北师大七年级下册数学压轴题集锦
压轴题02：相交线与平行线综合专练20题(解析版)-年七年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)
压轴题02：相交线与平行线综合专练20题（解析版）一、单选题1．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE 的度数是（）A．102°B．108°C．124°D．128°【答案】A【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．【详解】∠四边形ABCD是矩形，∠AD∠BC，∠∠BFE=∠DEF=26°，∠∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，故选A．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．2．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，1）的点的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】首先根据题意，可得距离坐标为（2，1）的点是到l1的距离为2，到l2的距离为1的点；然后根据到l1的距离为2的点是两条平行直线，到l2的距离为1的点也是两条平行直线，可得所求的点是以上两组直线的交点，一共有4个，据此解答即可．【详解】解：如图1，，到l 1的距离为2的点是两条平行直线l 3、l 4，到l 2的距离为1的点也是两条平行直线l 5、l 6，∠两组直线的交点一共有4个：A 、B 、C 、D ，∠距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．故选C ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，以及对“距离坐标”的含义的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：到l 1的距离为2的点是两条平行直线，到l 2的距离为1的点也是两条平行直线．3．如图1n //AB CB ，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）A ．540°B ．180°nC ．180°(n-1)D ．180°(n+1)【答案】C【分析】 根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．【详解】解：根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，∠1n //AB CB ，∠121180B B D ∠+∠=︒，2323180DB B B B E ∠+∠=︒，3434180EB B B B F ∠+∠=︒，……∠122323343411803B B D DB B B B E EB B B B F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯，……∠123180(1)n n ∠+∠+∠++∠=︒⨯-；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．4．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（ ） A ．50°、130°B ．都是10°C ．50°、130°或10°、10°D ．以上都不对 【答案】C【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x °，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．【详解】解：∠两个角的两边分别平行，∠这两个角相等或互补．设其中一角为x °，若这两个角相等，则x ＝3x ﹣20，解得：x ＝10，∠这两个角的度数是10°和10°；若这两个角互补，则180﹣x ＝3x ﹣20，解得：x ＝50，∠这两个角的度数是50°和130°．∠这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．5．如图，已知//AB CD ，M 为平行线之间一点连接AM ，CM ，N 为AB 上方一点，连接AN ，CN ，E 为NA 延长线上一点．若AM ，CM 分别平分BAE ∠，DCN ∠，则M ∠与N ∠的数量关系为（ ）．A ．90M N ∠-∠=︒B ．2180M N ∠-∠=︒C ．180M N ∠+∠=︒D ．2180M N ∠+∠=︒【答案】B【分析】 过点M 作//MO AB ，过点N 作//NP AB ，则//////MO AB CD NP ，根据平行线的性质可得12AMC ∠=∠+∠，223CNE ∠=∠-∠，318021∠=︒-∠，即可得出结论．【详解】解：过点M 作//MO AB ，过点N 作//NP AB ，//AB CD ，//////MO AB CD NP ∴，1AMO ∴∠=∠，OMC MCD ∠=∠， AM ，CM 分别平分BAE ∠，DCN ∠，21BAE ∴∠=∠，22NCD ∠=∠，2MCD ∠=∠，12AMC ∴∠=∠+∠，//CD NP ，22PNC NCD ∴∠=∠=∠，223CNE ∴∠=∠-∠，//NP AB ，∴∠=∠=︒-∠，NAB31802122(18021)2(12)1802180CNE AMC ∴∠=∠-︒-∠=∠+∠-︒=∠-︒，2180AMC CNE ∴∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．6．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为直线AB 上一动点，连接PC ，则线段PC 的最小值是（ ）A ．3B ．2.5C ．2.4D ．2【答案】C【分析】 当PC ∠AB 时，PC 的值最小，利用面积法求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∠当PC ∠AB 时，PC 的值最小，此时：△ABC 的面积＝12•AB •PC ＝12•AC •BC ，∠5PC ＝3×4，∠PC ＝2.4，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．7．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，//AB CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设BAE α∠=，DCE β∠=．下列各式：∠αβ+，∠αβ-，∠a β-，∠360αβ︒--，AEC ∠的度数可能是（ ）A．∠∠B．∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠∠【答案】D【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．【详解】解：（1）如图1，由AB∠CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，∠∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∠∠AE1C=β-α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∠CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，∠∠AE2C=α+β．（3）如图3，由AB∠CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，∠∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∠∠AE3C=α-β．（4）如图4，由AB∠CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∠∠AE4C=360°-α-β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即∠∠∠∠．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．8．∠如图1，AB∥CD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；∠如图2，AB∥CD，则∠E＝∠A＋∠C；∠如图3，AB ∥CD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；∠如图4，AB∥CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（）A．∠∠∠∠B．∠∠∠C．∠∠∠D．∠∠∠【答案】C【分析】∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质即可得出结论；∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质即可得出结论；∠过点E作直线EF AB∥，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；∠先过点P作直线PF AB∥，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．【详解】∥，解：∠过点E作直线EF AB∥∥，∠∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，∠AB CD∥，∠AB CD EF∠∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故∠错误；∠过点E作直线EF AB∥，∠AB CD∥，∥∥，∠∠A＝∠1，∠2＝∠C，∠AB CD EF∠∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故∠正确；∠过点E作直线EF AB∥，∥∥，∠∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，∠AB CD∥，∠AB CD EF∠∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故∠正确；∠如图，过点P作直线PF AB∥，∠AB CD∥∥，∥，∠AB CD PF∠∠1=∠FP A，∠C=∠FPC，∠∠FP A=∠FPC+∠CP A，∠∠1＝∠C＋∠CP A，∠AB ∠CD ，∠∠A ＝∠1，即∠A ＝∠C+∠C P A ，故∠正确．综上所述，正确的小题有∠∠∠．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 9．如图，//,AD BC D ABC ∠=∠,点E 是边DC 上一点，连接AE 交BC 的延长线于点H ，点F 是边AB 上一点，使得FBE FEB ∠=∠，作FEH ∠的角平分线EG 交BH 于点G ，若100DEH ︒∠=，则BEG ∠的度数是（ ）．A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】B【分析】 AD ∠BC ，∠D =∠ABC ，则AB ∠CD ，则∠AEF =180°-∠AED -∠BEG =180°-2β，在△AEF 中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．【详解】解：设FBE =∠FEB =α，则∠AFE =2α，∠FEH 的角平分线为EG ，设∠GEH =∠GEF =β，∠AD ∠BC ，∠∠ABC +∠BAD =180°，而∠D =∠ABC ，∠∠D +∠BAD =180°，∠AB ∠CD ，∠DEH=100°，则∠CEH=∠F AE=80°，∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在∠AEF中，在∠AEF中，80°+2α+180-2β=180°，故β-α=40°，而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故选：B．【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于∠AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．10．如图，直线AB MN∥，点C为直线MN上一点，连接AC、BC，∠CAB＝40°，∠ACB＝90°，∠BAC 的角平分线交MN于点D，点E是射线AD上的一个动点，连接CE、BE，∠CED的角平分线交MN于点F．当∠BEF＝70°时，令ECMα∠=，用含α的式子表示∠EBC为（）．A．52αB．10α︒-C．1102α︒-D．1102α-︒【答案】D【分析】先求出∠ABC，再延长CE，交AB于点G，结合平行线的性质表示出∠BCE，然后根据三角形内角和定理表示∠CED，再根据角平分线得定义表示出∠CEB，最后根据三角形内角和定理得出答案．【详解】在∠ABC中，∠CAB=40°，∠ACB=90°，∠∠ABC=50°．延长CE，交AB于点G，∠MN BA∥，∠EGBα∠=，∠ACM=∠BAC=40°，∠∠ACE=α-40°，∠∠BCE=90°-（α-40°）=130°-α．∠∠CEA=180°-∠CAE-∠ACE，∠∠CED=180°-∠CEA=∠CAE+∠ACE=20°+（α-40°）=α-20°．∠EF平分∠CED，∠∠CEF=111022CEDα∠=-︒，∠∠CEB=1110706022αα-︒+︒=+︒，∠∠EBC=11180(60)(130)10 22ααα︒-+︒-︒-=-︒．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，将待求角转化到适合的三角形是解题的关键．二、填空题11．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∠BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∠AB交直线AH于点D，CE∠CD交AB于点E，CF∠AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF的度数为_____度．（用n来表示）【答案】n或180﹣n【分析】分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．【详解】解：过A作AM∠BC于M，如图1，当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，∠AD∠BC，CF∠AD，∠CF∠BG，∠∠BCF＝90°，∠∠BCE+∠ECF＝90°，∠CE∠AB，∠∠BEC＝90°，∠∠B+∠BCE＝90°，∠∠B＝∠ECF＝n°，∠AD∠BC，∠∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，过A作AM∠BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，∠AD∠BC，CF∠AD，∠CF∠BG，∠∠BCF＝90°，∠∠BCE+∠ECF＝90°，∠CE∠AB，∠∠BEC＝90°，∠∠B+∠BCE＝90°，∠∠B＝∠ECF＝n°，∠AD∠BC，∠∠BAF＝∠B＝n°，综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，故答案为：n或180﹣n．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是．【答案】6秒或19.5秒【分析】设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．【详解】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∠t≤45﹣12，即t≤33．由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：∠如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；∠如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．故答案为：6秒或19.5秒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠B 的补角，则∠BAH的度数是_____．【答案】60°##60度【分析】首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，根据平行线的性质，可得∠AFC ＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠B的补角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．【详解】解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，∠∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，∠∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，过点B作BM AD，过点F作FN AD，如图所示：∠AD CE，∠AD FN BM CE ，∠∠AFN ＝∠HAF ＝x °，∠CFN ＝∠GCF ＝2y °，∠ABM ＝∠BAH ＝2x °，∠CBM ＝∠GCB ＝y °，∠∠AFC ＝（x +2y ）°，∠ABC ＝（2x +y ）°，∠∠F 的余角等于2∠B 的补角，∠90﹣（x +2y ）＝180﹣2（2x +y ），解得：x ＝30，∠∠BAH ＝60°．故答案为：60°【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．如图，已知AB //CD ，BE 、DE 的交点为E ，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠CDE 的平分线，交点为E 1，第二次操作，分别作∠ABE 1和∠CDE 1的平分线，交点为E 2，第三次操作，分别作∠ABE 2和∠CDE 2的平分线，交点为E 3，...第n （n ≥2）次操作，分别作∠ABEn ﹣1和∠CDEn ﹣1的平分线，交点为En ，若∠En ＝α度，则∠BED ＝___度．【答案】2n a【分析】先过E 作//EF AB ，确定BED ABE CDE ∠=∠+∠，再根据角平分线的性质确定n E ∠与BED ∠的关系，即可求解．【详解】解：如下图，过E 作//EF AB ，∠//AB CD ，∠////AB EF CD ，∠B BEF D DEF ∠=∠∠=∠，，∠BED BEF DEF ∠=∠+∠，∠BED ABE CDE ∠=∠+∠；如下图，∠ABE ∠和CDE ∠的平分线交点为1E ∠111111222DE B ABE CDE ABE CDE BED ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∠1ABE ∠和1CDE ∠的平分线交点为2E ， ∠22211111122412BE ABE CDE ABE CD E D E DE B B D ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠=； ∠2ABE ∠和2CDE ∠的平分线交点为3E ， ∠33322211122812BE ABE CDE ABE CD E D E DE B B D ∠=∠+∠=∠+∠∠=∠=； … 以此类推，12n n E BED ∠=∠ ∠当n E α∠=度时，2n BED α∠=度．故答案为2n α ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，找到角之间的关系．15．如图，直线,,AB CD EF 与直线,,GH IJ KL 分别相交，图中的同位角共有__________对．【答案】156【分析】观察图形，直线 GH,IJ,KL 上，每条直线有5个交点，直线AB,CD,EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，根据每2个交点可以构成4对同位角，分别求得直线GH,IJ,KL 和AB,CD,EF 上的同位角的对数即可．【详解】观察图形，直线,,GH IJ KL 上，每条直线有5个交点，直线,,AB CD EF 上，每条直线有3个交点，每个交点存在4个角，则直线,,GH IJ KL 上存在的同位角的个数是：5(51)4310434031202-⨯⨯=⨯⨯=⨯=对，同理直线,,AB CD EF 上存在的同位角的个数是：3(31)43362-⨯⨯=对， 则总数是12036156+=对．故答案为：156．【点睛】 本题考查了找同位角，分类讨论是解题的关键．三、解答题16．探究并尝试归纳：(1)如图1，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A ，试求∠1+∠2+∠A 的度数，请加以说明．(2)如图2，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A 和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A +∠B ＝ 度．(3)如图3，已知直线a 与直线b 平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n 个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和： 【结果用含有n 的代数式表示，n 是正整数，不用证明】【答案】(1)360°(2)540(3)180(1)n ⋅+︒【分析】（1）过A 作AB //直线a ，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）过A 作AC //直线a ，BD //直线a ，则AC//BD //直线b ，根据平行线的性质即可得到结论； （3）根据平行线的性质即可得到结论．(1)解：过A 作AB //直线a ，则AB //直线b ，1342180∴∠+∠=∠+∠=︒，12360MAN ∴∠+∠+∠=︒；(2)解：过A 作AC //直线a ，BD //直线a ，则AC //BD //直线b ，135642180∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，12540MAB ABN ∴∠+∠+∠+∠=︒，故答案为：540；(3)解：由（1），（2）知，当形成1个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(11)360=⋅+︒=︒，当形成2个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(21)540=⋅+︒=︒，当形成n 个折时，所有角与1∠、2∠的总和180(1)n =⋅+︒，故答案为：180(1)n ⋅+︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．17．如图，已知AB CD ∥，E 、F 分别在AB CD 、上，点G 在AB 、CD 之间，连接GE GF 、．(1)当40BEG ∠=︒时，EP 平分,BEG FP ∠平分DFG ∠；∠如图1，当EG FG ⊥时，则P ∠=______°；∠如图2，在CD 的下方有一点Q ，若EG 恰好平分,BEQ FD ∠恰好平分GFQ ∠，求2Q P ∠+∠的度数；(2)在AB 的上方有一点O ，若FO 平分GFC ∠．线段GE 的延长线平分OEA ∠，则当100EOF EGF ∠+∠=︒时，直接写出OEA ∠与OFC ∠的关系．