第四章 回顾与思考
第四章回顾与思考(自助餐)
人正则立 品正则兴 九年级数学自助餐 正己正物 兴德兴学1第四章回顾与思考【知识要点】1、折线统计图：为了较为直观地比较某两个统计量的变化速度，在绘制折线统计图时，两个图象中，坐标轴上同一单位长度表示的意义应一致.2、扇形统计图：在利用扇形统计图分析数据时，应注意扇形统计图只表示各部分在总体中所占的百分比，不能反应具体的数量.3、条形统计图：在绘制条形统计图时，为了使所绘统计图更为直观、清晰，纵轴上的数值应该从0开始.4、（1）n x x x x ,,,,321 的平均数，)(121n x x x nx +++=（2）加权平均数：如果n 个数据中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，……，k x 出现k f 次（这里n f f f k =+++ 21），则)(12211k k f x f x f x nx +++= 5、(1) 中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。
(2)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
一组数据的众数可能不止一个。
众数、中位数与平均数是从不同角度来描述一组数据的集中趋势。
6．极差:本组数据中最大与最小之差7、方差：（l ）n x x x x ,,,,321 的方差， nx x x x x x S n 222212)()()(-++-+-=（2）简化计算公式：2222212x nx x x S n-+++= （n x x x x ,,,,321 为较小的整数时用这个公式要比较方便）（3）标准差：方差（2S ）的算术平方根叫做标准差（S ）。
极差、方差和标准差都是用来衡量一组数据的波动大小，方差（或标准差）越大，说明这组数据的波动 。
7、实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点.8、评判游戏是否公平，关键看游戏双方获胜的可能性（概率）是否相等。
北师大版数学八年级下册第四章因式分解回顾与思考说课稿
在总结反馈阶段，我会采用“自我评价”和“教师反馈”的方式。首先，我会让学生自我评价他们的学习成果，反思他们在因式分解方面的优点和不足。然后，我会根据学生的表现和作业情况，提供有效的反馈和建议，帮助他们进一步提高。
（五）作业布置
课后作业的目的是让学生巩固所学知识，提高因式分解的能力。我会布置一些因式分解的题目，包括一些实际问题，让学生在课后进行练习。同时，我还会布置一些拓展性的题目，鼓励学生进行深入研究和思考，提高他们的数学思维能力。
（二）教学反思
在教学过程中，我预见到可能会遇到学生对因式分解概念理解不深和应用能力不足的问题。为此，我将提供更多的实例和练习，以及个别辅导，帮助学生克服困难。我还会密切关注学生的学习反馈，及时调整教学策略和方法。课后，我将通过学生的作业和考试成绩来评估教学效果。根据评估结果，我会反思教学过程中的不足，并制定具体的改进措施，如加强巩固练习的设计，提高学生的学习兴趣和动机。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备整式的乘法、方程的解法等前置知识。可能存在的学习障碍主要有：对因式分解的概念理解不深，对一些复杂的多项式因式分解方法选择不当，以及因式分解在实际问题中的应用等。因此，在教学过程中，需要针对这些障碍进行有针对性的讲解和练习，帮助学生克服困难，提高他们的因式分解能力。
（二）教学目标
1.知识与技能：使学生理解和掌握因式分解的定义和方法，能够运用提公因式法、公式法、十字相乘法等进行因式分解。
2.过程与方法：通过复习和练习，提高学生运用因式分解解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和自信心，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
（二）媒体资源
为了辅助教学，我计划使用PPT、网络资源和数学软件等媒体资源。PPT可以用于展示因式分解的方法和实例，网络资源可以用于提供更多的学习材料和练习题，数学软件可以用于帮助学生直观地理解因式分解的过程。这些媒体资源在教学中的作用是提供丰富的学习材料，增加学习的趣味性，帮助学生更好地理解和掌握因式分解的为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我计划采用“情境导入”的方式。在上课开始时，我会向学生提出一个问题：“如果你有50元钱，你想怎么花？”让学生思考和讨论。然后，我会引入因式分解的概念，解释因式分解可以帮助我们更好地理解和解决问题，就像我们如何合理地花掉50元钱一样。这样的导入方式能够激发学生的兴趣，让他们意识到因式分解的重要性。
第四章基础平面图形回顾与思考
4.角的度量
(1)角的度量单位是度、分、秒． (2)它们之间的关系是六十进制的，即1°＝60′， 1′＝60″. 5.方向角 借助角表示方向，通常以正北或正南为基准， 配以偏西或偏东的角度来描述方向．
四、角的比较 1.角的比较方法 (1)直接观察法；(2)度量法；(3)叠合法．
2.角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成 __两__个__相__等__的角，这条射线叫做这个角的平分线．
M
N
A
图4
B
C
• 例3如图5所示，已知∠AOB=60°,∠BOC=40° ，射线OE、
OF分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠EOF的度数。
C
F B
E
O
图5
A
提升训练
(1)如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分
∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数； 解：(1)因为OM平分∠AOC，
因为∠AOB＝α
所以∠MON= .
