ABC △，请你在方格内画出满足条件1111A B AB BC BC ==，，1A A ∠=∠的所有的111A B C △，（形状相同算一个），并判断111A B C △与ABC △是否一定全等？你能够得到什么结ACE B D 图3CDA EBθ图4BA C图7论？跟踪训练参考答案1.B2.C3.C4.D5. 106.答案不唯一，如AC AE =或D B ∠=∠等 7．︒60 8.证明：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中,AB =BA ,AC =BD , ∴ Rt △ABC ≌Rt △BAD . ∴ A D=BC ．9.解：∵ ︒=∠90ACB ， ∴ ︒=∠+∠90BCE ACD ． ∵ CE BE ⊥，CE AD ⊥，∴ ︒=∠=∠90CEB ADC ,︒=∠+∠90CAD ACD . ∴ ∠CAD =∠BCE . ∵ BC AC =，∴ ACD ∆≌CBE ∆.∴ cm CE AD 5==，BE CD =． ∵ )(235cm DE CE CD =-=-=． ∴ cm BE 2=. 10.解：如图所示：ABC △与111A B C △不一定全等．结论：由两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．BACB 1A 1C 1C 1B 1A 1。
全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
全等三角形教材分析
教材分析第十一章全等三角形一、课程学习目标：1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素;2.探索三角形全等的判定方法,能利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式.3.会作角的平分线,了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.二、本章知识结构图：证明角平分线性质三、主要内容：学习概念和性质第一节全等三角形 1课时全等三角形掌握判定方法第二节三角形全等的判定 6课时利用全等三角形证明第三节角平分线的性质 2课时最后复习，共2课时.四、本章的重点和难点：理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.五、本章的地位和作用：1.知识衔接：第十一章全等三角形，是初中数学“空间与图形”领域当中的第四部分，前面分别为图形认识初步、相交线和平行线、三角形，在全等三角形后，将继续学习轴对称知识，八下开始学习勾股定理、四边形，九上学习旋转、圆，九下学习相似、锐角三角函数和投影与试图.可以说，全等三角形的知识是承前启后的.首先，它衔接了七下的三角形知识，把原来的简单证明，即三步推理的证明，扩充到了多步的复杂证明.在初次学习全等知识时，要求学生将表示对应元素的字母写在对应位置上，这也是比原来要求高的方面.接着，在全等学习好的基础上，学生要利用全等的知识进一步接受其他新知.比如，利用全等三角形证明角平分线性质，利用全等三角形证明线段等或角相等，从而证明平行四边形的成立，等等.因此，将全等三角形知识学习好，是为后续很多知识做准备.第三，从全等三角形开始，图形变得更复杂，因为证明全等，必然要两个三角形或更多，学生要从复杂图形中抽离出所需要的图形，挖掘已知条件，所以在训练这个内容时，要循序渐进，逐步训练.2.认识过程：从学习全等三角形的过程来看，跟学习平行线的过程基本一样，都遵循了这样一个过程：今后学习其他几何图形，基本都遵照这一顺序.针对本章具体来说：首先是认识全等形，再认识到全等三角形，这是研究两个三角形之间数量关系的内容，与三角形位置无关.然后了解全等三角形的性质后，可知“全等三角形的对应边相等，对应角也相等”.于是利用全等三角形可以证明两条线段相等，两个角相等.进一步，利用线段或角的数量关系，可以得到平行、垂直等位置关系.第三步，掌握如何判定全等三角形.第四步，开始掌握如何利用全等三角形进行证明，即全等三角形的应用部分.教材首先是用全等三角形证明了角平分线性质，而我们在给学生练习过程中，可以逐步加入证明线段相等，或角相等的例子，等学生掌握后，再添加证明平行或垂直等内容.这样逐步训练达到灵活运用.为了将来平行四边形的学习，现在也可以出些可衔接的例子.六、教法建议：根据以上的分析，我对每个小节提出以下的教学建议.第11.1节全等三角形【教学重点】1.了解全等三角形的概念和性质.2.【教学难点】准确确定全等三角形的对应元素【教学建议】 一、教学流程【教学设计举例】因为本章的概念和性质在本节中开始体现，所以以这小节为例，我来详细谈谈如何落实以上各环节，即看看具体的教学设计，供大家参考。
人教版八年级数学上册知识点汇总框架图(最新整理)
人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。
对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。
对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。
三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等。
边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
角角边（AAS ）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
画法：课本第48页。
性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
1、明确命题中的已知和求证。
2、根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
第十二章轴对称轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
1、不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对对称的性质 称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2、对称的图形都全等。
第十一章 全等三角形及5种判定打包教案(全,实用)
第十一章 全等三角形11．1 全等三角形【学习目标】1．知道什么是全等形、全等三角形；2．能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．掌握全等三角形的性质． 【自能学习】一、全等形、全等三角形的概念阅读课本P 2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空： 1．能够完全重合的两个图形叫做 ．全等图形的特征：全等图形的 和 都相同． 2．能够完全重合的两个三角形叫做 ． 二、全等三角形的对应元素及表示阅读课本P 3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：1． 平移 翻折 旋转甲DCABFE乙DCAB丙DCABE启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，•但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略．2．全等三角形的对应元素（1）对应顶点（三个）——重合的顶点 （2）对应边（三条） ——重合的边 （3）对应角（三个） ——重合的角 3．寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．4．“全等”用“≌”表示，读作“全等于”如图甲记作：△ABC ≌△DEF 读作：△ABC 全等于△DEF 如图乙记作： 读作： 如图丙记作： 读作： 注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 三、全等三角形的性质阅读课本P 3第二个思考及下面内容，完成下面填空： 全等三角形的性质：（要记下） 全等三角形的 相等； 全等三角形的 相等． 四、范例分析例1．如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角．DCABODCABE图1 图2判天地之美，析万物之理。
八年级上第十一章至第十五章知识点梳理
7
a 按定义分
正整数
正有理数
实数有理数负零有理数负 负正分 整分数 数数有限小数或无限循环小数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
b 按大小分:
正实数 实数 零
4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有 n 盆花， 每个图案的花盆总数是 S，求 S 与 n 之间的关系式.
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2、函数的概念
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，
y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时，
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第十三章
（一）本章知识结构框图
实数知识点汇总
1．本章知识的内在结构如下图所示：
2．本章知识的展开顺序如下图所示：
（二）知识点梳理： 本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算。本章的
重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念
1．有理数，无理数概念： 有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数。 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
负实数
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大. 5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数 范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表 示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数 填满。
例 1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪 些量是常量？