八年级数学一元二次方程的解法
八年级数学下册 一元二次方程的解法例题选优秀文档
变式：用因式分解法解下列方程：
（1）x2=-4x；
（2）x+3-x(x+3)=0；
（3）9y2-6y+1=0； （4）(3x-4)2=4(x-2)2.
答案：（1）x1=0，x2=-4
（3）y1=y2=
1 3
（4）x1=0，x2=
8 5
（2）x1=-3，x2=1
整体换元思想在解一元二次方程中的应用
x1＞0，-4＜x2＜-1，故可令x1=5，x2=-2，代入
整理，得(x-5)(x+2)=0，即x2-3x-10=0
（答案不唯一）.
注意点：由(x-x1)(x-x2)=0可得x=x1或x=x2，因 此给定x1和x2的值可构造一元二次方程 (x-x1)(x-x2)=0.
例 方程(x+1)(x-2)=x+1的解是（ ）
第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法（第1课时）
用因式分解法解一元二次方程
例1 用因式分解法解下列方程： （1）x2-2x=0； （2）x(x+3)=2(x+3分析：方程（1）的右边为零，左边提取公因式 即可；方程（2）将右边的式子移到左边，然后
得(x-2)(x+3)=0.
1
2
可得出要求的方程. 法，可将方程写为(x-x1)(x-x2)=0的形式，
分析：方程（1）的右边为零，左边提取公因式
注意点：整体换元思想方法是初中数学中的一种重
-分5移解到因左式边，解，得得(A：到+2左)2边=设0是. 完该全平方方式.程为(x-x1)(x-x2)=0，由题意知
例2 解方程：(x-3)2+4(x-3)=-4.
分析：方程中的（x-3）可以看成整体A，则这个 方程可以变成A2+4A+4=0的形式，这样可用完全平 方公式分解因式得(A+2)2=0，即A=-2，从而求得x 的值.
八年级数学一元二次方程的解法
２） x2=x 解：x2-x=0
x(x-1)=0 x=0 或 x-1=0
∴ x1=0 x2=1
２) x2=x 解：把方程两边同除x,
得 x=1 大家讨论一下，这样解方程是否
正确？为什么？
答案：不正确 因为方程两边同除x,就把
x=0这个解丢失了．因此，方程 的两边不能除以含有未知数的 整式，否则会失根．
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号）
ax2=-c
x2=-
c a
(a*c<0)
我们用直接开平方法求解．
当a*c>0时，此时原方程没有
实数解（根）．
形如 ax2+bx=0 (a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或 ax+b=0
x1=0
x2=-
b a
作业： Ｐ46 5
；/ 杏耀代理 ；
一元二次方程的解法
主 讲
一元二次方程的解法
1) 直接开平方法
2) 配方法
3) 公式法
4) 因式分解法
例 x2-16=0 x2-16=0
解: (x-4)(x+4)=0 我们知道０的一个特性，０与 任何数相乘都等于０． 如果两个数相乘积等于０，那么 这两个数中至少有一个为０．
所以上式可转化为
x-4=0 或 x+4=0
x1=4
x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
这样将一元二次方程转化为两个一
元一次方程来求解的方法叫做因式
分解法．
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0
因此 ，有 x-2=0 或 x-3=0
浙教版数学八年级下册_学习要点：一元二次方程的解法
学习要点： 一元二次方程的解法1、因式分解法解方程对于一般形式的一元二次方程)0(0ax 2≠=++a c bx 来说，若其左端能够进行因式分解成（ax 1+b 1）(a 2x+b 2)=0,则根据乘法中一个数同零相乘积是零的性质，可知ax 1+b 1=0或a 2x+b 2=0，进而求出方程的解，这种方法叫做因式分解法.步骤：(1)若方程的两边不是为0，则先移项，使方程的右边为0，(2)将方程的左边因式分解(3)根据若（ax 1+b 1）(a 2x+b 2)=0，则ax 1+b 1=0或a 2x+b 2=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.2、利用因式分解法解一元二次方程的常用方法：（1）提公因式法.（2）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解（3）十字相乘法【例】求x 2-7x+6=0的解.3、利用直接开平方法解形如(ax+b)2=c(c ≥0)的一元二次方程（1）形如x 2=a(a ≥0),(x-a)2=b(b ≥0)等的一元二次方程，都可以用直接开平方法求得方程的解.（2）对于可用直接开平方法来解得一元二次方程，一定要注意方程有两个解，若x 2=a(a ≥0)，则x=±a ；若(x-a)2=b(b ≥0)，则x=a +±b4、配方法：把一个一元二次方程配成(x-a)2=b(b ≥0)的形式，来解一元二次方程的方法叫做配方法.（1）配方法是以完全平方公式222)(2a b a b ab ±=+±和直接开平方法为依据，将方程加以变形，从而获得其解的一种方法，这种方法适合任何解一元二次方程的问题，同时也为解二次函数打下基础.（2）要点：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方.（3）步骤：1)化二次项系数为1；2)移项，是方程左边为二次项和一次项，右边是常数项；3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；4)右边变为()2m x +，右边是一个常数；5)利用直接开平方法求得方程的解.5、公式法一般地，对于形式是0ax 2=++c bx （a ≠0），当04b 2≥-ac 时，它的根可由式子）（04b 24x 22≥--±-=ac aac b b 得到，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的解法叫做公式法.