高中数学平面向量习题及答案
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
平面向量题目及详细答案.doc
A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。
，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。
=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。
=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。
= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。
一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。
高中数学平面向量(有难度含答案)
AM 2 .设 OA x ， 0 x 2
OAOB OAOC OA OB OC 2OAOM
2 OA OM 2x 2 x 2 x2 2x
2 x
2 2
2
1
所以当 x
2
，即
OA
2 时，原式取得最小值为 1.
2
2
故选：C. 【点睛】
方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的 2 倍； （2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可. 11．B 【分析】
示 在 上的射影． 解：∵△ABC 是等腰三角形，CP 是∠ACB 的角平分线， ∴CP⊥AB，AP=BP= =3．
∵M 在 PC 上，∴ 在 上的射影为 BP=3．
即 BMBA =3． BA
故选 C．
考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．
10．C
【分析】
根据向量求和的平行四边形法则可以得出 OA OB OA OC 2OA OM ，再利用向量的
点，且满足 = +λ（
+
）（λ＞0），则 BMBA 的值为（ ）
BA
A．1 B．2 C．3 D．4
10． ABC 中， AB AC ， M 是 BC 中点， O 是线段 AM 上任意一点，且
AB
AC
2
，则
OAOB
OAOC
的最小值为（
）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
11．如图是由等边△ AIE 和等边△ KGC 构成的六角星，图中的 B ， D ， F ， H ， J ，
以点 O 为坐标原点， OD 为 x 轴， OA 为 y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．【答案】5【解析】因为(a＋λb)⊥a，所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴P为AC的中点，∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．5.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．6.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为。
【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．【答案】【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故.8.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ()．A．(1,2)B．(0,3)C．[1,2]D．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以，解得1≤z≤2.9.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点，点，向量，若，则实数的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由已知得，又,所以存在实数，使，即，解得，所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．【答案】A【解析】由已知得，，又这两个向量垂直，所以，解得，所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
高一数学《平面向量》期末练习题及答案
平面向量一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）A ．)0,0(=a)2,1(-=b B ．)2,1(-=a )4,2(-=b C ．)5,3(=a )10,6(=b D ．)3,2(-=a)9,6(=b2、若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且a AB =，b AD =，则BE = ( ) A ．21+B ．21- Ｃ．21+ Ｄ．21- 3、若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且()a a bc a a b⋅=-⋅，则向量a 与c 的夹角为 （ ） A ．π2B ．π6C ．π3D ．04、设，是互相垂直的单位向量，向量m 3)1(-+=，m )1(-+=，)()(b a b a -⊥+,则实数m 为（ ）A ．-2B ．2 Ｃ．21-Ｄ．不存在 5、在四边形ABCD 中，b a AB 2+=，b a BC --=4，b a CD 35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 6、下列说法正确的个数为（ ）（1）)()()(λλλ⋅=⋅=⋅； （2）||||||⋅=⋅； （3）⋅+⋅=⋅+)( （4）)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅； （5）设c b a ,,为同一平面内三个向量，且c 为非零向量，,不共线，则)()(⋅-⋅与垂直。
