第11章 全等三角形

沪科版八年级上学期数学全等三角形全等三角形要点提示1.全等三角形的有关概念（1）能够完全重合的两个图形叫做__________.（2）能够完全重合的两个三角形叫做__________.2.全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边、对应角_________.（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高线_________. （3）全等三角形的周长________、面积_________.3.“全等”用符号’≌”表示，读作“全等于”.当两个三角形全等时，通常把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4.全等三角形主要是指形状、大小相同的两个三角形，与位置无关系，将一个 三角形经过平移、翻折、旋转后，得到的三角形与原三角形全等.典例分析1.如右图中△ABC 和△DEF 全等，记作其中点A 和点 ,点B 和点 点 和点D 是对应点， 边AB 和 ， 和ED ，AC 和 是对应边；2.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=39°,则AN=___cm,NM=___cm,∠NAB=___.3.如图，111ABC A BC △≌△且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．ABCDEFA DCBNM ABC C 1A 1B 1基础强化1.如图，ACB A C B'''△≌△，BCB∠'=30°，则ACA'∠的度数为（）A 20° B．30° C．35° D．40°2.下列说法正确的是（）A.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形的周长和面积分别相等C.全等三角形是指面积相等的两个三角形D.所有的等边三角形都是全等三角形3.已知下图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A.72°B.60°C.58°D.50°4.如下图，OA OB=，OC OD=，50O∠=，35D∠=，则AEC∠等于（）A．60B．50C．45D．305.如图1，ΔABD≌ΔCDB，且AB、CD是对应边；下面四个结论中不正确的是：A.ΔABD和ΔCDB的面积相等B.ΔABD和ΔCDB的周长相等C.∠A+∠ABD =∠C+∠CBDD.AD//BC，且AD = BC6.如下图，△ACE≌△DBF，若∠E =∠F，AD = 8，BC = 2，则AB等于( )A.6B.5C.3D.不能确定CABA'OEABD C7.如下图，ΔABC≌ΔADE，∠B = 70º，∠C = 26º，∠DAC = 30º，则∠EAC = ( )A．27ºB．54ºC．30ºD．55º8.如图2，已知ΔABE≌ΔACD、∠ADE =∠AED，∠B =∠C，指出其他对应边和对应角.9.已知：如下图，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．（1）求∠F的度数与DH的长；（2）求证：AB∥DE．10.如下图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，且∠ABD=90°.（1）△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角.（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由.能力提高1.如下图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（）A.150°B.40°C.80°D.90°2.如下图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）3.如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠C的度数.4.如图, 在ABCD中, 将△ABE沿BE翻折, 点A落在CD边上, 成为点F,如果△DEF和△BCF的周长分别是8cm和22cm, 求FC的长度.5.如图，已知△ABC≌△ADE，∠CAD=15°，∠DFB=90°，∠B=25°，求∠E和∠DGB的度数.真题演练1.如下图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（）A.22B.4C.32D.422.如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，（1）求证：CE＝CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示，试猜：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．FED CBAFDE CBAG三角形全等的判定要点提示1.全等三角形的判定定理（1）(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等；（2）(SAS)：两边和它们的_____对应相等的两个三角形全等；（3）(ASA)：两角和它们的____对应相等的两个三角形全等；(4) (AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；（5）(HL)：斜边和__________对应相等的两个直角三角形全等.2．SSA、AAA 不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.典例分析1.如图，,,,A F E B四点共线，AC CE=.求证：⊥，BD DF⊥，AE BF=，AC BD∆≅∆.ACF BDE2.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是条件（）A. ∠B=∠C，BD=DCB.∠ADB=∠ADC，BD=DCC.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD. BD=DC，AB=AC3.已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE求证：OB=OC.基础强化1.对于下列各组条件，不能判定△ABC≌△CBA'''的一组是（）A.∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB=A′B′B.∠A=∠A′，AB=A′B′，AC=A′C′C.∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′D.AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′2.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA3.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD，为折痕，则CBD∠的度数为（）A.60°B.75°C.90°D.95°4.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是（）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC第2题5.如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。

其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个D. 1个6.如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠ B. CE DE =C. DEA ∆不全等于CBE ∆D.EAB ∆是等腰三角形7.△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB =3，EF =4，则AC = 8.已知，如图，M 、N 在AB 上，AC=MP ，AM=BN ，BC=PN 。

求证：AC ∥MP9.已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．10.如下图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：BC ∥EF ．P CABN能力提高1.如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上一动点（点G 与C 、D 不重合）， 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于H. 求证：① △BCG ≌△DCE② BH ⊥DE2.如图所示，己知AB ∥DE ，AB=DE ，AF=DC ，请问图中有哪几对全等三角形，并选其中一对给出证明.3.己知，△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 垂足分别为E 、F ，求证：① PE+PF=CD. ② PE –PF=CD.BAF CDEFEDA BG HF E D C A BF ED AB G P F ED C AB G P4.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：DE =DF ．5.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明：真题演练1.已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC.（1）如图1，若点O 在BC 上，求证：AB ＝AC ；（2）如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ；（3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示.BO O B CA A CB 图2图12.如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．3.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．4.如下图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED．角的平分线的性质要点提示1.角平分线的定义:_________________________________________叫做这个角的平分线.2.角平分线性质定理：______________________________________.3.角平分线性质定理的逆定理：_______________________________.4.关于三角形三条角平分线的定理：①关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.②三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.典例分析1.如下图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件可以是（）A.BB′⊥ACB.BC=B′CC.∠ACB=∠ACB′D.∠ABC=∠AB′C2.如下图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.如下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的度数是4.在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，则∠DBC的度数是5.已知：如下图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且BO=CO．求证：O在∠BAC的角平分线上.1314基础强化1.如图1，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是2.如图2，在△ABC 中，∠B=300，∠C=900，AD 平分∠CAB ，交CB 于D ，DE ⊥AB 于E ，则∠BDE= =3.如图3，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF=PG=PE ，则∠BPD=4.如图4，已知AB ∥CD ，0为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点．OE ⊥AC ，且OE=2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于5.已知Rt △ABC 中，∠C=900，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D 到AB 边的距离为( )A.18B.16C.14D.126.如下图，MP ⊥NP ，MQ 为∠NMP 的角平分线，MT=MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是( )A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=900D.∠NQT=∠MQT7.如下图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P ’分别在边OA 、OB 上。