骰子和概率计算
两道骰子问题(数学概率问题)
题目一题目：一个骰子，6面，1个面是1，2个面是2，3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。
题目：一个骰子，6面，1个面是1，2个面是2，3个面是3，问平均掷多少次能使1、2、3都至少出现一次。
解：（没学过《组合数学》的请略过）设P（N=n）表示第n次（n>2）抛出后1，2，3都出现的概率，问题要求n的期望E(N=n).掷1的概率p=1/6,掷2的概率q=1/3,掷3的概率r=1/2.写程序求解#include <iostream>using namespace std;float f(float x){return (1/(1-x)/(1-x)-1-2*x);}int main(){float p=1.0/6,q=1.0/3,r=1.0/2,e;e=r*(f(p+q)-f(p)-f(q))+p*(f(q+r)-f(q)-f(r))+q*(f(p+r)-f(p)-f(r));cout<<e<<endl;return 0;}在Visual Studio下的运行结果为：7.3答案7.3题目二假设有一个硬币，抛出字（背面）和花（正面）的概率都是0.5，而且每次抛硬币与前次结果无关。
现在做一个游戏，连续地抛这个硬币，直到连续出现两次字为止，问平均要抛多少次才能结束游戏？注意，一旦连续抛出两个“字”向上游戏就结束了，不用继续抛。
一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的n 个正面？它的答案是2^(n+1) - 2 。
取n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷6 次硬币，才能得到两个连续的正面。
或许这个期望次数比你想象中的要多吧。
我们不妨试着来验证一下这一结果。
由简单的递推可得，所有 1 都不相邻的k 位01 串有F k+2个，其中F i表示Fibonacci 数列中的第i 项。
而“抛掷第k 次才出现连续两个正面”的意思就是，k 位01 串的末三位是011 ，并且前面k - 3 位中的数字1 都不相邻。
两个骰子点数之和概率
两个骰子点数之和概率其实在现实生活中，我们经常会碰到骰子点数之和等于或者小于一定概率的事情。
比如，我买了一把100元的麻将，在下注时，我先用100元钱买了五点、六点的骰子，但是却没买到五点的点数，于是就想：那我再买四点和一点都不算吧？于是我就在想：如果我用100元买了一把100元的麻将的话，那我得到了什么？而答案很简单：我得到了两个骰子点数之和等于或小于这个概率！我认为这就比100元要好得多了呢！因为这其实就是概率计算方法！一、简单的概率计算方法首先，我们先来了解一下什么是概率！简单的说，就是一个事件发生的概率和发生事件的结果概率的总和。
举个例子：假设某商场里有一款打折衣服。
商场老板 A给商场里每个顾客打折50元钱，每个顾客收到50元钱后都会购买100元的商品。
那么，商场上所有顾客购买100元商品都会失败吗？答案是不会！因为商场老板 A并不是一个人在战斗！商场上所有顾客都会根据商场上每个顾客购买商品的情况而决定购买数量或者购买次数！二、统计概率与概率的基本思想当我们把概率分解为简单的数学描述时我们就可以知道：一个事件只会发生或者只有一个概率。
这就是我们所说的统计概率。
而统计概率又分为两个大类：大概率和小概率。
大概率是指事件发生的可能性是通过定义确定的，而小概率则是由定义来确定的；大概率与小概率是相对的关系，而小概率与大概率是相对的关系。
即：一个事件只有一个概率是符合分布规律（即概率分布函数）的；一次事件中所有出现或没有出现都符合概率分布函数的；出现、没有出现和无影响事件都是符合概率分布函数的。
而这正是统计学中所谓统计的基本思想。
其中前两个重要原因都体现在统计概率当中；后一个重要原因就在于概率分布函数本身不具有任何意义。
三、三个极端情况但是也有很多人，对概率并不了解。
比如：我知道很多人喜欢下注赌博，但我却不知道他们的麻将点数之和在一定程度上也是个数字。
其实概率这个东西就是数学里最抽象、最复杂的东西之一了！例如：如果一个人要赌博（注)100元钱的话，他要用100元钱来下注（注)100元骰子（点数）。
一类骰子游戏中的概率计算
⼀类骰⼦游戏中的概率计算⼀个骰⼦，⼀个跑道，停在某个格⼦上有奖励。
包含这种玩法的游戏不要太多，拿“⼤富翁”作个图⽰：在玩的时候时常在问⾃⼰：我停在前⽅第n格的概率是多少？我停在前⽅第n格的期望掷骰⼦数是多少？感性上，我停在前⽅第100格的概率，应该和我停在前⽅第1000格的概率是⼀样的，那么这个概率是多少？不妨就来编程解决这些疑问！Q1：停在前⽅第n格的概率是多少？不妨先考虑简单的情形：n = 1时，⾄多能掷1次骰⼦，仅点数为1时满⾜条件，那么概率是 1 / 6 = 0.166667。
