高中数学平面向量及其应用练习题百度文库
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。
5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。
三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。
7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。
8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。
四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。
10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。
答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，故选B.【考点】本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.2.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)＝________．【答案】【解析】由＝2知，P为△ABC的重心，所以＋＝2，则·(＋)＝2·＝2||||cos 0°＝2×××1＝．3.连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，】•≥0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．故选C．4.已知向量，，若与垂直，则实数 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，因为与垂直，则，解得.【考点】平面向量垂直的充要条件.5.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为______．【答案】5【解析】建立如图所示的直角坐标系，设DC＝m，P(0，t)，t∈[0，m]，由题意可知，A(2,0)，B(1，m)，＝(2，－t)，＝(1，m－t)，＋3＝(5,3m－4t)，|＋3|＝≥5，当且仅当t＝m时取等号，即|＋3|的最小值是5.6.如图，在△ABC中，O为BC的中点，若AB＝1，AC＝3，〈，〉＝60°，则||＝________.【答案】【解析】因为〈，〉＝60°，所以·＝||||·cos 60°＝3×＝，又＝(＋)，所以＝(+)2＝，即2＝ (1＋3＋9)＝，所以||＝.7.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,故选B.【考点】向量的加减法，加法运算要首尾相接，减法运算要同起点.8.已知A、B、C是直线l上的三点，向量满足，则函数的表达式为．【答案】【解析】这题涉及到向量的一个性质（课本上有一个习题有类似的结论），不在直线上，，则三点共线．利用这个结论本题就有，两边对求导数得：，因此，从而，所以．【考点】三点共线的性质，导数．9.已知向量．(1)若，求；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】(1)由向量垂直的充要条件:,这样就可得到关于的函数 ,化简得的值,结合题中所给的范围,不难确定出的的值; (2)由已知的坐标,可求出的坐标,在根据向量求模的公式由出题中的模的表达式,由三角函数的图象和性质,分析得由的范围求出的范围,进而得出的范围,即可求出的最大值.试题解析：解(1)若，则 3分即而，所以 6分(2) 12分当时，的最大值为 14分【考点】1.向量的运算;2.三角函数的图象和性质10.已知向量，的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是________．【解析】依题意，设，，如图，则，，由于，是直角三角形，且，故向量在向量方向上的投影是0.【考点】平面向量的夹角、模，一个向量在另一个向量上的投影.11.如图，已知圆：，为圆的内接正三角形，为边的中点，当正绕圆心转动，同时点在边上运动时，的最大值是。
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (2)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x ，y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设 △ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为 S ，S 1，S 2，S 3，记 S 1S=λi (i =1,2,3)，则 λ2⋅λ3 取到最大值时，2x +y 的值为 ( ) A ． −1 B ． 1C ． −32D ． 322. 在 △ABC 中，已知 b =2√3，c =2，C =30∘，那么 a 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2 或 4 D ．无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [1,5] B ． [1,9] C ． [4,5] D ． [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BE 上的动点，则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0]B ． [−1,45]C ． [−45,1]D ． [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列各式中不正确的是 ( )A ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B ． ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D ． 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为 13，且 a ⊥(a −kb ⃗ )，则实数 k 的值为 ( ) A ． 18 B ． 24 C ． 32 D ． 368. 在 △ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则 AB 边上的高等于 ( ) A ． 2√3 B ．3√32C ．√262D ． 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △AOB S △ABC=47，则实数 m 为 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． 4 D ． −410. 已知 A ，B 都是数轴上的点，O 为原点，A (3)，B (−2)，则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． 17B ． 1C ． −1D ． −17二、填空题（共6题）11. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为 ．12. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为 2，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ．13. 设向量 a =(3,3)，b ⃗ =(1,−1)，若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ )，则实数 λ= ．14. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，若 a 2+b 2−c 2=0，则角 C 为直角．( )15. 如图，在折线 ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E ，F 分别是 AB ，CD的中点，若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，则实数 k 的取值范围是 ．16. 山上有一塔，高 50 m ，自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘，测得塔底仰角为 45∘，则山高m ．三、解答题（共6题）17. 已知 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，a与 b ⃗ 夹角 π3，m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ，n ⃗ =ka +2b ⃗ ． (1) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ∥n ⃗ ？ (2) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ？18. 已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，a >c ，且 2csinA =√3a ．(1) 求角 C 的大小；(2) 若 c =4，△ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．19. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsinA =√3acosB ．(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b =3，sinC =2sinA ，求 a ，c 的值．20. 已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3；②a =13；③c =15；④sinC =13．(1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数．(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得， sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32， 所以 B =60∘ 或 B =120∘． 当 B =60∘ 时，A =90∘， a =√(2√3)2+22=4；当 B =120∘ 时，A =30∘，a =c =2， 故 a =4 或 a =2． 【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ，则 ∣a ∣=6t (t >0)，因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0， 所以 k =18．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】138【解析】如图， 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ ． 设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6， 所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0， 点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式． 所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘，所以 AB ∥DE ，过 D 作 AB ，AC 的垂线 DM ，DN ， 则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2， 所以 DN =AM =AB +BM =2+√2， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 λ=2+√22，μ=√22，所以 λ+μ=1+√2．【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴，以 BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为 AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘， 所以 B (−2,0)，C (2,0)，A(−4,2√3)，D(4,2√3)．因为 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，所以 E(−3,√3)，F(3,√3)．