A ．2 B. 3 C. 4 D. 57、在边长为1的等边三角形ABC 中，设a BC =，b CA =，c AB =，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅的值为 （ A ．23 B ．23- Ｃ．0 Ｄ．3 8、向量=（-1，1），且与+2方向相同，则⋅的范围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（-1，1） Ｃ．（-1，+∞） Ｄ．（-∞，1） 9、在△OAB 中，=（2cos α，2sin α），=（5cos β，5sin β），若⋅=-5，则S △OAB = （ ） A ．3 B ．23 Ｃ．35 Ｄ．235 10、若非零向量、满足||||b b a =-，则 （ ）A. |2||2|->B. |2||2|-<C. |2||2|->D.|2||2|-<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学-平面向量(含详细答案)
＝
－
２ ３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ ＝ Ｂ→Ｐ
２. 答案 Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ 分别是△ＡＢＣ 各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ ＝ Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ ＝
１ ２
｜ →ＡＣ ｜
３. 答案 Ｄ 根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ ＝ Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ꎬ但 ａꎬｂ 方向不确定ꎬ所以 ａꎬｂ 的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃꎬ所以 ｜ →ＡＢ ｜ ＝ ｜ Ｄ→Ｃ ｜ 且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若 ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则 ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量 ａꎬｂ 共线时ꎬ一定有 ｂ ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若 ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ꎬ则 ａ ＝ ｂ 或 ａ ＝ －ｂꎻ
③若 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃꎬ则 ＡＢＣＤ 为平
行四边形ꎻ ④ａ ＝ ｂ 的充要条件是 ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ 且 ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ ＝ μｂꎬ则 ａ 与 ｂ 共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.正六边形中，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】故选D2.已知向量a b则向量a在向量b方向上的投影为 ( )A．B．C．0D．1【答案】B【解析】略3.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线于两点，若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，三点共线，所以，．【考点】1．平面向量基本定理；2．三点共线；3．基本不等式求最值．4.（本小题满分10分）已知向量，，且，（1）求a·b及|a＋b|；（2）若f（x）＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）首先根据向量积的坐标表示，然后再根据两角和的余弦公式进行化简，求向量的模，根据公式，展开公式，然后按照向量数量积的坐标表示和二倍角公式进行化简；（2），第一步先按二倍角公式展开，转化为关于的二次函数求最值，第二步，进行换元，配方，所以讨论，，三种情况，得到最小值，确定参数的取值．试题解析：（1），（2分）|，因为所以．（2）令因为，．∴原函数可化为①当，，即（不合题意，舍去）．②当时，，即或（不合题意，舍去）．③当时，矛盾．综上所述．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简；3．二次函数求最值．5.已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B．【考点】（1）平面向量共线（平行）的坐标表示；（2）平面向量的坐标运算．6.已知屏幕上三点满足，则的形状是（）A．等腰三角形B．对边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】设的中点为，则，为等腰三角形．故选A．【考点】（1）三角形的形状判断；（2）平面向量数量积的运算．7.