第八章 滑移线法
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第八章-滑移线
第8章 滑移线理论及应用§8. 1 平面应变问题和滑移线场滑移线理论是二十世纪20年代至40年代间，人们对金属塑性变形过程中，光滑试样表面出现 “滑移带”现象经过力学分析，而逐步形成的一种图形绘制与数值计算相结合的求解平面塑性流动问题变形力学问题的理论方法。
这里所谓“滑移线”是一个纯力学概念，它是塑性变形区内，最大剪切应力max (τ）等于材料屈服切应力（k ）的轨迹线。
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零（设du Z =0），故只有三个应变分量（x d ε、y d ε、xy d γ），也称平面应变问题。
根据塑性流动法则，可知p m y x Z -==+==σσσσσ2/)(2 （8-1）式中，m σ为平均应力；p 称为静水压力。
根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量也只有三个（x σ、y σ、xy τ）（见图8-1a ），于是平面应变问题的最大切应力为：2231max ]2/)[(2/)(xy y x τσσσστ+-=-= （8-2）可见，这是一个以max τ为半径的圆方程，这个圆便称为一点的应力状态的莫尔圆（见图8-1c ）。
图中设x σ<y σ<0（即均为压应力，因塑性加工中多半以压应力为主）。
值得注意的是绘制莫尔圆时，习惯上规定：使体素顺时针旋转的切应力为正，反之为负。
因此图8-1c 中的yx τ为正值；而xy τ取负值。
根据平面流动的塑性条件，k =max τ（对Tresca 塑性条件2/T k σ=；对Mises 塑性条件3/T k σ=.于是，由图8-1(C)的几何关系可知，有 Φ--=2sin k p x σΦ+-=2sin k p y σ （8-3）Φ=2cos k xy τ式中，)2/)((y x m p σσσ+-=-=——静水压力Φ——定义为最大切应力)(max k =τ方向与坐标轴Ox 的夹角。
通常规定为Ox 轴正向为起始轴逆时针旋转构成的倾角Φ为正，顺时针旋转构成的倾角Φ为负（图8-1中所示Φ均为正）。
滑移线理论及应用
证明：设α、β线上任一点的曲率半径分别为R α 、R β ，由 曲率半径的定义知：
1/ R / S 和 1/ R / S ΔSβ沿弧S α的变化率为：
d (S ) dS
d (R ) dS
R S
R
S
根据汉盖第一定理有，
d (S dS
)
R S
当曲线四边形单元趋近无限小时
tg
Am AB
沿β2线从点B→点C
pB 2kB pc 2kc
于是，得沿路径A→B→C和静水压力差
同理
PC PA 2k(A C 2B )
PC PA 2k(2D A C ) 由上两式可得
C B D A
同理
pC pB pD pA
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动点起、始 位置的另一族两条滑移线的曲率变化量（如dRβ）等于该点 所移动的路程（如dSα）。 1
线的方向。
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线数值计算方法的实质是：利用差分方程近似代 替滑移线的微分方程，计算出各结点的坐标位置，建立滑 移线场，然后利用汉盖应力方程计算各结点的平均应力p 和角。
根据滑移线场块的邻接情况，滑移线场的边值有三类。
1）特征线问题 这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移线
滑移线的曲率变化量（如dRβ ）等于该点所移动的路程（如dSα）； • 同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.5 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面，如平冲头压入半无限体工件（见
图 8-10a）。因为自由表面（设为 x 轴）上的法向应力（ n y 0 ）和切 应力（ k 0 ）。根据式（8-3），可知滑移线性边界点上的k 角和静水压力别
百科知识精选滑移线
基本信息英文名：slip line中文名：滑移线隶属：塑性力学定义：试样表面出现的线纹时间：二十世纪20年代至40年代间简介材料在屈服时，试样表面出现的线纹称为滑移线。
滑移线理论是二十世纪20年代至40年代间,人们对金属塑性变形过程中,光滑试样表面出现"滑移带"现象经过力学分析,而逐步形成的一种图形绘制与数值计算相结合的求解平面塑性流动问题变形力学问题的理论方法.这里所谓"滑移线"是一个纯力学概念,它是塑性变形区内,最大剪切应力)等于材料屈服切应力(k)的轨迹线。