设 P (x,y )，−4≤x ≤4，0≤y ≤2√3，因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ， 所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k ， 即 x 2+(y −√3)=k +9．当 k +9>0 时，点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心，以 √k +9 为半径的圆． 当圆与直线 DC 相切时，此时圆的半径 r =3√32，此时点有 2 个；当圆经过点 C 时，此时圆的半径为 r =√22+3=√7，此时点 P 有 4 个．因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，结合图象可得， 所以274≤k +9≤7，解得 −94≤k ≤−2，故实数 k 的取值范围为 [−94,−2]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −6． (2) 1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ，由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA ， 又由 A ∈(0,π)，则 sinA >0，所以 sinC =√32， 又因为 a >c ，则 ∠A >∠C ， 所以 ∠C =60∘．(2) 由三角形的面积公式，可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3，解得 ab =4， 又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12，解得 a 2+b 2=20， 即 (a +b )2=28，所以 a +b =2√7，所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4． 【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB，得 sinB =√3cosB ， 故有 tanB =sinBcosB =√3． 即 B =π3．(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC，得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②，解得 a =√3，c =2√3． 【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①，②，③． 理由如下：若 △ABC 同时满足 ①，④，则在锐角 △ABC 中， sinC =13<12， 所以 0<C <π6． 又因为 A =π3， 所以 π3<A +C <π2．所以 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾， 所以 △ABC 不能同时满足 ①，④， 所以 △ABC 同时满足 ②，③． 因为 c >a ，所以 C >A 若满足 ④， 则 A <C <π6，则 B >π2， 这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，故 △ABC 不满足 ④，故 △ABC 同时满足 ①，②，③．(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以 132=b 2+152−2×b ×15×12，解得 b =8 或 b =7． 当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0，所以 C 为钝角，与题意不符合， 所以 b =8．所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3． 【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则 当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0， 当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0， 所以必要性得证． 反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0， 当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时， 不妨设 c ≠0，则 b =ad c，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线， 当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线， 充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0．(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减， 消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时， 由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣， 所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)． (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx ， 因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45， 因为 x ∈(−π3,π6)， 所以 x +π3∈(0,π2)， 所以 cos (x +π3)=35， 所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由（1）知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6)，将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象，再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)， 又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0， 即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0， 所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2， 所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。
平面向量及其应用经典例题百度文库
一、多选题1．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQB ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =3．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）A B ．61 C ．41D ．4．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥ B ．2a b += C ．2a b -= D ．,60a b =︒5．下列命题中，结论正确的有（ ）A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形.6．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）A ．()10,0e =，()21,1=eB ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e7．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c B ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=8．下列命题中，正确的是（ ）A ．在ABC ∆中，AB >，sin sin A B ∴>B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形9．（多选题）下列命题中，正确的是（ ）A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+；B ．若0a b ⋅=，则00a b ==或；C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ⋅≤D ．若,a b 共线，则||||a b a b ⋅=±10．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ）A ．()m a b ma mb -=-B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n = 11．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形12．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC ∆为等腰三角形B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||bD ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-14．下列命题中正确的是( )A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n = 二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosC a b c ==，则∠B 的大小是（ ）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π 18．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( )A ．0a b -=B ．1a b ⋅=C ．a b =D ．0a b ⋅=19．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对 20．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．1B ．23-C ．13- D ．34-21．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．72 B ．144 C ．150 D ．30022．在ABC ∆中，601ABC A b S ∆∠=︒=，，则2sin 2sin sin a b c A B C -+-+的值等于（ ）A ．3BCD ．23．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ）A ．4B ．72C ．258D ．259 24．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶225．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ）A ．7B ．3C ．11D ．1926．题目文件丢失！27．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ） A ．0 B ．833 C ．-4 D ．428．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 29．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）A ．1-B ．12-C ．2-D ．32- 30．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1431．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=B ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅=C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=32．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（ ） A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120° 33．