最新高数积分总结76309
第四章 一元函数的积分及其应用
第一节 不定积分
一、原函数与不定积分的概念 定义1.设)(x f 是定义在某区间的已知函数，
若存在函数)(x F ，使得)
()(x f x F ='或
dx x f x dF )()(=,则称)(x F 为)(x f 的一个原函数
定义2.函数
)(x f 的全体原函数C x F +)(叫做)(x f 的不定积分，，记为:
?+=C x F x x f )(d )(
其中
)(x f 叫做被积函数 x x f d )(叫做被积表达式 C 叫做积分常数
“
?”叫做积分号
二、不定积分的性质和基本积分公式
性质1. 不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即
()?=='
?
x x f x x f x f x x f d )(d )(d )(d )(；.
性质2. 函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即
?+=+=?'C x f x f C x f x x f )()(d ,)(d )(或
性质3. 非零的常数因子可以由积分号内提出来，即
?≠=?)0(d )(d )(k x x f k x x kf .
性质4. 两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即
[]??±=?±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )()(
基本积分公式
(1)?+=C kx x k d (k 为常数) (2)C x x x ++=
?+1
1
1d μμμ(1-≠μ) (3)C x x x
+=?ln d 1 (4)?
+=C e dx e x x
(5)?
+=C a
a x a x
x
ln d
(6)?+=C x x x sin d cos (7)?
+-=C x x x cos d sin (8)?+=C x x x tan d sec 2 (9)?+-=C x x x cot d csc 2 (10)?+=C x x x x sec d tan sec (11)?+-=C x x x x csc d cot csc
(12)?++=C x x x x tan sec ln d sec
(13)+-=C x x x x cot csc ln d csc
(14)C x x +=arctan d 1
2
三、换元积分法和分部积分法 定理1. 设)(x ?可导，并且.)(d )(?
+=C u F u u f 则有
C
x F x u C
u F u
u f x u x x f x x x f +=+?=?'?))(()
()(d )()
()
(d )]([d )()]([???????代回令凑微分
该方法叫第一换元积分法(integration by substitution)，也称凑微分法． 定理2.设)(t x
?=是可微函数且0)(≠'t ?，若)())((t t f ??'具有原函
数)(t F ，则
()()d x t f x x
?=?换元
()()()()()11
d .
t x f t t t
F t C
F x C ????--='????++?????
积分
回代
该方法叫第二换元积分法
:
)d (的原则或及选取v v u '
1) v 容易求得 ; x v u x v u d d )2''?
?比
解题技巧: :的一般方法及选取v u '
把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,
前者为u 后者为.v '
第二节 定积分概念
一、原函数与不定积分的概念 二、定积分的定义和存在定理
三、定积分的几何意义与定积分的性质 1．定积分的几何意义 2. 定积分的性质 性质1.=?±dx x g x f b a
)]()([
±?b a dx x f )(?b
a dx x g )(.
性质2.
=?b a
dx x kf )(k ?b
a dx x f )( (k 是常数).
性质3. =?b a
dx x f )(?+c a dx x f )(?b
c dx x f )(.
性质4.
=?b a
dx x f )(a b dx b
a -=?.
推论1. 如果在],[b a 上，则),()(x g x f ≤≤?b a dx x f )(?b a dx x g )( (a
推论2. ≤?b a
dx x f )(?b
a dx x f )(
性质5.
0)(≥?b a
dx x f )(b a <.
性质6. 设M 与m 分别是函数
],[)(b a x f 在上的最大值及最小值，则
≤-)(a b m ≤?b a dx x f )()(a b M - (b a <).
性质7 .(定积分中值定理) 如果函数
)(x f 在闭区间],[b a 上连续，
则在积分区间],[b a ]上至少存在一点ξ，使下式成立：
))(()(a b f dx x f b
a
-=?ξ (b a ≤≤ξ)
可积的充分条件:
定理1.上连续在函数],[)(b a x f ，则.],[)(可积在b a x f
定理2.,],[)(上有界在函数b a x f 且只有有限个间断点 ，则.],[)(可积在b a x f
第三节 微积分基本公式 一、微积分基本公式 1. 变上限函数
定义1. 设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则它在],[b a 任意一个子区间],[x a 上可积，则
?=Φx
a dx t f x )()( (
b x a ≤≤)
是上限变量x
的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数. 2. 微积分基本公式
定理2.=?b a
dx x f )(-)(b F )
(a F
1.定积分的换元积分法
定理3.=?b a dx x f )([]
dt t t f ?'βα
??)()(
注：设
)(x f 在],[a a -上连续,证明
(1)若)(x f 在],[a a -为偶函数，则 ?-a a
dx x f )(=?a dx x f 0)(2；
(2)若)(x f 在],[a a -上为奇函数，则
?-a
a dx x f )(=0.