【答案】(1)∠45；∠140︒(2)3160OEA OFC ∠-∠=︒【分析】（1）根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O 作OT AB ∥，则OT CD ∥设OFC OFG ∠=∠β=，OEH HEA α∠=∠=，1802G BEG GFD αβ∠=∠+∠=+︒-，根据平行线的性质求得80αβ+=︒，进而根据()33222160OEA OFC ββαβα∠-∠=--=+=︒即可求解．(1)∠如图，分别过点,G P 作,GN AB PM AB ∥∥，BEG EGN ∴∠=∠，AB CD ∥，NGF GFD ∴∠=∠，EGF BEG GFD ∴∠=∠+∠，同理可得EPF BEP PFD ∠=∠+∠，EG FG ⊥，90EGF ∴∠=︒，EP 平分,BEG FP ∠平分DFG ∠；11,22BEP BEG PFD GFD ∴∠=∠∠=∠， ∴()114522EPP BEG GFD EGF ∠=∠+∠=∠=︒， 故答案为：45，∠如图，过点Q 作QR CD ∥，40BEG ∠=︒，EG 恰好平分,BEQ FD ∠恰好平分GFQ ∠，40GEQ BEG ∴∠=∠=︒，GFQ QFD ∠=∠，设GFQ QFD ∠=∠α=，QR CD ∥，AB CD ∥，1801802100EQR QEB QEG ∴∠=︒-∠=︒-∠=︒，CD QR ∥，180DFQ FQR ∴∠+∠=︒，180FQR α∴+∠=︒，100FQE α∴+∠=︒，100FQE α∴∠=︒-，由（1）可知240G P BEG EFD α∠=∠=∠+∠=︒+，210040140FQE P αα∴∠+∠=︒-+︒+=︒；(2)如图，在AB 的上方有一点O ，若FO 平分GFC ∠，线段GE 的延长线平分OEA ∠，设H 为线段GE 的延长线上一点，则OFC OFG ∠=∠，OEH HEA ∠=∠设OFC OFG ∠=∠β=，OEH HEA α∠=∠=如图，过点O 作OT AB ∥，则OT CD ∥TOF OFC β∴∠=∠=，2TOE OEA α∠=∠=2EOF βα∴∠=-HEA BEG α∠=∠=，1802GFD β∠=︒-由（1）可知1802G BEG GFD αβ∠=∠+∠=+︒-100EOF EGF ∠+∠=︒∴2βα-+1802αβ+︒-100=︒80αβ∴+=︒2,OFC OEA βα∠=-∠=β()33222160OEA OFC ββαβα∴∠-∠=--=+=︒即3160OEA OFC ∠-∠=︒【点睛】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．18．点O 是直线AB 上的一点，射线OC 从OA 出发绕点O 顺时针方向旋转，旋转到OB 停止，设AOC α∠=（0180α︒≤≤︒），射线OD OC ⊥，作射线OE 平分BOD ∠．(1)如图1，若40α=︒，且OD 在直线AB 的上方，求DOE ∠的度数（要求写出简单的几何推理过程）．(2)射线OC 顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线OD 在直线AB 的下方时，其他条件不变，请你用含α的代数式表示DOE ∠的度数，（要求写出简单的几何推理过程）．(3)射线OC 从OA 出发绕点O 顺时针方向旋转到OB ，在旋转过程中你发现DOE ∠与AOC∠（01800180AOC DOB ︒≤∠≤︒︒≤∠≤︒，）之间有怎样的数量关系？请你直接用含α的代数式表示DOE ∠的度数．【答案】(1)25DOE ∠=︒ (2)1452DOE α∠=-︒ (3)1452DOE AOC ∠=︒-∠即1452DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=︒+∠即1452DOE α∠=︒+或11352DOE AOC ∠=︒-∠即11352DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=∠-︒即1452DOE α∠=-︒ 【分析】（1）根据40α=︒，∠COD =90°，求出∠BOD =50°，根据OE 平分∠BOD ，即可得出结果；（2）先用α表示出∠BOC ，再根据∠COD =90°表示出∠BOD ，根据OE 平分∠BOD ，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出∠DOE 与∠AOC 的关系，用含α的代数式表示∠DOE 的度数即可．(1)解：∠OD ∠OC ，∠∠COD =90°，∠40α=︒，即40AOC ∠=︒，∠18050BOD COD AOC ∠=︒-∠-∠=︒，∠OE 平分∠BOD ， ∠1252DOE BOD ∠=∠=︒． (2)AOC α∠=，180BOC α∴∠=︒-，∠OD ∠OC ，∠∠COD =90°，∠BOD COD BOC ∠=∠-∠()90180α=︒-︒-90α=-︒∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD α∠=∠=-︒． (3)∠当090AOC ︒≤∠≤︒，OD 在直线AB 的上方时，如图所示：180BOD COD AOC ∠=︒-∠-∠18090AOC =︒-︒-∠90AOC =︒-∠，∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=︒-∠， 即1452DOE α∠=︒-． ∠当090AOC ︒≤∠≤︒，OD 在直线AB 的下方时，如图所示：∠90AOD COD AOC AOC ∠=∠-∠=︒-∠，∠18090BOD AOD AOC∠=︒-∠=︒+∠，∠OE平分∠BOD，∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=︒+∠，即1452 DOEα∠=︒+．∠当90180AOC︒∠≤︒＜，OD在直线AB的上方时，如图所示：180BOC AOC∠=︒-∠，BOD DOC BOC∴∠=∠+∠90180AOC=︒+︒-∠270AOC=︒-∠，∠OE平分∠BOD，∠1113522DOE BOD AOC ∠=∠=︒-∠，即11352 DOEα∠=︒-．∠当90180AOC︒∠≤︒＜，OD在直线AB的下方时，如图所示：∠180BOC AOC ∠=︒-∠，BOD COD BOC ∴∠=∠-∠()90180AOC =︒-︒-∠90AOC =∠-︒，∠OE 平分∠BOD ， ∠114522DOE BOD AOC ∠=∠=∠-︒， 即1452DOE α∠=-︒． 综上分析可知，1452DOE AOC ∠=︒-∠即1452DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=︒+∠即1452DOE α∠=︒+或11352DOE AOC ∠=︒-∠即11352DOE α∠=︒-或1452DOE AOC ∠=∠-︒即1452DOE α∠=-︒． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据α的大小和OD 的位置分类讨论，是解决本题的关键．19．如图，AD //BC ，127DAC ∠=︒，15ACF ∠=︒，142EFC ∠=︒．(1)求证：EF //AD ；(2)连接CE ，若CE 平分∠BCF ，求∠FEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)19FEC ∠=︒【分析】(1)先根据平行线的性质，得到∠ACB 的度数，进而得出∠FCB 的度数，再根据∠EFC =140°，即可得到∠EFC =142°，即可得到EF ∠BC ，进而得出EF ∠AD ；(2)先根据CE 平分∠BCF ，可得∠BCE =19°，再根据EF ∠BC ，即可得到∠FEC =19°．(1)证明：∠AD BC ∥∠180ACB DAC ∠+∠=︒∠127DAC ∠=︒∠53ACB ∠=︒又∠15ACF ∠=︒∠38FCB ACB ACF ∠=∠-∠=︒∠142EFC ∠=︒∠180FCB EFC ∠+∠=︒∠EF BC ∥又∠AD BC ∥∠EF AD ∥(2)解：∠CF 平分∠BCF ∠1192BCE FCB ∠=∠=︒ ∠EF BC ∥∠19FEC ECB ∠=∠=︒答：∠FEC 的度数19°．【点睛】本题考查平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线定义，三角形的外角性质，邻补角定义，能综合运用定理运行推理是解此题的关键，难度适中．20．已知点B ，D 分别在AK 和CF 上，且∥CF AK ．(1)如图1，若25CDE ∠=︒，80DEB ∠=︒，则ABE ∠的度数为________；(2)如图2，BG 平分ABE ∠，GB 的延长线与EDF ∠的平分线交于H 点，若DEB ∠比DHB ∠大60︒，求DEB ∠的度数；(3)保持（2）中所求的DEB ∠的度数不变，如图3，BM 平分EBK ∠，DN 平分CDE ∠，作∥BP DN ，则PBM ∠的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．【答案】(1)55°(2)100°(3)不变，40°【分析】（1）过点E 作ES CF ，根据∥CF AK ，则ES CF AK ，运用平行线的性质计算即可．（2） 延长DE ，交AB 于点M ，则∠DEB =∠EMB +∠EBM ，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．（3） 过点E 作EQ DN ，则EQ DN BP ，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．(1)解：如图1，过点E 作ES CF ，∠∥CF AK ，∠ES CF AK ，∠∠CDE =∠DES ，∠SEB =∠ABE ，∠∠CDE +∠ABE =∠DES +∠SEB =∠DEB ，∠∠CDE =25°，∠DEB =80°，∠∠ABE =∠DEB -∠CDE =80°-25°=55°．故答案为：55°．(2)解：如图2，延长DE ，交AB 于点M ，则∠DEB =∠EMB +∠EBM ，∠∥CF AK ，BG 平分ABE ∠，∠∠EMB =180°-∠MDF ，∠EBM =2∠ABG =2∠HBN ，∠MDH =∠HDF =∠HNK =12∠MDF ，∠∠HBN +∠DHB =∠HNK ，∠∠DEB =(180°-∠MDF ) +2∠HBN =180°-∠MDF +122MDF DHB ⎛⎫⨯∠-∠ ⎪⎝⎭， ∠∠DEB =180°-∠MDF +∠MDF -2∠DHB =180°-2∠DHB ，∠DEB ∠60DHB -∠=︒，∠∠DEB =180°-2(∠DEB -60°)，∠3∠DEB =300°，解得∠DEB =100°．(3)解：过点E作EQ DN，则EQ DN BP，根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，∠BM平分EBK∠，∠，DN平分CDE∠∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM，∠∠DEB=100°，∠∠EBM-∠NDE=40°，∠EQ DN，∠∠DEQ=∠NDE，∠∠EBM =40°+∠DEQ，，，∠EQ DN DN BP∠EQ BP，∠∠EBM+∠PBM +∠BEQ =180°，∠40°+∠DEQ+∠PBM +∠BEQ =180°，∠40°+∠DEB+∠PBM =180°，∠∠PBM =180°-100°-40°=40°，∠∠PBM 的度数不变，值为40°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．。
北师大版数学七年级下册压轴大题练习(含解析)
北师大版数学七年级下册压轴大题练习1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．2、【问题背景】如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD＝CE．请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：；∠AOE＝．【推广探究】如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM＝BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．（1）∠MFQ＝；（2）求证：PQ＝MN．【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C1，四边形CNFQ的周长为C2，MF＝a，FQ＝b，FN＝c，则C1﹣C2＝（请用含有a、b的代数式表示）．3、如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）AP＝cm，BP＝cm（用含t的代数式表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（3）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ 全等，求出相应的x的值．4、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．5、如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（3）求∠F AE的度数．6、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC，DC，CE的关系__________（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．7、【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F 且AE＝EF求证：AC＝BF．8、如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．9、如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G 为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．（1）△ABC≌△EDC吗？为什么？（2）求∠DHF的度数；（3）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由．10、已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．（1）AD与CB相等吗？请证明你的结论．（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α、β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．11、问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN 内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD ＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为．12、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．13、（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E 三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．14、如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC延长交于点Q．①试说明：∠CBE＝∠CAE；②点P是AC延长线上的点，且PE＝BE，连接BP，若△BPQ的面积为26，AE＝8，求EQ的长．15、△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）如图1，在（1）的条件下，连接AE交BC于M，求的值；（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．16、如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．北师大版数学七年级下册压轴大题练习参考答案1、解：（1）25°，115°（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠BAD+∠ADB＝140°∠CDE+∠ADB＝140°∴∠BAD＝∠CDE在△ABD和△DCE 中，∠B＝∠C＝40°，AB＝DC＝2，∠BAD＝∠CDE∴△ABD≌△DCE（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：当∠BDA＝110°时，∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAD＝180°﹣40°﹣110°＝30°∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°∴∠DAC＝100°﹣30°＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴∠DAC＝∠AED∴△ADE的形状是等腰三角形当∠BDA＝80°时，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣80°＝60°∴∠DAC＝100°﹣60°＝40°∴∠DAC＝∠ADE＝40°∴△ADE的形状是等腰三角形2、【问题背景】AD＝BE；60°【推广探究】（1）60（2）证明：∵∠APQ+∠P AQ+∠PQA＝180°∠MFQ+∠MQF+∠FMQ＝180°∠P AQ＝∠MFQ＝60°∴∠APQ＝∠FMQ∵AM＝BP∴AP＝CM在△P AQ和△MCN中，∠P AQ＝∠C，AP＝CM，∠APQ＝∠FMQ ∴△P AQ≌△MCN∴PQ＝MN【深入探究】2a﹣2b3、解：（1）2t，7﹣2t．（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ．证明：由题意，得t＝1时，AP＝BQ＝2（cm），BP＝7﹣2＝5（cm）∵AC＝5（cm），∠A＝∠B＝90°在△CAP和△PBQ中，BP＝AC＝5，∠A＝∠B，AP＝BQ∴△CAP≌△PBQ∴∠ACP＝∠BPQ∵∠ACP+∠CP A＝90°∴∠BPQ+∠CP A＝90°∴PC⊥PQ（3）①当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP与△BPQ全等此时AC＝PB＝5，AP＝BQ＝7﹣5＝2（cm）∴AP＝BQ＝2（cm）x＝2cm/s②当AC＝BQ，AP＝PB时，△ACP与△BPQ全等此时AC＝BQ＝5，AP＝PB＝（cm），∴AP＝2t＝（cm）解得t＝s∴BQ＝x＝5（cm）∴x＝cm/s4、（1）证明：∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF在△ABE和△ACF中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF ∴△ABE≌△ACF（1）证明：∵△ABE≌△ACF∴∠ABE＝∠ACF又∵∠ADB＝∠CDF∴∠DFC＝∠BAD＝90°∴CF⊥BD（2）不变，理由如下：过A作AE⊥AF 交BM于E∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF由题意，得∠DFC＝∠BAC＝90°又∵∠ADB＝∠CDF∴∠ABD＝∠ACF在△ABE和△ACF中，∠ABD＝∠ACF，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF ∴△ABE≌△ACF∴AE＝AF又∵∠EAF＝90°∴∠AFB＝∠AEF＝45°5、证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD∴∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（2）∵△ABC≌△ADE∴AE＝AC＝10S△ABC＝S△ADE∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ACE ＝×10×10＝50（3）∵AF ⊥BC∴∠AFC ＝90°∵∠CAE ＝90°，AC ＝AE∴∠E ＝∠ACE ＝45°∵△ABC ≌△ADE∴∠BCA ＝∠E ＝45°∴∠F AC ＝90°﹣45°＝45°∴∠F AE ＝∠CAE+∠F AC ＝90°+45°＝135°6、解：（1）①证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC即∠BAD ＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ，AD ＝AE ∴△ABD ≌△ACE②BC ＝CE +CD（2）BC +CD ＝CE证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC即∠BAD ＝∠EAC在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠EAC，AD＝AE ∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE∵BD＝BC+CD∴CE＝BC+CD7、（1）B（2）C（3）证明：如图，延长AD到M，使AD＝DM，连BM∵AD是△ABC中线∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB∴BM＝AC，∠CAD＝∠M∵AE＝EF∴∠CAD＝∠AFE＝∠BFD∴∠BFD＝∠M∴BF＝BM＝AC8、（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD即∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，AC＝CB，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE ∴△ACD≌△BCE∴BE＝AD（2）如图，∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△AOC和△BOM中，∠CAD＝∠CBE，∠AOC＝∠BOM ∴∠AMB＝∠ACB＝α（3）证明：如图，∵AD，BE的中点分别为点P、Q∴AP＝DP，BQ＝BE∵△ACD≌△BCE（已证）∴∠CAP＝∠CBQBE＝AD∴AP＝BQ在△ACP和△BCQ中，CA＝CB，∠CAP＝∠CBQ，AP＝BQ ∴△ACP≌△BCQ∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ∵∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝90°∴∠BCQ+∠PCB＝90°即∠PCQ＝90°∴△CPQ为等腰直角三角形9、解：（1）△ABC≌△EDC．理由如下：∵CA平分∠BCE∴∠ACB＝∠ACE在△ACE和△BED中，BC＝CD，∠ACB＝∠ACE，AC＝CE ∴△ABC≌△EDC（2）∵∠ACB＝60°,CA平分∠BCE∴∠ACB＝∠ACE＝∠ECM＝60°在△CDG和△CBF中，FC＝CG，∠FCB＝∠DCG＝60°，BC＝CD ∴△CDG≌△CBF∴∠CBF＝∠CDG∵∠DFH＝∠BFC∴∠DHF＝∠BCF＝60°（2）BE平分∠ABC．