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形34．题目文件丢失！35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题1．ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵，，与的夹角为锐角，∴，且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；对于B解析：ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a a b a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,2||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.2．BCD【分析】本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确.【详解】解：因为，，所以B 是的中点，P 是的解析：BCD【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确.【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQABC AB h S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.3．AB【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABC S ab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC S =所以1sin 2ABC S ab C ==所以sin C =60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B 错误；，可得，故C 正确；由可得，故D 错误;故选：AC【点睛】解析：AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；()22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确； 由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.5．BD【分析】 根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若 解析：BD【分析】 根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.6．ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.7．AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量解析：AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可.【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.8．ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.9．ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当时，，故选项B 错误；因为，故选项C 正确；当共线同向时，，当共线反解析：ACD【分析】利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.【详解】由向量加法的三角形法则可知选项A 正确；当a b ⊥时，0a b ⋅=，故选项B 错误； 因为||cos ||||a b a b a b θ⋅=≤，故选项C 正确；当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ⋅==，当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ⋅=︒=-，所以选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.10．ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等， 解析：ABD 【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.11．BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误解析：BCD【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B π+--∴-=-===cos 0cos cos C A B=->，cos cos cos 0A B C ∴<， 对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 12．BD【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在中，对于A ，若，则或，当A ＝解析：BD【分析】对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在ABC ∆中，对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B=，即sin sin A B >成立．故B 正确；对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222cos 02a b c C ab+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确； 综上，正确的判断为选项B 和D ．故选：BD ．【点睛】本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．13．AB【分析】若，则反向，从而；若，则，从而可得；若，则同向，在方向上的投影为若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.【详解】对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选解析：AB【分析】若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-；对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ; 对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.14．AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据解析：AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.故选：AD【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．15．ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．对解析：ABD【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．A【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状.【详解】cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，0B π<<，所以，2B π=，因此，ABC 是直角三角形. 故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.17．D【分析】 根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosC a b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==， 即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=-，∴273101k k k =-，解得k =∴tan 3B k ==B ＝3π． 故选：D .【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键18．C【分析】取,a b 夹角为3π，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】取,a b 夹角为3π，则0a b -≠，12a b ⋅=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C .【点睛】 本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 19．B【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=. 设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形.故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.20．B【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-. 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.21．B【分析】首先利用三角函数的平方关系得到sin A ，然后根据平面向量的数量积公式得到所求．【详解】解：因为ABC 的面积为30，且12cos 13A =，所以5sin 13A =，所以1||||sin 302AB AC A ⨯=，得到||||626AB AC ⨯=⨯， 所以12|||||cos 62614413AB AC AB AC A =⨯=⨯⨯=； 故选：B ．【点睛】 本题考查了平面向量的数量积以及三角形的面积；属于中档题．22．A【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC ∆中，利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=， 解得4c =， 又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =，由正弦定理得2sin 2sin sin sin 3a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.23．C【分析】在ABC 中，根据5AB AC ==，6BC =，由余弦定理求得7cos 25A =，再由平方关系得到sin A ，然后由正弦定理2sin BC R A=求解. 【详解】在ABC 中，5AB AC ==，6BC =， 由余弦定理得：2222225567cos 225525AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，所以24sin 25A ==， 由正弦定理得：625224sin 425BC R A ===， 所以258R =， 此三角形的外接圆半径是258故选：C【点睛】 本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 24．B【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
高一数学(必修二)平面向量的概念及其应用练习题及答案