求根公式是用配方法得出来的，过程省略.6、利用公式法解一元二次方程的步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式(2)确定a,b,c 的值(3)求出ac 4b 2-的值(4)若04b 2≥-ac ，则代入公式，求出原方程的根，若ac 4b 2-<0，则方程无解.[例] 用公式法解方程013x 32=--x 和 047x 22=-+x7、一元二次方程根的判别式(1)在推导一元二次方程求根公式的过程中，当04b 2≥-ac 时，22244)2(aac b a b x -=+的两边才能直接开平方，这里的ac 4b 2-叫做一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）的根的判别式.(2)一般地，常用字母∆表示ac 4b 2-，即∆=ac 4b 2-(3)在实数范围内，一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）根由系数a,b,c 确定，它的根的情况由∆=ac 4b 2-确定.1当∆=ac 4b 2->0时，方程有两个不相等的实数根.2当∆=ac 4b 2-=0时，方程有两个相等的实数根.3当∆=ac 4b 2-<0时，方程没有实数根.【探究】判断下列方程根的情况.(1)方程0232=--x x 的根的情况______________________;(2)方程2032=+x 的根的情况______________________;(3)方程01)12()(22=+---x m x m m 是关于未知数x 的方程，这个方程根的情况是______________________;8、一元二次方程的根与系数的关系若方程0ax 2=++c bx （a ≠0）有实数根，设这两个实数根分别是21,x x ，由求根公式得）（04b 24x 22≥--±-=ac aac b b ， 即a ac b b 24x 21-+-=,aac b b 24x 22---=. 所以+-+-=+a ac b b x 24x 221aac b b 242---=a b a b -=-22，•-+-=a ac b b x 24x 221aac b b 242---=.442a c a ac = 即对于一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）来说，若21,x x 是一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）的两个根，则21x x += a b -， .x 21ac x = 例如：一元二次方程02732=+-x x 的两根为21,x x .则有21x x +=37，.32x 21=x 【例1】方程09822=-x 的解为__________________.【例2】(1)0132=-+x x 的解为____________________. (2) 2x(x+2)=-1的解为_________________________.【例3】 已知方程062=+-q x x 可以配方成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配方成（ ）A. ()52=-p xB. ()92=-p xC. ()922=+-p xD. ()522=+-p x【例4】若关于x 的一元二次方程（2a-1）x 2+(a+1)x+1=0的两个根相等，那么a 等于（ ）A.-1或-5B.-1或5C. 1或-5D. 1或5【例5】已知关于x 的方程x 2-(a+2)x+a-2b=0 的判别式等于0，且x=21是方程的根，则a+b 的值为_____________.【例6】如果x 2+x-1=0，那么代数式x 3+2x 2-7 的值为（ ）A.6B. 8C. -6D.-8【例7】下列方程中有实数根的是（ ）A.x 2+2x+3=0B.x 2+1=0C.x 2+3x+1=0D.111-=-x x x 【例8】已知关于x 的一元二次方程x 2-m=2x 有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是_______【例9】已知2-5是一元二次方程x 2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根式__________【例10】若关于x 的一元二次方程 有两个实数根x 1,x 2，且x 1x 2> x 1+x 2-4,则实数m 的取值范围是（ ） A.m > -35 B. m 21≤ C. m< -35 D. -35<m ≤ 21 【例11】关于x 的一元二次方程mx 2-(3m-1)x+2m-1=0，其根的判别式值为1，求m 的值及该方程的根.。
八年级数学下册一元二次方程的解法——因式分解法
解下列方程：
1、x 2x 1 0； 2 2、x 4x； 3、x 3 x x 3 0； 2 2 4、 2x 1 x 0
完成书P92练习：1，2，3
练一练
2用因式分解法解下列方程： （1）（x+2）（x-1）=0 （2）(2y+1)(y-3)=0 (3)x2-3x=0 (4)3x2=x (5)2(x-1)+x(x-1)=0 (6)4x(2x-1)=3(2x-1)
概念巩固
1.一元二次方程(x-1)(x-2)=0可化为两个一次 方程为 和 ，方程的根是 . 2.已知方程4x2-3x=0，下列说法正确的是（ ）
3 A.只有一个根x= 4
B.只有一个根x=0 C.有两个根x1=0,x2=
3 4
D.有两个根x1=0,x2=-
3 4
典型例题
3.方程（x+1）2=x+1的正确解法是（ ） A.化为x+1=1 B.化为（x+1）（x+1-1）=0 C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0Biblioteka 1、式子ab=0说明了什么？