n = 2时，⾄多能掷2次骰⼦，点数为 (1, 1) 或 (2) 时满⾜条件。
所有掷骰⼦的情况是：{ (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2) (3) (4) (5) (6) }⼀共11种情况，那么概率是 2 / 11 = 0.181818。
我们可以总结出这样的公式：停在前⽅第n格的概率 = 正好停在第n格的情况数 ÷ 给定最多投掷数的情况下，停留的位置⼤于等于第n格的情况数 = F(n) / G(n)步骤1：计算F(n)⽅法⼀：动态规划显然，停在n格的情况数 = 停在n-1格的情况数 + 停在n-2格的情况数 + … + 停在n-6格的情况数，所以有：转移⽅程：F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-3) + F(n-4) + F(n-5) + F(n-6)边界条件：F(0) = 1，F(n<0) = 0代码如下：def calF(n):F_list = [0 for i in range(n+1)]for i in range(n+1):for j in range(1,7):if i - j == 0: F_list[i] += 1 # 即F(0)=1elif i - j < 0: F_list[i] += 0 # 即F(n<0)=0else: F_list[i] += F_list[i-j]return F_list[-1]⽅法⼆：递归算法动态规划与递归都有着“分⽽治之”的思想，在某些情况下是能相互转换的。
概率的一般加法公式
个产品中有93个产品长度合格 例6. 100个产品中有 个产品长度合格， 个产品中有 个产品长度合格， 90个产品重量合格，其中长度、重量都合 个产品重量合格， 个产品重量合格 其中长度、 格的有85个 现从中任取一产品， 格的有 个。现从中任取一产品，记 A=“产品长度合格”，B=“产品重量合 产品长度合格” 产品长度合格 产品重量合 求产品的长度、 格”，求产品的长度、重量至少有一个合 格的概率。 格的概率。
中基本事件的总数
P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B). ∪ －
一个电路板上装有甲、一两根熔丝， 例2. 一个电路板上装有甲、一两根熔丝， 甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为 甲熔断的概率为 ， 0.74，两根同时熔断的概率为 ，两根同时熔断的概率为0.63，问至 ， 少有一根熔断的概率是多少？ 少有一根熔断的概率是多少？ 甲熔丝熔断” 解：设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔 甲熔丝熔断 乙熔丝熔 乙两个熔丝至少一根熔断” 断”，则“甲、乙两个熔丝至少一根熔断” 为事件A∪ 为事件 ∪B. P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B) ∪ － =0.85+0.74－0.63 － =0.96.
的整数中任取一个数， 例3. 从1~100的整数中任取一个数，试求 的整数中任取一个数 取到的数能被5或 整除的概率 整除的概率。 取到的数能被 或9整除的概率。 取到的整数能被5整除 解：设A={取到的整数能被 整除 ，B={取 取到的整数能被 整除}， 取 到的整数能被9整除 整除}。 到的整数能被 整除 。 A中含有 个基本事件；B中含有 个基 中含有20个基本事件 中含有11个基 中含有 个基本事件； 中含有 本事件； 含有2个基本事件 本事件； A∩B含有 个基本事件。 含有 个基本事件。 P(取到的整数能被 或9整除 取到的整数能被5或 整除 整除) 取到的整数能被 =P(A)+P(B)－P(A∩B) －
概率的计算--骰子