解释1、2节点相对位置判断构件接触碰撞点的轨迹称为滑移线.主节点所在的一侧称为主线主线上相邻节点之间的线段称为主段。
2、在塑性状态平面应变问题中,平面上每一点都存在两个相交的剪切破坏面,把各点的剪切破坏面连接起来,就可以得到两族相互正交曲线α和β,即称为滑移线。
3、0前言在塑性状态平面应变问题中,平面上每一点都存在两个相交的剪切破坏面,把各点的剪切破坏面连接起来,就可以得到两族相互正交曲线α和β,即称为滑移线.滑移线法按照其性质和边界条件,求出塑性区的应力和位移速度的分布,最后求出极限荷载。
4、滑移带晶体材料的滑移面与晶体表面的交线称为滑移线,滑移部分的晶体与晶体表面形成的台阶称为滑移台阶.由这些数目不等的滑移线或滑移台阶组成的条带称为滑移带。
5、塑料变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线.由于最大剪应力成对正交因此滑移线在变形体内成两族互相正交的线网组成所谓滑移线场。
6、这样的两组曲线在X、Y平面上形成一个曲线网称为滑移线.当物体处于屈服状态时,各点的最大剪应力达到K值,塑性变形就沿着这些曲线进行滑移。
滑移线理论及应用PPT课件
a b cd const mab mdc const
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
17
在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如a 1和a 2线）与另 一族（例如β族）的任一条滑移线（例如β1和β2线）的两个 交点上，其切线夹角△ω与平均应力的变化△σm 均保持常数， 如下图所示:
对于图中的节点(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)有：
点P1，平面塑性变形时，
最大切应力成对出现，并
相交。
6
三、滑移线和ω 角规定
α 与β 滑移线规定
设α 与β 线构成右手坐标系，
设代数值最大的主应力σ1 作用线在第一与三象限，则：
α 线两侧最大切应力顺时针
方向。 β线两侧最大切应力逆
时针方向。
Hale Waihona Puke 或：σ1方向顺时针转45°得到α线
由σ1的方位线顺时针转45°到达的滑移线称α线，而由σ3线 的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β的方向
代入平面应变问题的微分平衡方程
x yx 0
x y
xy y 0
x y
11
m
x
2k c os2
x
sin2
y
0
m
x
2k s in2
x
cos2
y
0
取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和β轴。这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值a和β表示。当沿着a坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值β不变，当然沿着坐标轴β 从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。
将xy坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴x、 y分别与滑移线的切线x` 、y`重合。
工程弹塑性力学教学课件第十一章滑移线场理论
y S
0
p
2R
cos
x
sin
y
0
S
S
S
S
p* 2R C p* 2R C
（3）γ＝0和φ＝0代入(3.10)并积分可得:
（沿线） （沿线）
p* p cosx sin y R K (或 C)
S
(p
2R )
0
( p 2R ) 0
S
p 2R C （沿线） p 2R C （沿线）
4.滑移线基本性质
滑移线上的剪应力等于岩土的抗剪强度 两族滑移线间的夹角与屈服准则有关 对所有岩土材料,重力的存在不影响两族滑移线间 的夹角,但对其形状有影响。对c-φ型岩土材料,粘 聚力的存在不影响两族滑移线的形状和夹角。
4.滑移线基本性质…
（1）Henky第一定律：如果由一条滑移线 α1（或β1 ）转到另一条滑移线α2 （或β2）， 则沿任何一条β族 （或α族）的滑移线，α线 （或β线）的方向与x轴的夹角的变化值保持 常量。如图1，得：
RA )( p
A)
sin(
2 )( x p
x A
)
cos(
2 )(
yp
yA)
sin 2( pp pB ) (Rp RB )( p B ) sin( 2)(xp xB ) cos( 2)( yp yB )
yp
yA
tg
(
p
A 2
)( x p
xA )
yp
yB
tg
(
p
B 2
)( x p
自由表面上 n 0, n 0 。周界处处不 与滑移线方向相重合。自由表面附近的 应力场与自由表面的形状有关。如果自 由表面是平面，其影响区域将如图7-2.