a 0或b 0
初中数学八年级下册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 因式分解法 （第5课时）
1、你能用其它方法解方程x2－x = 0吗？ 另解：x2-x＝0， x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么 样的条件 ？ （1）方程的一边为0 （2）另一边能分解成两个一次因式的积
，x2=2
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
初中数学一元二次方程解法总结
初中数学一元二次方程解法总结一元二次方程解法总结一、引言初中数学中，一元二次方程是一个重要的内容，它的解法涉及了解析几何、代数方程及应用问题的解答等多个领域。
本文将总结一元二次方程的解法，包括求根公式法、配方法、图像法、因式分解法等，以帮助初中学生更好地掌握这一知识点。
二、求根公式法求根公式法是一种通用而简洁的解法，适用于任意一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以使用求根公式来求解。
求根公式为：x₁ = (-b + √(b²-4ac))/(2a)x₂ = (-b - √(b²-4ac))/(2a)三、配方法配方法是一种常用的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² +bx + c = 0，其中a≠0且b²-4ac不为完全平方数的方程，可以使用配方法来解决。
具体步骤如下：1. 将方程重新排列，以使得二次项系数为1。
2. 将方程两边加上一个适当的常数使其成为一个完全平方。
3. 通过完全平方公式求解新的二次方程。
4. 将求解得到的值代入原方程，验证是否为正确的解。
四、图像法图像法是一种直观且易于理解的解法，适用于通过图像来解决一元二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0的方程，可以通过作出二次函数的图像来求解。
具体步骤如下：1. 根据二次方程的系数a、b和c，确定二次函数的图像形状。
2. 在坐标系中画出二次函数的图像。
3. 根据图像与x轴的交点，求解方程的根。
五、因式分解法因式分解法是一种巧妙的解法，适用于一些特殊形式的二次方程。
对于形如ax² + bx + c = 0（其中a≠0）的方程，可以尝试通过因式分解来求解。
具体步骤如下：1. 将方程分解成二次因式的乘积形式。
2. 令每个因式等于零，求解得到方程的根。
3. 验证求得的根是否满足原方程。
六、实际应用一元二次方程在生活中有很多实际应用，比如求解质点运动问题、面积和体积最大最小问题等。
八年级秋季班-第5讲一般一元二次方程的解法及韦达定理
一般一元二次方程的解法及韦达定理内容分析利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用．经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫．知识结构模块一：一般一元二次方程的解法知识精讲1、配方法的步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数；②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x +m)2 =n 的形式；④当n ≥ 0 时，用直接开平方的方法解变形后的方程．2例题解析2、求根公式法的一般步骤①把一元二次方程化成一般形式ax 2 + bx + c = 0 （ a ≠ 0 ）； ②确定 a 、b 、c 的值；③求出b 2 - 4ac 的值（或代数式）；若b 2- 4ac ≥ 0 ，则把 a 、b 、c 及b 2- 4ac 的值代入求根公式 x = 2a ，求出 x 1 、x ；若b 2 - 4ac < 0 ，则方程无解．【例1】 填空：（1） x 2 - 1x + = (x -2b)2； （2） x 2-+ 21= (x - 25b 2)2 ；2（3） x 2 - x + = (x - )2；（4）4xa- += (2x - ) ． a 2【例2】 如果 x 2 + ax + 4 是一个完全平方式，那么a 的值可以是（）A ．4B ． -2C ．2 或-2D ．都不对【例3】 若 m < 0 且 x = 2 时，等式 x 2 - mx + m 2 - 7 = 0 成立，则m 值为．【例4】 如果一元二次方程有一个根为 1，那么这个方程可以是．【例5】 解下列方程(配方法)：（1） x 2 + 3x - 4 = 0 ；（2） 0.04x 2 + 0.4x +1 = 0 ；（3） 2x 2 + 4mx + m 2 = 0 ；（4） ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) ．-b b 2- 4ac【例6】解下列方程（求根公式法）：（1）x2 = 2(x -1) ；（2）0.2x2 - 0.1x =1；（3）x2 + 2(+1)x +2= 0 ；（4）x2 - 2mx +m2 -n2 = 0 ．33【例7】解下列关于x 的方程（用适当的方法）：（1）mx2 -nx -p = 0(m ≠ 0) ；（2）(x -5)(x -3) +x(x + 6) =145 ．【例8】用指定的方法解下列方程：（1）x2-12x=3（配方法）；（2）3(2x -1)2 = 75 （开平方）；（3）(1 - 2)x2= (1 + 2)x（因式分解）；（4）3x2+12x+7=0（公式法）．【例9】已知：(x2 + 2x + 1)0 =x2 - 2x - 2 ，求x 的值．【例10】 x 为何值时，代数式10x 2 - 21x + 9x 2 + 1的值等于零．