高一数学（必修二）平面向量的概念及其应用练习题及答案一、单选题1．下列说法错误的是（ ） A ．向量CD 与向量DC 长度相等 B ．单位向量都相等C ．0的长度为0，且方向是任意的D ．任一非零向量都可以平行移动2．设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．已知向量,a b 满足2π1,2,,3a b a b ===，则()a ab ⋅+=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足1a b ==，23a b +=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，D 是AB 上靠近B 的四等分点，E 是AC 上靠近A 的四等分点，F 是DE 的中点，设AB a =，AC b =，则AF =（ ）A ．344a b - B ．344a b + C ．388a b + D ．388a b - 6．已知向量a ＝（－1，2），b ＝（3，m ），m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥()a b +”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45A =︒，2a =，2b =B 的大小为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒8．已知平面四边形ABCD 满足13AD BC =，平面内点E 满足52BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM x AB y AD =+，则yx等于（ ） A ．52B ．52-C ．43D ．43-二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线10．在ABC 中，已知π32A C ==，3CD DB =，则（ ） A ．+AB AC BC = B ．2AC AD = C ．13+44AD AB AC =D ．AD BC ⊥11．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（ ） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,212．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．“ABC 为锐角三角形”是“sin cos A B >”的充分不必要条件 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 C ．命题“若A B >，则sin sin A B >”是真命题D ．若8a =，10c =，π3B =，则符合条件的ABC 有两个三、填空题13．P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________.14．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，若3BC DE =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=______． 15．已知||1a =，()1,3b =，()b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为______．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin A =2c sin B ，cos B =14，b =3，则△ABC 的面积为________．四、解答题17．设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线； (3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.18．化简：(1)()()532423a b b a -+-； (2)()()()111232342a b a b a b -----；(3)()()x y a x y a +--．19．已知4a =，2b =，且a 与b 夹角为120°，求： (1)2a b -；(2)a 与a b +的夹角；(3)若向量2a b λ-与3a b λ-平行，求实数λ的值．20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+，求23x y +的值； (2)若6,60AB BAD ∠==，求AC EF ⋅.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．22．已知：a 、b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =． (1)若5||2b =且a b +与b 垂直，求a 与b 的夹角θ ； (2)若()1,1b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．参考答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．ABC 10．ABD 11．BD 12．AC 13．()1,0- 14．409 15．2π31691517．（1）证明：因为()121212124891284324BD BC CD e e e e e e e e AB=+=++-=-=-=，所以AB 与BD 共线.因为AB 与BD 有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线.（2）因为122e e λ+与12e e λ+共线， 所以存在实数μ，使()12122e e e e λλμ=++. 因为1e ，2e 不共线，所以2,1,λμλμ=⎧⎨=⎩所以22λ=±. （3）假设12e e λ+与12e e λ+共线，则存在实数m ，使()1212e e m e e λλ+=+.因为1e ，2e 不共线，所以1,,m m λλ=⎧⎨=⎩所以1λ=±.因为12e e λ+与12e e λ+不共线， 所以1λ≠±.18．（1）()()()()532423*********a b b a a a b b a b -+-=-+-+=-. （2）()()()111131211232342342322a b a b a b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-----=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111123a b =-+.（3）()()()()2x y a x y a xa xa ya ya ya +--=-++=. 19．（1）解：因为()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++=，所以2221a b -=（2）因为()2222168412a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以23a b +=，又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅=， 所以()123cos ,43a ab a a b a a b⋅+<+>===⨯+ 所以a 与a b +的夹角为6π．（3）因为向量2a b λ-与3a b λ-平行， 所以()233a b k a b k a kb λλλ-=-=-， 因为向量a 与b 不共线，所以23k kλλ=⎧⎨=⎩，解得6λ=±20．（1）因为1122CF CD AB ==-，2CE EB =所以2233EC BC AD ==，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=-， 所以12,23x y =-=， 故231x y +=.（2）AC AB AD =+，()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴===，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯=，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯=.21．（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得22312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅，即22312323c c c -=+-， 整理，得22390c c --=，由0c >得3c =， 所以11133sin 33222ABC S bc A ==⨯=△ 22．（1）解：由()a b b +⊥得()0a b b +⋅=，即2+0a b b ⋅= ，所以254a b b ⋅=-=-，得514cos 2552a b a bθ-⋅===-⋅⨯，又[]0,πθ∈，所以2π3θ=； （2）解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++ 所以()0a a b λ⋅+>，则512403λλλ+++>⇒>-， 由//a a b λ+得0λ=，由与a 与a b λ+的夹角为锐角，所以5,0(0,)3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭。
高中数学平面向量及其应用练习题百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,3D ．8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+6．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C8．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解9．在ABC 中，若30B =︒，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°10．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 11．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等12．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-13．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0ABBA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=14．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n =15．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形17．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．梯形C ．平行四边形D ．以上都不对18．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-19．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心B ．内心C ．重心D ． 外心20．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．832322．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，3cos 5A =，则b 等于（ ） A ．35 B ．107C ．57D 5223．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A 7B ．3C ．11D ．1924．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定25．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．1026．题目文件丢失！27．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ） A ．0B 83C ．-4D ．428．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 29．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．430．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b = ②ABC ∆的面积为833③ABC ∆的周长为43+ ④ABC ∆外接圆半径433R =这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个31．已知ABC 中，1,3,30a b A ︒===，则B 等于（ ）A ．60°B ．120°C ．30°或150°D ．60°或120°32．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 33．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A ．32B ．22C ．312D ．212- 34．