在中，设，若点满足，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，答案选A．【考点】向量的线性运算8.已知，，若与垂直，则等于（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解析】，因为与垂直，则，【考点】（1）平面向量的数量积（2）向量的模9.如图，已知点，是单位圆上一动点，且点是线段的中点．（1）若点在轴的正半轴上，求；（2）若，求点到直线的距离．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）根据中点坐标公式求出B点坐标，再利用向量数量积坐标式表示出即可；（2）结合已知图形，求出B点坐标，再求出C点坐标，然后写出OC所在直线方程，最后根据点到直线距离公式即可求出点A到OC的距离．试题解析：（1）点在轴正半轴上，，又点是线段的中点，，，；（2），，由点是线段的中点，，直线的方程为，即，点到直线的距离．【考点】1．中点坐标公式；2．向量数量积的坐标式；3．点到直线距离；10.（本小题10分）已知向量．（Ⅰ）若向量与平行，求的值；（Ⅱ）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围【答案】（1）（2）且【解析】（1）本题考察的是两向量的平行，可以先根据条件写出两个向量与的坐标，利用平行向量的条件，即可求出的值．（2）因为向量与的夹角为锐角，则向量的数量积大于0且不共线，根据条件代入公式即可求出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意得-------2分∵向量与平行∴，解得（Ⅱ）由（2）得∵向量与的夹角为锐角∴,且∴且【考点】平面向量的综合题11.若，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，设与的夹角为，，则，故选C．【考点】数量积表示两个向量的夹角12.已知向量，，若，则代数式的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为向量，，，所以，解得，而=，故选择C【考点】1．共线向量的坐标表示；2．同角函数基本关系式13.如图，在正方形中，，点为的中点，点在边上．若，则．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，则，可得，即，所以【考点】向量坐线性运算14.已知向量，，若⊥，则实数的值为（）A．B．C．－D．2【答案】A【解析】两向量垂直，所以数量积为0，代入公式，解得，故选A．【考点】向量数量积的坐标表示15.（本小题满分12分）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ），（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；（2）求|b＋c|的最大值．【答案】（1）2 （2）【解析】（1）由两向量垂直得到数量积为零，代入向量的坐标可得到关于的关系式，将其整理可得到的值；（2）将转化为用角的三角函数表示，求向量的模的最大值转化为求函数最大值问题，求解时要注意正余弦值的范围试题解析：（1）b－2c＝（sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ），又a与b－2c垂直，∴4cosα（sinβ－2cosβ）＋sinα（4cosβ＋8sinβ）＝0，即4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝0，∴4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，得tan（α＋β）＝2．（2）由b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ），∴|b＋c|＝当sin2β＝－1时，|b＋c|＝＝4．max【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的模；3．三角函数化简16.设为所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故A正确．【考点】平面向量的加减法．17.已知向量，且∥，则的最小值等于A．B．C．D．【答案】B【解析】由知，即，则．【考点】平面向量的坐标运算及用基本不等式求最值．18.已知的夹角为，则【答案】【解析】．【考点】1．向量的模；2．向量的内积．19.平面向量与的夹角为60°，＝（2,0），＝1，则|＋2|等于（）A．B．C．4D．12【答案】B【解析】【考点】向量的模与向量运算20.（本小题满分12分）已知平面向量，．（1）若，求的值；（2）若，求|-|．【答案】（1）（2）【解析】（1）由得到坐标关系式，代入相应坐标即可得到的值；（2）由直线平行得到坐标满足的的关系式，求得x值后，将向量用坐标表示，利用坐标求向量的模试题解析：（1）即（2）即当时，当时，【考点】1．向量平行垂直的判定；2．向量的模21.(本题满分15分)已知，，是同一平面上不共线的三点，且．（1）求证：；（2）若，求，两点之间的距离．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）将条件当中的式子变形，利用向量数量积的定义证明是等腰三角形即可；（2）根据（1）中所证再结合等腰三角形的性质，可将转化为与有关的方程，从而求解．试题解析：（1）由得，设为的中点，则，从而有，即，由于为的中点，且，因此由“三线合一”性质可知；（2）由（1）可知，，故，即，两点之间的距离为．【考点】1．等腰三角形的性质；2．平面向量数量积．【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处．