贵州省遵义航天高级中学2019届高三第一次模拟(月考)考试数学(文)试题

2018～2019届高三第一次模拟考试试题高三 文科数学一、选择题：(本题12小题，每小题5分，共60分） 1、复数52i -的共轭复数是（ ） A .2i + B.2i -+ C.2i -- D.2i -2、已知全集U =R ，集合A ⋂C u B=（ ） ABCD3、若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩错误！未找到引用源。

则2x y +的最大值为A.1B.3C.5D.94、下列有关命题的说法错误的是（ ） A.若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题； B.“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件；C.若命题200R 0p x x ∃∈≥：，，则命题2R 0p x x ⌝∀∈<：，；D.“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=”. 5、欧拉公式i e cos isin xx x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x =π时，i e 10π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，4ie 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．在区间[]02，上任取两个数，则这两个数之和大于3的概率是（ ） A ．18B ．14C ．78D ．347．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABC9C ：)0ω>关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤ ⎥⎝⎦10(A) 108π(B) 72π (C) 36π (D)12π11、已知1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( )(A)2(B) 1 (C)1 (D) 212、已知函数()()21202x f x x x =+-<与()()22log g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,-∞B ．(-∞C ．(,-∞D ．⎛- ⎝ 正视图侧视图俯视图二、填空题：（本题4小题，每小题5分，共20分）13．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅等于________．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．15．曲线()1xy ax e =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 16．抛物线28y x =的焦点为F ，点()6,3A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF △周长的最小值为____________． 三、解答题：17．（12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，122n n S a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()121log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ;（2）设1AP =，AD =P ABD -的体积 V =，求点A 到平面PBC 的距离．20、（12分）本小题如图，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>经过点()0,1A -（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．21、（12分）已知函数()()()2x f x x e a a R =-+∈，（1）试确定函数()f x 的零点个数；（2）设1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，证明：122x x +<．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）． （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．文科数学答案高三文科附文科答案：一、选择题：1---5BCDC 6----10ABDDC 11---12CB二填空题：13.14.-63 15.-3 16.13三、解答题：17、【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，∴当时，，得；····1分当时，，∴当时，，即，····3分又，····4分∴是以为首项，为公比的等比数列．····5分∴数列的通项公式为．····6分（2）由（1）知，，····7分，····8分当为偶数时，；····10分当为奇数时，，∴．····12分/18．解：(1)由题设可知a=0.08x5x500=200,b=0.02x5x500=50...........2分(2)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………6分(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：共种可能．……………………9分其中2人年龄都不在第3组的有：（A,B）共1种可能，所以至少有1人年龄在第3组的概率为．……………………12分19．（1）证明见解析（2）到平面的距离为(I）证：设BD交AC于点O，连结EO。

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。

又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC。

……………………5分（II）解：由，可得.作交于由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为……………………12分法2：等体积法由，可得.由题设易知,得假设A到平面PBC的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以……………………12分20、解：（1）由题意知，b＝1，，…………3分所以椭圆E的方为．…………5分（2）证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由题意知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x2≠0，则，， (8)分所以故直线AP与AQ的斜率之和为定值221、（I）由f（x）=0得a=（2-x）e x，令g（x）=（2-x）e x，函数f（x）的零点个数即直线y=a与曲线g（x）=（2-x）e x的交点个数，∵g'（x）=-e x+（2-x）e x=（1-x）e x，-------------（2分）由g'（x）>0得x<1，∴函数g（x）在（-∞，1）单调递增，由g'（x）<0得x>1，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴当x=1时，函数g（x）有最大值，g（x）max=g（1）=e，----------（3分）又当x<2时，g（x）>0，g（2）=0，当x>2时g（x）<0，∴当a>e时，函数f（x）没有零点；----------------------------（4分）当a=e或a≤0时，函数f（x）有一个零点；---------------------（5分）当0<a<e时，函数f（x）有两个零点．-----------------------（6分）（II）证明：函数f（x）的零点即直线y=a与曲线g（x）=（2-x）e x的交点横坐标，不妨设x1<x2，由（I）知x1<1，x2>1，得2-x2<1，∵函数g（x）=（2-x）e x在（-∞，1）上单调递增，∴函数f（x）=-g（x）+a在（-∞，1）单调递减，要证x1+x2<2，只需证x1<2-x2，-------------------------------（7分）∴只需证f（x1）>f（2-x2），又f（x1）=0，即要证f（2-x2）<0，-----------（8分）∵由a=g（x2）得f(2-x2)=-x2e2-x2+a=-x2e2-x2-(x2-2)e x2，（x2>1）-------（9分）令h（x）=-xe2-x-（x-2）e x，则h'（x）=（1-x）（e x-e2-x），------------（10分）当x>1时，e x>e2-x，h'（x）<0，即函数h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）<h（1）=0，∴当x2>1时，f（2-x2）<0，即x1+x2<2．-----------------（12分）证法二：由（Ⅰ）知，a>0，不妨设x1<1<x2，设F（x）=f（x）-f（2-x）（x>1），则F（x）=（x-2）e x+xe2-x，--------（8分）F'（x）=（1-x）（e2-x-e x），易知y=e2-x-e x是减函数，当x>1时，e2-x-e x<e-e=0，又1-x<0，得F'（x）>0，所以F（x）在（1，+∞）递增，F（x）>F（1）=0，即f（x）>f（2-x）．-----（10分）由x2>1得f（x2）>f（2-x2），又f（x2）=0=f（x1），所以f（2-x2）<f（x1），由g（x）=（2-x）e x在（-∞，1）上单调递增，得f（x）=-g（x）+a在（-∞，1）单调递减，又2-x2<1，∴2-x2>x1，即x1+x2<2，得证．-----------------------（12分）22、解析：（1）曲线C的直角坐标方程为：当cosa0时，L的直角坐标方程为y=tana.x+2-tana当cosa=0时，L的直角坐标方程为:x=1(2)将L的参数方程带入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程..........①因为曲线C截直线L所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为，则又①得，故2cosa+sina=0，于是直线L的斜率K。