相似三角形典型模型及例题

1:相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型

(一)A字型、反Ａ字型(斜A字型）

B

ﻩ（平行）(不平行)

（二）8字型、反8字型

B

C

B

C（蝴蝶型）

(平行）

(不平行)

(三)母子型

B

(四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形）或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:

(五）一线三直角型：

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例,三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景,或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角,几种常见的基本图形如下:

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似,

这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

(

六）双垂型：

C

A

D

二:相似三角形判定的变化模型

旋转型：由Ａ字型旋转得到8字型拓展

C

B E

D

A

共享性

一线三等角的变形

G

A

B C

E F

一线三直角的变形

２:相似三角形典型例题

(１）母子型相似三角形

例１：如图,梯形AＢCD中,AD∥ＢC，对角线AC、BＤ交于点O，BE∥CD交ＣA延长线于E．求证：OE

OA

OC⋅

=

2．

例２：已知：如图,△ABC中,点E在中线AD上, ABC

DEB∠

=

∠.

求证:（1)DA

DE

DB⋅

=

2; （2)DAC

DCE∠

=

∠.

例３：已知:如图,等腰△ＡBC中，AB＝AＣ,AＤ⊥ＢC于Ｄ，CＧ∥AＢ,BG分别交AＤ、AＣ于E、Ｆ. 求证：EG

EF

BE⋅

=

2．

１、如图,已知ＡD为△AＢC的角平分线，EF为ＡD的垂直平分线．求证:FC

FB

FD⋅

=

2.

A C

D

E

B

２、已知:ＡＤ是Rt △A ＢＣ中∠A 的平分线,∠C=９0°,EF 是A Ｄ的垂直平分线交A Ｄ于M,EF 、BC 的延长线交于一点N 。求证：(1）△AME ∽△N ＭD; （2)ND 2

=NC·

NB

３、已知：如图，在△ＡBC 中，∠ACB=90°,CD ⊥ＡB 于D,E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。 求证:ＥB·DF=AE·D Ｂ

4.在∆ABC 中，A Ｂ=AC ，高AD 与BE 交于H,EF BC ⊥，垂足为F,延长AD 到G ，使DG ＝ＥＦ,M 是AH 的中点。 求证:∠=︒GBM 90

G

M

F E

H

D

C

A

5 已知：如图,在Ｒｔ△ＡＢC 中，∠C ＝9０°,ＢC =２，ＡC =４,P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ,交边AC 于点D （点Ｄ与点A 、C 都不重合)，E 是射线DC 上一点,且∠ＥPD =∠Ａ.设A 、Ｐ两点的距离为x ,△ＢＥP 的面积为y .（１）求证：AE =2PE ;

（2)求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域; (3）当△BEP 与△ABC 相似时,求△BEP 的面积．

(2）双垂型

1、如图,在△AB Ｃ中，∠A ＝60°，BD 、CE 分别是AC 、A Ｂ上的高 求证：（１)△ＡBD ∽△ＡCE;（2)△AD Ｅ∽△AB Ｃ；(3)BC=２ＥD

2、如图，已知锐角△ABC,AD 、C Ｅ分别是B Ｃ、AB 边上的高,△ABC 和△BDE 的面积分别是２7和３，ＤE ＝62,求:点B 到直线AC 的距离。

C

（3)共享型相似三角形

１、△A ＢＣ是等边三角形，DBCE 在一条直线上,∠D ＡＥ=1２0°,已知BD ＝1，CE=3，求等边三角形的边长．

２、已知：如图，在Ｒｔ△AB Ｃ中，AB =AC ,∠DAE =45°.

求证:（1）△ABE ∽△AC Ｄ; (2）CD BE BC ⋅=22．

C

(4）一线三等角型相似三角形

例1：如图,等边△ABC 中，边长为6，D 是B Ｃ上动点，∠ED Ｆ=60° (１）求证:△B ＤE ∽△CF Ｄ (2）当B Ｄ=1,FC =３时,求BE

例2：（1)在ABC ∆中,5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在射线CB 、AC 上(点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.

①若点P 在线段CB 上(如图)，且6=BP ，求线段CQ 的长;

②若x BP =,y CQ =,求y 与x 之间的函数关系式,并写出函数的定义域；

（2）正方形ABCD 的边长为5(如下图）,点P 、Q 分别在直线．．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合),且保持︒=∠90APQ ．当1=CQ 时，求出线段BP 的长.

例3:已知在梯形ＡBC Ｄ中，AD ∥ＢＣ，AD

①求证；△ＡＢP ∽△ＤＰC ②求A Ｐ的长．

（2）如果点Ｐ在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合）,且满足∠B ＰE ＝∠A ，PE 交直线B Ｃ于点E ,同时交直线DC 于点Ｑ，那么

①当点Q 在DC 的延长线上时，设ＡP =x ,ＣＱ=y ,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域; ②当C Ｅ=1时，写出AP 的长．

A

B

C P

Q

A

B C

D

C

A

D

B

E

F

A

B C

D

A

B

C