第八章 滑移线理论及应用
和静水压力变化量Δp均保持不变；
(6)一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动 点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化 量(如dRβ)等于该点所移动的路程(如dSα)；
(7)同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
研究目的：寻找已知静水压力 p 和Φ角的点
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一 条滑移线移动时，过 该动点起、始位置的
另一族两条滑移线的
曲率变化量（如dRβ）
等于该点所移动的路
程（如dSα）
R 1 S
R 1 S
同族滑移线必然具有相同的曲率方向
滑移线的几何性质
(1)滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为 k的迹线，与主应力迹线相交成π/4角； (2)滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布
1 3
2
标轴Ox的夹角
1
xy
y -k p
x
Ⅱ
k sin 2 p k sin 2 k sin 2 p k sin 2
x m y m
k cos 2 k cos 2
xy
max k
2
B
yx
xy
p p cos x sin y 2k cos x sin y 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0
n k n
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线场绘制的数值计算方法
(6)一点沿某族任意一条滑移线移动时，过该动 点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变化 量(如dRβ)等于该点所移动的路程(如dSα)；
(7)同族滑移线必然有个相同的曲率方向。
§8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制
一、应力边界条件
研究目的：寻找已知静水压力 p 和Φ角的点
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一 条滑移线移动时，过 该动点起、始位置的
另一族两条滑移线的
曲率变化量（如dRβ）
等于该点所移动的路
程（如dSα）
R 1 S
R 1 S
同族滑移线必然具有相同的曲率方向
滑移线的几何性质
(1)滑移线为最大切应力等于材料屈服切应力为 k的迹线，与主应力迹线相交成π/4角； (2)滑移线场由两族彼此正交的滑移线构成，布
1 3
2
标轴Ox的夹角
1
xy
y -k p
x
Ⅱ
k sin 2 p k sin 2 k sin 2 p k sin 2
x m y m
k cos 2 k cos 2
xy
max k
2
B
yx
xy
p p cos x sin y 2k cos x sin y 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0 沿 线的微分方程 p 2k 0或 ( p 2k ) 0
n k n
二、滑移线场绘制的数值计算方法
滑移线场绘制的数值计算方法
(塑性成形力学)4滑移线场理论及应用
(滑移线为速度不连续线) 4. 切向速度不连续量沿速度不连续线是一常数。
存在速度不连续线的速端图：
两条速度不连续线相交于一点附近的速度不连续量的矢量和为零。
4.6滑移线场的绘制
建立变形区内滑移线场通常是一个相当复杂的问题。
在给定的应力边界条件下，作滑移线场的方法： 1. 积分滑移线的微分方程； 2. 图解法； 3. 数值积分法。
相关规定：
1. 使单元体产生顺时针转效果的剪应力方向为α线，反之为β线；（例题）
2. 分别以α线和β线构成一右手坐标系时的横轴和纵轴，则代数值最大的主应力
σ1的作用线在穿过原点条件下是在第Ⅰ和第Ⅲ象限内；（例题）
3. α线各点的切线与所取的x轴的夹角为φ，逆时针转为正，顺时针转为负。
y
右手坐标系： 姆指指向α线正方向 食指指向β线正方向 中指指向自己