理由如下：∵EB平分∠DEC∴∠DEH＝∠BEC∵∠ECM＝∠BEC+∠CBE＝60°∠DHF＝∠DEH+∠EDG＝60°∴∠CBE＝∠EDG由（2）知∠CBF＝∠CDG∴∠EDG＝∠CDG＝∠CBE∴∠EDC＝2∠CDG＝2∠CBE由（1）知△ABC≌△EDC∴∠ABC＝∠EDC＝2∠CBE∴∠ABE＝∠CBE∴BE平分∠ABC10、解：（1）AD≠CB，理由如下：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC∴AD＝CE由题意，得CB≠CE∴AD≠CB（2）∵BD＝BC∴∠BCD＝∠BDC＝75°∴∠DBC＝∠ABD＝180°﹣75°﹣75°＝30°∵△ABD≌△EBC∴∠BAD＝∠BEC在△ABD和△CDE中∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC∴∠ACE＝∠ABD＝30°（3）由（1）得，△ABD≌△EBC∴∠BAD＝∠BEC在△ABD和△CDE中∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC∴∠ACE＝∠ABD＝β∵BD为△ABC的角平分线∴∠DBC＝∠ABD＝β∵BD＝BC，∠BCE＝α∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β∴在△DBC中，β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°∴2α﹣β＝180°11、证明：图②∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°∴∠AFC＝∠BDA＝90°∴∠ABD+∠BAD＝90°∠CAF+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAF在△ABD和△CAF中∴△ABD≌△CAF图③∵∠1＝∠2＝∠BAC∠1＝∠BAE+∠ABE∠BAC＝∠BAE+∠CAF∴∠ABE＝∠CAF∠AEB＝∠AFC在△ABE和△CAF中，∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠CAF，AB＝AC ∴△ABE≌△CAF图④512、解：（1）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴∠CBA＝45°∵BD平分∠ABC∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BAD＝90°又∵∠CDE＝∠BDA∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°②BD＝2CE．证明：如图1∵BD平分∠ABC，CE⊥BD∠CBE＝∠FBE在△CBE与△FBE中，，BE＝BE，∠CEB＝∠FEB＝90°∴△CBE≌△FBE∴CE＝FE在△ABD与△ACF中，∠DBA＝∠ACF，∠BAD＝∠CAF＝90°，BA＝AC ∴△ABD≌△ACF∴BD＝CF＝2CE（2）结论：BE﹣CE＝2AF证明：如图（2），过A作AH⊥AE，交BE于H∴∠HAE＝90°∴∠HAC+∠CAE＝90°∠HAC+∠BAH＝90°∴∠BAH＝∠CAE在△ABH与△ACE中，∠BAH＝∠CAE，BA＝CA，∠HBA＝∠ECA ∴△ABH≌△ACE∴CE＝BH，AH＝AE∴△AEH是等腰直角三角形又∵AF⊥BE∴EF＝HF∴BE﹣CE＝HE＝2AF13、（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m∴∠BDA＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠ABD+∠BAD＝90°∠CAE+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，BA＝CA ∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE+AD＝BD+CE（2）解：成立；理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝α∴∠BAD +∠CAE+α＝180°∠BAD +∠DBA+α＝180°∴∠CAE ＝∠ABD在△ADB 和△CEA 中，∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，BA ＝CA ∴△ADB ≌△CEA∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE +AD ＝BD +CE（3）解：∵∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC∠BAD +∠CAE+∠BAC ＝180°∠BAD +∠ABD+∠BDA ＝180°∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CEA 中，∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，BA ＝CA ∴△ABD ≌△CEA∴S △ABD ＝S △CEA如图，过A 作AG 垂直BF 于G则S △ABC ＝BC •AG ，S △ACF ＝CF •AG又∵BC ＝2CF∴S △ACF ＝S △ABC ＝×12＝6∴S △ACF ＝S △CEF +S △CEA ＝6∵S △ABD ＝S △CEA∴S △CEF +S △ABD ＝6∴△ABD与△CEF的面积之和为614、（1）证明：∵EF∥AB∴∠A＝∠F，在△ACD和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CE＝CD ∴△ACD≌△FCE∴AD＝FE（2）①证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC ，D为AB中点∴AD＝DB，CD⊥AB∴∠CAB＝∠CBACD垂直平分AB∴EA＝EB∴∠EAB＝∠EBA∴∠EAB﹣∠CAB＝∠EBA﹣∠CBA∴∠CBE＝∠CAE②解：∵EA ＝EB ，EB ＝EP∴EP ＝EB ＝EA ＝8∴∠EAP ＝∠EP A∵∠CBE ＝∠CAE∴∠CBE ＝∠EP A∵∠BQC ＝∠PQE∴∠PEB ＝∠PCB ＝90°∴S △BEP ＝×8×8＝32∵S △BPQ ：S △BEP ＝26：32＝13：16∴BQ ：BE ＝13：16∵BE ＝8∴BQ ＝∴EQ ＝8﹣＝ 15、（1）证明：由题意，得CD ＝CE ，∠DCE ＝∠DCB +∠ECF ＝90° ∵EF ⊥BC∴∠CEF +∠ECF ＝90°∴∠DCB ＝∠CEF在△DBC 和△CEF 中，∠DBC ＝∠CFE ＝90°，∠DCB ＝∠CEF ，CD ＝CE ∴△DBC ≌△CFE（2）解：如图1，连AE 交BC 于M∵△DBC≌△CFE∴BD＝CF，BC＝EF∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC∴AB＝EF，AD＝BF在△ABM和△EFM中，∠AMB＝∠EMF，∠ABM＝∠EFM，AB＝EF ∴△ABM≌△EFM∴BM＝MF∴BF＝2BM＝2MF∴AD＝2MF∴（3）解：不变．＝2，理由如下：如图，在EH上取EQ＝DG∵DG⊥DC∴∠CDG＝90°在△CDG和△CEQ中，EQ＝DG，∠CDG＝∠CEQ＝90°，CD＝CE ∴△CDG≌△CEQ∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ∵∠DCG+∠DCB＝45°∴∠ECQ+∠DCB＝45°∴∠HCQ＝90°- 45°＝45°∴∠HCQ＝∠HCG＝45°在△HCG和△HCQ中，CG＝CQ，∠HCQ＝∠HCG，HC＝HC ∴△HCG≌△HCQ∴HG＝HQ∴16、解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC＝30°（2）∵△ABC与△DEC为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠DCB+∠ACD＝60°∠DCB+∠BCE＝60在△ADC和△BEC中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE（3）∠AOB是定值60°，理由如下：如图，当D在线段AM上时∵△ACD≌△BCE （已证明）∴∠CBE＝∠CAD＝30°∵∠ABC＝60°∴∠ABO＝60°+30°＝90°又∵∠CAM＝∠BAM＝30°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°如图2，当D在线段AM的延长线上时∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠DCB+∠ACB＝60°∠DCB+∠DCE＝60°在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE∴∠CBE＝∠CAD＝30°∴∠ABO＝60°+30°＝90°∵线段AM为BC边上的中线∴∠BMO＝90°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°如图3，当D在线段MA的延长线上时∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠ACE＝60°∠BCE+∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE∴∠CBE＝∠CAD又∵∠CAM＝∠BAM＝30°∴∠CBE＝∠CAD＝180°﹣30°＝150°∴∠CBO＝180°﹣150°＝30∵线段AM为BC边上的中线∴∠BMO＝90°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．。
最新北师大版七年级下册数学期末复习压轴题练习试题以及答案
七年级下册数学期末压轴试题1、（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图2，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.（图1）（图2）2、已知:点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O.①求证：AN=BM②求∠AOB的度数。
③若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，求证：PQ∥AB。
3、已知，如图1所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．（1）求证：①；②AN AM =；（2）在图1的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.（图1）（图2）ABC △ADE △AB AC =AD AE =BAC DAE ∠=∠B A D ，，BE CD M N ，，，BE CD ，BE CD =ADE △A1804、如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．（1）证明：△ABG≌△ADE；（2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S，△ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并1给予证明。
5、已知：如图，ABC∥，交△是等边三角形，过AB边上的点D作DG BC，．AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE DB，连接AE CD（1）求证：AGE DAC△≌△；（2）过点E作EF DC△是怎∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF样的三角形，试证明你的结论．6、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长．7、已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系8、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.9、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．10、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.11、如图1，ABC ∆的边BC 在直线l 上，,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也 在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的 数量关系和位置关系；（2）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ,连接 ,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.12、如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE=AF,AE=CF.13、两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E A C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结,ME MC．试判,,断EMC的形状，并说明理由．14、（1）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），证明12DEFCEFABCS S S ∆∆∆+=．（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，DEFS ∆，CEFS∆，ABCS ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．15、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE 相交于点G。
期末复习(压轴题49题)—2023-2024学年七年级数学下学期期末考点(北师大版)(解析版)
z 期末复习（压轴题49题20个考点）一．规律型：数字的变化类（共1小题）1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S ＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S ＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S ﹣S ＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ）A ．52013﹣1B ．52013+1C ．D ． 【答案】D【解答】解：令S ＝1+5+52+53+ (52012)则5S ＝5+52+53+…+52012+52013，5S ﹣S ＝﹣1+52013，4S ＝52013﹣1，则S ＝．故选：D ．二．同底数幂的乘法（共1小题） 2．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S ＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：2S ＝2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S ﹣S ＝22014﹣1即S ＝22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设S ＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S ＝2+22+23+24+…+210+211，将下式减去上式得：2S ﹣S ＝211﹣1，即S ＝211﹣1，则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；z （2）设S ＝1+3+32+33+34+…+3n ①，两边同时乘3得：3S ＝3+32+33+34+…+3n +3n +1②，②﹣①得：3S ﹣S ＝3n +1﹣1，即S ＝（3n +1﹣1），则1+3+32+33+34+…+3n ＝（3n +1﹣1）．三．多项式乘多项式（共1小题）3．如图，正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a +2b ），宽为（a +b ）的大长方形，则需要C 类卡片 张．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a +2b ）（a +b ）＝a 2+3ab +2b 2．则需要C 类卡片3张．故答案为：3．四．完全平方公式（共3小题）4．已知a ﹣b ＝b ﹣c ＝，a 2+b 2+c 2＝1，则ab +bc +ca 的值等于 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a ﹣b ＝b ﹣c ＝，∴（a ﹣b ）2＝，（b ﹣c ）2＝，a ﹣c ＝， ∴a 2+b 2﹣2ab ＝，b 2+c 2﹣2bc ＝，a 2+c 2﹣2ac ＝， ∴2（a 2+b 2+c 2）﹣2（ab +bc +ca ）＝++＝， ∴2﹣2（ab +bc +ca ）＝， ∴1﹣（ab +bc +ca ）＝， ∴ab +bc +ca ＝﹣＝﹣． 故答案为：﹣．z 5．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a +b ）6＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a +b ）6＝a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6故本题答案为：a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 66．回答下列问题（1）填空：x 2+＝（x +）2﹣ ＝（x ﹣）2+（2）若a +＝5，则a 2+＝ ；（3）若a 2﹣3a +1＝0，求a 2+的值． 【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2、2．（2）23． （3）∵a ＝0时方程不成立，∴a ≠0，∵a 2﹣3a +1＝0两边同除a 得：a ﹣3+＝0，移项得：a +＝3，∴a 2+＝（a +）2﹣2＝7． 五．平方差公式的几何背景（共1小题）7．如图，边长为m +4的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为．z【答案】见试题解答内容【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x ，则4x ＝（m +4）2﹣m 2＝（m +4+m ）（m +4﹣m ），解得x ＝2m +4．故答案为：2m +4．六．整式的混合运算（共1小题）8．7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（ ）A ．a ＝bB ．a ＝3bC ．a ＝bD ．a ＝4b 【答案】B 【解答】解：左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF ＝3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为a ，∵AD ＝BC ，即AE +ED ＝AE +a ，BC ＝BP +PC ＝4b +PC ，∴AE +a ＝4b +PC ，即AE ﹣PC ＝4b ﹣a ，∴阴影部分面积之差S ＝AE •AF ﹣PC •CG ＝3bAE ﹣aPC ＝3b （PC +4b ﹣a ）﹣aPC ＝（3b ﹣a ）PC +12b 2﹣3ab ，则3b ﹣a ＝0，即a ＝3b ．解法二：既然BC 是变化的，当点P 与点C 重合开始，然后BC 向右伸展，设向右伸展长度为X ，左上阴影增加的是3bX ，右下阴影增加的是aX ，因为S 不变，∴增加的面积相等，z ∴3bX ＝aX ，∴a ＝3b ．故选：B ．七．函数的图象（共4小题）9．如图，某电信公司提供了A ，B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）（1）若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元；（2）若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元；（3）若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多；（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解答】解：依题意得A ：（1）当0≤x ≤120，y A ＝30， （2）当x ＞120，y A ＝30+（x ﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x ﹣18；B ：（1）当0≤x ＜200，y B ＝50，当x ＞200，y B ＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x ﹣200）＝0.4x ﹣30，所以当x ≤120时，A 方案比B 方案便宜20元，故（1）正确；当x ≥200时，B 方案比A 方案便宜12元，故（2）正确；z 当y ＝60时，A ：60＝0.4x ﹣18，∴x ＝195，B ：60＝0.4x ﹣30，∴x ＝225，故（3）正确；当B 方案为50元，A 方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，将y A ＝40或60代入，得x ＝145分或195分，故（4）错误；故选：C ．10．在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解答】解：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．则露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选：C ．11．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x 表示乌龟从起点出发所行的时间，y 1表示乌龟所行的路程，y 2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；z ④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）【答案】见试题解答内容【解答】解：根据图象可知：龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；y 1＝20x ﹣200（40≤x ≤60），y 2＝100x ﹣4000（40≤x ≤50），当y 1＝y 2时，兔子追上乌龟，此时20x ﹣200＝100x ﹣4000，解得：x ＝47.5，y 1＝y 2＝750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确．综上可得①③④正确．故答案为：①③④．12．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是 分钟．【答案】见试题解答内容【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和（千米/分），z 所以他从单位到家门口需要的时间是（分钟）．故答案为：15．八．二次函数的图象（共1小题） 13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P →D →Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解答】解：当F 在PD 上运动时，△AEF 的面积为y ＝AE •AD ＝2x （0≤x ≤2），当F 在AD 上运动时，△AEF 的面积为y ＝AE •AF ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+3x （2＜x ≤4），图象为：故选：A ．