【例11】 的例题：解方程 x 2 - | x | -2 = 0解：当 x ≥ 0 时，原方程化为 x 2 - x - 2 = 0 ，解得： x = 2 ，x = -1 （舍）12当 x < 0 时，原方程化为 x 2 + x - 2 = 0 ，解得： x = -2 ，x = 1 （舍）12∴原方程的根是 x 1 = 2 ，x 2 = -2请参照例题解方程 x 2 - | x - 1| -1 = 0 ．【例12】 解下列关于 x 的方程方程：（1） kx 2 + 2(k - 2)x + (k - 3) = 0 ；（2） (x - 5)(x + 3) + (x - 2)(x + 4) = 49 ；（3） 2x 2 + (3a - b )x - 2a 2 + 3ab - b 2 = 0 ．【例13】 已知： y = 2x 2 - 3x + 1，y = 4x 2 + 4x + 7 ，求 x 为何值时， y = y ．1212⎨【例14】解关于x 的一元二次方程x2 - 4 =x(mx - 3) ，其中m 是满足不等式⎧3m + 1 > 0的⎩3 - 2m > 0 整数．【例15】求关于x 的方程：5x2 + 5y2 + 8xy + 2 y - 2x + 2 = 0 的实数解．【例16】已知a +b -=-1c - 5 ，求a +b +c 的值．2【例17】已知a ，b ，c 是有理数，试证明关于x 的方程：x2- 2ax +a2-b2-c2+ 2bc = 0 的根也是有理数．【例18】已知关于x 的方程：x2 - 4(m -1)x + 3m2 - 2m + 4k = 0 ，当m 取任意有理数时，方程的根都是有理数，求k 的值或者是k 的取值范围．-b + b 2 - 4ac- b - b 2 - 4ac 51 2韦达定理：如果 x ，x 是一元二次方程 ax 2- bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个根,由解方程中的公式法得, x 1 =2a ，x 2 = 2a．那么可推得 x + x = - b ，x ⋅ x = c这是一元二次方程根与系数的关系．1 2a 1 2 a【例19】 若方程 x 2 - (m + 1)x + m = 0 有解，利用适当的方法解这两个根，分别是；若这两个根互为相反数则m 的值是；若两个根互为倒数，则 m 的值是．【例20】 如果 x ， x 是方程2x 2 + 3x - 6 = 0 的两个根，那么 x + x =；1212x 1 ⋅ x 2 =．【例21】 若方程： kx 2 - 9x + 8 = 0 的一个根为 1，则 k =；另一个根为 ．【例22】 写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是5 -23，5 + 3 ．2【例23】 已知-1 - 、 是关于 x 的方程ax 2 2 2+ bx + 1 = 0(a ≠ 0) 的两根，求 b 的值． 模块二：韦达定理知识精讲例题解析-1 + 5【例24】已知x ，x 是方程1x2 - 3x -3= 0 的两根，求下列各式的值：1 2 2 2（1）1+1；（2）x 2 -x 2 ；（3）x 2 +x 2 ；（4）| x -x | ．x1x2【例25】已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：2x2 - 8x + 7 = 0 两个根，求这个直角三角形的周长．【例26】已知方程：x2 - 4x +a = 0 的一个根大于3，另一个根小于3，求a 的取值范围．【例27】已知2m2 - 5m -1 = 0 ，n2 + 5n - 2 = 0.mn ≠ 1 ，求1+n 的值．m【例28】已知α，β是方程：x2-2x-4=0的两根，求代数式α3 +8 β+6 的值．1 2 1 2 1 2随堂检测【习题1】完成下列填空：（1）x2 - 2 2x + = (x - )2 ；（2）(2 y - )2 = +1 ；（3）3x2 + + 9 =3(x + )2 ．【习题2】完成下列填空：（1）对于方程3x2 = 2x ，用法解比较好，其根为；（2）对方程(2x -1)2 = 4 ，用法解比较好，其根为；（3）对方程2x2 - 3x - 6 = 0 ，用法解比较好，其根为．【习题3】已知x2 +ax +a - 2 = 0 的两根互为倒数，则a 的值为．【习题4】用指定的方法解下列方程：（1）ax2 -bx = 0(a ≠ 0) （因式分解）；（2）4x2 - 9a2 + 6a -1 = 0(a为已知数) （直接开平方）；（3）5x2+6x-9=0（配方法）；（4）3x2 - 2x - 4 = 0 （求根公式）．【习题5】用适当的方法解下列方程：（1）x2 -x = 1 ；（2）2(2x - 3)2 - 3(2x - 3) = 0 ；（3）3x2 - 2 6x + 2 = 0 ；（4）(3x + 5)2 - 5(3x + 5) + 4 = 0 ．【习题6】解关于x 方程：（1）x2 - 2ax +a2 =1；（2）x2 -px +q = 0 ．【习题7】如果9x2 - 6(n + 1)x +n2 + 5 是一个完全平方式，求n 的值．【习题8】用配方法说明：不论x 为何值，代数式x2 - 5x + 7 的值总大于 0，再求出当x 为何值时，代数式x2 - 5x + 7 有最小值，最小值是多少？1 2【习题9】已知关于x 的方程(m -1)x2 + (2m -1)x + 3 -m = 0(m为实数) 有两根x ，x ，其中x 1 > 0 ，x2< 0 且| x1|>| x2| ，求m 的取值范围．【习题10】解方程x | x | -3 | x | +2 = 0 ．【习题11】已知关于x 的方程(k -1)x2 -px +k = 0 有两个正整数根，求整数k 和p 的值．【习题12】已知实数a ≠b ，且满足(a + 1)2 = 3 - 3(a + 1) ，3(b + 1) = 3 - (b + 1)2 ，求1 2【作业1】 已知代数式3x 2 - 9x + m 是一个完全平方式，则m =．