2.定积分的分部积分法
定理4.?-?=b a
b a
b a
vdu uv udv ][
第四节 定积分的应用（这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~） 一、定积分的微元法 其实质是找出
A 的微元dA 的微分表达式.
二、定积分在几何中的应用 1. 平面图形的面积 ?
=b
a
dx x f A )(.
2. 旋转体的体积x x A V
b
a d )(?=
三、定积分在物理上的应用 1.变力做功?=b a x x F W d )(
2.液体静压dx x xf F
b
a )(g ρ?=
四、定积分在医学上的应用
1小时
单位负责人接到报告后，应当于1小时内向事故发生地县级以上人民政府安全生产监督管理部门和负有安全生产监督管理职责的有关部门报告。《生产安全事故报告和调查处理条例》
2小时
安全生产监督管理部门和负有安全生产监督管理职责的有关部门逐级上报事故情况，每级上报的时间不得超过2小时。《生产安全事故报告和调查处理条例》
24小时
负有安全生产监督管理职责的部门依照前款规定采取停止供电措施，除有危及生产安全的紧急情形外，应当提前24小时通知生产经营单位。《安全生产法》
48小时
实施查封、扣押，应当当场下达查封、扣押决定书和被查封、扣押的财物清单。在交通不便地区，或者不及时查封、扣押可能影响案件查处，或者存在事故隐患可能导致生产安全事故的，可以先行实施查封、扣押，并在48小时内补办查封、扣押决定书，送达当事人。《安全生产违法行为行政处罚办法》
2日
安全生产行政执法人员当场收缴罚款的，应当出具省、自治区、直辖市财政部门统一制发的罚款收据；当场收缴的罚款，应当自收缴罚款之日起2日内，交至所属安全监管监察部门；安全监管监察部门应当在2日内将罚款缴付指定的银行。《安全生产违法行为行政处罚办法》
3日
申请取得剧毒化学品购买许可证，申请人应当向所在地县级人民政府公安机关提交下列材料……县级人民政府公安机关应当自收到前款规定的材料之日起3日内，作出批准或者不予批准的决定。《危险化学品安全管理条例》
经由道路运输烟花爆竹的，托运人应当向运达地县级人民政府公安部门提出申请……受理申请的公安部门应当自受理申请之日起3日内对提交的有关材料进行审查……《烟花爆竹安全管理条例》
烟花爆竹运达目的地后，收货人应当在3日内将《烟花爆竹道路运输许可证》交回发证机关核销。《烟花爆竹安全管理条例》
公安机关应当自收到第二类易制毒化学品运输许可申请之日起3日内，对申请人提交的申请材料进行审查。《易制毒化学品管理条例》
登记办公室在3个工作日内对登记企业提出的申请进行初步审查，符合条件的，通过登记系统通知登记企业办理登记手续。《危险化学品登记管理办法》
当事人要求听证的，应当在安全监管监察部门依照本办法第十七条规定告知后3日内以书面方式提出。《安全生产违法行为行政处罚办法》
当事人应当在收到行政处罚告知书之日起3日内进行陈述、申辩，或者依法提出听证要求，逾期视为放弃上述权利。《安全生产违法行为行政处罚办法》
5日
剧毒化学品、易制爆危险化学品的销售企业、购买单位应当在销售、购买后5日内，将所销售、购买的剧毒化学品、易制爆危险化学品的品种、数量以及流向信息报所在地县级人民政府公安机关备案，并输入计算机系统。《危险化学品安全管理条例》第一类易制毒化学品生产、经营许可证被依法吊销的，行政主管部门应当自作出吊销决定之日起5日内通知工商行政管理部门。《易制毒化学品管理条例》