不少的塑性加工过程，由于变形区域 沿某一方向(z轴方向)的尺寸较大， 沿该方向的相对变形量很小，可近似 认为是平面变形问题。 如：薄板轧制 矩形件压缩
莫尔圆 （应力圆）
单辉祖，“材料力学教程”， 国防工业出版社，1982
-p
k
4.1.2 基本假设
各向同性的理想刚－塑性材料 变形抗力为常数 忽略热应力和惯性力等
（①＋②）/2 （①－②）/4
① ②
式(4.25) 式(4.26)
式(4.27) 式(4.28)
4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤
4.5.1 应力边界条件 4.5.2 滑移线求解的一般步骤
4.5.1 应力边界条件
常见边界： 工件与工具接触表面：σ、τ 自由表面
单辉祖，“材料力学教程”，国防工 业出版社，1982，P208
图1.28 理想刚-塑性材料
存在速度不连续线的速端图：
两条速度不连续线相交于一点附近的速度不连续量的矢量和为零。
4.6滑移线场的绘制
建立变形区内滑移线场通常是一个相当复杂的问题。
在给定的应力边界条件下，作滑移线场的方法： 1. 积分滑移线的微分方程； 2. 图解法； 3. 数值积分法。
相关规定：
1. 使单元体产生顺时针转效果的剪应力方向为α线，反之为β线；（例题）
2. 分别以α线和β线构成一右手坐标系时的横轴和纵轴，则代数值最大的主应力
σ1的作用线在穿过原点条件下是在第Ⅰ和第Ⅲ象限内；（例题）
3. α线各点的切线与所取的x轴的夹角为φ，逆时针转为正，顺时针转为负。
y
右手坐标系： 姆指指向α线正方向 食指指向β线正方向 中指指向自己
不少的塑性加工过程，由于变形区域 沿某一方向(z轴方向)的尺寸较大， 沿该方向的相对变形量很小，可近似 认为是平面变形问题。 如：薄板轧制 矩形件压缩
莫尔圆 （应力圆）
单辉祖，“材料力学教程”， 国防工业出版社，1982
-p
k
4.1.2 基本假设
各向同性的理想刚－塑性材料 变形抗力为常数 忽略热应力和惯性力等
（①＋②）/2 （①－②）/4
① ②
式(4.25) 式(4.26)
式(4.27) 式(4.28)
4.5 滑移线场求解的应力边界条件和步骤
4.5.1 应力边界条件 4.5.2 滑移线求解的一般步骤
4.5.1 应力边界条件
常见边界： 工件与工具接触表面：σ、τ 自由表面
单辉祖，“材料力学教程”，国防工 业出版社，1982，P208
图1.28 理想刚-塑性材料
滑移线理论_弹塑性力学讲稿
R ` R R
R
"
S R S
B B`
S `
`
S
`
`
R `
A S
A`
R
`
证明：由于
1 R S 1 R S
（定义）
又可写为
R ` S R ` S
o
★ 屈服条件：（Mises）
（4-37）
化简后为
（4-38）
于是，在塑性区内主应力为
（4-39）
（4-40）
（4-41）
这就是说，在塑性区内任一点 的应力状态，可用静水压力 o 与
o
纯剪应力 两个分量来表示，
如图示。
o o
o o
o
★ 在不计体力的情况下，平衡方程为：
可解出
xm,m1 , ym,m1
（d) 重复计算可得出ABP范围内的塑性应力场。
(3) 第二边值问题（黎曼问题）
已知边界上某一点的两条正交的滑移线，其各点的、 已知，如图示： 求：区域AoBC内的塑性应力场。 步骤： （a) 分网，如图示 （b)求、，由汉基第 y B
(0,n) (o,2) (0,1) (m,0) (1,1) (m-1,n)
沿这两组滑移线分别有一一相
等的值和一一相等的值。而所有
也必相等，应力是均匀分布的，即称为均匀应力场。
例：图示直线边界上 n const, n 0 则
n k sin 2( ) 常数 p n k cos 2( ) 0
n
即
将上式代入（4-51（a)式得：
n k sin 2( ) n k cos 2( )
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σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ1 K σ3 σ3 K K β
0
β σm σ1 α
K β σm 0
σm K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）库仑摩擦接触表面:摩擦力为某一中间值的接触表面
σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向
π
4
σ3方向