解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果．22.已知为非零向量，且，，则下列说法正确的个数为（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】（1）因为，，，均为非零向量，且，所以，必不共线，则，表示以是，为邻边的平行四边形的两条对角线，且该平行四边形为菱形，所以，，故（1）正确；（2），所以，故（2）正确；（3）若，则必不共线，所以以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（3）正确；（4）若非零向量满足，即，则以为邻边的平行四边形是矩形，所以，故（4）正确.【考点】向量加法、减法的几何意义，数量积的运算性质和向量垂直的条件.23.（2015秋•大兴安岭校级期末）已知向量=（1，2），=（2，2）．（1）求（2﹣）•（2+）；（2）设=（﹣3，λ），若与夹角为钝角，求λ的值．【答案】（1）12；（2）λ＞﹣，且λ≠6．【解析】（1）向量的坐标运算和向量的数量积的坐标运算计算即可，（2）若与夹角为钝角，则则•＜0，问题得以解决．解：（1）∵=（1，2），=（2，2），∴2﹣=（2﹣2，4﹣2）=（0，2），2+=（2+2，4+2）=（4，6），∴（2﹣）•（2+）=0×4+2×6=12；（2）若与夹角为钝角，则•＜0，•=（﹣3，λ）•（1，﹣2）=﹣3﹣2λ＜0，即λ＞﹣，且与不能方向，即﹣3×（﹣2）﹣λ≠0，解得λ≠6，故λ的范围为λ＞﹣，且λ≠6．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．24.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．25.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于（）A．－B．C．D．【答案】C【解析】，所以设与的夹角为．，，．故C正确．【考点】1向量的数量积；2向量的模长．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和模长问题，难度一般．先由向量的数量积公式求得夹角的余弦值，由余弦值可求得角的大小．但应注意两向量的夹角范围为，若忽略角的范围容易出错．26. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．27.已知，，，且与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由，所以，然后根据与垂直，展开后由其数量积等于0可求解λ的值．解：因为，所以，又，，且与垂直，所以==12λ﹣18=0，所以．故选C．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．28.（2015秋•嘉兴期末）已知向量是同一平面内的三个向量，其中．（1）若，且向量与向量反向，求的坐标；（2）若，且，求与的夹角θ．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）令，根据模长关系列方程解出λ；（2）将展开求出，代入夹角公式计算．解：（1）设∵∴，∴．（2）∵||=，，∴2=5，2=．∵，∴22+3﹣22=+3=，∴．∴，∴．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．29.已知向量．（1）若点A，B，C能构成三角形，求x，y应满足的条件；（2）若△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，求x，y的值．【答案】（1）3y﹣x≠1（2）或【解析】（1）点A，B，C能构成三角形，即三点不共线，再由向量不共线的条件得到关于x，y的不等式，即所求的x，y应满足的条件；（2）△ABC为等腰直角三角形，且∠B为直角，可得AB⊥BC且，|AB|=|BC|，转化为坐标表示，得到方程求出x，y的值解：（1）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，∵∴=（3，1），=（2﹣x，1﹣y），又与不共线∴3（1﹣y）≠2﹣x，∴x，y满足的条件为3y﹣x≠1（2）∵=（3，1），=（﹣x﹣1，﹣y），若∠B为直角，则AB⊥BC，∴3（﹣x﹣1）﹣y=0，又|AB|=|BC|，∴（x+1）2+y2=10，再由3（﹣x﹣1）﹣y=0，解得或．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．30.已知||=||=1，与夹角是90°，=2+3，=k﹣4，与垂直，k的值为（）A．﹣6B．6C．3D．﹣3【答案】B【解析】根据与垂直的条件，得到数量积等于0，求变量K的值，展开运算时，用到|a|=|b|=1，a与b夹角是90°代入求解．解：∵×=（2+3）×（k﹣4）=2k+（3k﹣8）×﹣12=0，又∵×=0．∴2k﹣12=0，k=6．故选B【考点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．31.已知.（1）若，求的坐标；（2）设，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由可求得的坐标，再利用向量的运算用表示出，从而求得的坐标；（2）可假设，能求的的坐标，由可得关系式，，将此关系式转化成关于的方程，求出，从而得到点的坐标.试题解析：（1）（2）设则，，解得因此，点的坐标为【考点】向量的运算.32.在中，，，，下列推导不正确的是（）A．若，则为钝角三角形B．，则ΔABC为直角三角形C．，则为等腰三角形D．，则为正三角形【答案】D【解析】A中，由可知，，得为钝角三角形；B中，由可知，，得为直角三角形；C中，由知得，，，，则为等腰三角形；D中，，总是成立，不能得到为正三角形.故选D.【考点】平面向量的数量积.33.