【作业2】 以下说法正确的有几个：（1）方程 x 2 = 0 ，有两个根；（2）方程 x 2 = 4x 两边同除以 x ，解得方程的解为 x = 4 ；（3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程(x - 1 )2 = -x 无解； 2（4）对于方程(x -1)2 = (x + 3)2 ，因为无论 x 取何值， x -1和 x + 3 都不可能相等，所以方程无解．【作业3】 如果 x ，x 是方程5x 2 - 7x + 5 = 0 的两根，求下列各式的值：（1） 1 + 1 ；（2） x 2 + x 2 ． x 1 x 2【作业4】 用适当的方法解下列方程：（1） x 2 = 49 ； （2） 3x 2 - 21x = 0 ；（3） 2x 2 - 3x - 5 = 0 ； （4） (x - 4)2 = 5(x - 4) ；（5） 3x 2 - 4x - 2 = 0 ； （6） ( y -1)2 + 5( y -1) + 4 = 0 ．课后作业1 2（1）4(x - 2)2 - (3x -1)2 = 0 ；（2）(3x -1)2 - 3(3x -1) + 2 = 0 ；（3）6x2 - 2x - 2 = 0 ；（4）12x2 - 20x -525 = 0 ．6【作业6】用适当的方法解下列关于x 方程：（1）x2 +2ax +a2 =1(a为已知常数) ；（2）x2 +ax - 2a2 = 0(a为已知常数) ；（3）-3x2 -xb + 2b2 = 0 ( b为已知常数) ．【作业7】若α，β是方程x2 +3x -17=0 的两个根，求α2 +2α-β的值．n m 的值．【作业9】 已知6m 2 - mn - 2n 2 = 0(n ≠ 0) ，求m 的值．n【作业10】 解关于 x 的方程5x 2 - | x | -3 = 0 ．【作业11】 已知方程 x 2 - 2x - 12= 0的两根是 α ，β ，设 C =α + β ， C =α 2 + β 2 ，．．．， 1 2 C =α n + β n （n 是正整数）．（1） 求C 3 的值；（2） 求证： C n +1 =2C n + 12C n -1 ．。
八年级数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计
八年级学生已经具备了一定的数学基础，对一元一次方程的解法有较为深入的理解。在此基础上，学习一元二次方程的解法，他们需要在原有的知识体系上进行拓展和深化。然而，学生在学习过程中可能会遇到以下困难：
1.对一元二次方程的一般形式及其解法理解不够透彻，容易混淆各种解法；
2.在运用配方法和因式分解法解题时，可能会出现操作不当、漏解等问题；
（五）总结归纳
1.对一元二次方程的解法进行系统总结，强调各种解法的适用条件和操作要点。
2.帮助学生建立知识框架，明确本节课的重点和难点。
3.鼓励学生课后进行自我反思，总结学习过程中的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。
4.教师对本节课的教学效果进行评估，及时调整教学策略，以提高教学质量。
五、作业布置
3.对求根公式的理解和应用不够熟练，难以将其与实际问题相结合；
4.部分学生对数学学习存在恐惧心理，面对复杂题目时容易产生畏难情绪。
针对以上学情，教师应采取以下措施：
1.注重启发式教学，引导学生主动发现问题和解决问题；
2.通过典型例题和练习题，帮助学生巩固基础知识，提高解题能力；
3.加强对学生的心理辅导，鼓励他们面对困难时保持积极心态，勇于尝试；
4.创设生动有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的解法，包括直接开平方法、配方法、因式分解法和求根公式。
2.难点：
-理解并掌握配方法将一元二次方程转化为完全平方形式的过程；
-正确运用因式分解法，特别是对一些特殊类型的方程进行分解；
2.养成良好的学习习惯，严谨、细致、有耐心，面对困难时勇于挑战、积极寻求解决方法；
初二数学一元二次方程的解法讲义
第3关 一元二次方程的解法（讲义部分）知识点1 解一元二次方程-公式法一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= （1）当2时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,2x =（2）当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bx a=- （3）当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ；②求出24b ac ∆=-，并判断方程解的情况；③代公式：1,2x =（要注意符号）.题型1 公式法【例1】用公式法解下列方程： （1）2325x x =-；（2）23412y y -=；（3）(1)(1)x x +-=． （4）(1)(3)64x x x ++=+；（5）21)0x x ++=； （6）2(21)0x m x m -++=．【解答】解：（1）3a =，5b =，2c =-224543(2)2524490b ac -=-⨯⨯-=+=>．x ==所以12x =-，213x =．（2）原方程变形为：23820y y --=． 3a =，8b =-，2c =-．224(8)43(2)642488b ac -=--⨯⨯-=+=．x ==．所以1x ，2x（3）原方程变形210x --=．1a =，b =-1c =-．224(41(1)84120b ac -=--⨯⨯-=+=>．所以x ==．故1x 2x =（4）去括号，移项方程化为一般式为：2210x x --=， 1a =，2b =-，1=-，224(2)41(1)8b ac ∴-=--⨯⨯-=1x ∴===，11x ∴=+，21x =-；（5）1a =，1)b =，c =2241)]4116b ac ∴-=-⨯⨯=，1)2x ∴===-±，13x ∴=，21x =；（6）1a =，(21)b m =-+，c m =， 2224[(21)]4141b ac m m m ∴-=-+-⨯⨯=+，x ∴=，1x ∴=，2x =．