z 九．平行线的性质（共2小题）14．如图，将长方形ABCD 沿线段EF 折叠到EB 'C 'F 的位置，若∠EFC '＝100°，则∠DFC '的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】A【解答】解：由翻折知，∠EFC ＝∠EFC '＝100°，∴∠EFC +∠EFC '＝200°，∴∠DFC '＝∠EFC +∠EFC '﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A ．15．珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC ＝120°，∠BCD ＝80°，则∠CDE ＝ 度． 【答案】见试题解答内容【解答】解：过点C 作CF ∥AB ，已知珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，∴AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠BCF +∠ABC ＝180°，∴∠BCF ＝60°，∴∠DCF ＝20°，∴∠CDE ＝∠DCF ＝20°．故答案为：20．z十．三角形的面积（共4小题）16．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解答】解：满足条件的C 点有5个，如图平行于AB 的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A ． 17．如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】见试题解答内容【解答】方法1解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，∴S △CGE ＝S △AGE ＝S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD ＝S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF ＝S△ABC＝×12＝6，z ∴S △CGE ＝S △ACF ＝×6＝2，S △BGF ＝S △BCF ＝×6＝2，∴S 阴影＝S △CGE +S △BGF ＝4．故答案为4．方法2设△AFG ，△BFG ，△BDG ，△CDG ，△CEG ，△AEG 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，根据中线平分三角形面积可得：S 1＝S 2，S 3＝S 4，S 5＝S 6，S 1+S 2+S 3＝S 4+S 5+S 6①，S 2+S 3+S 4＝S 1+S 5+S 6② 由①﹣②可得S 1＝S 4，所以S 1＝S 2＝S 3＝S 4＝S 5＝S 6＝2，故阴影部分的面积为4．故答案为：4．18．如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1，那么△A 1B 1C 1的面积 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接AB 1，BC 1，CA 1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB 1＝S △ABC ＝1，S △A 1AB 1＝S △ABB 1＝1，∴S △A 1BB 1＝S △A 1AB 1+S △ABB 1＝1+1＝2，同理：S △B 1CC 1＝2，S △A 1AC 1＝2，∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A 1BB 1+S △B 1CC 1+S △A 1AC 1+S △ABC ＝2+2+2+1＝7．故答案为：7．z 19．如图，对面积为s 的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B ＝2AB ，B 1C ＝2BC ，C 1A ＝2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1＝2A 1B 1，B 2C 1＝2B 1C 1，C 2A 1＝2C 1A 1顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A n B n ∁n ，则其面积S n ＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接A 1C ；S △AA 1C ＝3S △ABC ＝3S ，S △AA 1C 1＝2S △AA 1C ＝6S ，所以S △A 1B 1C 1＝6S ×3+1S ＝19S ；同理得S △A 2B 2C 2＝19S ×19＝361S ； S △A 3B 3C 3＝361S ×19＝6859S ，S △A 4B 4C 4＝6859S ×19＝130321S ， S △A 5B 5C 5＝130321S ×19＝2476099S ，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n 次后，得到△A n B n ∁n ， 则其面积Sn ＝19n •S ．十一．三角形内角和定理（共3小题）20．已知△ABC，（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．上述说法正确的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）z在△BCP中利用内角和定理得到：∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故成立；（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立；（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠Az 在△BCP 中利用内角和定理得到：∠P ＝180﹣（∠PBC +∠PCB ）＝180﹣（180°+∠A ）＝90°﹣∠A ，故成立．∴说法正确的个数是2个．故选：C ．21．已知△ABC 中，∠A ＝α．在图（1）中∠B 、∠C 的角平分线交于点O 1，则可计算得∠BO 1C ＝90°+；在图（2）中，设∠B 、∠C 的两条三等分角线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C ＝ ；请你猜想，当∠B 、∠C 同时n 等分时，（n ﹣1）条等分角线分别对应交于O 1、O 2，…，O n ﹣1，如图（3），则∠BO n ﹣1C ＝ （用含n 和α的代数式表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：在△ABC 中，∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵O 2B 和O 2C 分别是∠B 、∠C 的三等分线，∴∠O 2BC +∠O 2CB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝（180°﹣α）＝120°﹣α；∴∠BO 2C ＝180°﹣（∠O 2BC +∠O 2CB ）＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α；在△ABC 中，∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵O n ﹣1B 和O n ﹣1C 分别是∠B 、∠C 的n 等分线，∴∠O n ﹣1BC +∠O n ﹣1CB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝（180°﹣α）＝﹣． ∴∠BO n ﹣1C ＝180°﹣（∠O n ﹣1BC +∠O n ﹣1CB ）＝180°﹣（﹣）＝+．z 故答案为：60°+α；+．22．如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013＝ 度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC ＝∠ABC ，∠A 1CA ＝∠ACD ，∵∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，即∠ACD ＝∠A 1+∠ABC ，∴∠A 1＝（∠ACD ﹣∠ABC ），∵∠A +∠ABC ＝∠ACD ，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∴∠A 1＝∠A ，∴∠A 1＝m °，∵∠A 1＝∠A ，∠A 2＝∠A 1＝∠A ， …以此类推∠A 2013＝∠A ＝°． 故答案为：．十二．全等图形（共1小题）23．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）A．150°B．180°C．210°D．225°【答案】B【解答】解：在△ABC与△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故选：B．z十三．全等三角形的判定（共3小题）24．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；（SSS）∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE（SSS；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD（SAS）；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB（SSS）；故选：D．25．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有 ①②③（填序z号）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAF＝90°，∠B＝∠C∴∠1＝∠2（①正确）∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB＝AC，BE＝CF（②正确）z ∴△ACN ≌△ABM （ASA ）（③正确）∴CN ＝BM （④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．26．如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝BD ，EN ＝CE ，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①BD ＝CE ；②AM ＝AN ，∠MAN ＝∠BAC ，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中∵∴△CAE ≌△BAD （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，z ∵DM ＝BD ，EN ＝CE ，∴BM ＝CN ，在△ABM 和△ACN 中，∵∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴AM ＝AN ，∴∠BAM ＝∠CAN ，即∠MAN ＝∠BAC ；十四．全等三角形的判定与性质（共12小题） 27．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ）A ．50B ．62C ．65D ．68 【答案】A【解答】解：∵AE ⊥AB 且AE ＝AB ，EF ⊥FH ，BG ⊥FH ，∴∠EAB ＝∠EF A ＝∠BGA ＝90°，∵∠EAF +∠BAG ＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，z ∴∠EAF ＝∠ABG ，在△EF A 和△AGB 中，，∴△EF A ≌△AGB （AAS ），∴AF ＝BG ，AG ＝EF ．同理证得△BGC ≌△CHD 得GC ＝DH ，CH ＝BG ．故FH ＝F A +AG +GC +CH ＝3+6+4+3＝16故S ＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A ．28．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）A ．a 2B ．a 2C ．a 2D ．a 2【答案】D【解答】解：过E 作EP ⊥BC 于点P ，EQ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM+∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，z∵EC＝2AE，∴EC＝a，∴EP＝PC＝a，∴正方形PCQE的面积＝a×a＝a2，∴四边形EMCN的面积＝a2，故选：D．29．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB 平分∠AMC ，其中结论正确的有（ ）zA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解答】解：∵△ABD 、△BCE 为等边三角形，∴AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，BE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠DBC ，∠PBQ ＝60°，在△ABE 和△DBC 中，， ∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴①正确；∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠DMA ＝∠BAE +∠BCD ＝∠BDC +∠BCD ＝60°，∴②正确；在△ABP 和△DBQ 中，， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP ＝BQ ，∴△BPQ 为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA ＝60°，∴∠AMC ＝120°，∴∠AMC +∠PBQ ＝180°，∴P 、B 、Q 、M 四点共圆，z ∵BP ＝BQ ，∴，∴∠BMP ＝∠BMQ ，即MB 平分∠AMC ；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D ．30．如图，在正方形ABCD 中，如果AF ＝BE ，那么∠AOD 的度数是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由ABCD 是正方形，得AD ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝90°．在△ABE 和△DAF 中，， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠BAE ＝∠ADF ．∵∠BAE +∠EAD ＝90°，∴∠OAD +∠ADO ＝90°，∴∠AOD ＝90°，故答案为：90°．31．如图，△ABC 和△EBD 中，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，BE ＝BD ，连接AE ，CD ，AE 与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE ＝CD ；（2）求证：AE ⊥CD ；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分∠CBE ；②MB 平分∠AMD ．其中正确的有 ② （请写序号，少选、错选均不得分）．z【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD ，在△ABE 和△CBD 中，，∴△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ．（2）∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BAE ＝∠BCD ， ∵∠NMC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠CNM ，∠ABC ＝180°﹣∠BAE ﹣∠ANB ，又∠CNM ＝∠ANB ，∵∠ABC ＝90°，∴∠NMC ＝90°，∴AE ⊥CD ．（3）结论：②理由：作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ．z∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，S △ABE ＝S △CDB ，∴•AE •BK ＝•CD •BJ ，∴BK ＝BJ ，∵作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ，∴BM 平分∠AMD ．不妨设①成立，则△CBM ≌△EBM ，则AB ＝BD ，显然不可能，故①错误．故答案为②．32．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ．z∵∠ABG ＝∠ABC ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG ＝AF ，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF ＝∠BAD ．∴∠GAE ＝∠EAF ．又∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ．∵EG ＝BE +BG ．∴EF ＝BE +FD（2）（1）中的结论EF ＝BE +FD 仍然成立．（3）结论EF ＝BE +FD 不成立，应当是EF ＝BE ﹣FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵AB ＝AD ，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．33．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC ，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠F AC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠F AC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．z34．（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．） 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）①∵∠ADC ＝∠ACB ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAD +∠ACD ＝90°，∠BCE +∠CBE ＝90°，∠ACD +∠BCE ＝90°． ∴∠CAD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②∵△ADC ≌△CEB ，∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE +CD ＝AD +BE ．解：（2）∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE．又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）．∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ．（3）当MN 旋转到图3的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE ＝BE ﹣AD （或AD ＝BE ﹣DE ，BE ＝AD +DE 等）．∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CD ﹣CE ＝BE ﹣AD ．35．（1）如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图3，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）成立．∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，z∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形．由（2）知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠F AE，∵BF＝AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．36．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DF＝EF．（2）猜想：DF＝FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．∵DA＝DB，∠ADB＝60°．∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．z ∴DB ＝BA ．∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝AB ＝BG ．在Rt △DBG 和Rt △BAC 中，∴Rt △DBG ≌Rt △BAC （HL ）．∴DG ＝BC ．∵BE ＝EC ，∠BEC ＝60°，∴△EBC 是等边三角形．∴BC ＝BE ，∠CBE ＝60°．∴DG ＝BE ，∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°．∵∠DFG ＝∠EFB ，∠DGF ＝∠EBF ，在△DFG 和△EFB 中，∴△DFG ≌△EFB （AAS ）．∴DF ＝EF ．（3）猜想：DF ＝FE ．过点D 作DH ⊥AB 于H ，连接HC ，HE ，HE 交CB 于K ，则∠DHB ＝90°．∵DA ＝DB ， ∴AH ＝BH ，∠1＝∠HDB ．∵∠ACB ＝90°，∴HC ＝HB ．在△HBE 和△HCE 中，∴△HBE ≌△HCE （SSS ）．∴∠2＝∠3，∠4＝∠BEH ．∴HK ⊥BC ．∴∠BKE ＝90°．∵∠ADB ＝∠BEC ＝2∠ABC ，z ∴∠HDB ＝∠BEH ＝∠ABC ．∴∠DBC ＝∠DBH +∠ABC ＝∠DBH +∠HDB ＝90°，∠EBH ＝∠EBK +∠ABC ＝∠EBK +∠BEK ＝90°．∴DB ∥HE ，DH ∥BE ．∴四边形DHEB 是平行四边形．∴DF ＝EF ．37．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】见试题解答内容z 【解答】解：（1）AF ＝BD ；证明如下：∵△ABC 是等边三角形（已知），∴BC ＝AC ，∠BCA ＝60°（等边三角形的性质）；同理知，DC ＝CF ，∠DCF ＝60°；∴∠BCA ﹣∠DCA ＝∠DCF ﹣∠DCA ，即∠BCD ＝∠ACF ；在△BCD 和△ACF 中，， ∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD ＝AF （全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得△BCD ≌△ACF （SAS ），则AF ＝BD （全等三角形的对应边相等），所以，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF ＝BD 仍然成立；（3）Ⅰ．