2
(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)， 其他条件不变，求∠MON的度数；
解：由(1)可知∠MON= 1 ∠AOB. 2
因为∠AOB＝90° 所以∠MON=45°
(4)从(1)，(2)，(3)的结果中能看出什么规律？
解： 分析(1)，(2)，(3)的结 果和(1)的解答过程可知：
图形
端点 个数
是否 可以 延伸
向一
一个
个 方向
延伸
向两
无
个 方向
延伸
是否 可以 度量
不能 度量
不能 度量
表示方法
表示 方法
射线 AB
备注
A，B
两点 有序， 端点 在前
初中数学_《第四章 三角形》回顾与思考教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——自我总结；第二环节：合作交流；第三环节：练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：评测练习；第六环节：作业第一环节课前准备活动内容：提前一天布置，让学生选择自己喜欢的方式梳理本章的知识,其中建议学生留出一个环节写出自己对本章的知识还有什么疑惑，或者可以写出在本章中留下印象最深刻的习题与大家分享和交流。
活动目的：由学生自己梳理本章的知识既可以锻炼学生自主学习的能力又可以调动学生学习的热情和兴趣，还可以加强学生在小组内活动交流的意识。
第二环节：合作交流活动内容：开课时由学生在小组内交流各自的知识总结，互相查缺补漏，先组内解决疑惑问题，小组长充分发挥组织能力，调动全组每一名学生参与。
然后选出一份全组最满意的一份总结做好全班交流展示的准备。
其它小组要主动与展示小组交流：可以纠正错误，补充不足，提出问题，表扬鼓励等。
活动目的：这个环节可以调动每个学生参与到课堂中来，真正做到让每个学生都成为课堂的主人。
第三环节：练习提高例1．如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，则∠DAE=例2．三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是例3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点．若S△BFC=1，则S△ABC= ．例4．实验探究：（1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，则∠ABD+∠ACD= ；②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD= ；（2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数；②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC=120°，∠BF3C=64°，则∠A的度数为活动内容：结合典型习题回顾重要知识点。
2019-2020学年八年级数学上册《第四章回顾与思考》教案-北师大版
第四章2019-2020学年八年级数学上册《第四章回顾与思考》教案北师大版教学目标：1、在思考与回顾的过程中，使学生进一步领会特殊于一般分类、转化和构造基本图形等一些重要的数学思想方法。
2、培养学生的应用意识3、在复习的过程中，丰富学生从事数学活动的经验和体验。
重点：突出本章的重点、难点内容难点及突破方法：灵活应用所学有关知识解决实际问题教学用具：多媒体课件教学方法：先学后教，当堂训练教学过程：一、创设情境，引入新课这段时间我们学习了“四边形性质的探索”，四边形的性质有哪些呢？这一章还有那些内容呢？今天就来对此进行回顾。
二、新课1、出示“学习目标”2、出示“自学指导”（一）先学1、根据下面的问题串，总结回顾本章内容，看问题。
A.平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形各有哪些性质？他们彼此之间有什么关系。
B.在平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形中，哪些图形具有轴对称性？哪些图形是中心对称图形？大家分组总结，回顾思考，弄清它们之间的彼此关系?（二）后教1、收集学生之间讨论的结果，制成如下表格2、通过归纳，理清它们彼此间的关系。