K
σ1方向
K
α K
σ1 K
β σ1
π
K
判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
8. 2
汉基应力方程
汉基应力方程
σ m − 2kω = C1 → 沿α 线 σ m + 2 k ω = C 2 → 沿β 线
-----(9)
k ( k − p ) − ( −k ) = −2（ p = 2（ + ） k1 2
（5）、平冲头单位长度上的极限压力
π
π
+ ） 4 4
π
P = 2b × 1 × p = 2kb（2 + π）
3、用图解法和数值积分法建立滑移线场
建立滑移线场从已知的边界条件开始 已知两相交滑移线OA和OB，作出该两条滑移线所包围的塑性区 OACB内的滑移线场 （1）图解法：滑移线场的节点编号是用一有序数组（m，n）表 示，其中m为 线的序号 n为β 线的序号
第三：由一族直线与另一 族的曲线相互正交而构成 的，此种滑移线场称为一般 简单应力状态的滑移线场
第四，具有边界线的简单应力状态 的滑移线场。这种场的特点是直线滑 移线是边界线（曲线滑移线的渐屈线〕 的切线，曲线滑移线乃是边界线的渐 开线。
常见的滑移线场类型
直线滑移线场，两族直线 简单滑移线场，一直一曲 有心和无心扇形场 直线与简单滑移线场组合 正交曲线滑移线场
情况2：
⎧σ 3 = 0 ⎪σ − σ = 2 K ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 1 = 2 K ⎪σ m = K ⎩
π
4
σ3
无摩擦的接触表面
r=0
（2）无摩擦的接触表面 情况1：
0 β
π
4
α β σm σ1
⎧σ 3 = − p ⎪σ − σ = 2k ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 1 = 2k − p ⎪σ m = k − p ⎩
1 ⎫ ym,n − ym,n −1 = ( xm,n − xm,n −1 ) tan[ (ωm,n + ωm ,n −1 )] ⎪ ⎪ 2 ⎬ 1 ym,n − ym−1,n = −( xm,n − xm−1,n ) cot[ (ωm,n + ωm−1,n )]⎪ ⎪ ⎭ 2
解方程组得
1 1 ym−1,n − ym,n −1 + xm ,n −1 tan[ (ωm ,n + ωm,n −1 )] + xm−1,n cot[ (ωm,n + ωm−1,n )] 2 2 xm,n = − 1 1 tan[ (ωm,n + ωm,n −1 )] + cot[ (ωm ,n + ωm−1,n )] 2 2 1 ym ,n = ym,n −1 + ( xm ,n − xm,n −1 ) tan[ (ωm,n + ωm,n −1 )] 2
0 < τ xy < K
1 −1 τ xy ω = ± cos 2 K
τ = τ xy
0
σy
ω
α
r
β
y
σy
σm
K
β
τ xy
σm β
K
σ3
2ω
σ1
τ xy
0
σ
σx
τ xy
K K
τ xy
σx
α
x a
σm
σx
σm
σm
σy
τ xy
a)
b)
摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线
8. 5 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
由此可见，滑移线弯曲得越厉害，静水压力变化得就越剧烈。
性质２：在已知的滑移线场内，只要知道一点的静 水压力，即可求出场内任意一点的平均应力，从而 可以计算出各点的应力分量。
由于滑移线已知，即已知滑移线上各点的夹 σa 角 ，如又知道 ，那么 σ b , σ c , σ d 可以求出。 由此可见，如果正确地绘出了滑移线场，又知 道了场内一点的静水压力，那么全部区域内的静水 压力问题都解决了。
将无限接近的剪应力方向连接起来，即到两族正交曲线，称为滑移线，其中沿第 一剪切方向所得的滑移线称为 α族，沿第二剪切方向所得的滑移线称为 β 族。
第一主方向顺时针转45所得的滑移线为 β 线，线两旁的最大剪应力组成 逆时针方向
β
第一主方向顺时针转45所得的滑移线为α 线，线两旁的最大剪应力组成 逆时针方向
第8章 滑移线法
主要内容
8. 8. 8. 8. 8. 1 2 3 4 5 滑移线场的基本概念 汉基应力方程 滑移线场的几何性质 应力边界条件 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