AF +BF ′＝AB ；证明如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD ＝AF ；同理△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′＝AD ，∴AF +BF ′＝BD +AD ＝AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF ＝AB +BF ′；证明如下：在△BCF ′和△ACD 中，，∴△BCF ′≌△ACD （SAS ）， ∴BF ′＝AD （全等三角形的对应边相等）；又由（2）知，AF ＝BD ；∴AF ＝BD ＝AB +AD ＝AB +BF ′，即AF ＝AB+BF ′．z 38．操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN ＝NC （如图②）；②DM ∥AC （如图③）．附加题：若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，再探线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）BM +CN ＝MN证明：如图，延长AC 至M 1，使CM 1＝BM ，连接DM 1由已知条件知：∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°．∵BD ＝CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1，∴∠MDB ＝∠M 1DC ，DM ＝DM 1∴∠MDM 1＝（120°﹣∠MDB ）+∠M 1DC ＝120°．又∵∠MDN ＝60°，∴∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°．∴△MDN ≌△M 1DN ．∴MN ＝NM 1＝NC+CM 1＝NC +MB ．z （2）附加题：CN ﹣BM ＝MN证明：如图，在CN 上截取CM 1，使CM 1＝BM ，连接MN ，DM 1∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠DBM ＝∠DCM 1＝90°．∵BD ＝CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1，∴∠MDB ＝∠M 1DC ，DM ＝DM 1∵∠BDM +∠BDN ＝60°，∴∠CDM 1+∠BDN ＝60°．∴∠NDM 1＝∠BDC ﹣（∠M 1DC +∠BDN ）＝120°﹣60°＝60°．∴∠M 1DN ＝∠MDN ． ∵ND ＝ND ，∴△MDN ≌△M 1DN ． ∴MN ＝NM 1＝NC ﹣CM 1＝NC ﹣BM，即MN ＝NC ﹣BM ．z 十五．角平分线的性质（共1小题）39．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，∵OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，∴OD ＝OE ＝OF ，∵△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝（AB •OD ）：（BC •OF ）：（AC •OE ）＝AB ：BC ：AC ＝40：50：60＝4：5：6．故答案为：4：5：6．十六．线段垂直平分线的性质（共1小题） 40．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，点D 为AB 中点，且OD ⊥AB ，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为度．【答案】见试题解答内容z 【解答】解：法一：如图，连接OB 、OC ，∵∠BAC ＝54°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO ＝∠BAC ＝×54°＝27°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝（180°﹣∠BAC ）＝（180°﹣54°）＝63°，∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝27°，∴∠OBC ＝∠ABC ﹣∠ABO ＝63°﹣27°＝36°，∵AO 为∠BAC 的平分线，AB ＝AC ，∴△AOB ≌△AOC （SAS ），∴OB ＝OC ，∴点O 在BC 的垂直平分线上，又∵DO 是AB 的垂直平分线，∴点O 是△ABC 的外心，∴∠OCB ＝∠OBC ＝36°，∵将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE ＝CE ， ∴∠COE ＝∠OCB ＝36°， 在△OCE 中，∠OEC ＝180°﹣∠COE ﹣∠OCB ＝180°﹣36°﹣36°＝108°．法二：证明点O 是△ABC 的外心，推出∠BOC ＝108°，根据OB ＝OC ，推出∠OCE ＝36°可得结论．故答案为：108．z 十七．等腰三角形的性质（共4小题）41．如图，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AC ＝12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）A ．2.5秒B ．3秒C ．3.5秒D ．4秒 【答案】D【解答】解：设运动的时间为x cm ，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AC ＝12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动， 当△APQ 是等腰三角形时，AP ＝AQ ，AP ＝20﹣3x ，AQ ＝2x即20﹣3x ＝2x ，解得x ＝4（cm ）．故选：D ．42．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图： 以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝ 9 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知：AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，…，则∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A，…，∵∠BOC ＝9°，z ∴∠A 1AB ＝18°，∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，…，∴9°n ＜90°，解得n ＜10．由于n 为整数，故n ＝9．故答案为：9．43．如图所示，AOB 是一钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF ，FG ，GH …，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE 相等，∠AOB ＝10°，∴∠GEF ＝∠FGE ＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．44．如图，△ABC 中AB ＝AC ，BC ＝6，点P 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D ．（1）如图①，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图②，过点P 作直线BC 的垂线垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP ＝CQ ，∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，∴证得△PFD≌△QCD，∴DF＝CD＝CF，又因P是AB的中点，PF∥AQ，∴F是BC的中点，即FC＝BC＝3，∴CD＝CF＝；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，z∵△PBF为等腰三角形，∴PB＝PF，BE＝EF，∴PF＝CQ，∴FD＝DC，∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，∴ED为定值，同理，如图，若P 在BA的延长线上，z作PM ∥AC 的延长线于M ，∴∠PMC ＝∠ACB ，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PMC ，∴PM ＝PB ，根据三线合一得BE ＝EM ，同理可得△PMD ≌△QCD ，所以CD ＝DM ，∵BE ＝EM ，CD ＝DM ，∴ED ＝EM ﹣DM ＝﹣DM ＝+﹣DM ＝3+DM ﹣DM ＝3， 综上所述，线段ED 的长度保持不变．十八．等边三角形的性质（共1小题）45．图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n （n ≥3）块纸板的周长为P n ，则P n﹣P n ﹣1的值为（ ）zA ．B ．C ．D ． 【答案】C【解答】解：P 1＝1+1+1＝3，P 2＝1+1+＝，P 3＝1+++×3＝，P 4＝1+++×2+×3＝， …∴P 3﹣P 2＝﹣＝＝， P 4﹣P 3＝﹣＝＝，则Pn ﹣Pn ﹣1＝＝．故选：C ．十九．轴对称-最短路线问题（共3小题）46．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（ ）。
2020-2021学年北师大版七年级数学下册期末复习大题压轴题梳理卷(原卷版)
2020-2021学年北师大版七年级数学下册期末复习大题压轴题梳理卷【题型1 平行线的判定与性质综合】【例1】（2020春•石泉县期末）已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点A、C，CM是∠ACD的平分线，CM交AB于点H，过点A作AG⊥AC交CM于点G．（1）如图1，点G在CH的延长线上时，若∠GAB＝36°，求∠MCD的度数；（2）如图2，点G在CH上时，试说明2∠MCD+∠GAB＝90°．【变式1-1】（2020春•中山市期末）如图，已知AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点EF，点P是射线EB上一点（与点E不重合）．FM、FN分别平分∠PFE和∠PFD，FM、FN交直线AB于点M、N，过点N作NH⊥FM于点H．（1）若∠BEF＝64°，求∠FNH的度数；（2）猜想∠BEF和∠FNH之间有怎样的数量关系，并加以证明．【变式1-2】已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC．（2）如图2，若BD⊥BC，BD与CE交于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE，∠BAC＝∠BAD时，直接写出∠BAD的度数为°．【变式1-3】（2020秋•福州期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM＝∠FME．（1）当∠AEF＝70°时，∠FME＝°；（2）判断EM是否平分∠AEF，并说明理由；（3）如图2，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF＝α．探究当点G在运动过程中，∠MHN﹣∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【题型2 平行线的判定与性质综合（作平行线）】【例2】（2020秋•朝阳区期末）【感知】如图①，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC 的度数．（提示：过点P作直线PQ∥AB）【探究】如图②，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，（1）当点P在线段AB上运动时，∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．（2）当点P在线段A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系为．【变式2-1】（2020秋•内江期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD ＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）将图2中的点B移到点A的右侧，得到图3，其他条件不变，若∠F AD＝α°，∠ABC＝β°，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【变式2-2】（2020春•武昌区期末）如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠AEF+∠CHF=73∠EFH．（1）直接写出∠EFH的度数为；（2）如图2，HM平分∠CHF，交FE的延长线于点M，证明：∠FHD﹣2∠FMH＝36°；（3）如图3，点P在FE的延长线上，点K在AB上，点N在∠PEB内，连NE，NK，NK∥FH，∠PEN ＝2∠NEB，则2∠FHD﹣3∠ENK的值为．【变式2-3】（2020秋•道里区期末）已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．（1）如图1，求证：HG⊥HE；（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED 的度数．【题型3 平行线的判定与性质综合（含旋转）】【例3】（2020秋•金川区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是度．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是．（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．【变式3-1】（2020秋•郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当角∠CAE＝60°时，BC∥DE．求其它所有可能符合条件的角∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）的度数，画出对应的图形并证明．【变式3-2】（2020秋•苏州期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板AOB的直角顶点O放在直尺EF 的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转．（1）若三角板AOB在EF的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现∠AOE、∠BOF的大小发生了变化，但它们的和不变，即∠AOE+∠BOF＝°．（2）若OA、OB分别位于EF的上方和下方，如图2所示，则∠AOE、∠BOF之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；（3）射线OM、ON分别是∠AOE、∠BOE的角平分线，若三角板AOB始终在EF的上方，则旋转过程中，∠MON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式3-3】（2020春•义乌市期末）如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠FPE＝120°．（1）求∠AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒40°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；②当EM∥PN时，求t的值．【题型4 完全平方公式的几何背景及应用】【例4】（2020秋•无棣县期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为．（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝26，求图中阴影部分面积．【变式4-1】（2020秋•梁园区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；【变式4-2】（2020秋•广水市期末）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1： ；方法2： ；（3）观察图②，请你写出（a +b ）2、（a ﹣b ）2、ab 之间的等量关系是 ；（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x +y ＝6，xy =112，则（x ﹣y ）2＝ ； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．（5）根据图③，写出一个代数恒等式： ；（6）已知a +b ＝3，ab ＝1，利用上面的规律求a 3+b 32的值．【变式4-3】（2020春•东海县期末）[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如，可以把公式“（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2”变形成a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab 或2ab ＝（a +b ）2﹣（a 2+b 2）等形式，运用于下面这个问题的解答：问题：若x 满足（20﹣x ）（x ﹣30）＝10，求（20﹣x ）2+（x ﹣30）2的值．我们可以作如下解答：设a ＝20﹣x ，b ＝x ﹣30，则（20﹣x ）（x ﹣30）＝ab ＝10，a +b ＝（20﹣x ）+（x ﹣30）＝20﹣30＝﹣10．所以（20﹣x ）2+（x ﹣30）2＝a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（﹣10）2﹣2×10＝80．请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：（1）若x满足（80﹣x）（x﹣70）＝﹣10，则（80﹣x）2+（x﹣70）2的值为．（2）若x满足（2020﹣x）2+（2017﹣x）2＝4051，则（2020﹣x）（2017﹣x）的值为．（3）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积．【题型5 平方差公式的几何背景及应用】【例5】（2020春•昌平区期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1可以求出阴影部分的面积是；（2）如图2若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是；（3）比较图1、图2的阴影部分面积，则可以得到乘法公式；（用式子表达）（4）小明展示了以下例题：计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+1＝（216﹣1）（216+1）+1＝232﹣1+1＝232．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．请计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．【变式5-1】（2020春•肃州区期末）如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成平方差的形式）．（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是，长是，面积是．（写成多项式乘法形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式．（4）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝．②计算：20202﹣2018×2022．③计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120192)(1−120202)．【变式5-2】（2020春•河口区期末）【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【应用】请应用这个公式完成下列各题：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为．（2）计算：20192﹣2020×2018．【拓展】计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【变式5-3】（2020春•东城区期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式（填写选项）．A．xy=m2−n24B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2=m2+n22【题型6 函数图象的应用】【例6】（2020春•彭州市期末）一个周末上午8：00，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去一个4A级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：（1）小张家距离景区千米，全家人在景区游玩了小时；（2）在去景区的路上，汽车进行了一次加油，之后平均速度比原来增加了20千米/时，试求他加油共用了多少小时？（3）如果汽车油箱中原来有油25升，平均每小时耗油10升，问小张在加油站至少加多少油才能开回家？【变式6-1】（2020春•竞秀区期末）某地举行龙舟赛，甲、乙两队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）的函数图象如图所示，根据函数图象填空和解答问题：（1）最先到达终点的是队，比另一队领先分钟到达；（2）在比赛过程中，甲队的速度始终保持为米/分；而乙队在第分钟后第一次加速，速度变为米/分，在第分钟后第二次加速；（3）假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁先到达终点？请说明理由．【变式6-2】（2020春•宁德期末）李大爷在如图1所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心O出发，沿O→A→B→O匀速运动，最后回到点O，其中路径AB是一段长180米的圆弧．李大爷离出发点O的直线距离S（米）与运动时间t（分）之间的关系如图2所示．（1）在时间段内，李大爷离出发点O的距离在增大；在4～10分这个时间段内，李大爷在路段上运动（填OA，AB或OB）；李大爷从点O出发到回到点O一共用了分钟；（2）扇形栈道的半径是米，李大爷的速度为米/分；（3）在与出发点O距离75米处有一个报刊亭，李大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知李大爷在买报纸前后始终保持运动速度不变，则李大爷是在第分到达报刊亭，他在报刊亭停留了分钟．【变式6-3】（2020春•竞秀区期末）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示．（1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上．①甲到达终点．②甲乙两人相遇．③乙到达终点．（2）AB两地之间的路程为千米；（3）求甲、乙各自的速度；（4）甲出发h后甲、乙两人相距180千米；【题型7 全等三角形的判定与性质综合】【例7】（2020春•青川县期末）以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD＝CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．【变式7-1】（2020秋•西湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE．②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由．（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为28°，求∠ADB的度数．【变式7-2】（2020春•凌海市期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）如图1所示位置时判断△ADC与△CEB是否全等，并说明理由；（2）如图2所示位置时判断△ADC与△CEB是否全等，并说明理由．【变式7-3】（2020春•商河县期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点（不与点B、C 重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）线段BD、CE的数量关系是；并说明理由；（2）探究：当点D在BC边上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，若∠BAC＝90°，CE与BA的延长线交于点F．求证：EF＝DC．【题型8 构造全等三角形】【例8】（2020•锦州期末）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．【变式8-1】（2020春•章丘区期末）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【变式8-2】（2020春•济南期末）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB 上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．【变式8-3】（2020春•锦江区期末）在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一点，且AD＝AC．（1）如图1，延长BC至E，使CE＝BD，连接AE．求证：AB＝AE；（2）如图2，在AB边上取一点F，使DF＝DB，求证：AF＝BC；（3）如图3，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接P A，PF，若P A＝PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．。
