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平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
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A + 2 = 2mA2一cos2 a = m +22,设± = k代入方程组可得＜mkm 4-2 = 2mk2m2 - cos2a = m + 2sina 平面向量高考经典试一、选择题1.(全国1文理)已知向量方=(-5,6),方= (6,5),则Z与方A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解.己知向量a = (-5,6), & = (6,5), = —30 + 30 = 0,则U与片垂直,2、(山东文5)已知向量G = (1, 〃)，b = (—1, 〃)，若2a -b与b垂直，则a =( )A. 1B. y/2C. 2D. 4【分析】：2a-b = (3,n),由2a-b^jb垂直可得：(3,〃)・(—1,〃) = -3 + 〃2 =o=> 〃 = ±右，a = 2 o3、(广东文4理10)若向量履满足修|=|方|二1 3,5的夹角为60。
，则溢+混=解析：aa + a-b= l + lxlx—=—,2 24、(天津理10)设两个向量。
=(A + 2, /i? 一cos2Q)和方=(m, y + sin a),其中人,a为一一人实数.若。
=2上则-的取值范围是mA. [-6,1]B. [4,8]C. (-oo,l]D. [-1,6][分析】由« = (/! +2, A2 - cos2a) ,h = (tn,— + sin a = 2片，可得2去〃7化简得2k ] - cos2a = + 2sin cr,再化简得{2-kJ 2-k2 + 4 ] 一cos2a + ------ 2 sin。
= 0 再令一— = t代入上式得、k - 2) k — 2 k — 2(sin2。
一顶 + (16产 +18/ + 2) = 0 可得一(16产 +18, + 2)c [0,4]解不等式得Z G[-1,--]8(B)\bc^ = ba-bc则入= 2 (A)-■) 1 (B)- ■) (号2 (D)-- ■)解.在左ABC 中，己知D 是AB 边上一点，若AD=2DB , cB=-G5 + XCB,则3CD = CA + AD = CA+-^B = CA + -(CB-CA)=-CA^-CB , 4X=-,选 A 。
高中数学平面向量(有难度含答案)
AM 2 .设 OA x ， 0 x 2
OAOB OAOC OA OB OC 2OAOM
2 OA OM 2x 2 x 2 x2 2x
2 x
2 2
2
1
所以当 x
2
，即
OA
2 时，原式取得最小值为 1.
2
2
故选：C. 【点睛】
方法点睛：（1）向量求和经常利用平行四边形法则转化为中线的 2 倍； （2）利用向量三点共线，可以将向量的数量积转化为长度的乘积； （3）根据向量之间模的关系，二元换一元，转化为二次函数求最值即可. 11．B 【分析】
示 在 上的射影． 解：∵△ABC 是等腰三角形，CP 是∠ACB 的角平分线， ∴CP⊥AB，AP=BP= =3．
∵M 在 PC 上，∴ 在 上的射影为 BP=3．
即 BMBA =3． BA
故选 C．
考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．
10．C
【分析】
根据向量求和的平行四边形法则可以得出 OA OB OA OC 2OA OM ，再利用向量的
点，且满足 = +λ（
+
）（λ＞0），则 BMBA 的值为（ ）
BA
A．1 B．2 C．3 D．4
10． ABC 中， AB AC ， M 是 BC 中点， O 是线段 AM 上任意一点，且
AB
AC
2
，则
OAOB
OAOC
的最小值为（
）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
11．如图是由等边△ AIE 和等边△ KGC 构成的六角星，图中的 B ， D ， F ， H ， J ，
以点 O 为坐标原点， OD 为 x 轴， OA 为 y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为
高中数学平面向量经典练习题(附答案)
D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（ ）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题 解： 已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量 ， 满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量 与 的夹角
(完整版)平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1．AC DB CD BA 等于________．2．若向量a＝（ 3，2）， b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是________．3．平面上有三个点A（ 1，3），B（ 2，2），C（ 7，x），若∠ ABC ＝90°，则 x 的值为 ________．4.向量 a、b 知足 |a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________．5．已知向量 a＝（ 1， 2）， b＝（ 3， 1），那么向量 2a－1b 的坐标是 _________．26．已知 A（－ 1， 2），B（ 2， 4）， C（4，－ 3）， D （ x，1），若AB与CD共线，则 | BD |的值等于 ________．7．将点 A（ 2， 4）按向量 a＝（－ 5，－ 2）平移后，所获得的对应点A′的坐标是 ______．8.已知 a=(1, －2), b =(1,x), 若 a⊥b,则 x 等于 ______9.已知向量 a, b 的夹角为120，且 |a|=2,| b |=5,则（ 2a- b）· a=______10.设 a=(2, － 3), b =(x,2x), 且 3a· b =4, 则 x 等于 _____11.已知 AB( 6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3), 且 BC ∥DA，则x+2y的值为_ ____12.已知向量a+3 b, a-4 b 分别与 7a-5 b,7a-2 b 垂直，且 |a|≠ 0,| b |≠ 0，则 a 与 b 的夹角为 ____uuur uuur uuur13．在△ ABC中， O 为中线 AM 上的一个动点，若AM=2 ，则OA OB OC 的最小值是.14．将圆x2y 2 2 按向量v=（2，1）平移后，与直线 x y0 相切，则λ的值为.二．解答题。
