高中数学——角概念的推广与弧度制(教案)

角概念的推广与弧度制

【知识导图】

知识讲解

知识点1 角的有关概念

1、从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.

2、从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.

3、若β与α是终边相同的角，则β用α表示为()2k k Z βπα=+∈.

知识点2 角度与弧度

1、弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、角α的弧度数

如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是l r

α=. 3．角度与弧度的换算①1180rad π

︒=；②1801rad π⎛⎫

=︒ ⎪⎝⎭

. 4．弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为l ，圆心角大小为()rad α，半径为r ，则l r α=，扇形的面积为211

22

S lr r α=

=. [易错提醒]

角度制与弧度制不可混用

角度制与弧度制可利用180rad π︒=进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

知识点3 任意角的三角函数

1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么sin y α=，cos x α=，y tan x

α=

角的概念与弧度制

任意角

角的概念的推广

角的分类终边相同的角弧度制

定义

弧度制与扇形

任意角的三角函数

三角函数的定义

三角函数的符号三角函数线

2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是()1,0. [方法技巧]

三角函数值符号记忆口诀

记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正.

知识点4 三角函数线

设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于

x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos sin αα，，即

()P cos sin αα，，其中cos OM α=，sin MP α=，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切

线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余

例题讲解

【例题1】与263-︒角终边相同的角的集合是（ ）

A ． {α|α=k ⋅360°+250°,k ∈Z }

B ． {α|α=k ⋅360°+197°,k ∈Z }

C ． {α|α=k ⋅360°+63°,k ∈Z }

D ． {α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z } 【答案】D

当α终边相同的角与α相差360°的整数倍，所以，与−263°角终边相同的角的集合是{α|α=k ⋅360°−263°,k ∈Z }，故选D ． 【例题2】9°=（ ）

A ． π

36 B ． π

20 C ． π

10 D ． π

9 【答案】B

由角度制与弧度制的转化公式可知：9∘=9

180π=π

20.本题选择B 选项.

【例题3】已知0240的圆心角所对的弧长为8m π，则这个扇形的面积为_______2m . 【答案】24π

04

240π3

=

弧度．

设扇形所在圆的半径为r ，

由题意得483

r π

π=

⋅，解得6r =． 所以扇形的面积为1

86242

S ππ=⨯⨯=．

【例题4】如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB =2π

3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ．若CD 的长为a ，

则ACB 与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积为______________.

【答案】(4π

3−√3)a 2

设扇形的半径为r ，则在△OAD 中，OA =r,OD =r −a,∠OAD =π

6， ∴OD =OA ∙sin π

6，即r −a =r

2， 解得r =2a ．

∴扇形面积为S 扇形OAB =1

3

×π×(2a)2=

4π3

a 2，

又S △OAB =1

2∙AB ∙OD =12×2√3a ×a =√3a 2， ∴S 弓形ACB =S 扇形OAB −S △OAB =(4π3

−√3)a 2

【例题5】不等式sin x ≥

____________________． 【答案】2|

22, 33x k x k k Z ππππ⎧⎫

+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭

【解析】

233sin

sin ππ== ∴结合正弦函数的图象及正弦函数的性质可得

不等式2

sinx ≥

的解集为2{|22}33x k x k k Z ππ

ππ+≤≤+

∈，

课堂练习

【基础】

1. 下列各个说法正确的是（ ）

A ．终边相同的角都相等

B ．钝角是第二象限的角

C ．第一象限的角是锐角

D ．第四象限的角是负角 【答案】B

对于选项A ，与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k ∈Z}，故终边相同的角相差2π的整数倍数，所以终边相同的角都相等不对，故选项A 不对；

对于选项B ，第二象限角的集合为{α|π

2

+2kπ<α<π+2kπ,k ∈Z} ，当k =1时，集合为{α|π

2

<α<π} ，

即为钝角的范围.所以选项B 正确.

对于选项C ，π

4+2π是第一象限角，但其不是锐角，故选项C 错误； 对于选项D ，7π4是第四象限角，但不是负角，故选项D 错误. 故选B .

2.

25

6π-是（ ） A ． 第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角

【答案】D 由题意得25466

πππ-=--， ∴256π-

的终边和角6π

-的终边相同， ∴25

6

π-是第四象限角． 故选D ．

3. 设集合180452|k M x x k Z ⎧⎫==

⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，，180454|k N x x k Z ⎧⎫

==⨯︒+︒∈⎨⎬⎩⎭

，，那么( ) A ． M N = B ． N M ⊆ C ． M N ⊆ D ． M N ⋂=∅ 【答案】C

由题意可得，(){}18045||2145,2k M x x k Z x x k k Z ⎧⎫

==

⨯︒+︒∈==+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭

， 即M 为45°的奇数倍构成的集合，

又(){}18045|145,4|k N x x k Z x x k k Z ⎧⎫

==

⨯︒+︒∈==+⋅︒∈⎨⎬⎩⎭

， ，即N 为45°的整数倍构成的集合，

M N ⊆，

故选：C ．

【巩固】

4.已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角α等于_________ 【答案】2

设扇形的半径为r ，则周长为24r r α+=， ∴面积为()22221142211122S r r r r r r α⎛⎫

=

=-=-=--+≤ ⎪⎝⎭

扇形， 当且仅当1r =时取等号，此时2α=． 故答案为：2．

5.已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=__________． 【答案】2

5.