【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值．【例2】阅读下面的例题：阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法： 方法一：教材中方法 方法二：20ax bx c ++=，224440a x abx ac ∴++=，配方可得：22(2)4ax b b ac ∴+=-． 当240b ac -…时，2ax b +=2ax b ∴=-±．当240b ac -…时，x ∴=． 请回答下列问题：（1）两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？ （2）说说你有什么感想？ 【解答】解：（1）两种方法的本质是相同的，都运用了配方法．不同的是：第一种方法配方出现分式比较繁；两边开方时分子、分母都出现“±”，相除后为何只有分子上有“±”2a =．第二种方法，运用等式性质后，配方无上述问题，是对教材方法的再创新，所以第二 种方法好．（2）学习要勤于思考，敢于向传统挑战和创新．虽然教材是我们的学习之本，但不是圣经，不能照本宣科． 说明：其它感想，只要合理即可．【点评】本题主要告诉了学生求根公式法的推导过程． 知识点2 解一元二次方程-因式分解法（1）如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因 式中有个等于0 ，那么它们的积就等于0 . （2）通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解.（3）因式分解常用方法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧十字相乘平方差公式完全平方公式提公因式如：20(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 此类方程适合用提公因式，而且其中一个根为0.例如：290(3)(3)0x x x -=⇔+-=230(3)0x x x x -=⇔-=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x ---=⇔--=225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=题型2 因式分解法【例3】用因式分解法解下列方程： （1）2721x x =；（2）3(4)5(4)x x x -=-；（3）2(21)360x --=；（4）22(31)4(23)x x -=+；（5）27100x x -+=； （6）(3)(2)6x x -+=；（7）2(5)17(5)300x x ---+=；（8）2237x x +=． 【解答】解：（1）27210x x -=，7(3)0x x -=，70x =或30x -=， 所以10x =，23x =；（2）3(4)5(4)0x x x ---=，(4)(35)0x x --=，40x -=或350x -=，所以14x =，253x =；（3）(216)(216)0x x -+--=，2160x -+=或2160x --=，所以152x =，272x =； （4）22(31)4(23)0x x --+=，[312(23)][312(23)]0x x x x -++--+=， 312(23)0x x -++=或312(23)0x x --+=，所以157x =-，27x =-； （5）(2)(5)0x x --=，20x -=或50x -=， 所以12x =，25x =；（6）2120x x --=， (4)(3)0x x -+=，40x -=或30x +=， 所以14x =，23x =-；（7）(52)(515)0x x ----=，520x --=或5150x --=， 所以17x =，220x =；（8）22730x x -+=， (21)(3)0x x --=，210x -=或30x -=，所以112x =，23x =．【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式 分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到 两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解 一元一次方程的问题了（数学转化思想）．【例4】若2230x px q -+=的两根分别是3-与5，则多项式2246x px q -+可以分解为( ) A ．(3)(5)x x +- B ．(3)(5)x x -+ C ．2(3)(5)x x +- D ．2(3)(5)x x -+ 【解答】解：2230x px q -+=的两根分别是3-与5，222462(23)x px q x px p ∴-+=-+ 2(3)(5)x x =+-， 故选：C ．【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：根据方程的解分解因式是解此题的关键．知识点3 解一元二次方程-换元法1.解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．题型3 换元法【例5】已知2222()(2)80x y x y +++-=，求22x y +的值． 【解答】解：设22x y t +=，则原方程变形为(2)80t t +-=，整理得2280t t +-=， (4)(2)0t t ∴+-=，14t ∴=-，22t =，当4t =-时，则224x y +=-，无意义舍去， 当2t =时，则222x y +=． 所以22x y +的值为2．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：运用换元法，可使方程转化为简单的一元二次方程， 便于求方程的解．【例6】已知2222(2)()350a b a b +-+-=，1a b -=，求： （1）a b +； （2）ab ；（3）22b a a b+．