15．设平面三点A（ 1， 0）， B（ 0，1）， C（ 2， 5）．（1）试求向量 2 AB＋AC的模；（2）试求向量AB 与 AC 的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．16.已知向量a=( sin,cos)（R ）,b=(3,3 )（1）当为什么值时，向量a、b 不可以作为平面向量的一组基底1（2）求 |a －b|的取值范围17．已知向量 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb(t ∈R)的模取最小值时，（1）求 t 的值（2）已知 a 、 b 共线同向时，求证b 与 a+tb 垂直18. 设向量 OA (3,1), OB ( 1,2) ，向量 OC 垂直于向量 OB ，向量 BC 平行于 OA ，试求 OD OA OC 时,OD 的坐标 .19.将函数 y= － x 2 进行平移， 使获得的图形与函数 y=x 2－ x － 2 的图象的两个交点对于原点 对称 .(如图 )求平移向量 a 及平移后的函数分析式 .20.已知平面向量 a( 3, 1), b (1, 3).若存在不一样时为零的实数k 和 t,使2 2x a (t 23)b, y ka t b, 且 x y.（ 1）试求函数关系式 k=f （ t ）（ 2）求使 f （ t ）>0 的 t 的取值范围 .21 11. 02.（－ 3，－ 4）3.74.90°5.（ 2 ， 3 2 ）．6.73 ． 7.（－ 3， 2）．8.－ 29.12110. 311.012. 90 ° 13.214.1或 515. （ 1）∵AB ＝（ 0－ 1， 1－0）＝（－ 1， 1）， AC ＝（ 2－ 1， 5－ 0）＝（ 1，5）．∴ 2 AB ＋ AC ＝ 2（－ 1， 1）＋（ 1， 5）＝（－ 1， 7）．∴ |2AB ＋ AC |＝ ( 1)2 72 ＝ 50．（2）∵ | AB |＝( 1)212＝ 2 ．|AC |＝ 12 52 ＝ 26 ，AB ·AC ＝（－ 1）× 1＋ 1×5＝ 4．AB AC4 2 13∴ cos ＝ | AB | | AC | ＝ 226＝ 13 ．（3）设所求向量为m ＝（ x ， y ），则 x 2＋ y 2＝ 1． ①又 BC ＝（ 2－ 0， 5－ 1）＝（ 2，4），由 BC ⊥ m ，得 2 x ＋ 4 y ＝ 0．②x 2 5x －2555y5 ． y5 ．2 55 2 555 55）或（－ 55）即由①、②，得 5 或 ∴ （ ，－，为所求．16．【解】（1）要使向量 a 、 b 不可以作为平面向量的一组基底，则向量 a 、 b 共线3sin3 cos30 tan∴3k(k Z ) k(kZ ) 故6，即当6基底时，向量 a 、b 不可以作为平面向量的一组（2） | a b | (sin 3) 2 (cos 3)2 13 2( 3 sin3cos )而 2 33 sin3cos2 3∴ 2 3 1 | a b | 2 3 1317．【解】（1）由 ( a tb) 2| b |2 t 22a bt| a |2t2a b| a |cos(是a与b的夹角）当2 | b |2| b |时 a+tb(t ∈ R)的模取最小值| a |t（2）当 a、 b共线同向时，则0，此时| b |∴ b (a tb) b a tb2b a | a ||b | | b || a | | a || b | 0∴b⊥ (a+tb)18．解：设OC(x, y),OC OB OCOB 0 2 y x0①又BC // OA,BC(x1, y2)3( y 2)( x 1) 0即：3y x7②x14,联立①、②得y710分OC(14,7),于是 OD OC OA(11,6) .19．解法一：设平移公式为x x hy y k 代入 y x2，获得y k( x h) 2 .即 y x22hx h 2k ，把它与 y x 2x2联立，y x 22hx h 2k得yx 2x 2设图形的交点为（x1， y1），（ x2， y2），由已知它们对于原点对称，x1x2即有：y1y2 由方程组消去y得：2x2(12h) x 2 h 2k 0.4x 1 x 21 2h且x 1x 20得h1 . 由22又将（x 1, y1 ），( x 2, y 2 )分别代入①②两式并相加，得： y 1 y 2x 12 x 22 2hx 1 x 2 h 2 k 2.0 (x 2x 1 )( x 2x 1 ) (x 1x 2 ) 1 k 2k9.a ( 1 , 9)4. 解得42 4 .xx12y y9x2得： yx 2平移公式为：4 代入 yx2 .解法二：由题意和平移后的图形与y x 2x2交点对于原点对称，可知该图形上全部点都能够找到对于原点的对称点在另一图形上，所以只需找到特点点即可.y x2x2的极点为(1, 9)1 , 924 ，它对于原点的对称点为 （ 2 4 ），即是新图形的极点 .因为新图形由 yx 2h1 0 1, k 99平移获得， 所以平移向量为22 44 以下同解法一 .20．解：（ 1）xy, x y 0.即[( at 2 3)b]( k a tb)0.a b0, a 221,4k t(t23) 0,即k1t(t 23).4,b1t (t 24（ 2）由 f(t)>0, 得3) 0,即t (t3)(t3)0,则3t 0或t3.45。
平面向量经典练习题(含答案)
高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。
2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。
3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。
4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。
5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。
6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。
7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。
8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。