∵m <0，∴r =√(4m)2+(−3m)2=−5m ， ∴sinα=

y r =

−3m −5m

=35，cosα=

4m −5m

=−4

5

，

∴2sinα+cosα=2×35

−45

=25

．

6.利用三角函数线，sinx ≤1

2的解集为___________． 【答案】()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+

≤≤+∈⎨⎬⎩

⎭

如图，作出满足12sinx =

的角的正弦线11M P 和22

M P ，226M OP π∠=，1156

M OP π

∠=．当角的终边位于图中阴影部分时，正弦线的大小不超过12，因此，满足1

2

sinx ≤的解集为

()5132266|x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，故答案为：()5132266|x k x k k Z ππππ⎧

⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩

⎭．

【拔高】

7. 设α为第四象限角，其终边上的一个点是(,P x ，且cos 4

x α＝

，求sin α和tan α．

【答案】sin α-

＝tan α-＝

利用余弦函数的定义求得x ，再利用正弦函数的定义即可求得sin α的值与tan α的值．

∵α为第四象限角，∴0x >，∴r =

，∴

cos 4x x r α==＝，

∴x =r sin y r α==＝，tan y x α==＝． 8. 扇形MON 的周长为16cm .

（1）若这个扇形的面积为12cm 2，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长MN . 【答案】(1)2

3或6；(2)答案见解析.

设扇形MON 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， （1）由题意可得{

2r +l =16

1

2

lr =12 解得{r =6l =4 或{r =2l =12

∵α＝l r ∴α＝23或6. （2）∵2r ＋l ＝16∴S 扇＝12

l ·r ＝12

(16−2r)r =12

(16−2r)r =−r 2+8r,r ∈(0,8)， ∴当r ＝4时，l =8，α＝l

r =2时，弦长MN ＝4sin 1×2＝8sin 1.

小结

1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的

角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．

2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．

课后练习

【基础】

1. 将67o 30′化为弧度为____________. 【答案】3π

8 ∵67o 30′=67.5o ， ∴67o 30′=67.5×

π180

=

3π8

．

2. 已知扇形的半径为4cm ，圆心角为π

4，则扇形面积为_________cm 2. 【答案】2π

∵扇形的半径为4cm ，圆心角为π

4， ∴弧长l =4×π

4=π,

∴这条弧所在的扇形面积为S =1

2×π×4=2πm 2，故答案为2π. 3. 已知角θ的终边上一点()()3,40a P a a ≠，则sin θ=________. 【答案】45

sin θ=±

. 3x a =，4y a =，

5r a ∴=

=.

此处在求解时，常犯5r a =的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a 进行讨论. (1)当0a >时，5r a =，455y sin θ∴=

=. (2)当0a <时，5r a =-，455

y sin θ∴==- ∴4

5

sin θ=±

. 【巩固】

4.下列判断正确的是__________．（填序号） ①sin3080>0；②cos(−3100)<0；③cos(−43π6

)>0；④sin

212

<0.

【答案】④

由题意结合诱导公式可得：

sin308∘=sin (360∘−52∘)=−sin52∘<0，①错误； cos (−310∘)=cos (50∘−360∘)=cos50∘>0，②错误； cos (−

436

π)=cos (56π−8π)=cos 5

6π<0，③错误；

212

∈(3π,72

π)，则sin 212

<0，④正确；

综上可得判断正确的序号为④.

5.已知角α的终边经过P (1,2),则tanα⋅cosα等于__________ 【答案】

2√55

角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，若角α终边经过点P (1,2)，则x =1，y =2，r =|OP |=√5，∴sinα=

y r

=

√5

=x r

=

√5

则tan α⋅cos α=sinαcosα

⋅cos α=

√5

=

2√55

.

即答案为

2√5

5

. 6.若α＝π

3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积

【答案】⎝⎛⎭⎫2π3－3 设弓形面积为S 弓．由题知l ＝

2π

3

cm ， S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝⎝⎛⎭⎫2π

3

－3(cm 2)． 【拔高】

7.已知α是第三象限角，求2

α

所在的象限 【答案】当α是第三象限角时，2

α

是第二或第四象限角

322()2k k k Z ππαππ+<<+∈，3

2()24

k k k Z παπππ∴+<<+∈．

当()2k n n Z =∈时，3222

24n n π

α

πππ+

<

<+，2

α

是第二象限角， 当21()k n n Z =+∈时，3722224n n παπππ+

<<+，2

α

是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，

2

α

是第二或第四象限角． 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA,OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此

点取自阴影部分的概率是__________．

【答案】1

2

−1

π

如图，设两个半圆的交点为C ，且以AO 为直径的半圆以D 为圆心，连结OC 、CD ，设OA =OB =2，则弓形OMC 的面积为S 弓形OMC =S 扇形OCD −S Rt∆DCO =1

4

⋅π⋅12−1

2

×1×1=π

4

−1

2

，

可得空白部分面积为S 空白=2S 半圆AO −2S 弓形OMC =2×12⋅π⋅12−(π2−1)=π

2+1， 因此，两块阴影部分面积之和S 阴影=S 扇形OAB −S 空白=1

4

π⋅22−(π

2

+1)=π

2

−1

可得在扇形OAB 内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P =S 阴影

S 扇形AOB

=

π2

−1π

=12−1

π，

故答案为：1

2−1

π. 9.x

tan x 有意义？

【答案】()2,22,2122k k k k ππππππ⎡⎫⎛

⎤

+

⋃++⎪ ⎢⎥⎣

⎭⎝⎦

sin 0x ≥所以x 在y 轴上半轴，又因为tan x 有意义2x k π

π≠

+

所以易求得x 的范围()2,22,2122k k k k ππππππ⎡

⎫⎛

⎤

+

⋃++⎪ ⎢⎥⎣

⎭⎝⎦