3、如何制定一个四边形是平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形呢？（通过讨论归纳回顾以上图形的判定方法）平行四边形：两组对边分别平行两组对边分别相等一组对边平行且相等两条对角线互相平分两组对角分别相等矩形：有三个角是直角是平行四边形且有一个直角是平行四边形，并且两条对角线互相垂直正方形：是矩形，并且有一组邻边相等是菱形，并且有一个角是直角等腰梯形：是梯形，两腰相等是梯形，同一底上两个角相等4、回顾了特殊四边形的性质及判定后，想一想：一般的四边形有什么性质？多边形的内角和与边数有什么关系？内角和随着边数的增加有哪些变化呢？外角和呢？（三）当堂练习1、如图，AD=DB,AE=EC,FG∥AB , AG∥BC,利用平移或旋转的方法研究图中的线段DE 、BF、 FC 之间的位置关系和数量关系。
第四章回顾与思考(教案)北师大版七年级数学上册
（4）几何图形的性质：掌握线段、角、三角形、四边形及圆的基本性质，能够运用这些性质解决相关问题。
举例：证明：等腰三角形的底角相等
（5）数据分析：能够运用平均数、中位数、众数等统计量对数据进行整理和分析，解决实际问题。
举例：根据一组数据，求出平均数、中位数和众数
2.教学难点
（1）有理数混合运算的符号处理：学生在进行有理数混合运算时，容易在符号处理上出错，需要加强训练和讲解。
举例：讲解(-3)×(-2)÷3+4-(-5)²的运算过程，强调符号处理方法
（2）不等式组的解法：学生在解决包含多个不等式的问题时，难以找到满足所有不等式的解集，需要指导学生如何逐步求解。
举例：解决如下问题：(-3)×(-2)÷3+4-(-5)²
（2）方程与不等式的解法：理解并掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法，以及它们在实际问题中的应用。
举例：解下列方程或不等式：2x-5=3x+1，3(x-2)>2(x+1)
（3）函数的性质：了解函数的定义、图像及性质，重点掌握一次函数、反比例函数的图像和性质。
1.讨论主题：学生将围绕“数学在实际生活中的应用”这一主题展开讨论，提出自己的观点和想法。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题，提出开放性问题启发思考。
3.成果分享：每个小组选择代表分享讨论成果，记录在黑板上或投影仪上，供全班参考。
（五）总结回顾（用时5分钟）
本章节内容旨在帮助学生巩固所学知识，提高解决实际问题的能力，培养数学思维和逻辑推理能力。通过对本章内容的回顾与思考，使学生更好地掌握数学基本概念、方法和技巧，为后续学习打下坚实基础。
九年级数学上册第四章图形的相似回顾与思考上课pptx课件新版北师大版
16.如图，BC与EF在一条直线上，AC∥DF．将图（2）的三 角形截去一块，使它变为与图(1)相似的图形.
沿着直线l截去上面一块，就可以变为与图（1）相似的图形
19.如图，在平面直角 坐标系中，以原点О 为位似中心画一个四 边形，使它与矩形 OBCD位似，且相似 比为1∶2．你有几种 方法？
y
4 回顾与思考
北师版九年级上册
复习回顾
相似图形
比例线段 相似三角形 位似
比例的基本性质
比例线段
平行线分线段成比例
判定 性质
应用
【点击图片中有下划线的文字跳转到相应界面】
相似三角形判定定理1
两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形判定定理3
三边成比例的两个三角形相似.
6
4D
C
D′(0,22) B′′(-4,0)
-4 -2 O
C′(4,2)
B′(4,0) B
246 8
x
-2 C′′(-4,-2) D′′(0
21.一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为 1.5m，怎样才能把它加第四章图形的相似工成一个无拼接 的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如 图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求 （加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.
23.如图，△ABC的三边长分别为a， b，c ( a>b > c )，
△A1B1C1的三边长分别为a1，b1，c1， △ABC∽△A1B1C1 ，相似比为k (k>-1) .
(1)若c=a1，求证：a = kc； (2)若c =a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1 ，使 得a，b，c和a1，b1，c1都是正整数； (3)若b=a，c=b1，是否存在△ABC和△ABC使得k=2？请说 明理由.