【解答】解：2222(2)()350a b a b +-+-=，设22a b λ+=，22350λλ∴--=，解得：7λ=或5-（设去）．2222()2()27a b a b ab a b ab +=+-=-+=， 且1a b -=，3ab ∴=，a b +=， ∴（1）3a b +=±． （2）3ab =．（3）原式33b a a b+=+ 22()()a b a b ab ab++-===． 【点评】该题主要考查了换元法解一元二次方程、完全平方公式及其应用问题；解题的关键是首 先运用换元法来求22a b +的值；然后灵活运用完全平方公式来分析、判断、推理或解 答；对求解运算能力提出了一定的要求．【例7】解方程：222222(34)(276)(342)x x x x x x +-+-+=-+． 【解答】解：设234u x x =+-，2276v x x =-+，则2342u v x x +=-+．则原方程变为222()u v u v +=+，即22222u v u uv v +=++， 0uv ∴=，0u ∴=或0v =，即2340x x +-=或22760x x -+=． 解得123434,1,,22x x x x =-===； 【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题 进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一 个字母去代表它，实行等量替换．常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观． 知识点4 一元二次方程根的判别式利用一元二次方程根的判别式()ac b 42-=∆判断方程的根的情况． 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根与ac b 42-=∆有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立．题型4 一元二次方程根的判别式【例8】若关于x 的一元二次方程2(2)410a x x ---=有实数根，则a 的取值范围为( ) A ．2a -… B ．2a ≠ C ．2a >-且2a ≠ D ．2a -…且2a ≠【解答】解：由题意可知：△164(2)0a =+-…，2a ∴-…，20a -≠， 2a ∴≠，2a ∴-…且2a ≠， 故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于 基础题型．【例9】已知关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m +++-=． （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）在（1）的结论下，若m 取最小整数，求此时方程的两个根． 【解答】解：（1）由△22(21)4(1)0m m =+-->，解得：54m >-；（2）由（1）可知0m =， ∴原方程化为210x x +-=，x ∴=【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，属于基础题型．【例10】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两根1x 、2x 是某个等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为10，试求m 的值．【解答】（1）证明：△2224[(21)]4()10b ac m m m =-=-+-+=>∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：2112m x +±=， 1x m ∴=，21x m =+， 12x x ∴≠①若1x 为腰，2x 为底边，得3110m +=，3m =；②若2x 为腰，1x 为底边，得3210m +=，83m =；综上所述，3m =或83m =．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如下关系：当△0>时，方程有两个不相等的两个实数根；当△0=时，方程有两个相等 的两个实数根；当△0<时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．【例11】判断关于x 的方程2(21)30mx m x m +-++=的根的情况，并直接写出关于x 的方程2(21)30mx m x m +-++=的根及相应的m 的取值范围． 【解答】解：当0m =时，方程化为30x -+=，解得3x =；当0m ≠时，当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+>，解得116m <，方程的解为1x =，2x =；当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+=，解得116m =，方程的解为127x x ==；当△2(21)4(3)1610m m m m =--+=-+<，解得116m >，方程没有实数解．综上所述，当0m =时，3x =；当116m <且0m ≠，1x =，2x =116m =，127x x ==；当116m >，方程没有实数解． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与△24b ac =-有如 下关系：当△0>时，方程有两个不相等的实数根；当△0=时，方程有两个相等的实 数根；当△0<时，方程无实数根．第3关 一元二次方程的解法（题册部分）【课后练1】用公式法解下列方程： （1）22980x x -+=； （2）216830x x ++=； （3）22221x x x ++=；（4）23x +=． 