概率的计算--骰子【知识点】一般地，如果一个试验有n个等可能结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝mn【练习题】1.小伟和小梅两名同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次质地均匀的骰子．以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0、1、2，则小伟胜；若所得数值等于3、4、5，则小梅胜．(1)请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率．(2)判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性2.任意掷一枚质地均匀骰子.(1)掷出的点数大于4的概率是多少？(2)掷出的点数是偶数的概率是多少？3.掷一个骰子，观察向上的一面的点数，求下列事件的概率：(1)点数为2；(2)点数为奇数；(3)点数大于2小于5.4.投掷一枚普通的正六面体骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；①掷得的点数是奇数；①掷得的点数不大于4；①掷得的点数不小于2．其发生的概率按由大到小的顺序排列是5.掷一枚普通的正方体骰子，下列说法中的正确的有①出现“点数小于3”的概率等于出现“点数大于4”的概率②出现“点数为偶数”的概率等于出现“点数为奇数”的概率③掷前默念几次“出现5点”，结果“出现5点”的概率就会加大④连续掷3次，出现的点数之和不可能等于19答案1.共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，差的绝对值为0，1，2的共有24种，差的绝对值为3，4，5的共有12种，所以P(小伟胜)＝2436＝23，P(小梅胜)＝1236＝13.解：因为23≠13，所以游戏不公平．根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，于是修改为：若两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．这样小伟、小梅获胜的概率均为12.(修改规则不唯一)2.13；123. 16；12；134. ①>①>①>①5. 1；2；4。
掷一掷练习题
掷一掷练习题### 掷一掷练习题1. 掷骰子的概率计算假设你掷一枚六面骰子，每面出现的概率相等。
计算以下事件的概率：- 掷出1点的概率。
- 掷出偶数点的概率。
- 掷出大于3点的概率。
2. 连续掷骰子的期望值如果你连续掷两次骰子，计算以下期望值：- 两次掷骰子的总点数。
- 两次掷骰子中出现的最大点数。
3. 掷骰子的组合问题如果掷三枚骰子，求以下事件的概率：- 所有骰子点数之和为10。
- 至少有一个骰子掷出6点。
4. 骰子的独立性检验假设你掷了100次骰子，记录每次掷出的点数。
如果出现6点的次数远远高于或低于其他点数，这是否意味着骰子是不公平的？请说明理由。
5. 掷骰子的统计分析在掷骰子的实验中，如何使用统计方法来确定骰子的公平性？请列出至少两种方法。
6. 掷骰子的策略问题在一个游戏中，你需要掷骰子来决定你的下一步行动。
如果掷出1点，你将前进3步；如果掷出2点，你将前进2步；如果掷出3点，你将后退1步；如果掷出4点，你将前进1步；如果掷出5点或6点，你将前进2步。
请计算在10次掷骰子后，你平均前进多少步。
7. 多面骰子的概率问题如果有一个八面骰子，每一面分别标有数字1到8，计算掷出数字7的概率。
8. 掷骰子的决策问题在一次掷骰子游戏中，你可以选择掷一次或两次骰子。
如果掷一次，你将获得掷出的点数；如果掷两次，你将获得两次点数的平均值（向下取整）。
在什么情况下，选择掷两次骰子会比掷一次更有利？9. 掷骰子的公平性问题如果一枚骰子的每个面出现的概率不是完全相等的，如何通过掷骰子的结果来估计每个面出现的概率？10. 掷骰子的模拟问题使用计算机模拟掷骰子1000次，记录每次掷出的点数。
根据模拟结果，分析骰子是否公平，并给出你的结论。
11. 掷骰子的几何问题如果将一枚骰子放在一个立方体盒子中，掷出骰子后，骰子的每个面都有可能成为盒子的底部。
计算骰子每个面成为盒子底部的概率。
12. 掷骰子的优化问题在一个游戏中，你需要掷骰子来决定你的得分。
概率论与数理统计案例
概率论与数理统计案例概率论与数理统计是数学学科的两个分支，它们研究与概率和随机变量相关的问题，可以应用于统计、经济、金融等领域。
下面将介绍一些概率论与数理统计的案例。
案例一：骰子游戏在玩一个骰子游戏时，每次掷一个骰子，如果骰子点数为1或6，则游戏结束，否则游戏继续。
假设你可以决定掷骰子的次数，掷的次数越多，结束游戏的概率越大，但可能会因为掷的次数过多而浪费时间。
现在假设你只能掷骰子n次，问你应该掷几次骰子可以使结束游戏的概率最大？解题思路：对于这个问题，我们可以使用概率论的方法来求解。