期末几何压轴题专题复习 2020-2021学年 北师大版七年级数学下册
北师大版七年级数学下册期末几何压轴题专题复习1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，延长BC至D，使BD＝BA，连接AD．点E在AC上，且CE＝CD，连接BE并延长BE交AD于点F．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：BF是AD的垂直平分线；（3）连接DE，若AB＝10，求△DCE的周长．2、如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC＝∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．（1）试说明：CB＝AD；（2）若∠COD＝70°，求∠APB的度数．3、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BG∥AC交DE的延长线于点G，连接CG（1）求证：△DBE≌△GBE；（2）求证：AD⊥CF:（3）连接AG，判断△ACG的形状，并说明理由.4、如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，AM⊥BC于点M，AN 是△ABM的角平分线，过点A作AP⊥AN，过点C作CP⊥CB，AP与CP相交于点P.（1）求证：BN=CP；（2）如图2，在图1的基础上，在AB上截取点Q，使得BQ=2MN，连接QN.求证：QN⊥BC.5、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）当点D在线段BC上时，如图1，试说明：△ABD≌△ACE；（2）当点D在线段CB的延长线上时，如图2，判断CE与BC的位置关系，并说明理由．6、已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．7、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．8、△ABC和△DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延长CD、BA交于点E．（1）如图1，若AB＝AC，试说明BO＝EC；（2）如图2，∠MON为直角，它的两边OM、ON分别与AB、EC所在直线交于点M、N，如果OM＝ON，那么BM与CO是否相等？请说明理由．9、如图，在等腰三角形ABC中AB=AC，D是AC上一动点，点E在BD 的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE，交DE于点F.（1）如图1，连CF，求证：∠ABE=∠ACF:（2）如图2，当∠ABC =60°时，求证；AF +EF =FB :（3）如图3，当∠ABC =45°时，若BD 平分∠ABC ，求证：BD =2EF10、如图，在ABC 中，2AB AC ==，36B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作36ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E .(1)当120BDA ∠=︒时，=EDC ∠ ，=DEC ∠ ：点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐 (填“大”或“小”)(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≅，请说明理由：(3)在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗?若可以，请直接写出BDA ∠的度数.若不可以，请说明理由.11、如图，在长方形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒．（1）如图1，S△DCP＝．（用t的代数式表示）（2）如图1，当t＝3时，试说明：△ABP≌△DCP．（3）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．12、（1）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并简要叙述作法．（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（2）中的其他条件不变，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．13、如图，△ABC中，D为AB的中点，AD=5厘米，∠B=∠C，BC=8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，①若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；②点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？14、直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝，当N在F→C路径上时，CN＝．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．15、如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）若∠BOC＝35°，求∠MOC的大小．（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由．（3）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝50°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．16、如图（1),AB=7cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在射线BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t（s），当点P到达点B时，点Q也停止运动.（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1s时,△ACP与△BPQ全等,此时PC⊥PQ吗？请说明理由.（2）将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”后得到如图（2）,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,当点P、Q运动到某处时，有△ACP 与△BPQ全等，求出相应的x、t的值.（3）在（2）成立的条件下且 P、Q两点的运动速度相同时，∠CPQ=__________.（直接写出结果）17、（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为点D、E．证明：①∠CAE＝∠ABD；②DE＝BD+CE．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l 上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC 边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．18、如图，在△ABC中，BC＝7，高线AD、BE相交于点O，且AE＝BE．（1）∠ACB与∠AOB的数量关系是；（2）试说明：△AEO≌△BEC；（3）点F是直线AC上的一点且CF＝BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，问是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请在备用图中画出大致示意图，并直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．19、在△ABC中，AB＝BC＝12，∠ABC＝90°．如图1，过点A作AH⊥AB，点D、E是从点A同时出发的两个动点，分别在射线AH和线段AB上运动，速度都为每秒2个单位．连结BD、DE，延长DE交直线BC于点M．当E到达点B时两点停止运动，设运动时间为t．（1）如图1，请直接写出AC与DM的位置关系和数量关系；（2）如图2，若改为在线段AB的上方作AH⊥AB，其它条件保持不变．①写出AC与DM的关系；当t＝3时，判断△AEC和△MBD是否是全等三角形？并说明判断的理由；②连结CD和CE，求△CDE的面积y与t的关系式，并写出当t＝3时y的值．20、如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．（1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝；（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．。
北师大版七年级下数学填空压轴题(含答案)
一．填空题1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，动点P在边AB上运动（不与端点重合），点P关于直线AC，BC对称的点分别为P1，P2．则在点P的运动过程中，线段P1P2的长的最小值是．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D是AB边（不与端点重合）上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△ECD，射线CE交射线AB于点F．设∠A＝α，当∠ACD＝时（用含α的代数式表示，写出所有可能的结果），△DEF为等腰三角形．3．如图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示的方式两两相扣，相扣处不留空隙，小明用x个如图1所示的图形拼出来的总长度y会随着x 的变化而变化，y与x的关系式为y＝．4．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝12，CD＝18，E为BC边中点，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，则AD的长为．5．如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．若（1+x）45的展开式按x的升幂排列得：（1+x）45＝a0+a1x+a2x2+…+a45x45，则a2＝．6．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE ＝120°，则DE的最大值是．7．如图a是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图b，则∠AEG的度数度，再沿BF折叠成图c．则图中的∠CFE的度数是度．8．如图所示，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP＝2，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段MN的距离为．9．如图，正方形ABCD中，AE＝2cm，CG＝5cm．长方形EFGD的面积是11，四边形NGDH 和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，则图中阴影部分的面积是cm2．10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ三个角的关系是．11．如图，长方形是由若干个小长方形和小正方形组成，从面积的角度研究这个图形，可以得到一个数学等式，这个数学等式是．（用图中的字母表示出来）12．如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．13．如图，已知在等边三角形ABC中，点P为边AB的中点，点D、E分别为边AC、BC 上的点，∠APD+∠BPE＝60°．点F、H分别在线段BC、AC上．连接PH、PF、HF．若PD⊥PF且PD＝PF，HP⊥EP．连接DE，则＝，∠PHF＝度．参考答案一．填空题（共13小题）1．9.6；2．90°﹣α或45°﹣α；3．5x+2；4．26；5．990；6．6；7．150；135；8．1；9．53；10．γ＝2α+β；11．（a+2b）（a+3b）＝a2+5ab+6b2；12．3或；13．1；45；。
北师大七年级下册数学压轴题集锦
北师大七年级下册数学压轴题集锦集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]北师大七年级下册数学压轴题集锦1、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1；(1)证明∠FEC=∠FCE ；(2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。
图22、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°， 求∠A 的度数。
（2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D 、E ，若∠1=110°，∠2=130°，求∠A 的度数。
3、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？4、已知∠A=∠C=90°。
(1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。
（2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系？说明你的理由。
（3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。
5．（1）如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,CBB求∠BDC的度数。
（2）如图，点E在CD的延长线上，∠BAD与∠ADE的平分线交于点F，试问∠F、∠B 和∠C之间有何数量关系？为什么？6.已知∠ABC与∠ADC的平分线交于点E。
（1）如图，试探究∠E、∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由。
（2）如图，是探究∠E、∠A与∠C之间的数量关系，并说明理由。
8.（1）如图，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E与∠G互余，求∠AME的大小。
压轴题01：整式的乘除综合专练20题(原卷版)-七年级数学下学期期末精选题汇编(北师大版)
压轴题01：整式的乘除综合专练20题（原卷版）一、单选题1．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”．如记1nk k =∑=1+2+3+…+（n ﹣1）+n ，3()n k x k =+∑=（x +3）+（x +4）+…+（x +n ）；已知()()23133nk x k x k x x m =⎡⎤+-+=++⎣⎦∑，则m 的值是（ ） A ．﹣62 B ．﹣38 C ．﹣40 D ．﹣202．计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ）A ．25033333⋅⋅⋅个B ．26033333⋅⋅⋅个C ．27033333⋅⋅⋅个D ．28033333⋅⋅⋅个3．如图，长方形内的阴影部分是由四个半圆围成的图形，则阴影部分的面积是（ ）．A ．21π(2)4ab b - B ．21π(2)2ab b -C ．221π()4b a -D ．221π()8b a -4．计算()()()242018(21)212121++++的结果是（ ）A ．403621+B ．403621-C ．201821-D ．403625．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣S B ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣26．如图，在长方形ABCD 中放入一个边长为8的大正方形ALMN 和两个边长为6的小正方形(正方形DEFG 和正方形HIJK )．3个阴影部分的面积满足31222S S S +-=，则长方形ABCD 的面积为( )A ．100B ．96C ．90D ．867．观察下列等式：()()2111x x x -+=-，()()23111x x x x -++=-，()()324111x x x x x -+++=-，……，利用你发现的规律回答：若()()65432112x x x x x x x -++++++=-，则2016x 的值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．220168．已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有（ ）个 A ．4 B ．5 C ．8 D ．10二、填空题9．如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了()na b +展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，10，4，1，恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中的各项系数．利用上述规律计算：432101410161014101-⨯+⨯-⨯=______．()()()()()()01234511 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1a b a b a b a b a b a b ⋯⋯++++++⋯⋯10．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为1S ，第2次对折后得到的图形面积为2S ，…，第n 次对折后得到的图形面积为n S ，请根据图2化简， 12320192020S S S S S +++++=________．11．如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG ，边 EF 交 CD 于点 H ，在边 BE 上取点 M 使 BM =BC ，作 MN ∥BG 交 CD 于点 L ，交 FG 于点 N ．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了()()22a b a b a b +-=-．连结DE ，记∥EDH 的面积为 S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若72a b =，则12S S 的值为__________．12．若2()()6x a x b x mx ++=++，其中,,a b m 均为整数，则m 的值为_______．13．()()()24321(31)3131312+++⋯++的值为_______．14．现有如图∥的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图∥的完全相同的图形和8个如图∥的小长方形，拼成如图∥的大长方形，则图∥中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________．15．若两正方体所有棱长之和为48，表面积之和为72，则体积之和为_______________.三、解答题16．若x 满足()()944x x --=，求()()2249x x -+-的值．解：设9,4x a x b -=-=，则()()()()944,945x x ab a b x x --==+=-+-=， ∥()()()22222249252417x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=． 请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x 满足()()222004200731x x -+-=，求()()20042007x x --的值；（2）已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是,AD DC 上的点，且1,3AE CF ==，长方形EMFD 的面积是48，分别,MF DF 作正方形MFRN 和正方形GFDH ，求阴影部分的面积．17．