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形35．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(8，－1)【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查 解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.4．AD 【分析】设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：解析：AD 【分析】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设(),P x y ，则()()12,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，1212PPPP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以4,23P ⎛⎫⎪⎝⎭， 当点P 靠近点2P 时，122PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩， 解得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：AD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．ABD 【分析】 A.根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C .()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.7．ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中解析：ACD 【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R CR B C+=+＝左边，故该选项正确.【详解】对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．ABC 【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误； 对于B ，因为B为锐角且sin 4 3.92c B b c =⨯==<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题. 9．BC【分析】由题意结合正弦定理可得，再由即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.解析：BC【分析】由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈︒︒即可得解. 【详解】 由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以1sin 2sin 2AB B C AC ⋅===， 又30B =︒，所以()0,150C ∈︒︒，所以60C =︒或120C =︒.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10．C【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B ，两边平方化简；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B ，两边平方化简a b a b +=+；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】 A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.故选：C【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.11．BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.12．AB【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题. 13．AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为，正确；，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误.故选：A B.【点睛】本题主要考查了向量加法的解析：AB【解析】【分析】根据向量加法化简即可判断真假.【详解】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.14．ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等， 解析：ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.故选：ABD【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.15．AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据解析：AD【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.故选：AD【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状.【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．17．B【分析】计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案.【详解】 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=. 设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .【点睛】本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力.18．B【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-. 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.19．D【分析】 根据已知条件可得()222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】 ()()()222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=()()0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥ME ⇒为BC 的垂直平分线M ∴轨迹必过ABC ∆的外心本题正确选项：D【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.20．B【分析】 根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果.【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥ 设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦ 本题正确选项：B【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.21．B【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，103534623v ==/秒）． 故选B ．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．22．C【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．【详解】 解：3cos 5A =，(0,180)A ∈︒︒．∴4sin 5A =，34cos cos()(cos cos sin sin )(525210C A B A B A B =-+=--=-⨯-=．sin C ∴= 由正弦定理可得：sin sin b c B C =，∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ．【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．A【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】 因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.24．C【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.【详解】由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心，故可判断该三角形为等边三角形，故选：C【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.25．B【分析】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有BC=3x ，AC=3x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD BDC CBD =可得，BC=10sin 45sin 303x ==.则；所以塔AB 的高是米；故选B ．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．26．无27．C【分析】先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【详解】如图所示，AB AF 2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒==→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()()230,3,3,1,,33B F E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因此()BF AE BF 233,2,323264→=-→→=⨯-⨯=-=-，故选C.【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 28．D 【分析】根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可． 【详解】∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=，平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得223a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），则向量a b +与a 的夹角的余弦值23223a b a cos a b a b b θ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=， ，故选D.【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 29．D【分析】本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D.【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．30．C【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径；由三角函数的恒等变换化简2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =；分别讨论，结合余弦定理和三角形面积公式，计算可得所求值，从而可得结论．