假设掷骰子的次数为k，那么结束游戏的概率为：$P_k$ = $\frac{1}{3} + \frac{4}{9}(\frac{2}{3})^k +\frac{2}{9}(\frac{1}{2})^k(\frac{2}{3})^{n-k}$为了使结束游戏的概率最大，我们需要求出这个概率关于k的一阶导数，并令其等于0。
对上式求导，得到：令$P'_k$ = 0，解得：$k$ = $\frac{n}{2}$因此，在保证掷骰子次数不超过n的情况下，掷骰子次数为$\frac{n}{2}$时可以使结束游戏的概率最大。
案例二：股票涨跌预测对于投资者来说，股票的涨跌是一个重要的决策因素，如果能准确预测股票涨跌，可以获得更高的投资收益。
根据概率论和数理统计的方法，我们可以尝试分析股票涨跌的概率和趋势，并根据分析结果制定投资策略。
对于股票涨跌的预测，我们可以使用概率论中的二项分布来进行分析。
假设一个股票价格在一段时间内有50%的概率上涨，50%的概率下跌，我们可以将上涨定义为成功事件，下跌定义为失败事件，那么在n次交易中，股票涨k次的概率为：$P(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$其中，p为股票价格上涨的概率，k为股票涨的次数。
对于预测股票涨跌的趋势，我们可以使用时间序列分析的方法来进行分析。
三个骰子出点规律玩3个骰子猜大小必赢技巧
三个骰⼦出点规律玩3个骰⼦猜⼤⼩必赢技巧三个骰⼦出点规律：三个骰⼦⼀起扔出,可能出现6×6×6=216种，下⾯如图：给⼤家分享解析玩3个骰⼦猜⼤⼩必赢技巧概率测算：三个骰⼦⼀起扔出,最上⾯的三个数之和是17和18点概率是1/108,还是1/5最上⾯的三个数之和要为17点,只能是其中两个是6点,另外⼀个是5点,这种情况有3种可能.软件名称：软件功能：控制筛⼦点数（QQ和微信）适配机型：安卓4.0以上和苹果⼿机下载这种情况概率为3/216=1/72三个数之和为18点,只能是三个骰⼦上⾯的数都是6,这只有⼀种可能.这种情况概率为1/216.那么上⾯三个数是17和18的概率为零,因为不可能发⽣.是17或18的概率为1/72+1/216=1/54再问：和为9点与10点两个数岀现的概率是多少？再答：和为9点与10点的意思是同时为9和10，这是不可能发⽣的，所以概率为零。
再问：就是9点或10点，你真会找⽑病。
再答：数学语⾔的表达必须要清楚。
不是我找⽑病哦……我给你算算哈。
再问：请吧再答：这个我找不到很好的⽅法来算。
有⼀种办法你可以试试：三个骰⼦上⾯的数和为10有如下组合：145,163,226,235,244,334，共有6*P（3,3）=18种，此情况概率为18/216=1/12三个骰⼦上⾯的数和为9有如下组合：144,126,135,225,234,333，共有5*P（3,3）+1=16种，此情况概率为16/216=1/27三个骰⼦出点规律,出现⼀个6,两个6,三个6的概率分别是若投⼀个骰⼦出现6 的概率为1/6；不出现6的概率是5/6;假设你投的三个骰⼦的标号为A，B，C则出现⼀个6的情况有3种：即A为6，B、C部位6，或者B为6，A、C不为6 ，或者C为6，A、B不为6。
且这3种情况的概率是⼀样的，均为1/6 * 5/6 * 5/6 = 25/216；那出现⼀个6的总概率就是3 * 25/216 = 25/72；同样的，出现两个6的情况也有3种，每种情况的概率为：1/6 * 1/6 * 5/6 = 5/216;那出现两个6 的总概率就是3 * 5/216 = 5/72;出现3个6只有⼀种情况，概率为：1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216;另外不出现6 的概率为：5/6 * 5/6 * 5/6 = 125/216;且出现⼀个6 ，两个6, 三个6 和不出现6的概率的总和应为1。
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优点：可以计算任意颗骰子的骰子和的概率，计算简单，正确率大，可以用计算机。
缺点：工作量大。
一颗骰子概率
两颗骰子机会表
两颗骰子概率表
4点的概率即3个1/36。
三颗骰子机会表
三颗骰子概率表
相同事件括号里面概率相加即为此事件的概率，如：出现6点的概率即3/1296+4/1296+3/1296。
一次类推可以求出任何个骰子骰子和概率，特别提醒：求多颗骰子的骰子和概率可以多种求法，比如求6颗骰子的概率可以用两个颗三颗骰子概率表横纵排列求6颗骰子的机会表，同样也可以选择四颗骰子和两颗骰子概率表横纵排列。
如果你还怀疑，可以通过实验验证上面概率。
比如你可以掷2颗骰子50000次，看是否出现点子的频率是否符合上面理论值。