第四章_相似图形之回顾与思考上课课件
DE=16 m
做一做
7、如果两个相似多边形面积的比为4︰9， 那么这两个相似多边形对应边的比是多少？ 解：根据相似多边形面积的比等于相似比 的平方得： 这两个相似多边形对应边的比是2︰3
做一做
8、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD， A 解： DE//BC
{
3份 D 1份 B
△ADE∽△ABC AD 2 S△ADE C =（ ） S△ABC AB AD 3 = AD=3BD AB 4 9 S△ADE = S△ABC S△ABC = 27 16 S△ABC = 48 E
3、性质：
相似三角形对应角相等，对应边成比例 相似三角形对应高的比，对应角平分线的 比和对应中线的比都等于相似比
知识回顾 3、性质： 相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似多边形的周长比等于相似比 相似多边形面积的比等于相似比的平方
知识回顾 四、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且 是每组对应点所在的直线都经过同一个点， 那么这样的两个图形叫做位似图形。 这个点叫做位似中心. 这时的相似比又称为位似比.
做一做 5、如图，已知△ADE∽△ABC，AD=6cm， DB=3cm，BC=9.9cm，∠A=70°，∠B=50°。 （1）求∠ADE的大小；（2）求∠AED的的小； （3）求DE的长。
解： （1） △ADF∽△ABC 6 70° ∠ADE=∠B=50° D ？ ？？ E 3 50° （2） ∠A=70° ∠AED=60° B C 9.9 ∠ADE=50° DE AD = （3） △ADF∽△ABC AB BC DE 6 = DE=6.6 cm 9 9.9
{
解：矩形ADFE与矩形ABCD相似 AE AD AD 2=AB· AE = AB 1 AD AE= AB 2
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A
B C E
G
A F B C E P
Q F
三、课堂反馈：
1、如图，在 ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1：2，AE与BD相交于F，则 1:3 ，S △ADF : S △EBF =______ 1:9 BF：FD=_______
A F D
B
E
C
2、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的 条件是（ C ）
知识源于悟
２、如图： DE∥BC，EF ∥AB,AE：EC=2：3， S △ABC=25，求S四边形BDEF
A
D
E
B
F
C
试一试：
１、在正方形方格中, △ABC的顶点A、B、C在 单位正方形的顶点上 ，请在图中画一个 △A1B1C1 使 C △ A1B1C1 ∽△ABC （相似比不为1）， A 且点都在单位正方形 B 的顶点上 .
第四章 图形的相似
回顾与思考
一、展现自我
二、巩固提升： 做一做：
1、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm， c=2cm，d=6cm，求线段a的长。
2、如果两个相似多边形面积的比为4︰9，那 么这两个相似多边形对应边的比是多少？
3、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线 对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩 形ABCD长与宽的比。
２、动手操作一下
两块完全相同的等腰三角形放成如图样子， 假设图形中的所有点、线、面都在同一平面 内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？ 如果有，就把它们一一写出来。
A B D F E G C
３、如图，BC与EF在一条直线上，AC//DF。将 图（2）中的三角形截去一块，使它变为与图 （1）相似的图形。 D D
Q Q
B
P P
A
四、小结：本节课你有什么收获？
D
F C
A
E
B
4、添加一个条件，使△AOB∽△ DOC
A B
O
角： ∠B= ∠ C或∠ A= ∠ D
边：AB ∥ CD
C
D
AO：OD=BO：CO
“X” 型
5、若△ABC∽△ADE，
A
你可以得出什么结论？
角： ∠ADE= ∠ B ∠ AED= ∠C
边：AB ∥ CD
D
E
AD AE DE . AB AC BC
B
“A ”型
C AD AE DB EC . . DB EC AB AC
S ADE DE 面积： . S ABC BC
2
知识源于悟
A
D
E
１、如图，DE∥BC，D是AB的中 点，DC、BE相交于点G。 求 (1) DE BC
G
B C
C GED ( 2) C GBC
（1）AC︰CD （2）CD︰AD （3）AC2 = 2 （4）CD =
= AB︰BC = BC︰AC AD ·AB AD ·AB
C
A
D
B
３、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD， S△ABC =48，求S △ADE A D B E C
选做：
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12, 点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点 出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、 B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相似？ C