9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。
10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。
二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。
A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。
A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。
高中数学-平面向量(含详细答案)
＝
－
２ ３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ ＝ Ｂ→Ｐ
２. 答案 Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ 分别是△ＡＢＣ 各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ ＝ Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ ＝
１ ２
｜ →ＡＣ ｜
３. 答案 Ｄ 根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ ＝ Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ꎬ但 ａꎬｂ 方向不确定ꎬ所以 ａꎬｂ 的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃꎬ所以 ｜ →ＡＢ ｜ ＝ ｜ Ｄ→Ｃ ｜ 且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若 ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则 ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量 ａꎬｂ 共线时ꎬ一定有 ｂ ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若 ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ꎬ则 ａ ＝ ｂ 或 ａ ＝ －ｂꎻ
③若 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃꎬ则 ＡＢＣＤ 为平
行四边形ꎻ ④ａ ＝ ｂ 的充要条件是 ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ 且 ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ ＝ μｂꎬ则 ａ 与 ｂ 共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③
平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为ο120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模； （2）试求向量与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量垂直于向量，向量 平行于，试求,=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）°（21，321）．6.73．7.（－3，2）．8.－210.31-12. 90°13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4． ∴ cos＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132． （3）设所求向量为＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由⊥，得2 x ＋4 y ＝0． ②由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y y x Θ ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC Θ 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立， 得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y 241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥t k t 即Θ ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k 即Θ （2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。
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A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形
ABCD为(
)．
A．平行四边形
B．矩形
C．梯形
D．菱形
10．如图，梯形ABCD中，| AD |＝| BC |，EF∥AB∥CD则相等向量是(
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．平面直角坐标系中，
O为坐标原点，已知两点
A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝
OA＋
OB，其中
，∈R，且 ＋ ＝1，则点C的轨迹方程为(
)．
A．3x＋2y－11＝0
B．( x－1)2＋( y－1)2＝5
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
4．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是(
1．
2
∴a与b的夹角是π．
3
5．A
解析：由平行四边形法则，AB＋AD＝AC，又AB＋BC＝AC，由λ的范围和向量数乘的长度，λ
∈( 0，1)．6．D
解析：如图，∵AF＝DE，
∴DF＝DE＋EF＝EF＋AF．
(第6题)
7．C
解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．
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BC＝OC－OB＝(－k，10)－( 4，5)＝(－k－4，5)，