8. 1 滑移线场的基本概念
处于塑性平面应变下，设Z轴方向的应变为零。则塑性变形体内 一点P的应力状态可用塑性流动平面内平面应力单元体表示。
C1、C2在同一条滑移线上为常数
α
σ ma − σ mb = ±2k (ωa − ωb )
正号用于α 线，负号 β线
若采用静水压力，为： 则汉基应力方程为：
pm + 2kω = C1 → 沿α 线
注： (1) 由此方程可知，在塑性区内，沿任意一滑移线上，Ｃ1或Ｃ2为一 常数，它们的数值可以根据边界条件定出； (2) 如果利用滑移线网络的特性绘出滑移线场，那么就可以解出塑性 区内任意一点的 σ m 值，从而求出任意一点的 σ x , σ y ,τ xy 。 (3) 从族滑移线中的一条滑移线转至另一条时，一般来说，Ｃｌ会改 变。同样，从族滑移线中的一条滑移线转至另一条时，Ｃ2也会改 变。
⎧σ 1 = 0 ⎪σ − σ = 2k 3 ⎪ 1 ⎪ ⎨σ 3 = −2k ⎪σ = (σ + σ ) / 2 = − k 1 3 ⎪ md ⎪θ d = −π / 4 ⎩
（4）、代入汉基应力方程 因CD是β族滑移线，由汉基定理：
σ c − σ d = −2k (θc − θ d ) = −2kθcd
α
dy Δy = = tgω, dx Δx dy Δy = = cot ω, dx Δx
(沿α 线) (沿β 线)
-----(8)
以弦代替圆弧，取 弦的斜率等于端点 斜率的平均值。 由汉基第一定理得
ωm ,n − ωm −1,n = ωm ,n −1 − ωm −1,n −1
ωm ,n = ωm −1,n + ωm ,n −1 − ωm −1,n −1
正交对数螺线
正交圆摆线
等半径圆弧
自由表面或均布法向应力
粗糙平行刚性板压缩
8. 4
应力边界条件
塑性加工问题的应力边界条件，有四种情况： （1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面， 如平冲头压入半无限体工件:
情况1：
⎧σ 1 = 0 ⎪σ − σ = 2 K ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 3 = −2 K ⎪σ m = − K ⎩
-----(1)
τ
τxy
σy （σm,+K） y τyx
π
4
σ3 σm +K σy
σ1 σ
P
τxy 0 -K
ω
τyx
σ1
K
x σx σ2= σm
2ω （σm,-K）
σm
σ1的作用线
σx
x
塑性平面应变状态下一点的应力 状态、应力莫尔圆及物理平面
σx −σ y tan 2ω = − 2τ xy
-----(2)
pma − pmb = ±2k (ωa − ωb ) 负号用于α 线，正号 β线
pm − 2kω = C 2 → 沿β 线
8. 3 滑移线场的几何性质
性质１：在同一条滑移线上，由点ａ 到点ｂ，平均应力的变化与滑移线 的切线的转角成正比。
σ a − 2kϕa = σ b − 2kϕb σ a − σ b = 2k (ϕa − ϕb ) Δσ = 2k Δϕ
σm σ1
σ3 K K
情况2：
⎧σ 1 = p ⎪σ − σ = 2k σm K K ⎪ 1 3 σ3 ⎨ ⎪σ 3 = 2k + p ⎪σ m = k + p 无摩擦接触表面处的滑移线 ⎩
0
代数值最大的 主应力σ1的作用线
σm α
（3）粘着摩擦接触表面 τ xy = ± K 高温塑性加工且无润滑时，如热挤压、热轧和热锻等，工件与工具间 易出现全粘着现象，以致接触表面上的摩擦应力为最大。 一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
1 (σ 1 − σ 3 ) = k 2 1 (σ 1 + σ 3 ) = σ m 2
z σz= σm= σ2
σm +K
σy
σ1 τyx -K
σ1作用线
τσm xy
σx σ3
0 σx x
σy ττyx xy y
P
σ1 = σ m + k σ2 =σm σ3 = σm − k
σ x = σ m − k sin 2ω σ y = σ m + k sin 2ω τ xy = k cos 2ω
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ1 K σ3 σ3 K K β