若整式A 只含有字母x ，且A 的次数不超过3次，令A ＝ax 3+bx 2+cx +d ，其中a ，b ，c ，d 为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M （b +d ，a +b +c +d ）为整式A 的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A ＝2x 2﹣5x +4，则a ＝0，b ＝2，c ＝﹣5，d ＝4，故A 的关联点为（6，1）． （1）若A ＝x 3+x 2﹣2x +4，则A 的关联点坐标为 ．（2）若整式B 是只含有字母x 的整式，整式C 是B 与（x ﹣2）（x +2）的乘积，若整式C 的关联点为（6，﹣3），求整式B 的表达式．（3）若整式D ＝x ﹣3，整式E 是只含有字母x 的一次多项式，整式F 是整式D 与整式E 的平方的乘积，若整式F 的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E 的表达式．18．阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法： 设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=∥则22021202222222S =++⋅⋅⋅++∥ ∥-∥得，2022221S S S -==-． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）220222++⋅⋅⋅+=______； （2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______；（3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）19．【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a 2－b 2，图2中阴影部分面积可表示为(a +b )(a -b )，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a 2－b 2=(a +b )(a －b )；【拓展探究】图3是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1： ，方法2： ；（2）由(1)可得到一个关于（a +b ）2、（a －b ）2、ab 的的等量关系式是 ； （3）若a +b ＝10，ab ＝5，则（a －b ）2＝ ； 【知识迁移】（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根据不同方法表示它的体积也可写出一个代数恒等式： ．20．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G ．Fubini ）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是()2a b +，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为222a ab b ++，由此得到：()2222a b a ab b +=++．（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a 、b 表示） （2）利用上面结论解决问题：若6,2x y xy +==，则()2x y -=__________；（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a 、b 、c 表示）（4）利用上面结论解决问题：已知7,14a b c ab bc ac ++=++=，则222a b c ++=__________；（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示）（6）若22=-==+，请通过计算说明a、b、c满足上面结论．a nb nc n1,2,1。
第四章 三角形压轴题(8个类型72题)-【常考压轴题】七年级数学下册压轴题攻略(北师大版)(原卷版)
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1第四章三角形压轴题内容导航一、全等三角形判定方法的应用类型一、用SSS 证明三角形全等类型二、用SAS 证明三角形全等类型三、用ASA 和AAS 证明三角形全等二、几何模型类型一、倍长中线模型类型二、一线三垂直模型类型三、旋转模型类型四、三条线段数量关系的证明三、与作图有关的几何问题四、全等三角形的综合问题一、全等三角形判定方法的应用类型一、用SSS 证明三角形全等1．如图，已知AD BC ∥，AD BC ，那么判定ABC CDA △△≌的依据是（）A ．SSSB ．ASAC ．SASD ．AAS2．如图，△ABC 中，AB =BC =5，AC =8，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 的长度为.3．农科所有一块五边形的试验田如图所示,已知在五边形ABCDE 中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=20m,求这块试验田的面积.4．小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD ，BC=BD ，则△ACB 与△ADB 有怎样的关系？（1）请你帮他们解答，并说明理由．（2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB 上任取一点E ，连接CE 、DE ，则有CE=DE ，你知道为什么吗？（如图2）（3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB 的延长线上任取一点P ，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论．5．【问题背景】如图1，在四边形ABCD 中，,120,90AB AD BAD B ADC =∠=︒∠=∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且60EAF ∠=︒，试探究图中线段BE EF FD 、、之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，可得出结论______；【探索延伸】如图2，在四边形ABCD 中，,180,AB AD B D E F =∠+∠=︒、分别是BC CD 、上的点，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！312EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30︒的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50︒的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达,M N 处，且两舰艇之间的夹角()MON ∠为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．【灵活变通】如图4，已知在四边形ABCD 中，180,ABC ADC AB AD ∠+∠=︒=，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系．图1图2图3图4类型二、用SAS 证明三角形全等6．如图，已知Rt ABC △，AB AC =，D 为平面内一动点，BD AC =，E 为BD 上一点，2BE DE =，AB 上两点F ，G ，BF FG GA ==．下面能表示CD AE +最小值的线段是（）A ．线段CAB ．线段CGC ．线段CFD ．线段CB7．如图，在,ABC ADE 中，90,BAC DAE AB AC ∠︒=∠==，,AD AE =点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下结论，①BD CE =；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④180BAE DAC ∠+∠=︒；⑤ABD ACE S S = ．其中结论正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，,G H 分别是四边形ABCD 的边,AD AB 上的点，45,2,90GCH CD CB D DCB B ∠=︒==∠=∠=∠=∠︒，连接BD 交CG 于M 点，交CH 于N 点，以下结论正确的有（）①AGH 的周长为4；②DCG BCH HCG S S S +=△△△；③222DM BN MN +=；④DCM BCN MCN S S S +=△△△A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④9．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，AD 是ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED AD =，连接BE ，写出图中全等的两个三角形：__________；【理解与运用】(2)如图2，EP 是DEF 的中线，若5EF =，3DE =，设EP x =，求x 的取值范围；(3)如图3，AD 是ABC 的中线，BAC ACB ∠=∠，点Q 在BC 的延长线上，QC AB =，求证：2AQ AD =．10．（问题情境）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ︒∠=∠=，120BAD ︒∠=．点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且60EAF ︒∠=，试探究线段BE ，EF ，DF 之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ．先证明ADG ABE △△≌，再证明AEF AGF △△≌，进而得出EF BE DF =+．你认为他的做法；（填“正确”或“错误”）．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5（探索延伸）（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，70B ︒∠=，110D ︒∠=，100BAD ︒∠=，点E ，F 分别是BC 和CD 上的点，且50EAF ︒∠=，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形ABCD 中，若AB AD =，180B D ︒∠+∠=，12EAF BAD ∠=∠，那么EF BE DF =+．你认为正确吗？请说明理由．11．如图1，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，连接对角线BD ．（1）将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE ．①依题意补全图1；②试判断AE 与BD 的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA 、DB 和DC 之间的数量关系；（3）如图2，F 是对角线BD 上一点，且满足∠AFC =150°，连接FA 和FC ，探究线段FA 、FB 和FC 之间的数量关系，并证明．12．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC BC ，上，连接AE BD ，交于点F ，2B BAC BFE AE ∠∠∠==．(1)说明：EAC ABD ∠∠=；(2)若BD 平分ABC ∠，156BE AF ==，，求BEF 的面积；(3)判断EF BF AF ，，之间的数量关系，并加以说明．13．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小红在组内做了如下尝试：如图①，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到M ，使DM AD =，连接BM ．【探究发现】（1）如图①，AC 与BM 的数量关系是，位置关系是；【初步应用】（2）如图②，在ABC 中，若10AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围；【探究提升】（3）如图③，AD 是ABC 的中线，过点A 分别向外作AE AB ⊥、AF AC ⊥，使得AE AB =，AF AC =，延长DA 交EF 于点P ，判断线段EF 与AD 的数量关系和位置关系，请说明理由．14．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的负半轴上点B 在y 轴的负半轴上，90ABC ∠=︒，AB BC =．(1)如图①，若点A 的坐标为()5,0-，点B 的坐标为()0,2-，点C 在第一象限，点C 的坐标______；(2)在（1）的条件下，若BF y ⊥轴于点B ，点D 在y 轴上，12BD AO =，连接CD 并延长，交BF 于点E ，求BE 的长；(3)如图②，若点A 的坐标为(),0n -，点H 在AC 的延长线上，过点(),H m n （0m >，0n >）作HG x ⊥轴于点G ，连接BH ，写出线段BH ，AG ，BO 之间的数量关系，并证明．15．如图，在ABC 中，5,BC AD =是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，AD BE 、相交于点O ，且AE BE =．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7(1)求证：AOE BCE △≌△．(2)动点P 从点O 出发，沿线段OA 以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，动点Q 从点B 出发沿射线BC 以每秒4个单位长度的速度运动，P Q 、两点同时出发，当点P 到达A 点时，P Q 、两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t 秒①点F 是线段AC 上的一点（不与C 点重合），当554t <≤时，CQ =__________（用含t 的代数式表示）；设BOP α∠=，则FCQ ∠=__________（用含α的代数式表示）②点F 是直线AC 上的一点且CF BO =．是否存在t 值，使以点B O P 、、为顶点的三角形与以点F C Q 、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t 值；若不存在，请说明理由．类型三、用ASA 和AAS 证明三角形全等16．如图，在四边形ABDC 中，AD 平分BAC ∠，AD DC ⊥，2AC AB -=，8BC =，则BDC 面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．3D ．417．如图，在Rt ACB 中，90,,C AC BC D ∠=︒=为AC 边上的点，且2AD CD =，连接BD ，过B 作EB BD ⊥，并截取EB DB =，连接AE 交CB ，则下列结论：①CBE CDB ∠=∠；②F 为AE 的中点；③FEB FAC CBD ∠=∠+∠；④3BF CF =；其中正确的结论共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．如图1，在ABC 中，CM 是AB 的中线，延长AB 点N ，使BCN BCM ∠=∠，2CN CM =．(1)求证：AC BN =；(2)如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，试探究CP CA CN 、、的数量关系，并说明理由．19．（1）如图1，90B D ∠∠==︒，E 是BD 的中点，AE 平分BAC ∠，求证：CE 平分ACD ∠．（2）如图2，AM CN ，BAC ∠和ACD ∠的平分线并于点E ，过点E 作BD AM ⊥，分别交AM CN 、于B 、D ，请猜想AB CD AC 、、三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．（3）如图3，AM CN ，BAC ∠和ACD ∠的平分线交于点E ，过点E 作不垂直于AM 的线段BD ，分别交AM CN 、于B 、D 点，且B 、D 两点都在AC 的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．20．如图，∠MAN 是一个钝角，AB 平分∠MAN ，点C 在射线AN 上，且AB ＝BC ，BD ⊥AC ，垂足为D ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9(1)求证：BAM BCA ∠=∠；(2)动点P ，Q 同时从A 点出发，其中点Q 以每秒3个单位长度的速度沿射线AN 方向匀速运动；动点P 以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC ＝5，设动点P ，Q 的运动时间为t 秒．①如图②，当点P 在射线AM 上运动时，若点Q 在线段AC 上，且52ABP BQC S S =△△，求此时t 的值；②如图③，当点P 在直线AM 上运动时，点Q 在射线AN 上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得 APB 与 BQC 全等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说出理由．21．在等边ABC 中，点,P Q 是BC 边上的两个动点（不与,B C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP AQ =(1)若25BAP ∠=︒，则AQB ∠=_______________︒；(2)在图1中，求证：BP CQ=(3)如图2，点M 在边AC 上，CM CQ =，点D 为AQ 的中点，连接MD 并延长交AB 于点N ，连接,PM PN ．猜想PMN 的形状是_______________，并说明理由．22．如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 是线段CA 延长线上一点，且AD AB =，点F 是线段AB 上一点，连接DF ，以DF 为斜边作等腰Rt DFE △，连接EA ，且EA AB ⊥．(1)过D 点作DG AE ⊥，垂足为G ．①求证：DEG EFA△≌△②求证：AE AF BC =+；(2)如图2，若点F 是线段BA 延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE ，AF ，BC 之间的数量关系，并说明理由．23．如图，等腰Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，45CAB CBA ∠=∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．(1)如图1，过F 点作FG AC ^交AC 于G 点，求证： ≌AGF ECA ；(2)如图2，在（1）的条件下，连接BF 交AC 于D 点，若3AD CD =，求证：E 点为BC 中点；(3)如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若43BC BE =，则AD CD=________．24．【模型呈现】如图（1）和（2）所示，OA OB =，90AOB ∠=︒，直线l 经过点O （不与OA ，OB 重合），过点,A B 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，则有AC OD =，OC BD =．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11（1）请你针对图（1）给出证明．【模型应用】在图（1）的基础上，在射线AC 上取一点M ，把线段OM 绕点O 逆时针转90︒得到ON ，连接BN ，交直线l 于点P．（2）如图（3），当点M 与点C 重合时，PB 与PN 的数量关系为___________；（3）如图（4），当点M 在AC 的延长线上时，请判断PB 与PN 的数量关系，并给出证明；（4）如图（5），当点M 在线段AC 上时，OPB OAMS S 的值为___________．25．定义：如图（1），若分别以ABC 的三边AC ，BC ，AB 为边向三角形外侧作正方形ACDE ，BCFG 和ABMN ，则称这三个正方形为ABC 的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为ABC的外展双叶正方形．(1)作ABC 的外展双叶正方形ACDE 和BCFG ，记ABC ，DCF 的面积分别为1S 和2S ；①如图（2），当90ACB ∠=︒时，求证：12S S =；②如图（3），当90ACB ∠≠︒时，1S 与2S 是否仍然相等，请说明理由．(2)已知ABC 中，3AC =，4BC =，作其外展三叶正方形，记DCF ，AEN △，BGM 的面积和S ，请利用图（1）探究：当ACB ∠的度数发生变化时，S 的值是否发生变化？若不变，求出S 的值；若变化，求出S 的最大值．二、几何模型类型一、倍长中线模型26．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若6,4AB AC ==，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．请根据小明的思路继续思考：(1)由已知和作图能证得ADC EDB V V ≌，得到BE AC =，在ABE 中求得2AD 的取值范围，从而求得AD 的取值范围是______________．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；(2)如图2，AD 是ABC 的中线，,,180AB AE AC AF BAE CAF ==∠+∠=︒，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在ABC 中，,D E 是BC 的三等分点．求证：AB AC AD AE +>+．27．阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC 中，9AB =，5AC =，BC 边上的中线AD 的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD 到Q 使得DQ AD =；②再连接BQ ，把2AB AC AD 、、集中在ABQ 中；③利用三角形的三边关系可得414AQ <<，则AD 的取值范围是____．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．(2)请写出图1中AC 与BQ 的关系并证明；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13(3)思考：已知，如图2，AD 是ABC 的中线，AB AE =，AC AF =，90BAE FAC ∠=∠=︒，试探究线段AD 与EF的数量和位置关系，并加以证明．28．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在ABC 中，9AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD 到Q ，使得DQ AD =；②再连接BQ ，把2AB AC AD 、、ABQ 中；③利用三角形的三边关系可得414AQ <<，则AD 的取值范围是．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中AC 与BQ 的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，AD 是ABC 的中线，AB AE =，AC AF =，90BAE FAC ∠=∠=︒．