又A，B，C三点共线，
∴5( 4－k)＝－7(－k－4)，∴k＝－2．
3
12．－1．
解析：∵M(－1，3)，N( 1，3)，
∴MN＝( 2，0)，又a＝MN，
x＋3＝2
x＝－1
∴
解得
2
或
x＝4
x－3x－4＝0
x＝－1
∴x＝－1．
13．－25．
MN与AD交于F，求DF．
(第18题)
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19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
(第19题)
20．已知向量a＝( cosθ，sinθ)，向量b＝(3，－1)，则| 2a－b|的最大值．
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参考答案
一、选择题
1．B
解析：如图，
AB与AC，AD与AE不平行，AD与BD共线反
而|b|＝4，a·b＝|a||b| cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．
8．D
解析：由OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB＝OC·OA,
即OA·( OC－OB )＝0，
故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB，
∴O是△ABC的三条高的交点．
第二章平面向量
一、选择题
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()．
A．AB与AC共线B．DE与CB共线
C．AD与AE相等D．AD与BD相等
(第1题)
2．下列命题正确的是()．
A．向量AB与BA是两平行向量
B．若a，b都是单位向量，则a＝b
C．若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形
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16．设平面内有四边形
ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边
形ABCD的形状是
．
三、解答题
17．已知点A( 2，3)，B( 5，4)，C( 7，10)，若点P满足AP＝
AB
AC
(λ∈R)，试求λ为何值时，
＋ λ
点P在第三象限内？
18．如图，已知△ABC，A( 7，8)，B( 3，5)，C( 4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且
A，B，C满足|
AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则
AB
·
＋
BC
· ＋
·
BC
CA
CA AB
的值等于
．
14．给定两个向量
a＝( 3，4)，b＝( 2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于
．
15．已知A，B，C三点不共线，
O是△ABC内的一点，若
OA＋OB＋OC＝0AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2 BC，∴AD∥BC且| AD |≠| BC |．
∴四边形ABCD为梯形．
10．D
解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量．
二、填空题
11．－2．
3
解析：A，B，C三点共线等价于AB，BC共线，
AB＝OB－OA＝( 4，5)－(k，12)＝( 4－k，－7)，
)．
A．AD与BC
B．OA与OB
C．AC与BD
D．EO与OF
二、填空题
(第10题)
11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝( 4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线， 则k＝
．
12．已知向量a＝( x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N( 1，3)，则x＝
．
13．已知平面上三点
∴( x，y)＝
＝
－
D．
( 3－， ＋3 )，∴x 3
，又 ＋ ＝1，由此得到答案为
＝ ＋
y
3
4．B
解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，
∴a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||
b| cosθ＝2|a|2cosθ．解得cosθ＝
向．
2．A
解析：两个单位向量可能方向不同，故
B不对．若AB＝DC，
(第1题)
可能A，B，C，
D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故
D也不对．
3．D
解析：提示：设OC＝( x，y)，OA＝(
3，1)，OB＝(－1，3)，
OA＝(3
，)，
OB＝(－，
3 )，又OA＋
OB＝(3－，＋3 )，
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解析：思路1：∵AB＝3，BC＝4，CA＝5，
)．
A．
B．
2
D．
5
C．
6
6
3
3
5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线
AC上(不包括端点A，C)，则AP＝(
)．
A．λ( AB＋AD )，λ∈( 0，1)
B．λ( AB＋BC )，λ∈( 0，
2)
2
C．λ( AB－AD )，λ∈( 0，1)
D．λ( AB－BC )，λ∈( 0，
2)
2
6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DF＝(
)．
A．EF＋ED
B．EF－DE
C．EF＋AD
D．EF＋AF
7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(
)．
A．2
B．4
C．6
D．12
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
OA·OB
＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC
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的(