【详解】4c =，3C π∠=，可得42sin 3sin 3c R C π===，可得ABC ∆外接圆半径3R =，④正确； ()sin sin 2sin2C B A A +-=，即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=，即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==， 则cos 0A =，即2A π=或sin 2sin B A =，即2b a =； 若2A π=，3C π=，6B π=，可得2a b =，①可能成立；由4c =可得3a =，3b =，则三角形的周长为4+；面积为123bc =； 则②③成立； 若2b a =，由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==，可得3a =，3b =则三角形的周长为4a b c ++=+11sin sin 223333S ab C π==⋅⋅= 则②③成立①不成立；综上可得②③④一定成立,故选C ．【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，考查三角函数的恒等变换，属于中档题．以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.31．D【分析】由正弦定理可得，sin B =，根据b a >，可得B 角的大小. 【详解】由正弦定理可得，sin sin 2b A B a ==， 又0,,π<<>∴>B b a B A ，60︒∴=B 或120B =.故选：D【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 32．C【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案.【详解】 解：111222BF BA AF BA AE AB AD AB CE ⎛⎫=+=+=-+++ ⎪⎝⎭ 111223AB AD AB CB ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭ 111246AB AD AB CB =-+++ ()111246AB AD AB CD DA AB =-+++++ 11112462AB AD AB AB AD AB ⎛⎫=-+++--+ ⎪⎝⎭ 111124126AB AD AB AB AD =-+++- 2133AB AD =-+ 故选：C .【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题.33．C【分析】易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．【详解】45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，在ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，解得BC =-，在BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC CBD=∠∠50sin 45=︒，sin BDC ∴∠=sin(90)θ+︒=cos θ∴= 故选：C ．【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 34．A【分析】利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =， 是等腰三角形．【详解】ABC ∆中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，2222a c b cosB ac+-= ， ∴22222a a c b c ac+-= 220c b ∴-= ，∴c b ABC =，是等腰三角形．【点睛】本题考查余弦定理的应用问题，是基础题．35．B【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.【详解】解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.。
(新教材适用)高中数学第6章平面向量及其应用6.1平面向量的概念课后习题
6.1 平面向量的概念课后训练巩固提升1.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,a n,则这n个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等解析:因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.答案:D2.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则()A共线B共线C相等D相等解析:如图所示,因为D,E分别是AB,AC的中点, 所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以共线.答案:B3.(多选题)下列说法正确的是()A.2 022 cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行向量D.一人从点A向东走500 m到达点B,则向量表示这个人从点A到点B的位移解析:一个单位长度取2022cm时,2022cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A不正确;因为单位长度已选定,向量的起点为O,所以l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量,故B正确;方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,故C正确;根据位移的定义,可知向量表示这个人从点A到点B的位移,故D正确.答案:BCD4.若||=||,且,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析:由,知AB=CD,且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.答案:C5.(多选题)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是()A.||=||B共线C共线D解析:对于A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,因此||=||一定成立,故A符合题意;对于B,根据菱形的性质,共线一定成立,故B符合题意;对于C,因为BD与EH不一定平行,所以不一定共线,故C不符合题意;对于D,根据菱形的性质,知方向相同且模相等,因此一定成立,故D符合题意.故选ABD.答案:ABD6.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .解析:因为A,B,C三点不共线,所以不共线,又因为m且m,所以m=0.答案:07.设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C对应的实数分别是1和3,且为单位向量,则点B 对应的实数为;点D对应的实数为;||= .解析:由相等向量的定义知,点B对应的实数为7;因为||=1,所以点D对应的实数为4或2;||=||=4.答案:74或2 48.如果把平面上一切单位向量归结到共同的起点O,那么这些向量的终点所组成的图形是.解析:单位向量的长度是一个单位,方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆.答案:以点O为圆心的单位圆9.一个4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)如图所示,在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与平行且模为的向量共有几个?(3)与方向相同且模为3的向量共有几个?解:(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).(2)与向量平行且模为的向量共有24个.(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.10.一辆汽车从点A出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量;(2)求||.解:(1)如图所示.(2)由题意,易知方向相反,故共线.因为||=||,所以在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以||=||=200千米.。
2024全国高考真题数学汇编：平面向量及其应用章节综合
2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。
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一、多选题1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅=B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=2．下列说法中正确的是（ ）A ．对于向量,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅<”的充分而不必要条件D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则0λμ+=3．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π5．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3π，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）A ．△ABC 的外接圆面积是493π； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；C ．b ＋c 可能等于16；D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是6．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)7．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bC ．2m +n =4D ．mn 的最大值为28．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b +9．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立D ．在ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C10．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 12．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形13．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C处,,那么x 的值为( )A B ．23C ．D ．314．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-15．下列命题中正确的是( )A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =二、平面向量及其应用选择题16．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7217．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭18．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin a b cA B B===ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．4CD ．19．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D ．4120．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m21．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（ ）A ．23B ．3 C ．332D ．4322．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)224．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶225．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A ．7B ．3C ．11D ．1926．