试探究线段AD 与EF 的数量和位置关系并加以证明．29．（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若5AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，这样就把AB ，AC ，2AD 集中在ABE ∆中，利用三角形三边的关系可判断线段AE 的取值范围是；则中线AD 的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，此时：BE CF +与EF 的大小关系，并说明理由．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，CB CD =，160BCD ∠=︒，以C 为顶点作80ECF ∠=︒，边CE ，CF 分别交AB ，AD 于E ，F 两点，连接EF ，此时：BE 、DF 与EF 的数量关系30．如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15(1)由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌的理由是______．(2)求得AD 的取值范围是______．(3)如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．31．已知 ABC．(1)如图1，按如下要求用尺规作图：①作出 ABC 的中线CD ；②延长CD 至E ，使DE ＝CD ，连接AE ；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）(2)在（1）中，直线AE 与直线BC 的关系是；(3)如图2，若∠ACB ＝90︒，CD 是中线．试探究CD 与AB 之间的数量关系，并说明理由；(4)如图3，若∠ACB ＝45︒，AC ＝BC ，CD 是 ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AC 于E ，交CD 于点F ，连接DE ．若CF ＝4，则DE 的长是．32．阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知ABC ∆中，AD 是BC边上的中线．求证：2AB AC AD +>．智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是BC 边上的中线∴BD CD=在BDE ∆和CDA ∆中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDA ∆∆≌（依据一）∴BE CA=在ABE ∆中，AB BE AE +>（依据二）∴2AB AC AD +>．任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______________________________________________；依据2：______________________________________________．归纳总结：上述方法是通过延长中线AD ，使DE AD =，构造了一对全等三角形，将AB ，AC ，AD 转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．任务二：如图3，3AB =，4AC =，则AD 的取值范围是_____________；任务三：如图4，在图3的基础上，分别以AB 和AC 为边作等腰直角三角形，在Rt ABE ∆中，90BAE ∠=︒，AB AE =；Rt ACF ∆中，90CAF =︒∠，AC AF =．连接EF ．试探究EF 与AD 的数量关系，并说明理由．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1733．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．类型二、一线三垂直模型34．已知：ABC 中，90ACB ∠=︒，AC CB =，D 为射线CB 上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE AD ⊥，且AE AD =．连接BE 交直线AC 于M ，若27AC CM =，则ADB AEM S S △△的值为．35．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =．点P 从点A 出发，沿折线AC CB -以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC CA -以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ，设运动时间为t ，当PEC 与QFC V 全等时，t 的值为．36．如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，满足7,12AC BC ==，点P 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点B 运动：点Q 从B 出发沿B →C →A 路径向终点A 运动；点P ，Q 的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P ，Q 作PE l ⊥于E ，QF l ⊥于F ．设运动时间为t 秒，当以P ，E ，C 为顶点的三角形与以Q ，F ，C 为顶点的三角形全等时，t 的值为（不考虑两三角形重合的情况）．37．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．得原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！191D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，DE l ⊥于点E ，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．38．如图1，已知ABC 中，90BAC ∠= ，AB AC =，DE 是过A 的一条直线，且B ，C 在D ，E 的同侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于()E BD CE <．（1）证明：ABD CAE ≅ ；（2）试说明：BD DE CE =-；（3）若直线DE 绕A 点旋转到图2位置（此时B ，C 在D ，E 的异侧）时，其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请证明；（4）若直线DE 绕A 点旋转到图3位置（此时B ，C 在D ，E 的同侧）时()BD CE >其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．39．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =；DEF 中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，易证ABM BCN ≌△△，若2AM =，7CN =，则MN =______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想AE ，PE ，CP 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则ACE △的面积为______．40．直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ．(1)当AC BC =时，如图，分别过点A ，B 作AD l ⊥于点D ，BE l ⊥于点E ．求证：ACD CBE △△≌．(2)当8AC =，6BC =时，如图，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF ，CF ，动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC 边向终点C 运动，同时动点N 从点F 出发，以每秒3个单位的速度沿F C B C F →→→→向终点F 运动，点M ，N 到达相应的终点时停止运动，过点M 作MD l ⊥于点D ，过点N 作NE l ⊥于点E ，设运动时间为t 秒．①CM =______，当N 在F C →路径上时，CN =______．（用含t 的代数式表示）②直接写出当MDC △与CEN 全等时t 的值．41．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、旋转模型42．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（）A ．1.5()a b +B ．2a b +C ．3a b -D ．2+a b43．综合与探究数学活动课上，同学们以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究．(1)如图1，在四边形ABCD 中，,90AB AD B D =∠=∠=︒，E ，F 分别是边,BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠．请探究线段,,EF BE FD 之间的数量关系．下面是学习委员琳琳的解题过程，请将余下内容补充完整．解：延长EB 到G ，使得BG DF =，连接AG在ABG 和ADF △中90AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ABGADF SAS ≌△△，∴,AG AF BAG DAF=∠=∠∴BAG BAE DAF BAE∠+∠=∠+∠∴12EAF BAD ∠=∠，∴GAE EAF∠=∠……(2)班长李浩发现在如图2所示的四边形ABCD 中，若,180AB AD B D =∠+∠=︒，E ，F 分别是边,BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，（1）中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由．(3)如图3，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，E ，F 分别是边,BC CD 延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠，请判断线段,,EF BE FD 之间的数量关系，并说明理由．44．已知，在四边形ABCD 中，,180,AB AD B ADC EF =∠+∠=︒、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23(1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当90B ADC ∠=∠=︒时．小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明ABE △≌______；再证明了AEF ≌△______，即可得出,,BE EF FD 之间的数量关系为EF BE FD =+．(2)请你借鉴小王的方法探究图2，当180B ADC ∠+∠=︒时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．(3)如图3，若E F 、分别是边BC CD 、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF BE FD 、、之间的数量关系为______．（不用证明）45．综合与实践问题提出如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，且2ACB B ∠=∠，则AB ，CD ，AC 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长AC 至点E ，使得AE AB =，连接DE ，……，请判断AB ，CD ，AC 之间的数量关系并补充完整解题过程．（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在AB 上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段AB 上截取AB ，使得AF =①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线．延伸探究（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形ABCDE 中，EA ED =，AB DC BC +=，180A D ∠+∠=︒，若120BCD ∠=︒，求BCE ∠的度数．46．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是直线AB 上一点（点D 不与点A 、B 重合），连接DC 并延长到E ，使得CE ＝CD ，过点E 作EF ⊥直线BC ，交直线BC 于点F ．(1)如图1，当点D 为线段AB 上的任意一点时，用等式表示线段EF 、CF 、AC 的数量关系，并证明；(2)如图2，当点D 为线段BA 的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF 、CF 、AC 的数量关系是否发生改变，并证明．(3)如图3，当点D 在线段AB 的延长线上时，直接写出线段EF 、CF 、AC 之间的数量关系．47．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为45︒的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形ABCD 中，以A 为顶点的45EAF ∠=︒，AE 、AF 与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．易证得EF BE FD =+．大致证明思路：如图2，将ADF △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABH ，由180HBE ∠=︒可得H 、B 、E 三点共线，45HAE EAF ∠=∠=︒，进而可证明AEH AEF ≌，故EF BE DF =+．任务：如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，120BAD ∠=︒，以A 为顶点的60EAF ∠=︒，AE 、AF原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25与BC 、CD 边分别交于E 、F 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论EF BE DF =+是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．48．【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，探究当EAF ∠为多少度时，使得BE DF EF +=成立．小亮同学认为：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，则可求出∠EAF 的度数为______；【问题探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，当∠EAF 与∠BAD 满足怎样的数量关系时，依然有BE DF EF +=成立，并说明理由．【问题解决】（3）如图3，在正方形ABCD 中，45EBF ∠=︒，若DEF 的周长为8，求正方形ABCD的面积．类型四、三条线段数量关系的证明49．问题1：在数学课本中我们研究过这样一道题目：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥MN ，AD ⊥MN ，垂足分别为E 、D ．图中哪条线段与AD 相等？并说明理由．问题2：试问在这种情况下线段DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出来，不需要说明理由．问题3：当直线CE 绕点C 旋转到图2中直线MN 的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．50．如图1，点A 和点B 分别在y 轴正半轴和x 轴负半轴上，且OA=OB ，点C 和点D 分别在第四象限和第一象限，且OC ⊥OD ，OC=OD ，点D 的坐标为（m ，n ），且满足2(m-2n ）+|n ﹣2|=0．（1）求点D 的坐标；（2）求∠AKO 的度数；（3）如图2，点P ，Q 分别在y 轴正半轴和x 轴负半轴上，且OP=OQ ，直线ON ⊥BP 交AB 于点N ，MN ⊥AQ 交BP 的延长线于点M ，判断ON ，MN ，BM 的数量关系并证明．51．（1）如图1，已知OAB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ⊥直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA ∠=∠=∠，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，90CAB ∠=︒，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．52．已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27（1）当∠MBN 绕B 点旋转到AE ＝CF 时（如图1），求证：△ABE ≌△CBF ．（2）当∠MBN 绕点B 旋转到AE ≠CF 时，如图2，猜想线段AE ，CF ，EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．（3）当∠MBN 绕点B 旋转到图3这种情况下，猜想线段AE ，CF ，EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．53．在图1、图2，图3中．点E 、F 分别是四边形ABCD 边BC CD 、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题．特例探索（1）在图1中，四边形ABCD 为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），45EAF ∠=︒，延长CD 至G ，使,2,3DG BE BE DF ===．则EF =__________．在图2中，90B D ∠=∠=︒，AB AD =，60BAD ∠=︒，30EAF ∠=︒，1BE =， 1.5FD =；则EF =__________．归纳证明（2）在图3中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =．且12EAF BAD ∠=∠，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段,,BE EF FD 之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．实际应用（3）图4是某公路筑建工程平面示意图，指挥中心设在O 处，A 处、B 处分别是甲、乙两公路起点，它们分别在指挥中心的北偏东20︒和南偏东30︒的方向上．且A 、B 两处分别与指挥中心O 的距离相等：其中甲公路是从A 处开始沿正东方向筑建，乙公路是从B 处开始沿北偏东40方向筑建：甲、乙两公路的路基筑建速度分别是每天150米、180米，当两公路同时开工后的第五天收工时，分别筑建到C 、D 处，经测量65COD ∠=︒．试求C 与D 两处之间的距离．54．已知在数轴上，从左往右依次有四个点A ，C ，D ，B ，其中点A ，B 对应的数分别为7-和9．。
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B C
E
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1、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1
(1)证明∠FEC=∠FCE;
(2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上
一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，
并证明。
图1 图2
2、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、
∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。
（2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若∠1=110°，∠2=130°，
求∠A 的度数。
3、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？
4、已知∠A=∠C=90°.
(1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。
（2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系？说明你的理
由。
（3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，试问BE 与
DE 有何位置关系？说明你的理
由。
5．（1）如图，点E 在AC 的延长线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,
求∠BDC 的度数。
（2）如图，点E 在CD 的延长线
上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数
量关
系？为什么？
6.已知∠ABC 与∠ADC 的平分线交于点E 。
（1）如图，试探究∠E 、∠A 与∠C 之间的数量关系，并说明理由。
（2）如图，是探究∠E 、∠A 与∠C 之间的数量关系，并说明理由。
2
1
E
A
B
C
F
N
E
A B
C
F
M
E
C B
A
D
E
C
B A
D
G
F
8.（1）如图，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分
∠CNG，2∠E与∠G互余，求∠AME的大小。
（2）如图，在（1）的条件下，若点P是EM上一动点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ//NH，当点P在线段EM上运动时，∠JPQ的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，
请说明你的理由。
7.如图，已知MA//NB，CA平分∠BAE，CB平分∠ABN，点D是射线AM上一动点，连DC，当D点在
射线AM（不包括A点）上滑动时，∠ADC+∠ACD+∠ABC的度数是否发生变化？若不变，说明理由，
并求出度数。
10.如图，AB//CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则（1）
∠1+∠2+∠3+∠4不变；（2）∠3+∠4-∠1-∠2不变，选择正确的并给予证明。
8.已知：在△ABC和△XYZ中，Y+∠Z=95°,将△XYZ如图摆放，使得∠X的两条边分别经过点B和
点C。
（1）将△XYZ如图1摆放时，则∠ABX+∠ACX= 度；
（2）将△XYZ如图2摆放时，请求出∠ABX+∠ACX的度数，并说明理由；
（3）能否将△XYZ摆放到某个位置时，使得BX、CX同时平分∠ABC和∠ACB？请写出你的结论。