0
β σm σ1 α
K β σm 0
σm K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）库仑摩擦接触表面:摩擦力为某一中间值的接触表面
σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向
π
4
σ3方向
K
σ1方向
K
α K
σ1 K
β σ1
π
K
判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
8. 2
汉基应力方程
汉基应力方程
σ m − 2kω = C1 → 沿α 线 σ m + 2 k ω = C 2 → 沿β 线
-----(9)
k ( k − p ) − ( −k ) = −2（ p = 2（ + ） k1 2
（5）、平冲头单位长度上的极限压力
π
π
+ ） 4 4
π
P = 2b × 1 × p = 2kb（2 + π）
3、用图解法和数值积分法建立滑移线场
建立滑移线场从已知的边界条件开始 已知两相交滑移线OA和OB，作出该两条滑移线所包围的塑性区 OACB内的滑移线场 （1）图解法：滑移线场的节点编号是用一有序数组（m，n）表 示，其中m为 线的序号 n为β 线的序号
第三：由一族直线与另一 族的曲线相互正交而构成 的，此种滑移线场称为一般 简单应力状态的滑移线场
第四，具有边界线的简单应力状态 的滑移线场。这种场的特点是直线滑 移线是边界线（曲线滑移线的渐屈线〕 的切线，曲线滑移线乃是边界线的渐 开线。
常见的滑移线场类型
直线滑移线场，两族直线 简单滑移线场，一直一曲 有心和无心扇形场 直线与简单滑移线场组合 正交曲线滑移线场
情况2：
⎧σ 3 = 0 ⎪σ − σ = 2 K ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 1 = 2 K ⎪σ m = K ⎩
π
4
σ3
无摩擦的接触表面
r=0
（2）无摩擦的接触表面 情况1：
0 β
π
4
α β σm σ1
⎧σ 3 = − p ⎪σ − σ = 2k ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 1 = 2k − p ⎪σ m = k − p ⎩
1 ⎫ ym,n − ym,n −1 = ( xm,n − xm,n −1 ) tan[ (ωm,n + ωm ,n −1 )] ⎪ ⎪ 2 ⎬ 1 ym,n − ym−1,n = −( xm,n − xm−1,n ) cot[ (ωm,n + ωm−1,n )]⎪ ⎪ ⎭ 2
解方程组得
1 1 ym−1,n − ym,n −1 + xm ,n −1 tan[ (ωm ,n + ωm,n −1 )] + xm−1,n cot[ (ωm,n + ωm−1,n )] 2 2 xm,n = − 1 1 tan[ (ωm,n + ωm,n −1 )] + cot[ (ωm ,n + ωm−1,n )] 2 2 1 ym ,n = ym,n −1 + ( xm ,n − xm,n −1 ) tan[ (ωm,n + ωm,n −1 )] 2
0 < τ xy < K
1 −1 τ xy ω = ± cos 2 K
τ = τ xy
0
σy
ω
α
r
β
y
σy
σm
K
β
τ xy
σm β
K
σ3
2ω
σ1
τ xy
0
σ
σx
τ xy
K K
τ xy
σx
α
x a
σm
σx
σm
σm
σy
τ xy
a)
b)
摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线
8. 5 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
由此可见，滑移线弯曲得越厉害，静水压力变化得就越剧烈。
性质２：在已知的滑移线场内，只要知道一点的静 水压力，即可求出场内任意一点的平均应力，从而 可以计算出各点的应力分量。
由于滑移线已知，即已知滑移线上各点的夹 σa 角 ，如又知道 ，那么 σ b , σ c , σ d 可以求出。 由此可见，如果正确地绘出了滑移线场，又知 道了场内一点的静水压力，那么全部区域内的静水 压力问题都解决了。
将无限接近的剪应力方向连接起来，即到两族正交曲线，称为滑移线，其中沿第 一剪切方向所得的滑移线称为 α族，沿第二剪切方向所得的滑移线称为 β 族。