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC 的面积为32，那么b 等于（ ）A ．13+ B ．13+C ．23+ D ．23+27．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 28．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（ ）A ．12-B ．12C ．-2D ．229．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．3π B ．23π C ．56π D ．6π 30．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 31．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）A ．316-B ．316C ．12D ．12-32．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A ．73B ．273C ．2D ．21 33．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（ ） A ．(,32⎤-∞+⎦B ．)32,⎡++∞⎣C ．(,32⎤-∞-⎦D ．)32,⎡-+∞⎣34．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）A ．2133AB AD - B ．1233AB AD - C ．2133AB AD -+ D ．1233AB AD -+ 35．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．72B ．144C ．150D ．300【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析：ABC【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.2．BCD 【分析】．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．，解析：BCD 【分析】A ．向量数量积不满足结合律进行判断B ．判断两个向量是否共线即可C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断D ．根据向量线性运算进行判断 【详解】解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，B ．1257-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180︒，此时0m n <成立，当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ︒<︒，则m 与n 不一定反向共线，即“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的充分而不必要条件成立，故C 正确，D ．由23CD CB =得2233CD AB AC =-，则23λ=，23μ=-，则22033λμ+=-=，故D 正确故正确的是BCD ，故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．3．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.4．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.5．ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确；对于B ，根据正弦定解析：ABD 【分析】根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理2sin a R A =，可得R =ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．对于C ，22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()223B B B π=+=+14b c ∴+≤，故C 错误．对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得11sin 22ad bc A =，即sin bc Ad a=，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．6．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则选项A . ,所以A 选项正确.选项B. ,所以B 选项正确.选项C . ,所以C 选解析：ABC【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC【点睛】 本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.7．CD【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量(解析：CD【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.8．AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由向量，，则，故A 正确；，故B 错误；解析：AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；2cos ,21a b a b a b ⋅<>===⋅+，又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误.故选：AC【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.9．ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中解析：ACD【分析】对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C R B C+=+＝左边，故该选项正确. 【详解】 对于A ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2π，∴a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C R B C B C++==++＝左边，故该选项正确. 故选：ACD.【点睛】 本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对：因为，又，故可得，故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅ ⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -， 则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形.故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD .故选：ABD .【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.11．AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题． 12．ABD【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.13．AB【分析】由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB【分析】 由余弦定理得293cos306x x︒+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒+-=,解得x =x故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】;;;.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.解析：ABCD【分析】根据向量的线性运算逐个选项求解即可.【详解】0AB BC CA AC CA ++=+=;()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.故选：ABCD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.15．ABD【详解】解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确．对解析：ABD【详解】解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：()m a b ma mb -=-，故A 正确．对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．二、平面向量及其应用选择题16．B【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．C【解析】【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223ππθ<<， 故选：C.【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.18．A【分析】首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积.【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c r A B C ===已知sin cos sin a b c A B B===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，由条件可知ABC，即等腰直角三角形的斜边长为所以122ABC S =⨯=. 故选：A【点睛】本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 19．B【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C=，所以2sin 42sin 55c B C b ===，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．D【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】 15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC 302sin 45203sin120BC 3tan 3020320ABBC故选D 【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．21．A【分析】首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.【详解】AB =3==，222cos 22AB BC AC B AB BC +-∴===⋅， 又因为角B 是三角形的内角，所以6B π=，90BAC ∴∠=，sin 7BAD ∠=，cos 7BAD ∴∠==， sin cos 7DAC BAD ∴∠=∠=， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B AD BAD ⋅=∠， 在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DCC AD DAC⋅=∠，()1DC DC⨯=，解得：DC =. 故选：A【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.22．B 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 23．A 【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE =-．【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=，∴AE =）， 故选:A ． 【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 24．B 【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。