【解答】解：（1）22980x x -+=，224(9)42817b ac -=--⨯⨯=，x =，1x =，2x =； （2）216830x x ++=，224841631280b ac -=-⨯⨯=-<， 所以此方程无解；（3）22221x x x ++=，22410x x +-=，224442(1)24b ac -=-⨯⨯-=，x ，1x ，2x =（4）23x +=，230x -+=，24(b ac -=-，241320-⨯⨯=，x =1x 2x =【课后练2】用因式分解法解下列方程： （1）2721x x =；（2）3(4)5(4)x x x -=-； （3）2(21)360x --=； （4）22(31)4(23)x x -=+； （5）27100x x -+=； （6）(3)(2)6x x -+=；（7）2(5)17(5)300x x ---+=； （8）2237x x +=．【解答】解：（1）27210x x -=，7(3)0x x -=，70x =或30x -=， 所以10x =，23x =；（2）3(4)5(4)0x x x ---=，(4)(35)0x x --=，40x -=或350x -=，所以14x =，253x =；（3）(216)(216)0x x -+--=，2160x -+=或2160x --=，所以152x =，272x =；（4）22(31)4(23)0x x --+=，[312(23)][312(23)]0x x x x -++--+=， 312(23)0x x -++=或312(23)0x x --+=，所以157x =-，27x =-；（5）(2)(5)0x x --=，20x -=或50x -=， 所以12x =，25x =；（6）2120x x --=， (4)(3)0x x -+=，40x -=或30x +=， 所以14x =，23x =-；（7）(52)(515)0x x ----=，520x --=或5150x --=， 所以17x =，220x =；（8）22730x x -+=， (21)(3)0x x --=，210x -=或30x -=，所以112x =，23x =．【课后练3】解下列方程（1）2(21)7x -=（直接开平方法） （2）22740x x --=（用配方法） （3）22103x x -=（公式法）（4）22(34)(34)x x -=-（因式分解法）（5）2426x +=（用换元法解） （6）222(21)230x x +--=（用换元法解） 【解答】解：（1）开平方，得21x -=，1x ∴=2x =； （2）移项，得 2274x x -=，化二次项的系数为1，得2722x x -=，配方，得274949221616x x -+=+， 2781()416x -=开平方，得7944x -=±， 14x ∴=，212x =-； （3）移项，得221030x x --=，2a ∴=，10b =-，3c =-， ∴△100241240=+=>，x ∴=，1x ∴，2x ； （4）移项，得22(34)(34)0x x ---=分解因式，得(3434)(3434)0x x x x -+---+=，10x ∴--=或770x -=， 11x ∴=-，21x =；（5）原方程变形为：2830x +=，设a ，将原方程变形为：230a a -=，移项，得2300a a --=，因式分解，得(5)(6)0a a +-=，50a ∴+=或60a -=，15a ∴=-（舍去），26a =，∴6=，解得：x =±经检验，x =±（6）原方程变形为：222(21)(21)20x x +-+-=，设221x a +=，则原方程变为：220a a --=，解得：11a =-，22a =， 当1a =-时，2211x +=-，△0<，原方程无解， 当2a =时， 2212x +=，11解得：x =【课后练4】阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程222()4()120x x x x +-+-=．【解答】解：（1）换元，降次（2）设2x x y +=，原方程可化为24120y y --=，解得16y =，22y =-．由26x x +=，得13x =-，22x =．由22x x +=-，得方程220x x ++=，2414270b ac -=-⨯=-<，此时方程无实根．所以原方程的解为13x =-，22x =．【课后练5】已知关于x 的一元二次方程2220x mx m --=．（1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；（2）若1x =是该方程的根，求代数式2425m m ++的值．【解答】解：（1）1a =，b m =，22c m =22224()41(2)9b ac m m m ∴-=-⨯⨯=，不论m 为何值，20m …，即290m …，240b ac ∴-…；∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根（2）因为1x =是2220x mx m --=的根所以2120m m --=，即221m m +=，所以224252(2)52157m m m m ++=++=⨯+=；【课后练6】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=求证：（1）方程总有两个不相等的实数根．（2）若等腰ABC ∆的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5．求ABC ∆的周长．【解答】（1）证明：△22(21)4()k k k =+-+10=>，所以方程总有两个不相等的实数根；（2）2112k x +±=， 所以11x k =+，2x k =，当15k +=，解得4k =，三角形三边为5、5、4，则三角形的周长为55414++=；当5k =，三角形三边为5、5、6，则三角形的周长为55616++=；综上所述，ABC ∆的周长为14或16．。
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