第一主方向顺时针转45所得的滑移线为 β 线，线两旁的最大剪应力组成 逆时针方向
β
第一主方向顺时针转45所得的滑移线为α 线，线两旁的最大剪应力组成 逆时针方向
第8章 滑移线法
主要内容
8. 8. 8. 8. 8. 1 2 3 4 5 滑移线场的基本概念 汉基应力方程 滑移线场的几何性质 应力边界条件 三角形均匀场与简单扇形场组合问题及实例
8. 1 滑移线场的基本概念
处于塑性平面应变下，设Z轴方向的应变为零。则塑性变形体内 一点P的应力状态可用塑性流动平面内平面应力单元体表示。
C1、C2在同一条滑移线上为常数
α
σ ma − σ mb = ±2k (ωa − ωb )
正号用于α 线，负号 β线
若采用静水压力，为： 则汉基应力方程为：
pm + 2kω = C1 → 沿α 线
注： (1) 由此方程可知，在塑性区内，沿任意一滑移线上，Ｃ1或Ｃ2为一 常数，它们的数值可以根据边界条件定出； (2) 如果利用滑移线网络的特性绘出滑移线场，那么就可以解出塑性 区内任意一点的 σ m 值，从而求出任意一点的 σ x , σ y ,τ xy 。 (3) 从族滑移线中的一条滑移线转至另一条时，一般来说，Ｃｌ会改 变。同样，从族滑移线中的一条滑移线转至另一条时，Ｃ2也会改 变。
⎧σ 1 = 0 ⎪σ − σ = 2k 3 ⎪ 1 ⎪ ⎨σ 3 = −2k ⎪σ = (σ + σ ) / 2 = − k 1 3 ⎪ md ⎪θ d = −π / 4 ⎩
（4）、代入汉基应力方程 因CD是β族滑移线，由汉基定理：
σ c − σ d = −2k (θc − θ d ) = −2kθcd
α
dy Δy = = tgω, dx Δx dy Δy = = cot ω, dx Δx
(沿α 线) (沿β 线)
-----(8)
以弦代替圆弧，取 弦的斜率等于端点 斜率的平均值。 由汉基第一定理得
ωm ,n − ωm −1,n = ωm ,n −1 − ωm −1,n −1
ωm ,n = ωm −1,n + ωm ,n −1 − ωm −1,n −1
正交对数螺线
正交圆摆线
等半径圆弧
自由表面或均布法向应力
粗糙平行刚性板压缩
8. 4
应力边界条件
塑性加工问题的应力边界条件，有四种情况： （1）自由表面 塑性加工时塑性区可能扩展到自由表面， 如平冲头压入半无限体工件:
情况1：
⎧σ 1 = 0 ⎪σ − σ = 2 K ⎪ 1 3 ⎨ ⎪σ 3 = −2 K ⎪σ m = − K ⎩
-----(1)
τ
τxy
σy （σm,+K） y τyx
π
4
σ3 σm +K σy
σ1 σ
P
τxy 0 -K
ω
τyx
σ1
K
x σx σ2= σm
2ω （σm,-K）
σm
σ1的作用线
σx
x
塑性平面应变状态下一点的应力 状态、应力莫尔圆及物理平面
σx −σ y tan 2ω = − 2τ xy
-----(2)
pma − pmb = ±2k (ωa − ωb ) 负号用于α 线，正号 β线
pm − 2kω = C 2 → 沿β 线
8. 3 滑移线场的几何性质
性质１：在同一条滑移线上，由点ａ 到点ｂ，平均应力的变化与滑移线 的切线的转角成正比。
σ a − 2kϕa = σ b − 2kϕb σ a − σ b = 2k (ϕa − ϕb ) Δσ = 2k Δϕ
σm σ1
σ3 K K
情况2：
⎧σ 1 = p ⎪σ − σ = 2k σm K K ⎪ 1 3 σ3 ⎨ ⎪σ 3 = 2k + p ⎪σ m = k + p 无摩擦接触表面处的滑移线 ⎩
0
代数值最大的 主应力σ1的作用线
σm α
（3）粘着摩擦接触表面 τ xy = ± K 高温塑性加工且无润滑时，如热挤压、热轧和热锻等，工件与工具间 易出现全粘着现象，以致接触表面上的摩擦应力为最大。 一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
1 (σ 1 − σ 3 ) = k 2 1 (σ 1 + σ 3 ) = σ m 2
z σz= σm= σ2
σm +K
σy
σ1 τyx -K
σ1作用线
τσm xy
σx σ3
0 σx x
σy ττyx xy y
P
σ1 = σ m + k σ2 =σm σ3 = σm − k
σ x = σ m − k sin 2ω σ y = σ m + k sin 2ω τ xy = k cos 2ω