已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【答案】B【解析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．34.如图，已知：，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以直线为轴，圆心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，设，则，，其中（，），所以的最大值为．故选A．【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积．【名师】本题考查平面向量的数量积，解题的关键是建立适当的直角坐标系，把向量用坐标表示出来．本题中建立如解析中所示的坐标系后，可以把表示出来了，引入圆的参数方程表示法，可以把向量用参数表示，这样就可两向量的数量积表示为的函数：，由三角函数的性质可求得最大值．35.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于 ( ) A．B．C．－D．－【答案】A【解析】,而,代入原式得到,整理为,即为,所以，故选A.【考点】向量36.设是平行四边形的对角线的交点，为平面上任意一点，则= A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，，，，，而，，所以.故选D.【考点】平面向量的加法；相反向量.37.已知的三个顶点及所在平面内一点，若，若实数满足，则（）A．B．3C．-1D．2【答案】B【解析】根据向量减法的运算法则可得所以,又因为，所以，故选B.【考点】平面向量的线性运算.38.在四边形中，设且，，则四边形的形状是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【解析】，，故四边形为平行四边形，又因为，，,故平行四边形为矩形.【考点】向量加法、减法的几何意义.39.已知向量，，，若∥，则= ．【答案】 5；【解析】由题:，, ,∥，则：【考点】向量的坐标运算及平行的性质.40.已知非零向量、，且，，，则一定共线的三点是（）A．、B．、C．、、D．、【答案】A【解析】根据三点共线的性质，、；、、皆不可能共线，只有、，、有可能共线，假设、共线，，令,可求得，、共线成立，假设、共线，,令,无解，假设不成立，故本题的正确选项为A.【考点】三点共线的证明.【方法点睛】证明三点共线的方法有多种，有向量法，因为共线的三点中任意连接两点所成向量必共线，而由共线向量的性质可知，当两向量共线时（两向量均不为零向量），其对应坐标成比例或者满足，以此来判断三点是否共线；也可建立坐标系，由其中两点确定一条直线，再将第三点代入直线方程，看其是否在直线上；三点钟任意连接两点，可形成三个向量，通过三个向量的模长的关系也可判断三点是否共线.41.已知，点是线段上的点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】假设，则有，所以有，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】三点共线的性质.42.设和是两个单位向量，夹角是，试求向量和的夹角.【答案】.【解析】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，由和是两个单位向量，夹角是，我们易得，，进而我们可以求出，，，然后代入，即可求出答案.试题解析：，，，.,，故.【考点】数量积表示两向量的夹角.43.已知点，，，，则向量在方向上的投影为【答案】【解析】，，则向量在方向上的投影为．【考点】向量数量积的几何意义．44.下列四个式子中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④【答案】A【解析】由向量加法三角形法则可知①正确，由向量减法的三角形法则可知④正确，故选A.【考点】向量加法、减法的三角形法则.45.已知向量满足：（1）求向量与的夹角（2）求【答案】（1）（2）【解析】（1）设向量的夹角为θ，求出，展开，代入后求得θ值；（2）利用，展开后求得答案试题解析：（1）设向量与的夹角为，，，得，（2）【考点】平面向量数量积的运算46.在菱形中，若，则等于（）A．2B．－2C．D．与菱形的边长有关【答案】B【解析】由题在菱形中，若，由，【考点】向量的运算及几何意义．47.已知是两个单位向量．（1）若，试求的值；（2）若的夹角为，试求向量与的夹角【答案】（1）（2）【解析】（1）由题为单位向量，且，可利用向量乘法运算的性质；，化为向量的乘法运算，求出，进而可求得（2）由的夹角为，可利用向量乘法的性质，分别先求出的值，再利用可得.试题解析：（1），是两个单位向量，，又，，即．（2），，，夹角 .【考点】向量的乘法运算及性质.48.设向量，若，则．【答案】【解析】由题//，可得：【考点】向量平行的性质．49.已知向量=（3，x），=（﹣2，2）（1）若向量⊥，求实数x的值；（2）若向量﹣与3+2共线，求实数x的值．【答案】（1）x=3（2）x=﹣3【解析】解：（1）∵⊥，∴•=﹣6+2x=0，解得x=3．（2）﹣=（﹣5，2﹣x），3+2=（7，3x+2）．∵﹣与3+2共线，∴7（2﹣x）+5（3x+2）=0，解得x=﹣3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．50.若，且，则向量与的夹角为A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由,则；，得：与的夹角为120°。
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第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。